山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测理科数学含答案
山东省济南外国语学校高三上学期12月考试数学(理)试题
高三数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|22x A x ⎧=≤<⎨⎩，{}|ln 0B x x x =≤，则A B =（ ） A ．1(0,)2B ．[1,0)-C ．1[,1)2D ．[]1,1-2.定义一种运算如下：11122122x y x y x y x y ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则复数1i z i i ⎤-=⎥⎥⎦（i 是虚数单位）的模长为（ ） A ．8B ．4 C． D13.原命题：“a ，b 为两个实数，若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（ ）A ．逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥，为假命题B ．否命题为：若2a b +<，则a ，b 都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若a ，b 都小于1，则2a b +<，为真命题D ．“2a b +≥”是“a ，b 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件4.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若不存在所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ） A ．127B ．227C ．281D ．8815.若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ） A ．25B ．25-C ．5 D．6.已知函数()ln 2x xe ef x -+=，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递增B ．偶函数，且在(,0)-∞上单调递增C ．奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递减D ．偶函数，且在(0,)+∞上单调递增7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点10081010(,)a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ） A ．4034B ．2017C ．1008D ．10108.若01a b <<<，则b a ，ab ，log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>>B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log b a b aa ab b >>>D ．1log log a b b aa b a b >>>9.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后关于4x π=对称，且两相邻对称中心相距2π，则函数()2sin()g x x ωϕ=+在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．2-B ．1-CD ．210.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．333412963C C CB ．33341296433C C C A A C ．33331296444C C C A D ．333312964C C C11.已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0),x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-12.已知()f x 是定义在R 上的函数，'()f x 是()f x 的导函数，且满足'()3()f x f x >，1()3f e =，则3(ln )f x x <的解集为（ ） A ．(0,)eB ．13(0,)eC ．(1,)eD ．13(1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某程序框图如图所示，若3a =，则该程序运行后，输出的x 值为 ．14.已知函数()f x =（a 为常数），且(2017)2016f =-，则(2017)f -= ．15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c b a B C+=，2b =，则ABC ∆面积是 ．16.若函数()y f x =满足：对()y f x =图象上任意点11(,())P x f x 总存在点22'(,())P x f x ，也在()y f x =图象上，使得1212()()0x x f x f x +=成立，称函数()y f x =是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①1y x -=；②ln y x =；③2xy e =-；④sin 1y x =+；⑤y =其中是“特殊对点函数”的序号是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩是奇，是偶，设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．18.在ABC ∆，已知11sin()214A π+=，1cos()2B π-=-． （1）求sin A 与角B 的值；（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．19.已知函数2()cos cos 1f x x x x b ωωω=⋅+++．（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．20.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； （2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．21.设n S 是数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3nn n b S =-．（1）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）令22log 2n n nnc b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22.已知函数21()(1)2xf x xe a x =-+． （1）若a e =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．高三数学试题（理科）答案一、选择题1-5:ACABA 6-10:DBCBA 11、12：CB二、填空题13.63 14.2018 15.2 16.③④⑤三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由2210b S +=，5232a b a -=， 得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩∴32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=．（2）由13a =，21n a n =+，得(2)n S n n =+， 则n 为奇数时，2112n n c S n n ==-+，n 为偶数时，12n n c -=， ∴21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++……32111111=(1)()()(222)3352121n n n -⎡⎤-+-++-++++⎢⎥-+⎣⎦……12(14)221(41)2114213n n n n n -=-+=+-+-+．18.解：（1）∵sin()cos 2A A π+=，∴11cos 14A =，又∵0A π<<，∴sin A = ∵1cos()cos 2B B π-=-=-，且0B π<<， ∴3B π=．（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，∴sin 7sin a Bb A==，另由2222cos b a c ac B =+-，得249255c c =+- ，解得8c =或3c =-（舍去）， ∴7b =，8c =．19.解：（1）函数2()cos cos 1f x x x x ωωω=++3sin(2)62x b πω=+++， ∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴2662k πππωπ⋅+=+且[]0,3ω∈，∴1ω=（k Z ∈），由222262k x k πππππ-≤+≤+解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．（2）由（1）知3()sin(2)62f x x b πω=+++， ∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递增； 42,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递减． 又(0)()3f f π=，∴当()03f π>7()12f π≥或()06f π=时，函数()f x 有且只有一个零点， 即435sinsin 326b ππ≤--<或3102b ++=，∴5(2b ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．20.解：抽取的10人中选修数学1的人数应为1801011800⨯=人， 选修数学2的人数应为5401031800⨯=人，选修数学3的人数应为5401031800⨯=人， 选修数学4的人数应为6010218003⨯=人，选修数学5的人数应为1801011800⨯=人．（1）从10人中选3人共有310120C =种选法，并且这120种选法出现的可能性是相同的，有2人选择数学2的选法共有213721C C ⋅=种，有3人选择数学2的选法有331C =种，所以至少有2人选择数学2的概率为221112060=． （2）X 的可能取值为0,1,2,3，Y 的可能取值为0,1，ξ的可能取值为1-，0,1,2,3．12163101(1)(0,1)8C C P P X Y C ξ⋅=-=====； 31116316331010201819(0)(0,0)(1,1)12012060C C C C P P X Y P X Y C C ξ⋅⋅====+===+=+=； 122136313310104532(1)(1,0)(2,1)1201205C C C C P P X Y P X Y C C ξ⋅⋅====+===+=+=； 21363103(2)(2,0)20C C P P X Y C ξ⋅======； 333101(3)(3)120C P P X C ξ=====， ∴ξ的分布列∴()(1)01238605201205E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.解：（1）∵13n n n a S +=+，∴13nn n n S S S +-=+，即123n n n S S +=+，则11132332(3)n n n nn n n S S S +++-=+-=-，∴12n n b b +=，又111331b S a =-=-=，∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）由（1）得212log 222n n n n n nc b n b -=-+=-， 设23212341122222n n n nM ---=++++++…，① 则23111231222222n n n nM --=+++++…，② ①-②得：23111111111222222222n n n n n nM --=+++++-=--…，所以2111244222n n n n nM ---+=--=-，∴12(1)42n n n T n n -+=++-．22.解：（1）函数定义域为(,)-∞+∞，'()(1)(1)(1)()xxf x x e e x x e e =+-+=+-．'()0f x =，解得11x =-，21x =，列表：所以1x =-时，()f x 取极大值e-；当1x =时，()f x 取极小值e -． （2）'()(1)(1)(1)()xxf x x e a x x e a =+-+=+-， 当0a =时，易知函数()f x 只有一个零点，不符合题意； 当0a <时，在(,1)-∞-上，'()0f x <，()f x 单调递减； 在(1,)-+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增；1(1)0f e-=-<，且(1)20f e a =->，x →-∞，()f x →+∞，所以函数()f x 有两个零点． 当10a e<<时，在(,ln )a -∞和(1,)-+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增；在(ln ,1)a -上'()0f x <，()f x 单调递减；11(ln )ln (ln 1)(ln 1)022f a a a a a a a =-+=-<，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意． 当1a e>时，在(,1)-∞-和(ln ,)a +∞上'()0f x >，()f x 单调递增；在(1,ln )a -上'()0f x <，()f x 单调递减；1(1)0f e-=-<，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．综上：实数a 的取值范围是0a <．。
山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考 理科数学 含解析
山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考理科数学 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UC A B 为（ ）A. {}1,2,4 B 。
{}2,34， C 。
{}0,2,4 D 。
{}0,2,34，2。
设x R ∈，则1x =是21x=的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3。
已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -=（ ）A 。
2 B. 0 C ．1 D ．﹣2【答案】D【解析】试题分析：()()2111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭. 考点:奇函数的性质及应用4。
函数ln x x y x=的图像可能是( )5。
已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且22nn Sa =-，则2a 等于( ）A ．4B ．2C ．1D ．-26。
为了得到函数sin 2y x =的图象，只需把函数sin 26πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位7。
已知各项均为正数的等比数列{}na 中，1235a a a=，78910a a a =,则456a a a =（ )A.52 B ．7 C ．6 D 。
428。
已知角x 的终边上一点坐标为55(sin ,cos )66ππ,则角x 的最小正值为（ )A ．56π B ．116π C ．53π D ．23π考点:特殊角的三角函数值9。
设3log 6a =,5log 10b =，7log14c =，则（ ）A. c>b 〉aB.b 〉c 〉aC.a 〉c>bD.。
2014年高考山东理科数学试题及答案(精校版)
高三 数 学（理）期末模拟（六）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元）42 3 5 销售额y （万元） 4926 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元解析：由题意可知 3.5,42x y ==，则429.43.5,9.1,a a =⨯+=9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B 。
5、不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D.(,4][6,)-∞-+∞解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。
山东省济南外国语学校高三上学期期中考试 理科数学(解析)
济南外国语学校2012—2013学年度第一学期 高三质量检测数学试题（理科）2012.11本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5},B={2,5},则A ∩(C U B)等于（ ） A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 【答案】D【解析】{134}U B =，，ð,所以{134}{1,3,5}={1,3}U A B =I I （），，ð，选D. 2. 复数512ii-=( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+ 【答案】C 【解析】55(12)510212(12)(12)5i i i i i i i i +-===-+--+，选C. 3. "1""||1"x x >>是的（ ）A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】11x x >⇒>或1x <-，所以"1""||1"x x >>是充分不必要条件，选A.4. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=)0(1)0()0(0)(2x x x x f ππ，则)))1(((-f f f 的值等于（ ）A.12-πB.12+π C.π D.0 【答案】C【解析】2(1)=1f π-+，所以2(((1)))=((1))=(0)=f f f f f f ππ-+，选C. 5.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ ） A.3x y = B.1||+=x y C.12+-=x y D.||2x y -=【答案】B【解析】函数3x y =为奇函数，排除A.当0x >时，函数12+-=x y 和||2x y -=为减函数，排除C,D,选B.6. 函数23)(3+-=x x x f 的零点为（ ）A.1,2B. ±1,-2C.1,-2D.±1, 2 【答案】C【解析】由3()320f x x x =-+=得3(22)0x x x ---=，即2(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-，选C.7. 若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan3πa 的值为（ ） A ．0 B.33- C.1 D.3- 【答案】D【解析】因为点(,9)a 在函数3xy =的图象上，所以39a=，解得2a =，所以2tantan 33a ππ== D. 8. 已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ） A. -12 B. -6 C. 6 D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=r r rg ，即(2,1)(5,2)0k -=g ，所以10+20k -=，即12k =，选D.9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1, )1(31≥=+n s a n n ,则6a =( ) A.44 B.3 ×44+1 C . 3×44 D.44+1 【答案】C【解析】由)1(31≥=+n s a n n 得213n n a s ++=，两式相减得2113n n n a a a +++-=，即2113n n n a a a +++-=，所以214n n a a ++=，，即214n n a a ++=，2133a S ==，所以4462434a a ==⨯，选C.10.若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（）A.2B.3C.6D.9 【答案】D【解析】函数的导数为2'()1222f x x ax b =--，函数在1x =处有极值，则有'(1)12220f a b =--=，即6a b +=，所以6a b =+≥，即9ab ≤，当且仅当3a b ==时取等号，选D.11. 已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则( )A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A【解析】由26T ππω==，所以13ω=，所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+，当2x π=时，函数取得最大值，即12322k ππϕπ⨯+=+，所以23k πϕπ=+，因为πϕπ-<≤，所以3πϕ=，1()2sin()33f x x π=+，由1222332k x k πππππ-+≤+≤+，得56622k x k ππππ-+≤≤+，函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++，当0k =时，增区间为5[,]22ππ-，所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数，选A.12. 函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为( )A.(-1，1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-l)D.(-∞,+∞) 【答案】B【解析】设()()(24)F x f x x =-+, 则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有'()'()20F x f x =->，即函数()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞，选B.注意事项：1．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔在答题纸各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
【百强校】2014届山东济南外国语学校高三上学期质量检测理数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2014届山东济南外国语学校高三上学期质量检测理数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：205分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知是上的奇函数,对都有成立,若,则等于A ．B ．C ．D ．2、设a,b 是两个实数，且a≠b ，①②，③。
上述三个式子恒成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、设的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）4、函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．5、给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．－27、在中，已知，那么一定是A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形8、设,且,则锐角为A ．B ．C ．D ．9、下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若”的逆否命题为：“若”B ．“x=1”是“”的充分不必要条件C ．若为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题，则10、已知集合=（ ）A ．B ．C ．D ．11、各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或12、已知，若向区域上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题： 甲：函数为偶函数；乙：函数；丙：若则一定有你认为上述三个命题中正确的个数有 个14、已知点在圆上，点关于直线的对称点也在圆上，则。
山东省济南市2014届高三3月考模拟考试理科数学试卷(带解析)
山东省济南市2014届高三3月考模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合A={||1|2x x -<}，B={2|lg()x y x x =+}，设U=R ，则A (U ðB)等于( )(A) [3，+∞) (B) (-1，0] (C) (3，+∞) (D) [-1，0] 【答案】B 【解析】试题分析：解：{}{}=1213A x x x x -<=-<<(){}{}{}22lg 01,0B x y x x x x x x x x ==+=+>=<->{}10U B x x =-≤≤ð (){}{}{}131010UAB x x x x x x =-<<-≤≤=-<≤ð所以应选B考点：1、不等式的解法；2、集合的运算.2．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)12 【答案】B 【解析】试题分析：解：由三视图可知该几何体是四棱锥，其底面是长为3，宽为2的矩形，高为2， 所以11322433V sh ==⨯⨯⨯= 故应选B.考点：1、空间几何体的三视图与直观图；2、棱锥的体积.3．已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( )(A)1122i + (B) 1122i - (C) 1122i -+ (D) 1122i -- 【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i故选：A考点：1、共轭复数的概念；2、复数的运算. 4．函数sin sin x x x x -+sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是( )【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称；应排除B 、D 又因为，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<<+,sin ln 0sin x xx x-<+故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、 正弦函数的性质；3、对数函数的性质量. 5．执行右面的程序框图，输出的S 的值为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C 【解析】试题分析:解：运行第一次：3log 4,4,27S k k ==< 成立； 运行第二次：343log 4log 5log 5,5,27S k k =⋅==< 成立； 运行第三次：353log 5log 6log 6,6,27S k k =⋅==< 成立； ……………………………………………………………………运行第23次：3253log 25log 26log 26,26,27S k k =⋅==< 成立； 运行第24次：3263log 26log 27log 273,27,27S k k =⋅===< 不成立； 输出S 的值为3. 考点：循环结构.6．在△AB C 中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cosB 的值为( ) (A) 13 (B) 12 (C) 15 (D) 14【答案】D 【解析】试题分析：解：由正弦定理：sin 3,sin c C a A== 由余弦定理：22225153512cos 2224244c ac a c b c B ac ac a -+-===⨯-=-= 故应选D.考点：1、正弦定理；2、余弦定理.7．如图，设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P 落在∆AOB 内的概率是( )(A)56 (B)45 (C)34 (D)23【答案】C 【解析】试题分析：解：设抛物线21y x =-+与x 轴正半轴及y 轴的正半轴所围成的区域的面积为S 则1231012=(-1)|33S x dx x x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭⎰111122AOB S ∆=⨯⨯=设事件N =“随机往M 内投一点P ，则点P 落在∆AOB 内”则,()132243AOB S P N S∆===故选:C.考点：1、定积分；2、几何概型.8．已知221,02(),(),20x x g x ax a f x x x ⎧-≤≤=+=⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使12()()g x f x =成立，则a 的取值范围是( )(A)[-1，+∞) (B)[-1，1] (C)(0，1] (D)(-∞，l]【答案】B 【解析】试题分析：解：由题意知函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集； 因为当[]0,2x ∈时，2113x -≤-≤当[)2,0x ∈-时,240x -≤-<所以函数()f x 的值域是[][)[]1,34,04,3--=-所以，423423a a a a -≤-+≤⎧⎨-≤+≤⎩解得：413x -≤≤故选B.考点：1、分段函数；2、函数的值域；3、等价转化的思想.9．已知点M(x ，y)是平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值是( )(A)10 (B)495【答案】D【解析】试题分析：解：点M(x ，y)所在的平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩如下图中的阴影部分，设点P 的坐标为(1,1)--222(1)(1)PM x y =+++由图可知当最大时，点M 应在线段AB 上；而()()222112113PB =+++=()()222210110PA =+++=22(1)(1)x y +++的最大值是13.故应选D.考点：1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2、两点间的距离公式.10．已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( ) (A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C)(13，+∞) (D)(0，+∞) 【答案】C 【解析】 试题分析：解：椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c根据题意：22PF c =,1122222PF a c a c =-=+因为在等腰三角形21F PF 中,1221F F PF PF +>,所以，12422,422c a c c a c >->+ 所以，11113ce a <=<,21e > 所以，1213e e >故选C.考点：1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.11．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 辆．【答案】20 【解析】试题分析：解：()500.01100.031020n =⨯⨯+⨯= 故答案应填：20考点：频率分布直方图.12．设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 ． 【答案】210x y --=或2110x y +-= 【解析】试题分析：解：设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 的坐标为()35，,设P点的坐标为()0,b ,因为A 是线段BP 的中点，2AP AB r ==,3CP r ==即：()()(2223-0+5-b =,解得：1b =-或11b =当1b =-时，直线l 的方程为：105130y x +-=+-,即210x y --= 当11b =时，直线l 的方程为：11051130y x --=--,即2110x y +-= 所以答案应填：210x y --=或2110x y +-=考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程.13．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答)． 【答案】300 【解析】试题分析：解：因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1，2，3，4，5的五项实验任选一个放在第一项，有15A ;第二步：从剩下的五实验中任取三个放在第二、三、四项，有35A 种不同的方法；第三步：最后剩下两个实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为：13551300A A ⋅⋅=所以答案应填：300考点：分步乘法计数原理与排列组合.14．在△ABC 中，E 为AC 上一点，且4A C A E =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为 ．【解析】试题分析:解：14BE AE AB AC AB =-=-,()1BP AP AB m AB nAC =-=-+ 因为,,B P E 三点共线，设AP BE λ=,则()11=4m AB nAC AC AB λ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，其中01λ<<所以14m n λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩1111414m m n n λλλλ=-⎧⎪⇒⇒+=+=⎨-=⎪⎩()431λλλ--, ()()431f λλλλ-=-令，则()()()()224311f λλλλλλ''-⋅--'=-⎡⎤⎣⎦（）（）=()()22-3-8+41λλλλ-⎡⎤⎣⎦=()()()2-23-2-1λλλλ-⎡⎤⎣⎦当2=3λ时，()0f λ'= 当203λ<<时，()0f λ'<, ()f λ在区间203⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数 当213λ<<时，()0f λ'>，()f λ在区间213⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数所以当2=3λ时，()f λ取得最小值，从而11m n +取得最小值，此时，11,36m n ==所以，2a m =+==故答案应填6考点：1、向量的几何运算；2、共线向量；3、导数在研究函数性质中的应用. 15．已知下列命题：①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“m//α”是“αβ⊥”的充要条件； ②351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(-2<ξ<0)=1-2p ； ④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m 的取值范围是(-∞，2)；⑤已知奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，且0<x<2π时()f x x =，则函数()()s i n g x f x x =-在[2π-，2π]上有5个零点．其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)． 【答案】③ 【解析】试题分析：解：①因为m β⊥,所以，由//m ααβ⇒⊥成立，但由m αββ⊥⊥，,可得到//m α或m α⊂,所以//m αβα⊥⇒不成立，故该命题为假命題；②351()x x+的展开式中第1r +项()531541551rrrr r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 令15-43r =，解得3r =，所以有3345T C x ==310x ，351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为10而不是60；故该命题是假命题.③由随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则()()22P P p ξξ≤-=≥=, 所以，()2212P p ξ-<<=- 所以()()12002p 2P P ξξ-<<=<<=-；该命题是真命题； ④因为()32325x x x x ++-≥+--= 所以有，215m +≤,解得2m ≤由此可知④是假命.⑤因为奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，所以，()(2)(+)=f x f x f x ππ+=-,故函数()f x 是周期函数，且2T π=；同样由奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()()f x f x f x f x ππ+=-⇒-=所以函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；因为奇函数()f x 满足当0<x<2π时()f x x =得当-02x π<<时, ()f x x =,又因为()00f =由以上条件在同一坐标系中画出函数()y f x =和sin y x =的图象如下图,则两图象在区间[]-22ππ，内交点的个数就是函数()()sin g x f x x =-在区间[]-22ππ，内的零点的个数；但由于33,,,2222f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值不能确定，故零点的个数不能确定， 所以该命题是假命题.所以答案应填③考点：1、命题；2、直线与平面的位置关系；3、二项式定理；4、正态密度曲线的性质；5、函数的性质与函数的零点.16．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 最大值2【解析】试题分析：(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>化为()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据周期公式确定ω的值.最后利用正弦函数的单调性求出()f x 的单调递增区间(2)由3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⇒72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 216x π⎛⎫⇒≤-≤ ⎪⎝⎭()22f x ⇒≤≤ 试题解析：解：(1)()24cos sin 1cos 2cos 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3分 最小正周期是22ππω= 所以，1ω=从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5分 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+ 7分所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦8分(2)当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 9分()2sin 2262f x x π⎤⎛⎫=-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦11分所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2、2分 考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数()sin y A x ωϕ=+的性质；17．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=2，M 为棱PB 的中点．(1)证明：DM ⊥平面PBC ；(2)求二面角A —DM —C 的余弦值． 【答案】(1) (2) 13-【解析】试题分析：(1) 连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，要证DM ⊥平面PBC ，只要证DM PB ⊥，BC DM ⊥即可，由题设可得DM 是等腰PDB ∆的底边上的中线，所以DM PB ⊥；另一方面由1DG GC BG ===又可得出90DBC ∠=BC BD ⇒⊥考虑到PD ⊥平面ABCD ⇒ BC PD ⊥⇒ BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥；问题得证. (2)根据空间图形中已知的垂直关系，可以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，写出点,,,A C D M ,分别求出平面ADM 的一个法向量1n 和平面CDM 的一个法向量2n ，利用向的夹公式求二面角A —DM —C 的余弦值 试题解析：证明：连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥ 又PD ⊥平面ABCD ，故BC PD ⊥所以，BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥ 2分又PD BD PD BD ==⊥，M 为PB 的中点DM PB ∴⊥ 4分 PB BC B = 5分DM ∴⊥平面PBC 6分以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 7分则()()()(1,0,0,1,1,0,0,2,0,,A B C P从而11,,222M ⎛ ⎝⎭设(),,n x y z =是平面ADM的一个法向量，则110000222x n DA x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()11n =- 8分同理，设()2,,n u v w =是平面CDM 的一具法向量,则22000022y n DC x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()22,0,1n =- 9分121cos ,3n n <>= 2分显然二面角A DM C --的大小为钝角，所以二面角A DM C --的余弦值为13-. 12分考点：1、直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式；4、二面角的概念与法向量的求法.18．一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．． (1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (2)从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1) 128(2) ①881②13181【解析】试题分析：(1)从袋中不放回地取球，连续取4次，有49A 个不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，恰好取4次停止，说明前三次有一次是白球，共有113363C C A 个不同的结果，所以，根据古典概型的概率公式得113363149C C A P A =； (2) 从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率()13P A =，取到白球的概率是()23P A = 连续有放回地取n 次，相当于n 次独立重复试验；①求恰好取5次停止的概率P 2；说明前四次有两次发生，第五次一定发生；22224121333P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，随机变量ξ的所以可能取值集合是{}0,1,2,3 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-即可求出随机变量ξ分布列，并由数学期望的公式计算出E ξ. 试题解析：解：(1)113363149128C C A P A == 4分 (2)①22224121833381P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6分 ②随机变量ξ的取值为0,1,2,3;由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()231511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()328080173124381P ξ++==-=随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 考点：1、古典概型；2、独立重复试验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为2. (1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有121117 (4)n S S S +++<． 【答案】(1) 221,n n a n S n =-=； (2)见解析 【解析】试题分析：(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设列方程组，解出1,a d ，进而求出n a 和n S ;(2)放缩法裂项求和并证不等式：思路一：()21111111n S n n n n n=<=--- 思路二：()()221111*********n S n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪--+-+⎝⎭试题解析：解：(1)解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，74849,22S a a =+=所以有，117214921022a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得，11,2a d == 4分 所以221,n n a n S n =-= 6分 解法二：744749,7S a a ==∴= 1分48822,15a a a +=∴= 2分8424a a d -∴== 3分 1431a a d =-= 4分所以221,n n a n S n =-= 6分 (2)证明：方法一：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ ①当2n =时，1211171,44S S +=+<∴原不等式亦成立 7分 ②当3n ≥时，()21n n n >-，()2111111n n n n n ∴<=--- 9分 ()222121111111111124231n S S S n n n ∴+++=+++<++++⨯-＝11111111423211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝111142n ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦＝714n - 2分 74< 12分 方法二：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ 当2n ≥时，()()()()221111111,11211n n n n n n n n ⎡⎤>-+∴<=-⎢⎥-+-+⎣⎦ 8分 ()()()2221211111111111121324211n S S S n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯--+ ＝1111111111112132435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝1111112121n n ⎡⎤++--⎢⎥+⎣⎦＝7111421n n ⎡⎤+--⎢⎥+⎣⎦2分74<12分 考点：1、等差数列；2、裂项求和；3、放缩法证明不等式.20．已知椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点1)，离心率为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB ⋅=-，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】(1)22184x y += (2) 直线AB经过定点⎫⎪⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1) 椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点M(，1)22611a b ⇒+=,c e a =⇒= 且有222a b c =+ ，通过解方程可得222,,a b c 从而得椭圆的标准方程.(2) 设()()1122,,,,A x y B x y 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+由()22222214280184y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩⇒2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++另一方面：(21222PA PB x x y y ⋅=-⇒+=-⇒()(()221212162kx x km x x m +++++=-通过以上两式就不难得到关于,k m 的等式，从而探究直线,y kx m =+是否过定点； 至于直线AB 斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可. 试题解析： 解：(1)由题意得2c a =①因为椭圆经过点)M ，所以22611a b +=② 又222a b c =+③由①②③解得2228, 4.a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=. 4分 (2)解：①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+代入22184x y +=，消去y 整理得()222214280k x kmx m +++-= 6分 由0∆>得22840k m +->（*）设()()1122,,,,A x y B x y 则2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++所以，((()()212212PA PB x x y y x x kx m kxm ⋅=+=-+++=()(()221212162k x x km x x m +++++=- 8分得()(()221212180k x x km x x m ++-+++=()(222222841802121m km k km m k k --+⋅+⋅++=++整理得)20+=从而3m k =-且满足（*）所以直线AB 的方程为3y k x ⎛=-⎝⎭10分故直线AB 经过定点3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2分②当直线AB 与x 轴垂直时，若直线为x =，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎭ 、⎝⎭，亦有2PA PB ⋅=- 12分综上，直线AB 经过定点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 13分考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数2()(1)xf x k x e x =-+．(1)当时1k e=-，求函数()f x 在点(1，1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数2()(2)g x x k x =++的图象恒在()f x 的导函数'()f x 图象的上方，求k 的取值范围；(3)当k≤-l 时，求函数()f x 在[k ，l]上的最小值m 。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试 数学(理)试题 P.
∴a 的取值范围为------------------------------------12 分方法二：令，由于，所以只须，解得∴a 的取值范围为（本小题满分 12 分）解：(1设在等比数列中，公比为 q , 因为成等差数列. 所以a4 ------------------------------2 分解得------------------------------4 分所以------------------------------6 分Ⅱ①② ------------------------------8 分①—②,得 n所以------------------------------10 分 ------------------------------12 分 20. （本小题满分 12 分）（ 1）证明：取 DD1 的中点 N，连结 MN、AN、ME ， ------------------------------1 分MN∥四边形 MNAE 为平行四边形，可知 ME∥AN------------------------------4 分 1 1 CD ，AE∥ CD ， 2 2 ------------------------------3 分平面ADD1 A1平面∥平面 AD1 . ------------------------------6 分（2）解：设，如图建立空间直角坐标系---------------------------7 分 A(1, 0, 0, E (1, m, 0, C (0, 2, 0, D1 (0, 0, 2 ，平面 AD1 E 的法向量为，由及得------------------------------9 分平面 D1 EC的法向量为，由及得------------------------------11 分所以，即，解得或(舍）------------------------------12 分21．（本小题满分 12 分）解：(1 f ( x 的定义域为------------------------------1 分------------------------------3 分（i）若即则故 f ( x 在单调增加. ------------------------------4 分 x ' (ii若而故则当时，当或时， f ( x ； ' 故 f ( x 在单调减少，在单调增加. (iii若即同理可得 f ( x 在单调减少，在单调递增. -----------------------------5 分 ------------------------------6 分（2）由题意得设则恒成立. 2 ------------------------------8 分， 2 a-----------------------------10 分 ------------------------------12 分所以F(x 在区间）上是增函数，只需即e 2 2 2 22．（本小题满分 14 分）解:(1 由已知可得，所以 a又点 M ( 2,1 在椭圆 C 上，所以由①②解之，得① -----------------------------1 分② -----------------------------2 分故椭圆 C 的方程为-----------------------------4 分 (2【解法一】①当直线 l 的斜率为 0 时,则----------------5 分②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 , B ( x2 , y2 ,直线 l 的方程为将代入则整理得------------------------7 分 4 2 -----------------------------9 分又所以-----------------------------11 分当时即时，； 4 4 令则当时，或-----------------------------13 分 -----------------------------14 分当且仅当即时取得最大值. 由①②得,直线 l 的方程为【解法二】①当直线 l 垂直于 x 轴时,则②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 , B ( x2 , y2 ,直线 l 的方程为将代入整理得则又所以令由得或所以当且仅当时最大，所以直线 l 的方程为。
数学理卷·2014届山东省济南市部分学校高三上学期期中联考(2013.11)
D. a>b>c
rr
rr
rr
10.已知向量 a + b = (2, -8), a - b = (-8,16) ,则 a 与 b 夹角的余弦值为
A．
63 65
B．
-
63 65
C．
±
63 65
D．
5 13
11．若
A. S1 < S2 < S3
B. S2 < S1 < S3
C. S2 < S3 < S1
，则 S1, S2 , S3 的大小关系为 D. S3 < S2 < S1
设递增等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 a3 = 1 ， a4 是 a3 和 a7 的等比中项．
(l)求数列{an} 的通项公式；
19.（本小题满分 12 分）
(2)求数列{an} 的前 n 项和 Sn 。
第2页共6页
已知函数
f
(x)
=
cos(p3
+
x) cos(p3
-
x)
- sin
其他答案标号． 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）
1．已知全集 U={0，1，2，3，4），集合 A={1，2，3），B={2，4}，则 (CU A) U B 为
A.{1,2,4)
B.{2,3,4)
C.{0,2,4) D.{0,2,3,4)
12.设定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x + 2) = f (x) ，f '(x) 是 f (x) 的导函数，当 x Î[0,1] 时，0 £ f (x) £ 1；
山东济南一中等四校2014高三上期中联考-数学(理)(扫描版)汇总
高三部分学校数学（理科）调研考试（11月）参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）C AD B A D A C D B B C 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 13． (2,4)-- 14． 14n - 15． 2=a 16． [1,0]-三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．解：p 为真：△=42a -16<0 ⇒ -2<a <2 ------------2分q 为真：3-2a >1 ⇒a <1 ------------4分因为p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p,q 一真一假 ------------6分 当p 真q 假时，⎩⎨⎧≥<<-122a a ⇒ 1≤2<a ------------8分当p 假q 真时，⎩⎨⎧<-≤≥122a a a 或 ⇒ 2-≤a ------------10分∴a 的取值范围为[)(]2,2,1-∞-⋃ ------------12分 18．解：（1）在递增等差数列{}na中，设公差为0>d ，⎩⎨⎧=⨯=137324a a a a ⎩⎨⎧=++⨯=+⇒12)6(1)3(1121d a d a d a 解得 ⎩⎨⎧=-=231d a ------6分522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n ， -------------------9分（2）nn n n S n 42)523(2-=-+-= ∴所求52-=n a n ，n n S n42-= --------------------12分19．解：ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+ 1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ------6分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=, ------7分 函数()f x的最大值为2------8分(2)由222,4k x k k zππππ≤+≤+∈ 得3,88k x k k zππππ-≤≤+∈ 函数()f x 的单调递减区间3[,],88k k k zππππ-+∈ ------10分 又[0,]x π∈,则()f x 在[0,]π上的单调递减区间为3[0,]8π,7[,]8ππ ------12分 20．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即103ba-+=+，解得1b =.-------------2分 从而有131()3x x f x a+-+=+ 又由(1)(1)f f =--知1131391a a-+-+=-++，解得3a =.----------------5分 (2)由（1）知13112()3333(31)x x x f x +-+==-+++ ----------------7分对于任意的12,x R x R ∈∈且12x x <, ---------------8分210x x x =->2121122121()()1212()()33(31)33(31)223(31)3(31)2(33)03(31)(31)x x x x x x x x y f x f x ∴=-=-+--+++=-++-=<++----------------11分所以函数()f x 在全体实数上为单调减函数。
2014年山东省高考理科数学试题+答案(全)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区 和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3 第Ⅱ卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式:如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P((A))+P((B))；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P((A))*P((B))第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += (A) 54i -(B)54i +(C) 34i -(D)34i +答案：D解析：由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+，选D考点：复数的四则运算，复数的概念。
（2）设集合{|1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}xB y y x ==∈,则A B =(A) [0,2](B) (0,3)(C) [1,3)(D)(1,4)答案：C解析：由已知{|13},{|14}A x x B y y =-<<=≤≤，所以，[1,3)A B =，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。
答案2014学年第一学期高三数学(理)
2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷参考答案（理）一、填空题1、2π2、]2,0[3、i 24、⎩⎨⎧∈≥==*-N n n n a n n ,2,21,32 5、28 6、103 7、4 8、060 9、63 10、)14,12( 11、61 12、53 13、2 14、]41,0(19、[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分 2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN // 所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分 101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分 20、【解】（1）由条件得到03tan 8tan 32=-+αα，………………2分解得31tan =α或者3tan -=α ………………4分 παπ<<2Θ，.3tan -=∴α ………………6分（2）54tan 1tan 12cos )22sin(22=+--=-=-αααπα ………………2分+2分+2分=6分 21、（理）【解】：（1）设0)(=x f ，02)2(2=--+n x n x 得 n x x =-=21,2。
所以n a n =…………………………………………………………………………4分（2）n n n n b 2)1(31⋅⋅-+=-λ，若存在0≠λ，满足n n b b >+1恒成立 即：n n n n n n 2)1(32)1(3111⋅⋅-+>⋅⋅-+-++λλ，………………………………6分λ⋅->--11)1()23(n n 恒成立 ……………………………………………………8分 当n 为奇数时，λ>-1)23(n ⇒ 1<λ ………………………………………10分 当n 为偶数时，λ->-1)23(n ⇒ 23->λ …………………………………12分 所以 123<<-λ ………………13分， 故：1-=λ………………………14分22、【解】（1）由0)1(=f ，得21=+c a ，………………1分 因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ， ………………2分 即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ．……………4分 （2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得 02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，………………7分 所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ； 当21>b 时，原不等式解集为),21(b ； 当21=b 时，原不等式解集为空集 ． ………………10分 （3）412141)(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x x g ， ………………11分 )(x g 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12+=m x ．假设存在实数m ，使函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．① 当m m <+12，即1-<m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上是增函数，所以5)(-=m g ，即54121412-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m m ，解得3-=m 或37=m ， 因为1-<m ，所以3-=m ； ………………13分②当212+≤+≤m m m ，即11≤≤-m 时，函数)(x g 的最小值为5)12(-=+m g ，即 541)12(21)12(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得22121--=m 或22121+-=m ，均舍去； ………………15分③当212+>+m m ，即1>m 时，)(x g 在区间]2,[+m m 上是减函数，所以5)2(-=+m g ，即541)2(21)2(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得221--=m 或221+-=m ，因1>m ，所以221+-=m ． ………………17分综上，存在实数m ，3-=m 或221+-=m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-． ………………18分23、【解】(1)113,2n n n n a a b b n ++-=∴-=+Q , ………………2分1231,4,8b b b =∴==Q ………………4分(2)由3112727n n n n n a a n b b n ++-=-⇒-=-, ………………5分 由104n n b b n +->⇒≥,即456b b b <<<L ; ………………7分由104n n b b n +-<⇒<,即1234b b b b >>> ………………9分4k ∴=. ………………10分(3)由1111(1)(1)(2)n n n n n n n a a b b n ++++-=-⇒-=-+, ………………11分故1*1(1)(21)(2,)n n n n b b n n n N ---=-+-≥∈,12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)n n n n n n n n b b b b b b n b b n ------∴-=+-=-+-=-+--=-+-L ………………13分当*2()n k k N =∈时,以上各式相加得 1221122(2)(2222)[12(2)(1)]1(2)2n n n n n b b n n ------=-+-++-+--+-=+--L L 2232n n +=+ 2225132323n n n n n b +∴=++==++ ………………15分 当*21()n k k N =-∈时,111221213(1)(2)1(2)32326n n n nn n n n n b b n n +++++=--+=++-+=--+ ………………17分213,32625,323n n n n b n ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪++⎪⎩(21)(2)n k n k =-=,*()k N ∈ ………………18分。
济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测数学(理)(附答案)
绝密★启用前2014年高考针对性训练（山东卷）（又名：济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测）数 学（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题题（第1题~第10题）、非选择题（第11题~第21题）两部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．（具体说明见答题卡要求）考试结束后，交回答题纸． 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、设集合}023{2=+-=x x x A ，则满足}2,1,0{=⋃B A 的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．62、如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则=+21z zA ．1B ． 5C ．2D ．33、12cos log 12sin log 22ππ+的值为A ．-2B ．-1C ．12D ．14、已知平面向量a ，b 1=2=，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π5、一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为A ．96B ．136C ．152D ．1926、如图，在△AB C 中，AB =1，AC =3，D 是BC 的中点，则=∙A ．3B ．4C ．5D ．不确定7、函数f (x )=cos(πx)x 2的图像大致是8、执行右图的程序框图，输出的S 的值为A ．0B ．52C ．1D ． 39、设曲线y =2x -x 2与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落入区域}2),{(22＜y x D y x +∈的概率是A ．π-1πB ．ππ+1C ．23D ．3410、已知定义域为R 的函数f (x )=a +2bx +3sin x +bx cos x 2+cos x(a,b ∈R)有 最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则3a -2b =A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知关于关于x 的不等式12＞-+-x a x 的解集为全体实数R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12、已知(1+ax )(1+x )6的展开式中x 2的系数为3，则a = ▲ ．13、设x 0是方程10-x =lg x 的解，且x 0∈(k ,k +1)(k ∈Z)，则k = ▲ ．14、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则x y 的最大值是 ▲ ． 15、过双曲线x 2a 2 - y 2b 2 =1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (-c ，0)，作倾斜角为π6的直线EF 交该双曲 线右支于点P ，O 为坐标原点，若)(21+=且0=∙，则该双曲线的 离心率为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，且a =43，b =32，∠A =2∠B ． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求c 的值．17．（本小题满分12分）甲地区有10名人大代表，其中有4名女性；乙地区有5名人大代表，其中有3名女性，现采用分层抽样法从甲、乙两地区共抽取3名代表进行座谈．（Ⅰ）求从甲、乙两地区各抽取的代表数；（Ⅱ）求从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名代表中女性数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）在四面体A-BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，∠DBC =30°，AD =2，BD =22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC ．（Ⅰ）求证：PQ //平面BCD ；（Ⅱ）求二面角C-MN-D 的大小．19．（本小题满分12分）已知数列{b n }满足b n+1 = 12b n + 14，且b 1=72，T n 为{b n }的前n 项和． （Ⅰ）求证：数列{b n -12}是等比数列，并求出{b n }的的通项公式； （Ⅱ）如果对任意n ∈N *，不等式2T n +3·22-n -10k≤n 2+4n +5恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知曲线C 上任意一点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y =-2的距离小1，一个圆的圆心为A (0,4)，过点A 的直线与曲线C 交于D,E 两点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）当线段DE 长度最短时，曲线C 过D 点的切线与圆A 相切的弦长为855，求此时圆A 的方程．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=e x - x - 1，g (x )=x 2e ax ．（Ⅰ）求f (x )的最小值；（Ⅱ）求g (x)的单调区间；（Ⅲ）当a =1时，对于在(0,1)中的任一个常数m ，是否存在正数x 0使得f (x 0)＞m 2g (x)成立？如果存在，求出符合条件的一个x 0；否则请说明理由．济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测数学（理科）试题参考答案及评分标准2014.5一、选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．C6．B 7．A 8．B 9．A 10．C二、填空题11．),3()1,(+∞⋃-∞ 12．-2 13．9 14．2 15．1+ 3三、解答题16．（本小题满分12分）（Ⅰ）因为a =43，b =32，∠A =2∠B 所以在△ABC 中，由正弦定理得43sin2B = 32sin B. .....................3分 所以2sin B cos B sin B = 263.故cos B =63. .....................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得（Ⅰ）cos B =63，所以sin B =B 2cos 1-=33. 又因为∠A =2∠B ，所以cos A =2cos 2B - 1= 13. ............8分 所以sin A =A 2cos 1-= 223. 在△ABC 中，sin C =sin(A +B )=sinAcosB+cosAsinB=539. ...........10分 所以25sin sin ==AC a c . ..............12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）应在甲地区抽去2人，乙地区抽取1人...................................2分（Ⅱ）32210242101416=+=C C C C C P ；所以从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率为23. ............5分 （Ⅲ）依据题意得ξ可取0、1、2、3.由152)0(255101226===C C C C P ξ. ........6分 7531)1(152********===C C C C C P ξ. ......7分 7528)1(152101224===C C C C P ξ； 756)3(152101324===C C C C P ξ .......9分。
2014-2015学年山东省济南市外国语学校高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年山东省济南市外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|＞0}，那么集合A∩（∁U B）=（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．若￢p是q的必要条件，则p是￢q的允分条件B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≤0”D．“x＞2”是“”的充分不必要条件3．（5分）已知锐角α满足，则sin2α等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）6．（5分）已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是（）A． B．C．D．7．（5分）双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．18．（5分）已知函数f（x）满足∀x∈R，f（x）=f（2﹣x）且f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[﹣1，2]D．[0，2]二、题空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）函数的定义域为．13．（5分）在二项式的展开式中，则x4项的系数是．14．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则p=．15．（5分）设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断：①y=f（x）是周期函数；②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；③y=f（x）在[0，1]上是增函数；④．其中正确判断的序号是．（把你认为正确判断的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．17．（12分）已知等差数列{a n}，a2=6，a5=18．{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2，AB=AD=PB=1，点E为棱PA的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．19．（12分）为保证APEC会议期间空气质量，城市环保局加强了对各个地区空气质量的监督力度．环保局在某工厂附近小区新设置了一台仪器用以随时监测“PM2.5”的值，仪器有三个重要的元件，若元件损坏则会引起仪器故障，已知A，B，C三个元器件损坏的概率分别为：0.1，0.2，0.3，三个元器件是否损坏互不影响，当A，B，C三个元器件中有一个损坏时，仪器发生故障的概率为0.1，有两个损坏时，仪器发生故障的概率为0.5，有三个损坏时，仪器发生故障的概率为0.9．（Ⅰ）设X表示A，B，C三个元器件正常的个数，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求仪器发生故障的概率．20．（13分）已知O是坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B，当时，求△ABC的面积S的最大值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：当n∈N*且n≥2时，．2014-2015学年山东省济南市外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|＞0}，那么集合A∩（∁U B）=（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}【解答】解：由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，则集合A={x|﹣2≤x≤3]，由得（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＞4或x＜﹣1，则集合B={x|x＞4或x＜﹣1}，即∁U B={x|﹣1≤x≤4]，所以A∩（∁U B）={x|﹣1≤x≤3]，故选：D．2．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．若￢p是q的必要条件，则p是￢q的允分条件B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≤0”D．“x＞2”是“”的充分不必要条件【解答】解：对于A，若￢p是q的必要条件，则q⇒￢p，即p⇒￢q，则p是￢q的充分条件，A正确；若p且q为假命题，则p，q中至少一个为假命题，B错误；命题“∀x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≤0，C正确；由x＞2⇒，反之不成立，∴“x＞2”是“”的充分不必要条件，D正确．故选：B．3．（5分）已知锐角α满足，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）；①sin（）=（c osα+sinα）；②∵锐角α满足cos2α=sin（﹣α），③∴由①②③得，cosα﹣sinα=，两边平方整理得：1﹣sin2α=，则sin2α=．故选：A．4．（5分）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：1=log55＞log=log53＞log5=∴＜a＜1，b=＜0，∵0＜===＜=，∴0＜c＜，∴a＞c＞b，故选：C．5．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin（x﹣）=sin（x﹣），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sin（）．故选：D．6．（5分）已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是（）A． B．C．D．【解答】解：函数在其定义域上连续，f（）=﹣=﹣＜0，f（）=﹣=﹣＞0，故f（）f（）＜0，故选：C．7．（5分）双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．1【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以=a+≥2=，最小值是．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）满足∀x∈R，f（x）=f（2﹣x）且f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∵f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的图象开口向上，∵，∴|2x﹣1|＜|﹣1|，解得，＜x＜，故选：C．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[﹣1，2]D．[0，2]【解答】解：由于函数f（x）=，且|f（x）|≥ax，①当x≤0时，ln（1﹣x）≥0恒成立，不等式即ln（1﹣x）≥ax，则此时应有a≥0；②当x＞0时，由于﹣x2﹣2x 的取值为（﹣∞，0），故不等式即|f（x）|=x2+2x≥ax，a≤x+2，由x+2＞2，即有a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]，故选：D．二、题空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为2=2sinx=故答案为：12．（5分）函数的定义域为（1，2）∪（2，3] ．【解答】解：由，得1＜x≤3且x≠2．∴函数的定义域为（1，2）∪（2，3]．故答案为：（1，2）∪（2，3]．13．（5分）在二项式的展开式中，则x4项的系数是10．=•（﹣1）r•x10﹣3r，【解答】解：由展开式的通项公式为T r+1令10﹣3r=4，求得r=2，则展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为：10．14．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则p=2．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣∴直线AB的方程为y=x﹣，代入y2=2px可得x2﹣3px+=0∴x A+x B=3p，由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x A+x B+p=4p=8∴p=2．故答案为：2．15．（5分）设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断：①y=f（x）是周期函数；②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；③y=f（x）在[0，1]上是增函数；④．其中正确判断的序号是①②④．（把你认为正确判断的序号都填上）【解答】解：因为f（x+1）=﹣f（x）所以f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），由函数的周期定义可知该函数的周期为2，由于f（x）为定义在R上的偶函数且在[﹣1，0]上为单调递增函数，所以由题意可以画出一下的函数草图为：由图及题中条件可以得到：①正确，周期T=2；②由图可以知道该函数关于x=1对称，所以②正确；③有已知条件y=f（x）是定义在R上的偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，所以y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，故③错；④对于f（x+1）=﹣f（x），令x=﹣，得到：f（）=﹣f（﹣）⇒（因为函数f（x）为偶函数）∴故④正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=所以：函数的最小正周期：令：（k∈Z）∴（2）∵，∴，即，∴f（x）max=3，f（x）min=2．17．（12分）已知等差数列{a n}，a2=6，a5=18．{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=6，a5=18．∴，解得a1=2，d=4．∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．设等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．∴b1=2，4q=1，即q=．∴b n=2×=23﹣2n．（II）===（2n﹣1）•4n﹣1，∴数列{c n}的前n项和T n=1+3×4+5×42+…+（2n﹣1）×4n﹣1，4T n=4+3×42+…+（2n﹣3）×4n﹣1+（2n﹣1）×4n，∴﹣3T n=1+2×（4+42+…+4n﹣1）﹣（2n﹣1）×4n=﹣（2n﹣1）×4n=×4n﹣，∴T n=+．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2，AB=AD=PB=1，点E为棱PA的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∴∠ABC=90°，AB⊥BC，PB⊥底面ABCD，而CD⊂底面ABCD，PB⊥CD，在底面ABCD中，由∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=BC，∴BD=CD=BC，BD⊥CD，又PB∩BD=B，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）设平面EBD的法向量为=（x，y，1），B（0，0，0），E（0，，），=（0，，），D（1，1，0），则，即，=（0，1，0），又∵平面ABE的法向量为=（0，1，0），∴cos＜，＞==，即二面角A﹣BE﹣D的大小的余弦值为．19．（12分）为保证APEC会议期间空气质量，城市环保局加强了对各个地区空气质量的监督力度．环保局在某工厂附近小区新设置了一台仪器用以随时监测“PM2.5”的值，仪器有三个重要的元件，若元件损坏则会引起仪器故障，已知A，B，C三个元器件损坏的概率分别为：0.1，0.2，0.3，三个元器件是否损坏互不影响，当A，B，C三个元器件中有一个损坏时，仪器发生故障的概率为0.1，有两个损坏时，仪器发生故障的概率为0.5，有三个损坏时，仪器发生故障的概率为0.9．（Ⅰ）设X表示A，B，C三个元器件正常的个数，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求仪器发生故障的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=0.1×0.2×0.3=0.006．P（X=1）=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092，P（X=2）=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398，P（X=3）=0.9×0.8×0.7=0.504．∴X的分布列为：EX=0×0.006+1×0.092+2×0.398+3×0.504=2.4．（Ⅱ）仪器发生故障的概率：p=0.006×0.9+0.092×0.5+0.0398×0.1=0.0912．20．（13分）已知O是坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B，当时，求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率，且过点，∴=1，=，∴a=，b=1，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴=1，即m2=k2+1，联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，∵，∴≤≤，∴≤k2≤1，S=S△ABO=，设u=k4+k2，则，S=，u∈[，2]，∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，∴△AOB的面积S的最大值为．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：当n∈N*且n≥2时，．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣x，∴f′（x）=﹣，f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为，切点为（1，﹣），f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+=（x﹣1），即为x﹣2y﹣2=0；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜x2﹣xlnx，令g（x）=x2﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=．当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0，从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=．∴k≤；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，当x＞1时，lnx﹣x+＜0，可化为xlnx＜，又xlnx＞0，从而，＞=﹣．把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，++…+＞1﹣+﹣+…+﹣=1+﹣﹣=．。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
山东省济南市2014届高三上学期期末质量调研考试数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若ibi a 4325+=+(a 、b 都是实数,i 为虚数单位）,则a +b = A ．1B ． -1C ．7D ．-72．已知集合}1|{2+==x y y M ,}1|{22=+=y x y N ,则=N M A ．)}1,0{(B ．}2,1{-C ．}1{D ．),1[+∞-3．设,2.0e P =2.0ln =Q ,715sin π=R ,则 A ．Q R P << B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<4．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若63=a ,xdx s 433⎰=,则公比q 的值为A ．1B ．21-C ．l 或21-D ．-1或21-5．将函数x x y cos sin +=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m 的最小值是A ．4πB .6π C ．43π D ．65π6．“m =3”是“直线057)3()1(21=-+-++m y m x m l ：与直线052)3(2=-+-y x m l ：垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-1210y x y x y x ,则目标函数y x z 5+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．58．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为9．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③10．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,若AC AB AN μ+λ=,则λ+μ的值为 A ．21B ．31 C .41 D ．111．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为A ．2B ．31+C .22+D ．21+12．设)(x f 是定义在R 上的可导函数,当x ≠0时,0)()(>+xx f x f ＇,则关于x 的函数)(x g xx f 1)(+=的零点个数为 A ．lB ．2C ．0D ．0或 2第Ⅱ卷（非选择题,共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题,共16分）13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15．已知定点)1,2(-Q ,F 为抛物线x y 42=的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当||||PF PQ +取最小值时P 的坐标为________．16．已知0>m ,0>n ,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知)cos sin ,sin 2(x x x -=,)cos sin ,cos 3(x x x +=,函数.)(x f ⋅= (1)求函数)(x f 的解析式；(2)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边为c b a ,,,若2)2(=Af ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值．18．（本小题满分12分）已知函数xx mx f 24)(+=是奇函数．(1)求m 的值：(2)设a x g x -=+12)(．若函数错误！未找到引用源。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试 数学(理)试题 高清PDF版含答案
2014年1月高三教学质量调研考试数学（理科）试题答案一、选择题（共60分）BCDCA ADABA DC二、填空题（共16分）13. 1007 14. 1215．1(,1)4-16．2m n +≥+三、解答题（共74分）17. （本小题满分12分）解：(1)∵()f x m n =⋅ =(2sin ,sin cos ),sin cos )x x x x x -⋅+x=2cos sin cos 2x x x +-x ------------------------------------3分 2sin(26x π=- 故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=-------------------------------------6分 (2)∵(2sin()226Af A π=-= 即sin(16A π-= 所以 23A π= -------------------8分又1sin 22bc A =，可得： ------------------------------------10分 2c =所以,得2222cos 1427a b c bc A =+-=++=a =分18. （本小题满分12分） 解：（1）由函数()f x 是奇函数可知：(0)1+0f m ==， ------------------------------2分解得. ------------------------------------4分1m =-（2）函数()f x 与的图象至少有一个公共点()g x 即方程412x x -12x a +=-至少有一个实根 - -----------------------------------6分 即方程至少有一个实根 ------------------------------------8分 421x x a -⋅+=00令，则方程至少有一个正根2x t =>210t at -+=方法一：由于12a t t=+≥∴a 的取值范围为[2. ------------------------------------12分,)+∞方法二：令h t ，由于2()1t at =-+(0)10h >，所以只须002a ∆≥⎧⎪⎨>⎪⎩， =解得.2a ≥∴a 的取值范围为[2.,)+∞19. （本小题满分12分）解：(1)设在等比数列{}n a 中，公比为,q 因为成等差数列.2354,,a a a a +所以 ------------------------------2分352()a a +2a a =+43242()q q q q +=+解得 12q = ------------------------------4分 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ------------------------------6分(Ⅱ)11(21)2n n b n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.n n b b b b T ++++= 321211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① 2311111135(21)22222n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ② ------------------------------8分 ①—②,得21111112(21)2222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12 111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2n n ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭ =2332n n +- ------------------------------10分 所以12362n n n T -+=- ------------------------------12分 20. （本小题满分12分） （1）证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ， ------------------------------1分MN ∥CD 21，AE ∥CD 21， ------------------------------3分 ∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN ------------------------------4分11AN ADD A ⊂平面11ME ADD ⊄平面A∴ME ∥平面. ------------------------------6分1AD （2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系---------------------------7分1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ，11(1,0,2),(0,,0),(0,2,2),(1,2,0),AD AE m D C EC m =-==-=--1AD E 1111(,,)n x y z = 1n 平面的法向量为，由⋅ 10AD =1n ⋅ 0AE = 1(2,0,1)=及得n ------------------------------9分 平面的法向量为，由1D EC 2(,,)n x y z = 2n ⋅ 10D C = 及2n ⋅ 0EC =得 ------------------------------11分2n(2,1,1m =-)1212cos 15n n n n θ=== ，即2201161290m m +=，解得343(210m m ==或舍-） 所以32AE =------------------------------12分 21．（本小题满分12分）解：(1)()f x 的定义域为. ------------------------------1分(0,)+∞2'11(1)(()a x ax a x x f x x a x x x--+--+-=-+==1)a ------------------------------3分 （i ）若a 即,则11-=2a =2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. ------------------------------4分(ii)若,而,故12,则当11a -<1a >a <<(1,1x a )∈-时，'()0f x <; 当或时，；(0,1)x a ∈-(1,)x ∈+∞'()0f x >故()f x 在单调减少，在单调增加. -----------------------------5分 (1,1a -)(0,1),(1,)a -+∞ (iii)若,即,11a ->2a >同理可得()f x 在单调减少，在(1,1)a -(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ------------------------------6分（2） 由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立. 设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-， ------------------------------8分则'F ()220ax x x=+-≥> 所以F()x 在区间上是增函数， - -----------------------------10分 +∞[e,）只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- ------------------------------12分 22．（本小题满分14分）解:(1) 由已知可得2222212c a b a a -==，所以 ① -----------------------------1分 22a b =2又点M 在椭圆上，所以C 22211a b += ② -----------------------------2分 由①②解之，得.224,2a b == 故椭圆C 的方程为12422=+y x . -----------------------------4分(2)【解法一】①当直线的斜率为0时,则l 12k k ⋅=33424243⨯=-+; ----------------5分 ②当直线的斜率不为0时,设,l 11(,)A x y 22(,)B x y ,直线l 的方程为1x my =+,将1x my =+代入22142x y +=,整理得22(2)23m y my 0++-=.------------------------7分 则12222m y y m -+=+,12232y y m -=+ -----------------------------9分 又,, 111x my =+221x my =+所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 1212212193()93()2y y y y m y y m y y -++=-++22222239322=239322m m m m m m m m ---⨯+++---+++2232546m m m ++=+23414812m m +=++ -----------------------------11分 令,则4t m =+11223242tk k t t ⋅=+-+25 当时即0t =14m =-时，1234k k ⋅=；当t 时，0≠1224232tk k t t ⋅=+-+2532254()t t=+2+-1273124k k ≤⋅< 或12314k k <⋅≤ 当且仅当,即时, 取得最大值. -----------------------------13分 5=t 1=m 12k k ⋅由①②得,直线的方程为.-----------------------------14分l 10x y --=【解法二】①当直线垂直于x 轴时,则l 12k k ⋅=33+522=41416--- ; ②当直线与x 轴不垂直时,设,l 11(,)A x y 22(,)B x y ,直线l 的方程为(1y k x )=-,将代入(1y k x =-)22142x y +=,整理得2222(12)4240k x k x k +-+-=.则2212122242,1212k k x x x x k k -+==++4) 又,,11(1y k x =-)22(1y k x =-所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅- 222121212129(3)164()k k k x x k x x x x x x +-++=-++22325,46k k k ++=+ 令22325(),46k k h k k++=+由得()0h k '=1k =或23k =- 所以当且仅当时最大，所以直线的方程为1k =12k k ⋅l 10x y --=.。
山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测高三数学试题
高三数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项． 1.已知集合,={|U U R A x y C A ==集合则= （ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{≥<x x x 或C ．}1|{≥x xD ．}0|{<x x2.下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若210,1x x -==则”的逆否命题为：“若21,10x x ≠-≠则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有3.设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为 A ．6πB ．3πC ．4π D ．512π 4.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++ 的值为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 5.在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 6.已知)34()34(01)1(0cos )(-+⎩⎨⎧≤++>-=f f x x f x xx f ，则π的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．－27.给出下列三个等式：()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()f x x =B ．2()log f x x =C ．()3x f x =D ．()sin f x x =8.函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x y B ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y9.设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）10.已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92B ．32 C ．31 D ．91 11.设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。
2014年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)
2014年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A.+iB.-iC.-+iD.--i【答案】A【解析】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.已知集合A={x丨丨x-1丨＜2}，B={x丨y=lg（x2+x）}，设U=R，则A∩（∁U B）等于（）A.[3，+∞）B.（-1，0]C.（3，+∞）D.[-1，0]【答案】B【解析】解：∵集合A={x丨丨x-1丨＜2}={x|-1＜x＜3}，B={x丨y=lg（x2+x）}={x|x2+x＞0}={x|x＜-1或x＞0}，U=R，∴A∩（∁U B）={x|-1＜x＜3}∩{x|-1≤x≤0}={x|-1＜x≤0}=（-1，0]．故选：B．利用绝对值不等式的性质和对数函数的定义域，分别求出集合A和B，由此能求出A∩（∁U B）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要注意绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．3.某几何体三视图如图所示，则该几何几的体积等于（）A.2B.4C.8D.12【答案】B【解析】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，∴几何体的体积V=×3×2×2=4．故选：B．根据三视图判断几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断数据所对应的几何量．4.函数y=ln的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（-x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（-x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题．5.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由判断框的条件是k＜27，∴退出循环体的k值为27，∴输出的S=1••…==log327=3．故选：C．根据判断框的条件是k＜27确定退出循环体的k值为27，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.在△ABC中，若=3，b2-a2=ac，则cos B的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：将=3利用正弦定理化简得：=3，即c=3a，把c=3a代入b2-a2=ac，得：b2-a2=ac=a2，即b2=a2，则cos B===．故选：D．已知第一个等式利用正弦定理化简，得到c =3a ，代入第二个等式变形出b ，利用余弦定理表示出cos B ，将表示出的b 与c 代入即可求出值．此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．7.如图，设抛物线y =-x 2+1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是（ ） A. B. C. D.【答案】 C【解析】 解：由题意可知抛物线y =-x 2+1的顶点为A （0，1），与x 轴正半轴的交点为B （1，0）， ∴△AOB 的面积为： =． 抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ， 面积为：S= = =．随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率满足几何概型； ∴随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是：=．故选：C ．求出直线与坐标轴围成三角形的面积，及抛物线与坐标轴围成的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．本题考查几何概型在求解概率中的应用，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P=求解．8.已知g （x ）=ax +1，f （x ）= ， ， ＜ ，对∀x 1∈[-2，2]，∃x 2∈[-2，2]，使g （x 1）=f （x 2）成立，则a 的取值范围是（ ）A.[-1，+∞）B.[-1，1]C.（0，1]D.（-∞，1] 【答案】 B【解析】解：作出函数f （x ）= ， ， ＜ 的图象如图：则当x ∈[-2，2]，f （x ）的最大值为f （2）=3，最小值f （-2）=-4，即函数f （x ）在[-2，2]上的值域为[-4，3]．若a =0，g （x ）=1，此时满足∀x 1∈[-2，2]，∃x 2∈[0，2]，使g （x 1）=f （x 2）成立，若a ≠0，则g （x ）=ax +1，则直线g （x ）过定点B （0，1）， 若a ＞0，函数在[-2，2]上单调递增，则当x =2时，g （2）=2a+1，当x=-2时，g（-2）=-2a+1，此时函数的值域为[-2a+1，2a+1]，要使对∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则[-2a+1，2a+1]⊆[-4，3]，即＞，即＞，解得0＜a≤1，若a＜0，则函数在[-2，2]上单调递减，则当x=2时，g（2）=2a+1，当x=-2时，g（-2）=-2a+1，此时函数的值域为[2a+1，-2a+1]，要使对∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则[2a+1，-2a+1]⊆[-4，3]，即＜，即＜，解得-1≤a＜0，综上-1≤a≤1，故选：B．作出函数f（x）的图象，根据数形结合即可得到结论．本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．9.已知点M（x，y）是平面区域内的动点，则（x+1）2+（y+1）2的最大值是（）A.10B.C.D.13【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x+1）2+（y+1）2，则z的几何意义为区域内的动点P（x，y）到定点C（-1，-1）的距离的平方，则有图象可知，当P位于点A时，|AC|最大，由，解得，即A（1，2），∴z max=（x+1）2+（y+1）2=4+9=13，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，设z=（x+1）2+（y+1）2，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键．10.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A.（，+∞）B.（，+∞）C.（，+∞）D.（0，+∞）【答案】C解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a1，2a2，焦距为2c，设|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，由题意得，∵椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，∴e1•e2===，由三角形三边关系得|F1F2|+|PF2|＞|PF1|＞|PF2|，即2y＞x＞y，得到1＜＜2，∴1＜（）2＜4，∴0＜（）2-1＜3，根据复合函数单调性得到e1•e2=＞．故选：C．设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a1，2a2，焦距为2c，设|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，由题意得，则e1•e2===，由此利用三角形三边关系和复合函数单调性能求出结果．本题考查双曲线和椭圆的离心率的乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形三边关系的合理运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70km/h以下的汽车有______ 辆．【答案】20【解析】解：根据频率分布直方图，得时速在70km/h以下的汽车有：（0.01+0.03）×10×50=20（辆）；故答案为：20由频率分布直方图，求出时速在70km/h以下的汽车的频率，由频率×样本容量即可求出答案．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，找出解答问题的条件是什么，从而得出答案．12.设圆C：（x-3）2+（y-5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为______ ．y=2x-1或y=-2x+11【解析】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y-5=k（x-3）令x=0可得y=5-3k即P（0，5-3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y可得（1+k2）x2-6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y-5=±2（x-3）即y=2x-1或y=-2x+11故答案为：y=2x-1或y=-2x+11由题意可设直线L的方程为y-5=k（x-3），P（0，5-3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．13.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为______ （用数字作答）．【答案】300【解析】解：0不能排第一，共有：5x5x4x3x2x1=600种．在以上600种编排方法中，最后一项的标号小于前面相邻一项与大于前面相邻一项种数相等．所以，实验顺序的编排方法种数为：600÷2=300种．故答案为：300．0不能排第一，共有600种，最后一项的标号小于前面相邻一项与大于前面相邻一项种数相等，由此能求出实验顺序的编排方法种数．本题考查实验顺序编排种数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意统筹分析，全面考虑．14.在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为______ ．【答案】【解析】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（-）=（1-λ）+λ∴m+4n=（1-λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1-λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求+的最值15.已知下列命题：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”是“α⊥β”的充要条件；②（x3+）5的展开式中含x3的项的系数为60；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=-p；④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（-∞，2）；⑤已知奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），且0＜x＜时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有5个零点．其中真命题的序号是______ （写出全部真命题的序号）．【答案】③【解析】解：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”可得“α⊥β”，反过来，“α⊥β”可得“m∥α”或“m⊂α”，故不正确；②（x3+）5的展开式的通项为T r+1=C5r x15-4r，∴含x3的项的系数为C53=10，故不正确；③设随机变量ξ～N（0，1），曲线关于x=0对称，若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=-p，正确；④|x+3|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-3和2对应点的距离之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，知2m+1≤5，则m的取值范围是（-∞，2]，不正确；⑤奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），可得函数f（x）图象关于x=对称，周期为2π，由0＜x＜时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx，因为x取不到0，，所以共有0个零点，不正确．故答案为：③．①由m⊥β，则“m∥α”可得“α⊥β”，反过来，“α⊥β”可得“m∥α”或“m⊂α”，；②利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为3，写出展开式中x3的系数，得到结果；③设随机变量ξ～N（0，1），曲线关于x=0对称，若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=-p；④|x+3|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-3和2对应点的距离之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，可求m的取值范围；⑤奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），可得函数f（x）图象关于x=对称，由0＜x ＜时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx，因为x取不到0，，所以共有0个零点．本题考查命题的真假判断，考查函数的性质，考查不等式知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共65.0分)16.已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx-）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[，]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=4cosωxsin（ωx-）+1=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx =2sin（2ωx-），∵函数f（x）的最小正周期是π，∴T=，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-），令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，∴-+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间[-+kπ，+kπ]，（k∈z）；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴（2x-）∈[，]，∴f（x）=2sin（2x-）∈[，2]，∴f（x）在[，]上的最大值2，最小值．【解析】（Ⅰ）首先，利用两角差的正弦公式，将sin（ωx-）化简，然后，结合三角恒等变换公式，进行化简，最后，结合周期公式，进一步确定ω的值，从而得到函数的单调区间；（Ⅱ）直接利用三角函数的图象与性质进行求解即可．本题重点考查了两角和与差的三角函数，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．17.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．（Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A-DM-C的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由题意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，又PD=BD=，PD⊥BD，M为PB的中点，∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），M（，，），设平面ADM的法向量，，，则，取y=，得，，，同理，设平面ADM的法向量，，，则，取，得=（，，），cos＜，＞=-，∵二面角A-DM-C的平面角是钝角，∴二面角A-DM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由已知条件推导出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能证明DM⊥平面SDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DM-C 的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；（Ⅱ）从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P2；②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）恰好取4次停止的概率：P1=（+）×=．（Ⅱ）①恰好取5次停止的概率P2==．②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，由n次独立重复试验概率公式P n（k）=，得P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有P（ξ=3）=++=，∴ξ的分布列为：∴Eξ==．【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式能求出恰好取4次停止的概率P1．（Ⅱ）①利用n次独立重复试验概率公式能求出恰好取5次停止的概率P2．②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验概率公式的灵活运用．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=49，a4和a8的等差中项为11．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）证明：当n≥2时，有++…+＜．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7=49，a4和a8的等差中项为11，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=2n-1，S n=n2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知S n=n2，n∈N*，①n=2时，＜，∴原不等式也成立．②当n≥3时，∵n2＞（n-1）n，∴＜，∴+=＜1++=1++[（）+…+（）+（）]=1++（）=＜．【解析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组求出a1=1，d=2，由此能求出a n及S n．（Ⅱ）由S n=n2知当n=2时，不等式成立；当n≥3时，＜，由此利用裂项法能证明+＜．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点P（，0），若A，B为已知椭圆上两动点，且满足•=-2，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，∴，①∵椭圆经过点M（，1），∴，②又a2=b2+c2，③∴由①②③联立方程组解得a2=8，b2=c2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，代入，消去y整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，由△＞0，得8k2+4-m2＞0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵点P（，0），A，B为已知椭圆上两动点，且满足•=-2，∴====-2，∴++8+m2=0，整理，得（）2=0，解得m=-，满足（*）∴直线AB的方程为y=k（x-），∴直线AB经过定点（，0）．②当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=，此时A（，），B（，-），也有=-2，综上，直线AB一定过定点（，0）．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，代入，消去y整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，由根的判别式和韦达定理结合已知条件求出直线AB的方程为y=k（x-），从而得到直线AB经过定点（，0）．当直线AB与x 轴垂直时，直线方程为x=，也有=-2．由此证明直线AB一定过定点（，0）．本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=k（x-1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=-，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤-l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．【答案】解：（Ⅰ）k=-时，f（x）=-（x-1）e x+x2，∴f′（x）=x（2-e x-1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x-x2-kx＜0，∵x＜0，∴ke x-x-k＞0，令h（x）=ke x-x-k，∴h′（x）=ke x-1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（-∞，-lnk）递减，在（-lnk，0）递增，∴h（-lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（-），令g（k）=ln（-）-k，则g′（k）=--1≤0，g（k）在k=-1时取最小值g（-1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（-）＞k，当-2＜k≤-1时，x2=ln（-）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{-k，1}=1，当k=-2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜-2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=-2[ln（-）-1]+[ln（-）]2=-2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．【解析】（Ⅰ）k=-时，f（x）=-（x-1）e x+x2，得f′（x）=x（2-e x-1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x-x2-kx＜0，令h（x）=ke x-x-k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（-），令g（k）=ln（-）-k，则g′（k）=--1≤0，得g（k）在k=-1时取最小值g（-1）=1+ln2＞0，讨论当-2＜k≤-1时，当k=-2时，当k＜-2时的情况，从而求出m的值．本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查参数的取值，导数的应用，是一道综合题．。
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高三数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项． 1.已知集合,={|U U R A x y C A ==集合则= （ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{≥<x x x 或C ．}1|{≥x xD ．}0|{<x x2.下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若210,1x x -==则”的逆否命题为：“若21,10x x ≠-≠则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有3.设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为 A ．6πB ．3πC ．4π D ．512π 4.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++ 的值为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 5.在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形6.已知)34()34(01)1(0cos )(-+⎩⎨⎧≤++>-=f f x x f x x x f ，则π的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．－27.给出下列三个等式：()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()f x x =B ．2()log f x x =C ．()3x f x =D ．()sin f x x =8.函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x y B ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y9.设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）10.已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）A ．92B ．32 C ．31 D ．91 11.设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。
上述三个式子恒成立的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12.已知()f x 是R 上的奇函数,对R x ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立,若(1)2f =,则(2014)f等于A ．2014B ．2C ．0D ．2-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． 13.已知直线13+=x y 与曲线n mx x y ++=3相切于点)4,1(，则_____=m 。
14.设)(x f 定义如下面数表，{}n x 满足50=x ，且对任意自然数n 均有1()n n x f x +=，则2014x 的值为__________________。
15.已知点)4,1(P 在圆042:=+-++b y ax y x C 上，点P 关于直线03=-+y x 的对称点也在圆C 上，则__________,==b a 。
16.一次研究性课堂上，老师给出函数()1||xf x x =+，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题： 甲：函数()f x 为偶函数；乙：函数)1,1()(-的值域为x f ； 丙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠你认为上述三个命题中正确的个数有 个三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.18.（本题满分12分）某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有10个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖.（I ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主持人笑说：我只知道从盒中 同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是23，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获DC奖的人数，求ξ的分布列及,E D ξξ. 19.（本题满分12分）将边长为4的正方形ABCD 和等腰直角三角形ABE 按图 拼为新的几何图形,ABE ∆中,AB AE =,连结,DE CE ,若DE =M 为BE 中点（Ⅰ)求CM 与DE 所成角的大小;（Ⅱ)若N 为CE 中点，证明：//MN 平面ADE ； （Ⅲ)证明：平面CAM ⊥平面CBE20. (本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈. (1) 求d 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式;(3) 求证:2112122()()(1)(2)n n n a a a S S S n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<++.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程22．（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），椭圆的右顶点为D ，且满足0DA DB ∙=，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
高三数学试题（理科）参考答案一、选择题ACCCB CDDDA BC 二、填空题13．0 14．1 15.1,1=-=b a 16.2 三、解答题17．解: (1)1()2cos 22f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=- …………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………8分(2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………10分故所求的值域为1[2-……………………………………………………12分18. （本题满分12分）解：I ）设印有“美丽泉城行”标志的球有n 个，不都是“美丽泉城行”标志为事件A ，则都是“美丽泉城行”标志的概率是2210()nC P A C =,由对立事件的概率：22102()1()13n C P A P A C =-=-=,221013n C C =得6n =，故“多彩十艺节”标志卡共有4张∴抽奖者获奖的概率为24210215C P C ==………………………………6分Ⅱ）ξ～)2,4(B ，ξ的分布列为44213()()()(0,1,2,3,4)k k k p k C k ξ-===或∴41515E ξ=⨯= 221044(1)1515225D ξ=⨯⨯-=…………………………12分19. （本题满分12分）Ⅰ)解：∵4AE AD ==,DE =∴DA AE ⊥,又DA AB ⊥ AB AE A =∴DA ⊥面BAEABE ∆为等腰直角三角形且AB AE = ∴90BAE ∠=,,AE AB AD 两两垂直分别以,,AE AB AD 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系如图： 则(4,0,0),(0,0,4)E D ，(4,0,4)DE =-(2,2,0)M ，(0,4,4)C∴(2,2,4)CM =-- ∴cos ,||.||CM DE CM DE CM DE ∙<>==M第19题解答图=∴CM 与DE 所成角的大小为6π……………………………4分 Ⅱ) ∵(4,0,0),(0,4,4)E C ，N 为CE 中点 ∴(2,2,2)N ，而(2,2,0)M ∴(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)MN =-=(0,0,4)AD =∴MN 与AD 共线，//MN ADAD ⊂面ADE ，MN ⊄面ADE∴//MN 平面ADE …………………………………8分 Ⅲ)DA ⊥面BAE AM ⊂面BAE ∴DA AM ⊥//BC DA ∴AM BC ⊥又ABE ∆为等腰直角三角形且M 为斜边BE 中点 ∴AM BE ⊥ BE BC B =∴AM ⊥面BCE 又AM ⊂面CAM∴平面CAM ⊥平面CBE …………………………12分121111222122120.1(2)(12)442(22)2684n n n a a b nS n a b S a a b S a a a d b b ===++∴=++===++=+=∴=-=解：，…………………………………………………………3分………………………………………………8分………………………………………………12分21.（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分 10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x =++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-==6分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 7分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 10分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 12分22（Ⅰ）由题意椭圆的离心率21=e 。