高数函数与极限4

１
第四讲
Ⅰ 授课题目：
§2.2函数的极限(0x x →)；§2.3变量的极限。

Ⅱ 教学目的与要求：
1、理解变量的极限的思想，学会用变化地、运动地观点来研究问题；
2、会用δε-语言来描述极限过程；
3、了解 ∞→n 、±∞→x 、0x x →、±
→0x x 时，变量的极限的描述方法。

Ⅲ 教学重点与难点：
极限概念，研究极限的δε-语言，变量的极限的描述方法。

Ⅳ 讲授内容：
二、0x x →时，)(x f y =的极限： 1.概念：
引例：研究函数121
4)(2--==x x x f y 当 21→x (21≠x ) 时，)(x f y =的变化趋势。

观察可见：当 21→x (21≠x ) 时，2121
21
4)(2→+=--==x x x x f y ，即2)(-x f 可
任意小，
也即：对 0>∀ε 要 ε<-=---=-1221
21
42)(2x x x x f ，⇒ ε<-212x ⇒
⇒2
21ε
<-
x 取 2εδ=，
∴对 0>∀ε，∃02
>=
ε
δ，当 δ<-
<2
1
0x 时，有 ε<-2)(x f 。

定义2.6 0>∀ε，∃+∈R δ，当 δ<-<00x x 时，有 ε<-A x f )( ，则称x 趋于0x 时，)(x f y =以A (常数)为极限。

记：A x f x x =→)(lim 0
，或 A x f →)((0x x →)。

注 1.ε刻划)(x f 与A 接近的程度；δ刻划x 与0x 接近的程度；ε是任给的，δ随ε的变化而变化；
２
2.δ<-0x x ，表x 与0x 的距离小于δ；
3.区别 A x f x x =→)(lim 0
与)(0x f 。

4.0x x → 是以任意方式趋于0x 例1 证明：)(,lim 0
为常数C C C x x =→
证明 0>∀ε，取0>δ，当 δ<-<00x x 时，有 ε<=-=-0)(C C A x f ，
∴C C x x =→0
lim 。

例2 证明：。

42
4lim 22-=+--→x x x 证明 0>∀ε，要 ε<++-4242x x ，⇒ ε<+=+-=++-24242
4
2x x x x ，取εδ=
故：对0>∀ε，0>=∃εδ，当 δ<--<)2(0x 时，有：
ε<++-42
4
2x x ∴。

424
lim 22-=+--→x x x 2.几何意义：
设：A x f x x =→)(lim 0
)0(>A ，
见图：(略)
由图可见：对 0>∀ε，无论给定的带形区域 ε±=A y 多么狭窄，总 0>∃δ，当
))(,(000x x x x x ≠+-∈δδ时，所有对应点))(,(x f x 都落此带形区域)
,(εε+-A A 内。

3.左右极限：
例：设：⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≤<=<-==21,1,21
1,1)(2x x x x x x f y 研究 1=x 处的极限。

解：1<x 时，01)(2→-=x x f ，(1,1→<x x ) 又：1>x 时，1)(→=x x f ，(1,1→>x x )，
∴x 从1=x 的左右方向趋于1时，)(x f y =有不同的极限。

３
定义2.7 若x 从0x 左(右)侧，即)(00x x x x ><趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，即：
0>∀ε，0>∃δ，当 δ<-<x x 00 (δ<-<00x x ) 时，有：ε<-A x f )(，则
称A 为0x x →时，)(x f 的左(右)极限，记：A x f x x =-
→)(lim 0
或A x f =-)0(0 (A x f x x =+
→)(lim 0
或A x f =+)0(0)。

如上例：0)1(lim )(lim 2
1
1
=-=→→-
x x f x x ，1lim )(lim 1
1
==→→+x x f x x 4.关于函数极限的重要结论：
(1)极限存在的充要条件：
定理2.4 A x f x x =→)(lim 0
⇔ =-→)(lim 0x f x x A x f x x =+
→)(lim 0。

例如 设：⎩⎨⎧≥<=0
,0
,1)(x x x x f ，研究 )(lim 0
x f x →。

解 11lim )(lim 0
==→→-x x x f ，0lim )(lim 0
==→→+x x f x x ， ∴ ≠-→)(lim 0
x f x )(lim 0
x f x +
→ 故：)(lim 0
x f x →∃。

注 关于左右极限的用法。

(2) 极限的保号性：
定理2.5 若A x f x x =→)(lim 0
，且0>A (0<A )，则 ∃)(00
x U δ，当∈x )(00x U δ时，
0)(>x f (0)(<x f )。

定理2.6 若 A x f x x =→)(lim 0
，且 0)(≥x f (0)(≤x f )，则0≥A (0≤A )。

§2.3变量的极限 一、变量的极限：
定义2.8：0>∀ε，存在一个时刻，当那个时刻之后，有 ε<-A y ，则称变量 y 在此变化过程中以A 为极限，记：A y =lim 。

如：对数列的极限A y n n =∞
→lim ，变化过程为：∞→n ，某一时刻为：+∈∃Z N ，从
那个时刻之后为：N n >时，A y =lim 为：A y n n =∞
→lim 。

二、变量极限的性质：
４
(1)有界性：
定理2.7：若在某一变量的变化过程中，变量y 有极限A ，则 +∈∃R M ，有：M y ≤。

给 1=ε，有一时刻以后，有：1≤-A y
1+≤-+≤+-=A A y A A A y y ，取：1+=A M ，故：M y ≤。

注 反之不然。

例如：⎩⎨
⎧≥<==0
,0,1)(x x x x f y ，0>∃M ，t s . M x f ≤)(，∈x )0(0
δU ；
但：11lim )(lim 0
==→→-
x x x f ，0lim )(lim 0
==→→+x x f x x ，)(lim 0
x f x →∃。

(2) 唯一性：
定理2.8 若：∃A y =lim (常数)且 ∃B y =lim (常数)，则 A =B 。

Ⅴ 小结与提问:
1.函数极限的统一定义：
2.极限的性质 Ⅵ 课外作业：
89P 4.(1)(3)，5，6。