3-1中值定理与导数的应用27页PPT
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
中值定理
第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.内容分布图示★ 费马引理 ★ 罗尔定理★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 拉格朗日中值定理 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 柯西中值定理 ★ 例11★ 例12★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-1★ 返回内容要点：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处, 0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数x x f 2sin )(=在区间],0[π上验证罗尔定理的正确性.例2 (讲义例1) 不求导数, 判断函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数有几个零点及这些零点所在的范围..例3 (讲义例2) 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根.例 4 设 n a a a a ,,,,321Λ为满足012)1(3121=--++--n a a a n n Λ的实数, 试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ在)2/,0(π内至少存在一个实根.例 5 设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且.0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ, 使)()(ξξf f ='成立.拉格朗日中值定理的应用例6 (讲义例3) 证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 例7 (讲义例4) 证明当0>x 时, .)1ln(1x x xx <+<+ 例8 设)(x f 是在],0[c 上可导的函数, 且)(x f '单调减少, .0)(=x f 试证: 对于,0c b a b a ≤+≤≤≤ 恒有 ).()()(b f a f b a f +≤+例9 验证柯西中值定理对函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上的正确性.柯西中值定理的应应用例10 (讲义例5) 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ课堂练习1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使().)()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。
第三章中值定理与导数的应用课件
f (b) f (a) f ' ( ) 成立 F (b) F (a) F ' ( )
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
[
6
,
5
6
]的正确性
解：y ln sin x在[ , 5 ]上连续
66
y ln sin x在( , 5 )上可导
66
lim 2 cos3x 3 1 x0 3 cos2x 2
例6：求
lim
x
xn ex
(n 0, 0)
解：lim xn lim n xn1 lim n (n 1) xn2
e e x x x
x x
2 ex
lim n! 0
x n ex
例7：求 lim x sin x
且f ( ) ln 1 f (5 )
6
2
6
又
y'
c os x
ctgx
令
0
x
(
, 5 )sin x源自2 662罗尔定理正确
例2：证明arctgx arcctgx
2
证 : (arctgx arcctgx)' 1 1 0 1 x2 1 x2
arctgx arcctgx c
取x 1 c c
若f (x)是一般的函数，且它存在直到n 1 阶的导数，那么
n
f (x)
f (k) (a) (xa)k ?
k 0 k!
泰勒（Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个
中值定理与导数的应用(高等数学)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意：可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值 定理，即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
3-1中值定理与洛必达法则
练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x
0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x
1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理
高中物理课件-第三章-微分中值定理、导数的应用
lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
3_1中值定理
整理得f ( ) f ( ) 0.
例3 设 f (x)在[0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使 证明 设辅助函数 (x) xn f (x) 显然 (x) 在 [0,1]上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得
但在x 0处不可微，当然也不能有f 0 0. (2)此定理只是 f x取得极值的必要条件 ,而非充分条件 ,
例如函数y x3,
虽然f 0 0，但x 0不是极值点.
(3)几何上可微函数在极值 点处的切线是水平的. (4)通常称导数为零的点为 函数的驻点.
3.1.2、罗尔( Rolle )定理
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
柯西(1789 –
1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本《柯,
B
端点处的纵坐标相等，则 AB
上至少存在一异于A、B的点
x C，使 AB 在该点的切线 平行于x轴（平行于弦AB）
例1 证明方程
有且仅有一个小于1的
正实根 .
证明 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在[0,1] 连续 ,且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1的正根
2) 唯一性 .
假设另有
高等数学 上、下册3_1 中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明： 当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值 定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直 线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车 从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗 尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具 有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使 得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.
高等数学上3.1中值定理.ppt
即ln(1 x) xf ( ), (0 x)
又 f ( x) 1 , 1 x
ln(1 x) x ,
1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
证毕
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结束
[x0, x0 x] (a,b), 上的拉格朗日定理，
零点定理 用不上!
证明：设F(x) 4ax3 3bx2 2cx a b c F( x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x
?!
F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导, F(0) F(1) 0,
由Rolle定理知，至少 (0，1),使F( ) 0,
即: 4a 3 3b 2 2c a b c 0.
k过M或D点红线 ,
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
在曲线弧AB上至少有一点 A
N
C(F ( ), f ( )),在该点处的
切线平行于弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
D
F (2 )F (b)
X
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结束
柯西（Cauchy）中值定理 若函数 f ( x )及 F ( x )满足：
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
存在 x0 (0,1),
使
f ( x ) 0, 0
2) 唯一性 .
假设另有
使f ( x ) 0, 1
f ( x)在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
在 x0 , x1 之间 至少存在一点
三章节中值定理与导数应用-精品文档
o
1
2
x
( 2 )f ( x ) x , x [ 2 , 2 ]
在 [ 2 , 2 ] 上 f ( x ) 连续， f ( 2 ) f ( 2 ),
f( x ) 在 x 0 ( 2 ， 2 ) 点不可导
不满足条件（2）
y
y x
在（ 2 ， 2 ）内找不到 一点 使 f ( ) 0
若 x0 , 则有
得 令 x 0
f( x )f( ) 0 x
f( x ) f( ) 0 （ 2） lim f '( ) f'() x x 0
由 (1 )( 2 )式，得 0 f () 0 f'( ) 0 证毕。
因而 即： f (x)的最大值不在区间端点 取到，
至少存在一点 ( a , b ), 使得 f ( ) M ) 0 下证： f'(
f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导 , 又 ( a , b ) f(x ) 在 点可导 ,
' ( ) f ' ( ) f ' ( ) 且 f 因而 f( x ) 在 点左 ,右可导
f ( b ) f ( a ) 结论亦可写成 f ( ) b a
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有 一点 C,在该点处的切 线平行于弦 AB .
y
C
y f( x )
M
B
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
f ( b ) f ( a ) f ( a ) ( x a ) 弦AB方程为 y b a
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 下面举例说明。
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x
证 构造辅助函数：
(x)f(x)f(a)fb b a fa(xa).
易知函数 (x)适合罗尔定理的条件：
( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ; 在 ( a , b ) 内 可 导 ; ( a ) ( b ) .
由罗尔定理，可知在(a,b)内至少 有一点 ,
使得 ()0.即 f()f(b)f(a)0.
称为有限增量公式. 它 是 y的 准 确 公 式 .
y d z f x x ， x 很 小
f( b ) f( a ) f() ( b a )
(在a,b之间)
拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 意 义 ：
建立了函数在区间上的改变量与导数 之间的关系,可用导数研究函数在区间上 的变化性态.
且ABPx轴
y A
P
y
y f x
A B
P1
y f x B
P2
oa
b x o a 1
结果：总有水平切线存在
2 b x
曲线连续
yf(x )在 [a ,b ]连 续
不 在 垂 曲 直 线 于 上 x每 轴 一 的 点 切 都 线 有 ，f(x)在 (a,b)内 可 导
且ABPx轴
有水平切线
f(a)f(b)
(2)f(x)在(a,b)内可导；
则 至 少 存 在 一 点 ( a ,b ) ,使f()0.
使 f ( b ) f ( a ) f () ( b a ) 成 立 .
y
几何意义： 曲线P 上 1 至少有一条
y
Q1
o即 A 切 a f线 ( (b1平 b)行 ayf于 )(afP弦 )2x2 AfB b B(x)oA a 1
于是，在(a,b)内每一点都可取作为 .
（2）若M>m,因 f(a)f(b),则M,m中至少有
一个不等于f (a). 设M f(a)则, 在(a,b)内至少
有一点 , 使得 f()M . 最大值点
下面证：f () 0. 不在[a,b]端点
现在证：f () 0.
(a,b),由假设知 f(x)存在，
Qf0, fx2fx 10 ,
即 f(x2)＝ f(x1). Q x 1 ,x 2 是 I上 任 意 两 点 ，
fx 在 区 间 I 上 是 一 个 常 数 .
推论 如 果 函 数 fx 在 区 间 I上 的 导 数 恒 为 零 ，
那 么 fx 在 区 间 I上 是 一 个 常 数 .
证 x1,x2 I,x1x2,应 用 Lagrange公 式 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) ( x 2 x 1 ) , ( x 1 x 2 )
x
根据极限的保号性，有
f()lim f( x)f()0 ,
x 0
x
同理，当x0 时，f(x)f()0,
x
有 f()lim f( x)f()0 .
x 0
x
从而必然有 f () 0.
例1 证 明 方 程 x53x ＝ 1有 且 仅 有 一 个 介 于 1 和 2 之 间 的 实 根 . 存在且惟一 证 存在性
故 lim f(x)f() 存在. 于是
x 0
x
f() 右li 导m f( x ) f() 左li 导m f( x ) f().
x 0 x
x 0 x
因 f()M是 f (x) 在[a,b]上的最大值,
故有 f(x)f(),
即 f( x)f()0,
f( x)f()0,
当 x0时，f(x)f()0,
至 少 有 一 个 ,使 f () 0
y
P1
A
y f x B
P2
o a 1
2 b x
定理3.1（Rolle定理）若函数满足下列条件：
1 f x在a,b上连续；y
P
2 f x在a,b内可导； A
B
3 f a f b.
oa
bx
则 至 少 存 在 一 点 a , b , 使 f 0 .
y f x B
Q2
2 b
x
分析 直线AB的方程
fbfa yL (x)f(a) ba (xa)
构造辅助函数： ( x ) f( x ) L ( x )
即 (x )f(x )f(a )f(b )f(a)(xa ).
y
Q 1 y f x
B
(ba )
此时有
A
Q2
(a ) (b ) 0 .
o a 1 x
2 b
一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、泰勒公式 四、函数的极值与最大值和最小值 五、函数的几何性态
第一节 微分中值定理
微分中值定理包括三个定理： 罗尔(Rolle)定理 拉格朗日(Lagrange)的切线
曲线连续,每点都有不垂直于x轴的切线，
(ba)
由此，得 fb fa fb a .
注： f( b ) f( a ) f() ( b a )
1 . 对 于 b a 也 成 立 , 称 为 拉 格 朗 日 中 值 公 式 .
2 .的 准 确 值 是 不 知 道 的 ,但 并 不 影 响
公 式 的 使 用 .
3 . 可 写 成 y f x x x 0 1
定理的几何意义： y
P1
满足定理条件的函数，A 它的曲线上至少有一条
y f x B
P2
平行于弦AB的切线. o a 1
2 b x
证 Qf(x) C [a,b], 在[a,b]必有最大(小)值. 分两种情形讨论：
（1）若 mM, 则 f (x)在[a,b]上为一常数M, f( x ) 0 ,x ( a ,b ).
至 少 存 在 一 个 ( 在 x 0 ,x 1 之 间 ) ,使 得
f()0.
但f(x)5x430,(x(1,2)) 矛盾, x 0 ( 1 ,2 ) 为 唯 一 实 根 . 得 证 .
定理3.12（RLaogllrea定ng理e））若函数满足下列条件：
(1)f(x)在[a,b]上连续；(3)f(a)f(b).
设 f(x)x53x－ 1,则 f(x )在 [1 ， 2 ]连 续 ,
且 f( 1 ) 3 ,f( 2 ) 2 5 . 由零点定理，至 少 x 0 ( 1 ,2 ) ,使 f( x 0 ) 0 .
即为所求的实根.
唯一性
设 另 有 x 1 (1 ,2 ),x 1 x 0 ,使f(x1)0. Q f ( x ) 在 x 0 ,x 1 之 间 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 ,