100测评网高二数学《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练2

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高中数学(人教版必修2)配套练习第三章3.3 直线的交点坐标与距离公式试题解析

§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 6．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.8．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．二、能力提升9．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)．13．解设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3.3.3.2两点间的距离一、基础过关1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．42C ．2 5D ．2103．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______． 6．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．二、能力提升9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0 D.⎝⎛⎭⎫0，225 10．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝011．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．12．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形．三、探究与拓展13．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．答案1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0. 综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 8．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 9．B 10．A 11．2 612．证明作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．13．解设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程．三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|. 解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0. 13．解已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.。

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直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三、两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =.要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点五、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩．【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行．【解析】（1）解方程组5420220x yx y+-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭．（2）解方程组26301132x yy x-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①②②×6得2x－6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组2601132x yy x-=⎧⎪⎨=+⎪⎩①②②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．举一反三：【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x+y+3=0，l2：x―2y―1=0；（2）l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0；（3）l1：x―y+1=0；l2：2x―2y+2=0．【答案】（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（―1，―1）．（2）直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．（3）两直线重合．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y---⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．求点A （2，2）关于直线2x ―4y+9=0的对称点坐标．【答案】（1，4）【解析】设点A ＇（a ，b ）是点A （2，2）关于直线2x ―4y+9=0的对称点，则有AA ＇与已知直线垂直且AA ＇的中点在已知直线上．∴1212222249022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-⋅+=⎪⎩，解得a=1，b=4． ∴所求对称点坐标为（1，4）．【总结升华】点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直问题来解决．例4．求直线x ―y ―2=0关于直线l ：3x ―y+3=0对称的直线方程．【答案】7x+y+22=0【解析】解法一：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，取直线x ―y ―2=0上一点A （0，―2），设点A 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点为A ＇（x 0，y 0），则根据'1AA l k k ⋅=-，且线段AA ＇的中点在直线l ：3x ―y+3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩．故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（―3，―1）．∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭．即7x+y+22=0．解法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y yx x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0．故所求直线方程为7x+y+22=0．【总结升华】轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．举一反三：【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程．【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0．【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识点（二）中的例1】【变式2】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =．直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+则12k =-，所以l 的方程为：20x y +=法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离=解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y += 类型四、两点间的距离例5．已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形．【解析】先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．∵22||(42)(31)8AB =-+-=，22||(02)(51)20AC =-+-=， 22||(53)(04)20BC =-+-=， ∴|AC|=|BC|．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．举一反三：【变式1】已知△ABC 的三个顶点是A （―1，0），B （1，0），13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断△ABC的形状．【答案】 △ABC 是直角三角形【变式2】例6．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ②由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或12125x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+- 类型五、点到直线的距离例7．在△ABC 中，A （3，3），B （2，―2），C （―7，1），求∠A 的平分线AD 所在直线的方程．【答案】y x =【解析】设M （x ，y ）为∠A 的平分线AD 上的任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x ―5y+12=0，AB 所在直线的方程为5x ―y ―12=0．由角平分线的性质得2626=， ∴x ―5y+12=5x ―y ―12或x ―5y+12=y ―5x+12，即y=―x+6或y=x ．但结合图形（如图），可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即155AD k <<，∴y=－x+6不合题意，故舍去．故所求∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y=x ．【总结升华】本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x ，y ）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．举一反三：【变式1】求点P 0（―1，2）到下列直线的距离：（1）2x+y ―10=0；（2）x+y=2；（3）y ―1=0．【答案】（1）25（2）22（3）1 【解析】（1）根据点到直线的距离公式得2225521d ===+．（2）直线方程可化为x+y ―2=0，所以222211d ==+．（3）因为直线y ―1=0平行于x 轴，所以d=|2―1|=1．类型六、两平行直线间的距离例8．求两条平行直线y=3x+5与6x ―2y+3=0间的距离．【答案】20【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，∴所求的距离为10d==．【正解】经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距离为20=．【总结升华】在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．举一反三：【变式1】直线l1过点A（0，1），l2过点B（5，0），如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程．【答案】12:12550:125600l x yl x y-+=⎧⎨--=⎩或12:0:5l xl x=⎧⎨=⎩．【巩固练习】1．直线x+2y ―2=0与直线2x+y ―3=0的交点坐标为（）A ．（4，1）B ．（1，4）C ．41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭2．点P （2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A ．（5，2）B ．（2，―5）C ．（―5，―2）D ．（―2，―5） 3．与直线2x+3y ―6=0关于点（1，―1）对称的直线方程为（）A ．3x ―2y+12=0B ．2x+3y+7=0C ．3x ―2y ―12=0D ．2x+3y+8=0 4．直线(2k ―1)x ―(k+3)y ―(k －11)=0（k ∈R ）所经过的定点是（）A ．（5，2）B ．（2，3）C ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．（5，9）5．若x 轴的正半轴上的点M 到原点与点（5，―3）到原点的距离相等，则M 的坐标是（）A ．（―2，0）B ．（1，0）C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．6．已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x ―y+3=0的距离为1，则a 的值等于（）A B ．2 C 1 D 1 7．两平行直线3x+2y ―3=0和6x+4y+1=0之间的距离是（）A ．4B ．13 C ．23 D ．268．点P （x ，y ）在直线x+y ―4=0上，则x 2+y 2的最小值是（）A ．8B ．CD ．169．直线ax+3y ―12=0与直线4x ―y+b=0垂直，且相交于点P （4，m ），则b=________． 10．若P 是直线3x+2y+2=0上的一点，且到A （0，1），B （2，0）的距离之差的绝对值最大，则点P 的坐标为________．11．两平行直线分别过点（1，0）与（0，5），且距离为5，它们的方程为． 12．在直线l ：3x －y+1=0上求一点P ，使点P 到两点A （1，―1），B （2，0）的距离相等，则点P 的坐标为．13．已知ABC ∆的垂心(5,2)H ，且(10,2)A -，(6,4)B ，求点C 的坐标．14．已知△ABC 的顶点A （3，―1），过点B 的内角平分线的方程为x ―4y+10=0，过点C 的中线方程为6x+10y ―59=0，求顶点B 的坐标．15．求直线3x ―2y+1=0关于直线2x ―2y+1=0对称的直线方程．【答案与解析】1．【答案】C【解析】两直线方程联立方程组，解方程组可得．2．【答案】C【解析】设点P （2，5）关于直线x+y=0的对称点为()00,x y ，则000051225022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解之得．3．【答案】D【解析】在所求的直线上任取一点A （x ，y ），则A 关于点（1，-1）对称点B （2-x ，-2-y ）一定在直线：2x+3y-6=0上，故有2（2-x ）+3（-2-y ）-6=0，即 2x+3y+8=0．故选D ．4．【答案】B【解析】由(2k ―1)x ―(k+3)y ―(k ―11)=0，得(2x ―y ―1)·k ―(x+3y ―11)=0．所以联立方程组2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，故选B ． 5．【答案】D【解析】设M 的坐标为（x ，0），根据题意，由两点间的距离公式可得x 2=52+(―3)2，解得x =，∵x ＞0，∴所求点的坐标为．6．【答案】C【解析】由点到直线的距离公式得|1|a =⇒+=．因为a ＞0，所以1a +=1a =．7．【答案】D【解析】 6x+4y+1=0可化为13202x y ++=．则由两条平行直线间的距离公式得d == 8．【答案】A【解析】由x 2+y 2的实际意义可知，它代表直线x+y ―4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方．∴222min()8x y +==． 9．【答案】―13【解析】由两条直线垂直可知a ·4+3×(―1)=0，∴34a =，将点（4，m ）的坐标代入直线方程331204x y +-=，得m=3．将点（4，3）的坐标代入直线方程4x ―y+b=0，得b=―13． 10．【答案】（―2，2）【解析】由几何性质知P 、A 、B 在同一条直线上时绝对值之差最大，且所在直线为121x y +=，与3x+2y+2=0联立得（―2，2）．11．【答案】0,551250,512600y y x y x y ==--=-+=或【解析】利用平行线间的距离公式求解．12．【答案】（0，1）【解析】设点P 坐标为（x ，y ），由点P 在l 上和P 到A 、B 距离相等建立方程组310x y -+=⎧= 解得01x y =⎧⎨=⎩，∴点P 坐标为（0，1）．13．【答案】()6,6-【解析】AB 斜率为18，设点C 坐标为()00,x y ，所以，CH 斜率为00285y x -=-- ① 因为AH 斜率为0，∴BC 斜率不存在，即直线BC 的方程为6x =，所以，06x = ②②代入①，得06y =-．∴点C 坐标()6,6-．14．【答案】（10，5）【解析】设点B （m ，n ），则m ―4n+10=0． ①又AB 中点31,22m n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭在过点C 的中线上， ∴316105922m n +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ② 联立①②得m=10，n=5，∴B （10，5）．15．【答案】4x ―6y+3=0【解析】如图，在直线3x ―2y+1=0上取一点1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过此点与对称直线垂直的直线为3x+3y+1=0．解方程组33102210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为51,1212M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由中点坐标公式，得点1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于点51,1212M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为11,26Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解方程组32102210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，得交点10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由两点式，得所求直线的方程为4x ―6y+3=0．。

数学33《直线的交点坐标与距离公式》试题(新人教必修2)

3.3直线的交点坐标与距离公式第1题. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ，必定满足方程〔〕Ａ．440x y -+= Ｂ．740x y +=Ｃ．440x y -+=或4890x y -+= Ｄ．740x y +=或3256650x y -+= 答案：Ｄ．第2题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，第3题. ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，假设ABC △的面积为10，求出点C 坐标．答案：解：由题得：[]223(1)(25)5AB =--+-=．1102ABC S AB h ==△∵，4h =∴〔h 为点C 到直线AB 的距离〕．设点C 坐标为00()x y ，，AB 的方程为32(3)4y x -=--，即34170x y +-=．由0000330341745x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得0012x y =-⎧⎨=⎩或00538x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴C 点坐标为(10)-，或5(8)3，．第4题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+123142k -±=假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=．43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第5题. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长．答案：证明：建立如下列图坐标系，(0)A a ，，(0)B b ，，(,0)C a -(00)a b >>，那么直线AB 方程为0bx ay ab +-=，直线BC 的方程为0bx ay ab -+=．设底边AC 上任意一点为(0)P x ，，()a x a -≤≤，那么P 到AB 的距离为2222()bx ab b a x PE a b a b--==++，P 到BC 的距离为2222()bx ab b a x PF a ba b++==++，A 到BC 的距离为22222ba ab ab h a ba b+==++，222222()()2b a x b a x ab PE PF h a ba ba b-++=+==+++∵，∴原结论成立．第6题. 直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，那么它们之间的距离是〔〕Ａ．4Ｂ．21313Ｃ．51326Ｄ．71326答案：Ｄ．第7题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角．答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜面角为6π或2π．第8题. 等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是320x y -+=，直角顶点是(32)C -，，那么两条直角边AC ，BC 的方程是〔〕Ａ．350x y -+=，270x y +-= Ｂ．240x y +-=，270x y --= Ｃ．240x y -+=，270x y +-= Ｄ．3220x y --=，220x y -+= 答案：Ｂ．第9题. 求经过两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 的方程．答案：解法一：解方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的交点P (0，2)．∵直线3l 的斜率为34，∴直线l 的斜率为43-．∴直线l 的方程为42(0)3y x -=--，即4360x y +-=．解法二：设所求直线l 的方程为24(2)0x y x y λ-+++-=．由该直线的斜率为43-，求得λ的值11，即可以得到l 的方程为4360x y +-=．第10题. 入射光线线在直线1l ：230x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，那么直线3l 的方程为〔〕Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y -+=Ｃ．230x y +-=Ｄ．260x y -+= 答案：Ｂ．第11题. 直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为(1，p )，那么m n p -+=．答案：20第12题. 试求直线1l ：20x y --=，关于直线2l ：330x y -+=对称的直线l 的方程．答案：解法一：由方程组20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线1l 、2l 的交点为A (52-，92-)．设所求直线l 的方程为95()22y k x +=+，即22590kx y k -+-=．由题意知：1l 到2l 与2l 到l 的角相等，那么31313113k k--=+⨯+，7k =-∴．即所求直线l 的方程为7220x y ++=．解法二：在1l 上任取点P (1x ，1y )〔2P l ∉〕，设点P 关于2l 的对称点为Q (x '，y ')．那么11113302231x x y y y y x x ++⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩''''解得1143953495x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩''''又点P 在1l 上运动，1120x y --=∴．4393432055x y x y -+-++--=∴''''．即7220x y ++=''，也就是7220x y ++=．第13题. 点(0，5)到直线20x y -=的距离是〔〕Ａ．52532Ｄ．54 答案：B ．第14题. 直线1l 与2l 夹角平分线所在直线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么直线2l 的方程是〔〕Ａ．0bx ay c ++=Ｂ．0ax by c -+= Ｃ．0bx ay c +-=Ｄ．0bx ay c -+= 答案：Ａ．第15题. 假设直线5421x y m +=+与直线23x y m +=的交点在第四象限，那么m 的取值范围是〔〕Ａ．2m <Ｂ．32m >Ｃ．32m <-Ｄ．322m -<<答案：Ｄ．第16题. 直线l 过直线240x y -+=与350x y -+=的交点，且垂直于直线12y x =，那么直线l 的方程是．答案：10580x y ++=．第17题. 直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，假设MN 的中点是(01)，，求直线l 的方程．答案：解：设直线l 的方程为1y kx -=或0x =，17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩； 172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩，由770312k k +=-+，得14k =-，又直线0x =不合题意． ∴所求直线方程为440x y +-=．第18题. 〔1〕(34)A -，，(2B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB =，并求PA 的值；〔2〕点(4)M x -，与(23)N ，间的距离为x 的值．答案：解〔1〕设点P 为(0)x ，，那么有PA ==PB ==由PA PB =得2262547x x x x ++=-+，解得95x =-．即所求点P 为9(0)5-，且2292109(3)(04)55PA =-++-=．〔2〕由72MN =，又22(2)(43)72MN x =-+--=，得24450x x --=，解得19x =或25x =-，故所求x 值为9+或5-．第19题. 直线l 经过(25)P -，，且与点(32)A -，和(16)B -，的距离之比为12：，求直线l 的方程．答案：解：由题知，直线l 的斜率存在．设斜率为k ，∵直线l 过点(25)P -，，∴直线l 方程为5(2)y k x +=-，即250kx y k ---=．记点A 到直线l 的距离为1223(2)25311k k k d k k-----==++．记点B 到直线l 的距离为222(1)62531111k k k d k k----+==++．又1212d d =∵：：，313112k k -=+∴，化简得：218170k k ++=，解得11k =-，217k =-，∴所求直线l 为：30x y ++=或17290x y +-=．第20题. 假设点(3)P a ，到直线340x y +-=的距离为1，那么a 值为〔〕333-Ｃ．333333- 答案：Ｄ．第21题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，．第22题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+∵，123142k -±=．假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=，43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第23题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2)3Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角．答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜角为6π或2π．第24题. 直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12l l ∥，两平行直线间距离为5，而过点()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l 截得的线段长为10，求直线l 的方程．答案：解：∵12l l ∥，2160m -=∴得4m =±．0m >∵，4m =∴．故1:480l x y n ++=，24820l x y +-=：．又1l 与2l 5，222548n +=+18n =或22n =-〔舍〕．故A 点坐标为(418)，．再设l 与1l 的夹角为θ，斜率为k ，1l 斜率为12-， 2sin 2θ=∵，4θ=π∴，1()2tan 1141()2k k--==+-π，解得13k =或3k =-．∴直线l 的方程为118(4)3y x -=-或183(4)y x -=--．即3500x y -+=或3300x y +-=．第25题. 直线210mx y m -++=经过一定点，那么该定点的坐标为〔〕Ａ．(21)-，Ｂ．(21)，Ｃ．(12)-，Ｄ．(12)，答案：Ａ．第26题. 假设(16)P --，，(30)Q ，，延长QP 到A ，使13AP PQ =，那么A 的坐标为〔〕Ａ．7(8)3--，Ｂ．9(0)2，Ｃ．2(2)3-，Ｄ．2(2)3-，答案：Ａ．。

高中数学33直线的交点坐标与距离公式课件新人教A版必修

例子
已知点$A(2,3)$和点$B(5,7)$ ，求$A$和$B$之间的距离。
详细描述
根据距离公式，$AB = sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}
= sqrt{34}$。
综合应用的例题解析
总结词
能够将直线交点和距离公式应用于实际问题中
总结词
提高解决复杂问题的能力
例子
已知一条直线上有A、B、C三点，求A、B、C三点之间的距离，并判断是否存在第四点D，使得$AD = BD = CD$ 。
详细描述
首先利用距离公式计算出$AB, BC, AC$的距离，然后判断是否存在等长的情况，从而确定是否存在点D。
04
练习题
直线的交点坐标练习题
题目1
求直线$x - 2y + 1 = 0$与直线$x + 2y - 3 = 0$的交点坐标。
题目2
已知直线$l_{1}: y = kx + b$和直线$l_{2}: y = mx + n$，若$l_{1}$与$l_{2}$相交于点$(2,3)$，求$k, m$的值。
公式
如果两条平行线分别为Ax + By + C1 = 0和Ax + By + C2 = 0 ，则平行线间的距离公式为d = |C1 - C2| / √(A^2 + B^2)。
应用
用于计算平行线之间的垂直距离，判断平行线的位置关系等。
03
例题解析
直线交点的例题解析
总结词
理解直线交点坐标的计算方法
高中数学新人教A版必修3 3.3直线的交点坐标与距离公式
目录
• 直线的交点坐标 • 距离公式 • 例题解析 • 练习题

高中数学《3.3-直线的交点坐标与距离公式》一课一练2

3.3 直线的交点坐标与距离公式一、选择题1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0 （C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=02、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于（A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–13、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于（A ）–31（B ）1 （C ）71 （D ）214、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4π后，所得的直线的方程是（A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=05、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)6、已知直线ax+4y –2=0与2x –5y+b=0互相垂直，垂足为(1, c)，则a+b+c 的值为（A ）–4 （B ）20 （C ）0 （D ）247、点A(1, 2)在直线l 上的射影是B(–1, 4)，则直线l 的方程是（A ）x –y+5=0 （B ）x+y –3=0 （C ）x+y –5=0 （D ）x –y+1=08、已知两直线l 1和l 2的斜率分别是方程x 2–4x+1=0的两根，则l 1与l 2的夹角是（A ）6π （B ）3π （C ）2π（D ）32π9、已知直线y=kx+2k+1与直线y=–21x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（A ）–6<k<2 （B ）–61<k<0 （C ）–61<k<21 （D ）21<k<+∞二、填空题：10、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .11、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan 32的直线的方程是 .12、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ；B ；C 。

《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练1

3.3 直线的交点坐标与距离公式1、点(a , b )到直线0x y b a+=的距离是（A（B （C （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则（A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（A ）0条（B ）1条（C ）2条（D ）3条5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是（A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ）2x +3y +8=06、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则（A ）a =31, b =6 （B ）a =31, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是（A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3)8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是（A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是（A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=010、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .11、若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是13，则2c a +的值为--- 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是 .13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 .14、11．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；② 过点(–1, 2)且在x 轴、y 轴截距相等的的直线方程是x +y –1=0；③ 过点M (–1, 2)且与直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x +1)+A (y –2)=0；④ 设点M (–1, 2)不在直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)上，则过点M 且与l 平行的直线方程是A (x +1)+B (y –2)=0；⑤ 点P (–1, 2)到直线ax +y +a 2+a =0的距离不小于2，以上命题中，正确的序号是。

直线的交点坐标及距离公式习题(含答案)

直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题1．已知满足时, 的最大值为 ,则直线过定点（）A ．B ．C ．D ．2．椭圆上的点到直线的最大距离为( )．A ．B ．C ．D ．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3 C ．1或 D ．-3或5．已知直线和互相平行，则实数m 的取值为（） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—36．在空间直角坐标系中，若点，，点是点关于平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ．7．已知直线与直线互相平行，则（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且满足，则的离心率满足（） A ． B ． C ． D ．9．已知点在直线上运动，则的最小值为（） A ．B ．C ．D ．5二、填空题10．已知直线的倾斜角为，直线：，若，则实数的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____. 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．17．已知实数满足，则的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为（1）若点坐标为，求直线的方程；（2）求证：直线过定点.20．已知椭圆，、是其左右焦点，、为其左右顶点，、为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线，与、交于、二点，求证：．21．已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．22．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值． 24．选修 :坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中,曲线 :( 为参数).以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ,直线的极坐标方程为( ). (Ⅰ) 求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线与 , 在第一象限分别交于 , 两点, 为上的动点,求面积的最大值. 25．如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点. （1）当时，求的长；（2）当变化时，求的最小值；（3）过点的直线与圆A 切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为（1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求： (1)直线AB 的方程；(2)AB 边上的高所在直线的方程； (3)AB 的中位线所在的直线方程．参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，的最大值为，故选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴﹣ （ ﹣ ）解得 m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。

高三复习直线的交点坐标与距离公式知识点总结及基础测试

第三节直线的交点坐标与距离公式基础测试题知识梳理1、两条直线的交点2、几种距离（1）两点间的距离()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线的距离 2200B A CBy Ax d +++= （3）两条平行线间的距离1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221B A C C d +-= 第一部分基础自测1、若三条直线2380x y ++=，10x y --=和102x ky k +++=相交于一点，则k 等于（）A. -2B.12-C. 2D. 122、已知点(),1(0)m m >到直线:20l x y -+=的距离为1，则实数m 的值为（）A. 2B. 22-C. 21-D. 21+3、到直线3410x y -+=的距离为3，且与直线平行的直线方程是（）A. 3440x y -+=B. 3440x y -+=或3420x y --=C. 34160x y -+=D. 34160x y -+=或34140x y --=4、无论m 取何值，直线(21)(3)(11)0m x m y m -++--=恒过定点，则该点的坐标_________.5、点P 在直线2310x y ++=上，P 点到(1,3)A 和(1,5)B --的距离相等，则点P 的坐标是_________. 第二部分课堂考点讲解1、求经过直线:3210l x y +-=和:5210l x y ++=的交点，且垂直于直线:3560l x y -+=的直线l 的方程.2、求经过直线1:35100l x x --=和2:10l x y ++=的交点，且平行于3:250l x y +-=的直线方程.3、已知点(2,1)P -（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.4、已知三条直线1:20(0)l x y a a -+=>，直线2:4210l x y --=和直线3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510. （1）求a 的值；（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12；③P 点到1l 的距离是P 点到3l 的距离之比是2:5.若能，求P 点坐标；若不能，说明理由.5、已知直线:2310l x y -+=，点(1,2)A --.求：（1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；（2）直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程.6、已知直线:2310l x y -+=，求直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程. 第三部分考题演练1、原点到直线250x y +-=的距离为（）A. 1B.3C.2D. 52、点(,)P x y 在直线430x y +=上，且,x y 满足147x y -≤-≤，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（）A. []0,5B. []0,10C. []5,10D. []5,153、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截取的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75其中正确答案的序号是_________.（写出所有正确答案的序号）4、若,1,k b -三个数成等差数列，则直线y kx b =+必经过（）A. (1,2)-B. (1,2)C. (1,2)-D. (1,2)--5、点(1,cos )θ（其中0θπ≤<）到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是14，那么θ等于（） A. 56π B. 6π或56π C. 6π D. 6π或76π6、光线自点(2,3)M 射到(1,0)N 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A. 33y x =-B. 33y x =-+C. 33y x =--D. 33y x =+。

3.3直线的交点坐标与距离公式3-4

2 的直线方程.
2
【解析】由题意知，直线l的斜率存在.因为所求直线
方程过点A(-1，2)，所以由题意可设直线方程为y-
2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0，又原点到直线的距离等
于 2，所以 k 2 解得2 ，k=-7或k=-1.
2
1 k2 2
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
类型二两平行线间的距离
(2)由
2x y x 2y
解5 得0交, 点P(2，1)，如图，过P作任
0,
一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA
时等号成立).
所以dmax=|PA| = (5 2)2 (0 1)2 10.
【解析】 (1)选C.6x+8y-5=0可化为3x+4y5-
故两平行线间距离为 d
| 2 ( 5 )|
2
1
.
2
32 42 10
=0，
(2)由条件知所求直线l与l1，l2平行，故设l的方程为 2x-y+c=0，则 |3 c| | 1 c| ,
22 (1)2 22 (1)2
解得c=1，故l的方程为2x-y+1=0.
结论:点P0(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式:
Ax0 By0 C
d=____A__2 __B_2___.
【对点训练】
1.点(-3，2)到直线3x-4y=3的距离是( )
14
4
A.
B.4 C.
D.5
5
5
【解析】选B.d= | 33 4 2 3 | 20 4.
32 42
【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为

《直线的交点坐标与距离公式》同步练习及答案

《2.3直线的交点坐标与距离公式》同步练习一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（） A ．B ．C ．D ． 2．与直线关于轴对称的直线方程为（） A ． B ． C ． D ． 3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（） A ． B ． C ． D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝17．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 8．已知点到直线的距离为1，则的值为（） AB ．D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（）(13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=1:3410l x y 2:6870l x y 123565l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 211A ．BCD ． 10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、多选题11．下列说法正确的是（）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 13．已知直线，则下列结论正确的是（） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________.4565-l1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)xy 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________． 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，. （1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.19．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)． (1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，3450x y -+=(2,3)M -()0,2A ()4,0B ()0,4C ,m n 30nx my +-=2m n +1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=3:360l x y -+=()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程. 答案解析一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．故选：A ．2．与直线关于轴对称的直线方程为（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上，所以即，选A.BC (3,1)M ,,A B C B (13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝230x y -+＝122-(13)-，32(1)210y x x y -=-+⇒+-＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=(),P x y x (),Q x y -210x y -+=()210x y --+=210x y ++=点睛：若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 .3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 【答案】A 【解析】直线. 故选：A4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得()22:00l Ax By C A B ++=+≠l x 0Ax By C -+=y 0Ax By C --=y x =0Bx Ay C ++=1:3410l x y 2:6870l x y 12356527:3402l x y --=51252==l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=l 650x y m -+=(1,1)056=+-m 1-=m l 6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-()1,2P l 10x y ++=(,)Q a b 2(1)11121022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，即关于直线：对称的点为.故选C. 6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝1 【答案】C 【解析】∵直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，若l 1∥l 2，则m （m+1）-2＝0，解得：m ＝﹣2或m ＝1 当m ＝1时，l 1与l 2重合，故“l 1∥l 2”⇔“m＝﹣2”，故“l 1∥l 2”的必要不充分条件是“m＝-2或m ＝1”，故选：C ．7．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题直线，即，令，解得，所以该直线过定点.故选：A8．已知点到直线的距离为1，则的值为（） AB ．D【答案】D 【解析】由题因为,故.32a b =-⎧⎨=-⎩()1,2P l 10x y++=(3,2)--m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()31411210m x m y m +++--=()341210m x y x y +-++-=3412010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩89x y =-⎧⎨=⎩(8,9)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 21111a =⇒=0a >1a =故选：D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（） A ．BCD ．【答案】C 【解析】联立，得P （2，2），∴点P （2，2）到直线l ：y=﹣2x．故选：C10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】方法一由，得，即直线过点，设,因为,所以满足条件的直线有2条.故选C.方法二依题意，设经过直线交点的直线的方程为，即 ①.由，化简得，解得或，代入①得直4565-220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩d ==l 1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 230{2380x y x y -+=+-=1{2x y ==l 1,2()1,2Q 2PQ ==>l 12,l l l ()()238230x y x y R λλ+-+-+=∈()()232380x y λλλ++-+-=2=25-8-360λλ=-2λ=185线的方程为或，故选C. 二、多选题11．下列说法正确的是（）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】AB 【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B 中在直线上，且连线的斜率为，所以B 正确，C 选项需要条件，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线.12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B 直线过定点，直线过定点，故B 是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项l 2y =4320x y -+=20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)x y 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=2-0+121(,)22+1y x =+(0,2),(1,1)1-2121,y y x x ≠≠y x =1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 0k =2l 0x =1:10l x y --=()0,1-()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=()0,1-12x =-2l 1110222x y --=10x y --=1l 2lC 错误；D.两直线重合，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D 正确．故选：AC.13．已知直线，则下列结论正确的是（） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是【答案】CD 【解析】对于A ．直线的斜率k ＝tanθ故直线l 的倾斜角是，故A 错误；对于B ．因为直线的斜率k′1，故直线l 与直线m 不垂直，故B错误；对于C ．点到直线l 的距离d 2，故C 正确；对于D ．过与直线l 平行的直线方程是y ﹣2x ﹣，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD ．故选：CD ．三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________. 【答案】-1【解析】()()1110k k ⨯++-⨯=k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=10l y -+==3π10m x -+=：3=)==()=40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =因为，所以，两直线的距离为故答案为：-1；15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 【答案】【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：① 点在直线②将①代入②可得：整理可得：. 故答案为：.16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．【答案】【解析】设折线方程为，，故，中点为，故. 故.12l l 1a =-d ==3450x y -+=(2,3)M -34410x y --=(,)P x y P (2,3)M -()00,x y 002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0046x xy y=-⎧⎨=--⎩——()00,x y 3450x y -+=∴003450x y -+=——3(4)4(6)50x y ----+=34410x y --=34410x y --=()0,2A ()4,0B ()0,4C 286,55⎛⎫⎪⎝⎭y kx b =+12AB k =-2k =AB ()2,13b =-23y x =-设，则，解得，. 故答案为：. 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为直线与直线互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ，从而有，故答案为：9．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，若，，；（2）∵，若，，. 19．求经过直线和的交点，且平行于直线(),D m n 41242322n m n m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩285m =65n =286,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,m n 30nx my +-=2m n +30nx my +-=112=+m n 92225)12)(2(2=⨯+=++=+∴mn n m m n n m n m 1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 3m =92m =-212k =-12//l l ∴114123k m -=-=--∴3m =212k =-12l l ⊥∴14123k m -==--∴92m =-1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=的直线的方程.【答案】【解析】由，求得，故直线和的交点为，设所求的直线的方程为，再把点代入，求得，故所求的直线的方程为.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【答案】,【解析】由方程组解得点A 的坐标为(－1,0)．又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得即顶点C 的坐标为(5，－6)．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)．(1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．【答案】(1)直线l 1，l 2不能平行．3:360l x y -+=350x y -+=32105210x y x y +-=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=⎩1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=()1,2-30x y c -+=()1,2-5c =350x y -+=()1,0-()5,6-210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩5,6,x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3) 见解析【解析】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾，所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为，由此可得直线的交点都在直线上．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】直线方程可化为：由，解得且，直线恒过定点，其坐标为．直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大的斜率 1:0l ax y b -+=2:0l bx y a ++=12210A B A B -=12210B C B C -≠()0a b --=0a b --≠12,l l 12,l l 0a b +=(,)P a b (,)Q b a 12,l l 0a b +≠00ax y b bx y a -+=⎧⎨++=⎩1x y b a=-⎧⎨=-⎩(1,)b a --1x =-()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ()2,3-570x y ++=() 1l ()()2110a x y b x y ++++-=21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2x =-3y =∴l A ()2,3-()2l ()2,3A -∴P l A PA l ⊥P l PA 431325PA k -==+直线的斜率由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）边和所在的直线方程分别为和，∴两直线方程联立解得，∴点，∵的中点为，设，∴，解得，即，(2)BC 直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P （x ，y ），根据角平分线性质，P 点到AB 、BC 的距离相等，化简可得或者，根据三角形在坐标系中位置，可得角B 内角平分线所在直线的斜率为正值，∴l 15PAk k -==-P l l ()352y x -=-+570x y ++=ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=BC (3,1)M ,,A B C B ()1,3,(2,4),(4,2)A B C --2y x =AB AC 3100x y -+=20x y +-=1,3x y =-=()1,3A -BC (3,1)M 1122(,),(,)B x y C x y 11221212310020+=62x y x y x x y y -+=⎧⎪+-=⎪⎨⎪⎪+=⎩1212=24=42x x y y ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎩(2,4),(4,2)B C -B =+2100x y -=20x y -=ABC故为. 20x y -=。

人教a版高中数学必修2一课一练全册汇编含答案

人教A版高中数学必修2《一课一练》全册汇编含答案《1.1 空间几何体的结构》一课一练1《1.1 空间几何体的结构》一课一练2《1.2 空间几何体的三视图》一课一练1《1.2 空间几何体的直观图》一课一练2《1.3 柱体、锥体、台体的体积》一课一练2《1.3 柱体、锥体、台体的表面积》一课一练1《2.1 直线与平面、平面与平面位置关系》一课一练2《2.1 空间中直线与直线之间的位置关系》一课一练1《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练1《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练2《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练3《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练4《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练1《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练2《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练3《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练4《3.1 直线的倾斜角与斜率》一课一练1《3.1 直线的倾斜角与斜率》一课一练2《3.2 直线的方程》一课一练1《3.2 直线的方程》一课一练2《3.2 直线的方程》一课一练3《3.2 直线的方程》一课一练4《3.2 直线的方程》一课一练5《3.2 直线的方程》一课一练6《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练1《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练2《4.1 圆的方程》一课一练1《4.1 圆的方程》一课一练2《4.1 圆的方程》一课一练3《4.1 圆的方程》一课一练4《4.2 直线、圆的位置关系》一课一练1《4.2 直线、圆的位置关系》一课一练2《4.3 空间直角坐标系》一课一练1《4.3 空间直角坐标系》一课一练2新课标高一数学同步测试（1）—1.1空间几何体本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成（） A ．平面 B ．曲面 C ．直线 D ．锥面 2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（） A ．棱锥 B ．棱柱 C ．平面 D ．长方体 3．有关平面的说法错误的是（）A ．平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名，如平面α…B ．平面是处处平直的面C ．平面是有边界的面D ．平面是无限延展的4．下面的图形可以构成正方体的是（）A B C D5．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 6．A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有（） A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个 7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．下列命题中正确的是（） A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B ．棱锥的高线可能在几何体之外 C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台 D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 9．长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体的表面到C ′的最短矩离是（）A ．5B ．7C ．29D ．3710．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（） A ．E F D C B A ⊂⊂⊂⊂⊂ B ．A C B F D E ⊂⊂⊂⊂⊂ C ．C A B D F E ⊂⊂⊂⊂⊂ D ．它们之间不都存在包含关系第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′，依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.①该长方体的高为；②平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为；③A到面BC C′B′的距离为 .12．已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A在多面体的底面，那么哪一面会在上面；②如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个面会在上面；③如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面.14．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)15．（12分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．16．（12分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．17．（12分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高．18．（12分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥的母长．19．（14分）已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积．20．（14分）有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P . 问：①依据题意制作这个几何体；②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形； ③若正方形边长为a ，则每个面的三角形面积为多少．参考答案（一）一、DBCCA DDBAB二、11．①3CM ②4CM ③5CM ； 12．圆锥、圆台、圆锥； 13．①F ②C ③A ； 14．52．三、15．解：J 与N ，A 、M 与D ，H 与E ，G 与F ，B 与C.16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点. 小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途： ①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形B E BE E E O O B B O O ''''''和，及两个直角三角形OBE 和E B O '''∆中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（B O OB '',）内切圆半径（E O OE '',）的差，特别是正三、正四、正六棱台.略解：hOO B F h EE B G ='=''='='，2222)(222)(21)(21)(22a b c a b c h a b BG a b BF --=--=∴-=-='=--=--h c b a c b a 222214124()()18．解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，.l l rR l l l cm -=∴-=∴=101014403()答：圆锥的母线长为403cm. 19．解：设底面正三角形的边长为a ，在RT △SOM 中SO=h ，SM=n ，所以OM=22l n -，又MO=63a ，即a =2236l n -，)(3343222l n a s ABC-==∴∆，截面面积为)(34322l n -． 20．解：①略．②这个几何体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP .由平几知识可知DE =DF ，∠DPE =∠EPF =∠DPF =90°，所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形. ③由②可知，DE =DF =5a ,EF=2a ,所以，S△DEF=23a 2。

2024年新高二数学讲义直线的交点坐标与距离公式(思维导图+4知识点+8考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线的交点坐标与距离公式（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.知识点1两条直线的交点坐标1、点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点P (,)P a b 直线l:0l Ax By C ++=点P 在直线l 上Aa Bb C ++=直线1l 与2l 的交点是P方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解是x ay b =⎧⎨=⎩2、直线的交点与方程的解求两直线1111110(0)++=≠A x B y C A B C 与2222220(0)++=≠A x B y C A B C 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组1112220++=⎧⎨++=⎩A x B y C A x B y C 的解即可．若有111222==A B C A B C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222=≠A B C A B C ，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122≠A B A B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．3、判断两直线的位置关系关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．4、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线1111:0++=l A x B y C ，2222:0++=l A x B y C 交点的直线方程为111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220++=A x B y C ，因此它不能表示直线2l ．知识点2两点间的距离1、距离公式：平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：12=PP 【注意】公式中1P 和2P位置没有先后之分，也可以表示为：12=PP 2、三种特殊距离：（1）原点O 到任意一点(),P x y 的距离为=OP ；（2）当12PP 平行于x 轴时，1221=-PPx x ；（3）当12PP 平行于y 轴时，1221=-PP y y ．3、坐标法解题的基本步骤（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．知识点3点到直线的距离1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．2、距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d ．【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．3、点到几种特殊直线的距离（1）点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；（2）点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =；（3）点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-；（4）点()00,P x y 到直线x b =的距离0d x b =-．知识点4两条平行线间的距离1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．2、距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：=d 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．考点一：两条直线的交点问题例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线1:3450l x y -+=与21:4303l x y --=的交点坐标为（）A ．(2,3)B ．7,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．73,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,37⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线260x y -+=与直线3x y +=的交点坐标是（）A ．(30)，B ．(1,4)-C ．(3,6)-D ．(4,)1-【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（）A ．()1,3--B ．()2,1--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2--【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l 1与l 2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.(1)12:230,:210l x y l x y ++=--=；(2)12:310,:2620l x y l x y +-=+-=；(3)12:6230,:320l x y l x y -+=-+=.考点二：根据两直线交点求参数例2.（23-24高二上·北京·期中）已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．0C ．20D ．4-【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线1:40l ax y +-=与直线22:0x y l --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞D ．()(),12,-∞-+∞ 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线24y x =-+与直线y kx =的交点在直线2y x =+上，则实数k =（）A ．4B ．2C ．12D ．14【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线210x my ++=与直线1y x =+相交，则m 的取值范围为．考点三：三条直线的相交问题例3.（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线240,30,20x y kx y x y +-=-+=--=交于一点，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．32-D ．14【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线370x y ++=，10x y --=，20x ny n ++=能围成一个三角形，则n 的值可能是（）A ．32B ．1C ．13-D ．12-【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线123:7210,:0,:10l x y l mx y l x my ++=+=+-=，若三条直线无法构成三角形，则实数m ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线1:20l ax y ++=，2:10l x y +-=，3:30l x y -+=不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（）A ．{1,1}-B ．{4,1}C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{4,1,1}-考点四：过两直线交点的直线方程例4.（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线2023202210x y --=和2022202310x y ++=的交点且过原点的直线方程为．【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为．（写成一般式）【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线220x y -+=和10x y ++=的交点，且斜率为3的直线方程．考点五：两点间的距离公式例5.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知()()3,6,2,4A B ，则A ，B 两点间的距离为（）A ．5B C ．3D【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过(,2),(,1)A m B m m --两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A ．2B C ．D ．【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为()()()3,2,3,4,5,4A B C --，D 为AC 中点，则BD 的长为（）A ．3B ．5C ．9D ．25【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy 中，原点O 到直线1l ：240x y -+=与2l ：390x y +-=的交点的距离为（A B ．C D考点六：点到直线的距离公式例6.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点()0,3A 及直线:10l x y +-=上一点B ，则AB 的值不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A ．13B ．97-C ．13-或79-D ．13或79-【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点()3,1P 到直线:340(0)l x y a a ++=>的距离为4，则=a （）A ．2B ．3C ．5D ．7【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知(4,0)A 到直线430x y a -+=的距离等于3，则a 的值为.考点七：平行线间的距离公式例7.（23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线1:10l x y +-=和2:30l x y +-=之间的距离为（）A ．2B ．2C ．22D ．3【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线3420x y --=与6810x y -+=间的距离为（）A ．35B ．1C ．310D ．12【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线m ，n ，直线:3420m x y ++=，直线:680n x y a ++=，直线m ，n 之间的距离为1，则a 的值可以是（）A ．8-B ．6-C ．12D ．14【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线,m n ，直线:10m x y +-=，直线:220n x y a ++=，直线,m n 之间的距离为2，则a 的值可以是（）A ．-8B ．-6C ．2D ．4考点八：点与直线的对称问题例8.（22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点(),P a b -与()1,1Q b a +-关于点()3,4对称，则ab =（）A ．5-B ．14C ．14-D ．5【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点()3,0关于直线30x y -+=对称的点的坐标为（）A ．()3,6B ．()6,3-C ．()6,3-D ．()3,6-【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线1y x =+关于直线2y x =对称的直线方程为（）A ．310x y --=B ．420x y --=C ．530x y --=D ．750x y --=一、单选题1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知(6,0),(2,0)A B -，则||AB =（）A ．3B ．4C ．6D ．82．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线912100x y +-=间的距离是（）A ．23B ．13C ．1D ．253．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（）ABCD4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知1212//,:240,:620l l l x y l x ay ++=++=,则它们的距离为（）A．15BCD．35．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知()2,0A -，()4,B m 两点到直线l ：10x y -+=的距离相等，则m =（）A ．2-B ．6C ．2-或4D ．4或66．（23-24高二上·湖南·期中）已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（）A ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D ．存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解二、多选题7．（22-23高二上·全国·期中）若直线1:32l y kx k =+-与直线2:30l x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）A ．0B ．13C ．12-D ．1-8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线250,10,0x y x y x ky -+=++=-=，将平面划分为六个部分，则实数k 的所有可能取值为（）A ．12B ．1-C ．2-D ．1三、填空题9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC 中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,1)C -，则ABC 的面积为．10．（2023高二上·全国·专题练习）直线230x y -=与321x y -=上任意两点最小距离为.11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线1:40l x y +=，2:1l mx y +=，3:234l x my -=，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构成的集合为．四、解答题12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l '的方程．13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线12:340,:3220l x y l x y --=-+=，设直线12,l l 的交点为P .(1)求点P 的坐标；(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.。

人教版高中数学必修二成长训练：3.3直线的交点坐标与距离公式

主动成长历基达标1.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是( )A.-24B.6C.±6D.不同于A 、B 、C 的答案解析：两直线的交点在y 轴上，可设交点的坐标为(0，y 0)，则有⎩⎨⎧=+-=-)2(.012)1(,0300ky k y由①可得y 0=3k ，将其代入②得32k -+12=0. ∴k 2=36，即k=±6.答案：C2.x 轴上任一点到定点(0，2)、(1，1)距离之和的最小值是( ) A.2 B.32+ C.10 D.15+解析：点(0，2)关于x 轴对称点坐标为(0，-2)，由两点间的距离公式可得最小值为10)21()01(22=++-.答案：C3.点P(m-n,-m)到直线1=+ny m x 的距离等于( ) A.22n m + B.22n m - C.22m n - D.22n m ± 解析：将1=+ny m x 化为一般式nx+my-mn=0. 由公式2222|)()(|n m n m mn m m n m n d +=+--+-=. 答案：A4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x 2+y 2的最小值是( )A.8B.22C.2D.16解析：由x 2+y 2的实际意义可知，它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方.∴(x 2+y 2)min =2)24(=8答案：A5.光线从点A(-3，5)射到x 轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( ) A.25 B.52 C.105 D.510解析：根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A′到点B 的距离，易求A′(-3,-5).∴|A′B|=105)105()23(22=--+--.答案：C6.在直角坐标平面内，与A 、B 两点距离等于1的直线至少有3条，则|AB|的取值范围是( )A.［2，+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2］解析：A 、B 两点在直线同侧或直线过AB 的中点，当直线垂直于AB 时，|AB|=2, ∴|AB|≥2.答案：A7.直线l 1、l 2分别过点P(-1，3)、Q(2，-1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间的距离d 的取值范围为( )A.(0，+∞)B.(0，5］C.(0，5)D.(0，17) 解析：|PQ|=5)31()12(22=--++利用数形结合易知B 正确.答案：B8.点A(4，5)关于直线l 的对称点为B(-2，7)，则直线l 的方程为__________.解析：由题意可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线所在的直线.∴直线l 经过线段的中点(1，6)，其斜率为 3425711=----=-=ABk k , ∴直线l 的方程为y-6=3(x-1).即3x-y+3=0.答案：3x-y+3=09.两直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限，则a 的取值范围是________.解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=⇒⎩⎨⎧=--=-+1241602,04a ay a x y x y ax .若交点在第一象限，则⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+0124,016a a a ⇒⎩⎨⎧>->+02401a a -1＜a ＜2. 答案：-1＜a ＜210.直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l 的距离为23，求直线l 的方程. 解析：(1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程y=kx ，由点到直线的距离公式可得21|34|23k k +-=,解得k=-6±1423.故所求直线的方程为y=(-6±1423)x. (2)当直线不经过坐标原点时，设所求方程为1=+ay a x ,即x+y-a=0. 由题意可得232|34|=-+a .解得a=1或a=13. 故所求直线的方程为x+y-1=0,或x+y-13=0.综上可知，所求直线的方程为 y=(-6±2143)x 或x+y-1=0或x+y-13=0. 11.求过直线l 1:x-2y+3=0与l 2:2x+3y-8=0的交点，且与直线l:3x+4y-2=0平行的直线. 解析：由⎩⎨⎧=-+=+-0832032y x y x ,∴⎩⎨⎧==21y x ,又k=43-. 故所求直线方程为:y-2=43-(x-1),即3x+4y-11=0. 12.已知直线l 1:x+y-1=0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2,l 1和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程.解析：由l 1∥l 2设出l 2的方程，然后由梯形的面积求解.∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x+y-m=0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D.l 2与x 轴，y 轴分别交于B 、C.易得：A(1，0) D(0，1) B(m,0) C(0,m).又l 2在l 1的上方，∴m>0.S 梯形=S Rt △OBC -S Rt △OAD ,∴4=21m·m-21·1·1, ∴m 2=9,m=3,故l 2的方程是x+y-3=0.13.求证不论m 取什么实数，直线(2m-1)x ＋(m ＋3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点.解析：题目中的m 是任意的，所以可给m 取两个值，得两条直线的方程，解由它们组成的方程组可得定点坐标，也可将原方程的左边分离成两部分，利用直线系方程求解. 解法一：令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解⎩⎨⎧=--=++,0113,0104y x y x 得两条直线的交点为(2，-3)，将点(2，-3)代入直线方程得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m-11=0.这说明不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，这个定点为(2，-3).解法二：将已知方程整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0，由m 取值的任意性，有⎩⎨⎧=++-=-+,0113,012y x y x 得两条直线的交点为(2，-3).这说明不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，这个定点为(2，-3).14.求直线l 1:2x+y-4=0关于l:3x+4y-1=0对称的直线l 2的方程.解析：由平面几何知识可知，若l 1、l 2关于直线l 对称，它们必须满足下列条件：点A 在直线l 1上，那么点A 关于l 的对称点必在l 2上，反之亦成立.解法一设点A(x,y)是直线l 2上任意一点，它关于l 的对称点为A′(x 0,y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⨯++⨯=--012423340000y y x x x x y y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=25872425624700y x y y x x∵A′点(x 0,y 0)在直线l 1:2x+y-4=0上， ∴042587242552472=-+--++-∙y x y x , 化简得2x+11y+16=0.解法二特殊点法由⎩⎨⎧=--=-+0143042y x y x 可解得l 1与l 的交点M(3，-2). 在l 1上取一特殊点(2，0)，它关于直线l 的对称点(x 0,y 0)应在所求直线l 2上. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⨯+-⨯34201242230000x y y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==585400y x 由两点式得对称直线的方程为35432582--=+-+x y . 即为2x+11y+16=0.15.已知点P(2，-1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值.(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.解析：(1)当斜率不存在时，方程x=2适合题意.当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0. 根据题意21|12|2=++k k ，解得k=43. ∴直线方程为 3x-4y-10=0.∴适合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程应为过点P 且与OP 垂直的直线.易求其方程为2x-y-5=0，且最大距离d=5.(3)不存在.由于原点到过点(2，-1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.16.某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y 1=-x+70,y 2=2x-20.当y 1=y 2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析：(1)如右图市场平衡价格和平衡需求量实际上就是直线y=-x+70与y=2x-20交点的横坐标和纵坐标，即为方程组⎩⎨⎧-=+-=2020,70x y x y 的解.得⎩⎨⎧==,40,30y x 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件.(2)设政府给予t 元/件补贴，此时的市场的平衡价格，即消费者支付价格，为x 元/件，而提供者收到价格为(x+t)元/件，依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-.4420)(2,4470t x x 解得x=26,t=6. 因此，政府对每件商品应给予6元的补贴.走近高考17.在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：以A ，B 为圆心，分别以1和2为半径，作圆再作两圆的公切线，即为所求，公切线有两条.答案：B18.(经典回放)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a 等于( ) A.2 B.22-C.12-D.12+ 解析：12|32|=+-a ,解得a=12-,a=12--(舍去)，故选C.答案：C19.(经典回放)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.［30°,60°)B.(30°,90°)C.(60°,90°)D.［30°,90°］解析：求出交点坐标，再由交点在第一象限，求得倾斜角的范围.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=.32326,32)32(30632,3k k y k x y x kx y ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>,0,0y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++.032326,032)32(3kk k ∴k ∈(33,+∞).∴倾斜角的范围为(30°，90°) 答案：B20.如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p,q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，已知常数p≥0,q≥0，给出下列三个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且仅有1个.②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个.③若pq≠0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：①若p=q=0，则只有原点满足，正确；②若pq=0,且p+q≠0,则这样的点有无穷多个，它们是直线l 1与l 2上的点，除去原点.③若pq≠0,则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部，且两两关于O 点对称，正确.答案：C。

人教A版高中数学必修二直线的交点坐标与距离公式同步练习新(1)

3.3 直线的交点坐标与距离公式同步测试一、选择题1. 已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M∩N 为( )A. {3,–1}B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)}2．如果直线y =ax +2与直线y =3x +b 关于直线y =x 对称，那么a ,b 的值分别是( ) A.13，6 B.13，－6 C.3，－2 D.3，6 3. 已知直线y =kx +2k +1与直线y =–21x +2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.–6<k <2 B.–61<k <0 C.–61<k <21 D.21<k <+∞ 4. 已知M(5cos α,5sin α),N(4cos β,4 sin β), 则|MN|的最大值( )A. 9B. 7C. 5D. 35. 点P 在直线x +y –4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是( )A ．2 B.6 C.22 D.106．已知点P (a , b )是第二象限的点，那么它到直线x –y =0的距离是A.22(a –b )B.b –aC.22(b –a ) 7．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线l 为( )A. 4x +y －6=0B. x +4y －6=0C. 3x +2y －7=0和4x +y －6=0D. 2x +3y －7=0, x +4y －6=08．已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则( )A.m ≥nB.m ≤nC.m ≠nD.以上都不对9．过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条10．已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定11．经过点A (1, 0)和B (0, 5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有( )A.1组B.2组C.3组D.4组12. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P 在x 轴上，使|AP |–|BP |取得最大值时P 的坐标（）A. （4,0）B. (13,0)C. (5,0)D. (1,0)二、填空题13．直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 .14．若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是，则2c a 的值为 .15. 与两平行直线：l 1:：3x –y +9=0, l 2：3x –y –3=0等距离的直线方程为 .16．已知两点A (–2, –2), B (1, 3)，直线l 1和l 2分别绕点A , B 旋转，且l 1//l 2，则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .17. 直线ax +by +3=0与直线d x +e y +3=0的交点为（3，–2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________.18．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；② 过点(–1,2)且在x 轴、y 轴截距相等的的直线方程是x +y –1=0； ③ 过点M (–1, 2)且与直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x +1)+A (y –2)=0；④ 设点M (–1, 2)不在直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)上，则过点M 且与l 平行的直线方程是A (x +1)+B (y –2)=0; ⑤点P (–1, 2)到直线ax +y +a 2+a =0的距离不小于2. 以上命题中，正确的序号是 .三、解答题19．已知直线l 满足下列两个条件：（1）过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点; （2）与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l 的方程．20. 过点M (0，1)作直线，使它被两已知直线l 1: x －3y +10=0和l 2:2x +y －8=0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程.21．已知直线l 1：m x +8y +n=0直线l 2：2x +m y －1=0, l 1 || l 2，两平行线间的距为5，而过点A （m, n ）(m>0, n>0)的直线l 被l 1、l 2截得的线段长为10，求直线l 方程.22．已知)2,2(-A ，)1,3(--B ，在直线12-=x y 上求一点M ，使|MA|+|MB|最小，并求出这个最小值.13. x =0或y =1. 14. ±115. 3x –y +3=0. 16.17. 3x –2y +3=0 18. ④⑤. 19[解析]：由⎩⎨⎧+=+-=421x y x y ，得交点 ( –1, 2 )， ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线l 的方程为: 3x + y + 1 = 0.20.分析:本题中最重要的已知条件是M 为所截得线段的中点，用好这个条件是解题的关键. 解法一:过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y =kx +1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，则解方程组可得x A =137-k ,x B =27+k . 由题意137-k +27+k =0, ∴k =－41.故直线方程为x +4y －4=0. 解法二:设所求直线方程y =kx +1,代入方程(x －3y +10)(2x +y －8)=0，得(2－5k －3k 2)x 2+(28k +7)x －49=0.由x A +x B =－2352728k k k --+=2x M =0,解得k =－41. ∴直线方程为x +4y －4=0. 解法三:∵点B 在直线2x －y －8=0上，故可设B (t ,8－2t )，由中点公式得A (－t ,2t －6). ∵点A 在直线x －3y +10=0上，∴(－t )－3(2t －6)+10=0,得t =4.∴B (4,0).故直线方程为x +4y －4=0. 21. 03030503=-+=+-y x y x 或22. M(51090),6559,653最小值为-。

高中数学-直线的交点坐标与距离公式 (知识导学+例题解析+达标训练)

高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。

二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。

几何元素及关系代数表示点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。

已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。

1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。

1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。

高中数学3-3直线的交点坐标与距离公式3-3-1两条直线的交点坐标3-3-2两点间的距离公式课时作业新人教A版必修

高中数学3-3直线的交点坐标与距离公式3-3-1两条直线的交点坐标3-3-2两点间的距离公式课时作业新人教A版必修2A级基础巩固一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( C )D．5C．A．2B．1[解析] N(－1,2)，|ON|＝＝.故选C．2．已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( C )C．－3或5D．－1或－B．5A．－33[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝＝，由5＝，解得b＝－3或b＝5. 3．经过两点A(－2,5)、B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是( A ) C．(，0)B．(－3,0)A．(－，0)D．(3,0)[解析] 过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－，0)．4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( B )A．－2C．2D．1B．－2[解析] 由，得交点(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－，故选B．5．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( A )A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－2)或(2,7)D．(2，－3)或(2,5)C．(－3,1)或(5,1)[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7. 6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( C ) D．210C．2A．5B．4[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.二、填空题7．已知A(1，－1)、B(a,3)、C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝____.[解析] ＝，解得a＝. 8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝__－2或－__. [解析] 由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－. 9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程. [解析] 设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，x＝－，令x＝0，y＝c，所以＝9，解得c＝±6，故所求直线方程为2x－y±6＝。

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3.3 直线的交点坐标与距离公式
一、选择题
1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是
（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0
（C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=0
2、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于
（A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–1
3、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于
（A ）–
31 （B ）1 （C ）71 （D ）21
4、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4
π后，所得的直线的方程是（A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=0
5、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是
（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)
6、已知直线ax+4y –2=0与2x –5y+b=0互相垂直，垂足为(1, c)，则a+b+c 的值为
（A ）–4 （B ）20 （C ）0 （D ）24
7、点A(1, 2)在直线l 上的射影是B(–1, 4)，则直线l 的方程是
（A ）x –y+5=0 （B ）x+y –3=0 （C ）x+y –5=0 （D ）x –y+1=0
8、已知两直线l 1和l 2的斜率分别是方程x 2–4x+1=0的两根，则l 1与l 2的夹角是
（A ）
6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π
9、已知直线y=kx+2k+1与直线y=–2
1x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（A ）–6<k<2 （B ）–61<k<0 （C ）–61<k<21 （D ）2
1<k<+∞
二、填空题：
10、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .
11、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan
3
2的直线的方程是 .
12、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ；
B ；
C 。

13、经过两直线x –2y+4=0和x+y –2=0的交点，且与直线3x –4y+5=0垂直的直线方程是 .
14、若△ABC 的顶点为A(3, 6), B(–1, 5), C(1, 1)，则BC 边上的高所在的直线方程是 .
15、已知A(0, 0), B(3, 0), C(1, 2)，则△ABC 的重心、垂心坐标分别为 .
参考答案
选择题
1、A；
2、D；
3、C；
4、B；
5、B；
6、A；
7、A；
8、B；
9、C 填空题
10
11、5x-12y+26=0或x=2
12、(-2,1)，(1,0)，(2,5)
13、4x+3y-6=0
14、x-2y+9=0
15、
42 (,),(1,1) 33
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