力学量算符之间的对易关系
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算符对易关系_第三章
推导 坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系
13
●
测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
13
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测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
222- 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
下面讨论不对易情况
三、不确定关系
1.统计偏差的定义——标准差
如果力学量 ，其相应的算符为 为 ，统计平均值
在任意态 观察值对统计平均值的统计偏差（标 准差）定义为
令
——方均根值
其中，
例如： 值越大表明偏差越大 讨论： （ 1 ）．若处于本征态，则测量值等于本征值，等 于平均值，因此 即本征态是统计偏差等于零， 既无涨落的状态
结论：角动量分量之间的不对 易 上三式可合写为
该式可看成是角动量算符的定义，它比 以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角 动量，而该式包含有自旋角动量。
（3）有心力场中
、
、
的对易关系
而 、 均与r无关，所以上式第一项和第三项 作用在 、 上就和作用在常数上一样，而第二 项中的 分别与 、 对易，因此与 、 分别对易
（1）坐标与角动量算符的对易式
① 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系
（ ） （ ）
同理：
结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的 ② 角动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系
（
）
同理
(1)结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易 的—— 同理: （2）角动量分量之间的对易式
（ ）
即 同理：
得
对比对易关系
得
由公式
，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 需要具体来求。
体的
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是
，（见4.22式）
， （见4.32式）
又： （见4.23式）
， （见4.33式）
因此， 不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
设
——任意态函数
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
量子力学中，动能算符 量子力学中，
h2 2 h2 ˆ T =− ∇ =− 2µ 2µ r 2
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂r r ∂r + sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ ˆ ˆ h2 1 ∂ 2 ∂ L2 pr2 L2 =− = + r + 2 2 2 µ r ∂r ∂r 2 µ r 2µ 2µ r 2
∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
五、平均值公式
ˆ 态下， 在ψ 态下，力学量 F 的平均值为
F = ∑ f n cn
n
n
2
= ∑ f n cn ∫ψ nψ *dτ = ∫ψ * (∑ cn f nψ n )dτ
n n
ˆ ˆ = ∫ψ * F (∑ cnψ n )dτ = ∫ψ * Fψ dτ
或者
* * ˆ * * ˆ ψ * Fψ dτ = ∑ cn cm ∫ψ n Fψ m dτ = ∑ cn cm f m ∫ψ nψ m dτ ∫ nm
px = hk （连续取值） 连续取值）
xψ = x′ψ ( x − x′)ψ = 0 ψ = δ ( x − x′)
x′
（连续取值） 连续取值）
4.任意力学量算符 本征值方程 本征值 本征函数 值。
ˆ A
ˆ Aψ = λψ λ = A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
算符对易关系第三章
ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
=0
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准.
(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ 有一组共同本征函数 n ，而 ˆ和G 如果两个算符 F ˆ 对易。 ˆ 和 G 且 n 组成完全系，则算符 F
证明：
Fn nn , Gn nn , 而 ann
n n
n 由于 为任一波函数，所以
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同：
x px px x i
记为
x, px i
(3)
(4)
(5)
其中 为任意波函数 x px px x i
A B AB BA
（5）式称为算符 x 和 px 的对易关系(comutation relation),等式不为零，我们说，x 与 px 不对易。
(25)
(26)
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：
l , l 0, l , l 0, l , l 0 x x y y z z lx , lz i lz , l y , lz i lx , lz , lx i l y
同理
y, p y i
z , pz i
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同）
量子力学第三章3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系课堂课资
②
即 Gˆ n 也是 Fˆ 属于 n 的本征函数。
章节内容
15
而 n 非简并，
则Gˆ 与n 最n多只能差一常数因子，记为 ，即n：
Gˆ n n n
这样 也n 是 的Gˆ 本征函数，本征值为 。 n 所以 Fˆ 和 Gˆ 有组成完全系的共同的本征函数 n。
在 简 并n 时， 的F本ˆ 征函数不一定都是 的本Gˆ 征函数，
章节内容
19
解释：前面已证：[ Lˆ 2 ,]Lˆ=z0
而
Hˆ
pˆ r 2 2
Lˆ 2 2r 2
es2 r
21 [
(r2
)
1
(sin )
1
2
]
e
2 s
2 r2 r r r2 sin
r2 sin2 2 r
且 Lˆ 2是关于 ，的微分算符，Lˆ z是关于 的微分算符，
所以： [Hˆ , Lˆ 2 ], 0 [H。ˆ , Lˆ z ] 0
章节内容
20
说明：[ Fˆ ,]Gˆ=0不一定是不同力学量同时具有确定值的 条件。
实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学 量可同时取确定值是两回事。
例如：[ Lˆ 2 ,]Lˆ=z0，则由定理知它们有完全的共同的本征
函数系{ }Y，m由上面得的结论：在它们的本征态中，Ym
同时Lˆ具2 ,有Lˆ z确定值
=[ zˆpˆ x , xˆpˆ y ] [zˆpˆ x , yˆpˆ x ] [xˆpˆ z , xˆpˆ y ] +[ xˆpˆ z , yˆpˆ x ]
= zˆ[pˆ x , xˆ ]pˆ y + yˆ[xˆ , pˆ x ]pˆ z
= i(yˆpˆ z zˆpˆ y )
量子力学中的量子力学力学量与对易关系
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。
量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。
而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。
本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。
一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。
算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。
在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。
1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。
位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。
2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。
在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。
动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。
3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。
在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。
能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。
二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。
对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。
1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。
根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。
这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。
这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。
2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。
量子力学中的量子力学力学量与对易关系
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学中的力、动量与对易关系在量子力学中，力和动量是其中两个重要的物理量。
力和动量是描述物体运动和受力情况的基本概念，而在量子力学中，它们也具有独特的性质和对易关系。
一、经典力学与力、动量在经典力学中，力和动量是两个相互关联的物理量。
力可以描述物体所受到的作用，而动量则是描述物体运动状态的基本量。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，而动量则是质量乘以速度。
因此，在经典力学中，力和动量是可以测量并且能够精确计算的物理量。
二、量子力学中的力、动量在量子力学框架下，力和动量的描述则更加复杂。
根据量子力学的原理，力和动量被看作是物理量的观测值，而这些观测值只能以概率的形式出现。
具体而言，力和动量是由作用在量子粒子上的算符来描述的，而测量结果是这些算符的本征值。
具体来说，量子力学中的力和动量算符分别用F和P表示，它们的本征态分别是力和动量的本征态。
而这两个算符之间存在着一种特殊的关系，称为对易关系。
对易关系是指两个算符的乘积与其交换后的乘积之差为零。
在这里，力和动量算符的对易关系可以表示为[F,P]=iħ，其中ħ是普朗克常数。
三、对易关系的物理意义对易关系在量子力学中具有重要的物理意义。
首先，对易关系体现了力和动量的各自观测值之间的相互关联性。
根据对易关系，当我们对物体的力进行精确测量时，与之相关的动量的测量结果将不再具有确定性，而是以概率分布的形式出现。
反之亦然。
此外，对易关系还体现了量子力学中的不确定性原理。
不确定性原理指出，在同一时间内，力和动量无法同时确定到一个确定值。
这是由于力和动量观测值的不确定性与他们之间的对易关系有关。
换言之，当我们对力进行精确测量时，与之相关的动量的测量结果将存在一定的不确定性。
四、量子力学力学量的应用与发展量子力学中力和动量的对易关系不仅仅具有理论上的意义，也具有实际的应用价值。
例如，这种对易关系在量子力学中的研究为原子和分子的结构、量子场论和粒子物理学等领域的发展提供了基础。
J(三章4讲)算符对易关系
x
ˆ , xp ˆ , yp ˆ , zp ˆ ˆ ˆz ] [l ] [ l ] [ l x x x y x ˆ,p ˆ , y] p ˆ,p ˆ , z] p ˆ ˆ ˆ ˆz 0 0 y[l ] [ l z [ l ] [ l x y x y x z x ˆ z izp ˆ y izp ˆ y iyp ˆz 0 iyp
ˆ y , xp ˆ z ] zx[ p ˆy, p ˆ z ] z[ p ˆ y , x] p ˆz z[ p
ˆ z , z] p ˆ x x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ z ][ xp ˆ y yp ˆx] [ z, p
ˆ iL z
角动量与角动量平方的对易关系
ˆ , p ˆ p 0 , 1, 2, 3
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x i x, p ˆy y, p i ˆ z i z, p
ˆy ˆz 0 x, p x, p ˆ x y, p ˆz 0 y, p ˆx ˆy z, p z, p 0
实例：
1. 若一组力学量彼此相互对易，则它们具有共同 本征函数系；当体系处于某一共同本征态时，它们 同时具有确定值。
2. 能完全确定一个量子态所需要的一组彼此对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为一组力学量完 全集，这组集所含力学量的数目与体系的自由度数 目相同
矢量空间的自由度为3,用3个彼此对易的矢量构成的集，比如
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y , zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
ˆ , xp ˆ , yp ˆ , zp ˆ ˆ ˆz ] [l ] [ l ] [ l x x x y x ˆ,p ˆ , y] p ˆ,p ˆ , z] p ˆ ˆ ˆ ˆz 0 0 y[l ] [ l z [ l ] [ l x y x y x z x ˆ z izp ˆ y izp ˆ y iyp ˆz 0 iyp
ˆ y , xp ˆ z ] zx[ p ˆy, p ˆ z ] z[ p ˆ y , x] p ˆz z[ p
ˆ z , z] p ˆ x x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ z ][ xp ˆ y yp ˆx] [ z, p
ˆ iL z
角动量与角动量平方的对易关系
ˆ , p ˆ p 0 , 1, 2, 3
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x i x, p ˆy y, p i ˆ z i z, p
ˆy ˆz 0 x, p x, p ˆ x y, p ˆz 0 y, p ˆx ˆy z, p z, p 0
实例：
1. 若一组力学量彼此相互对易，则它们具有共同 本征函数系；当体系处于某一共同本征态时，它们 同时具有确定值。
2. 能完全确定一个量子态所需要的一组彼此对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为一组力学量完 全集，这组集所含力学量的数目与体系的自由度数 目相同
矢量空间的自由度为3,用3个彼此对易的矢量构成的集，比如
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y , zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
3.7算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆG ˆ -G ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 ˆF an F ˆ） （F n
ˆ 对易，则这两个算符 ˆ G 和 2.逆定理：如果两个算符 F
有组成完全系的共同本征函数。
ˆ和G ˆ 对易，只是两力学量同时 注意：两个算符 F
有确定值的必要条件。
3.力学量的完全集合：要完全确定体系的状态，需要 有一组相互对易的力学量，这组确定体系状态 的力 学量，称为力学量的完全集合。 三．不确定关系 1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动 力学的直觉内容》的论文，公布了他 所建立的不 确定
2 2 ˆ ˆ I F k G
2
2
0
得 （3.7.12）
ˆ ˆ G F
2
ˆ 表示任意两个力学量 关系，称为不确定度关系。
ˆx p ˆ x x i ，所以 例如：（1）xp
x p x
2
2
（ 2）
E t 2
2 4
（3.7.13）
设 为任意波函数，则 E, t i , t i t i i t t t
E t 2
（3）角动量的分量的不确定关系
（3.7.8）
二．两力学量同时有确定值的条件 ˆ 有一组共同的本征函数 1.定理：如果两个算符 F ˆ 和G ˆ ˆ 对易。 G 组成完全系，则算符 和 F ，而且 n
n
证明：因为
，
ˆ ˆ n = nn G = ； F n n n
考虑一下积分：
ˆ ˆ iG I F
算符之间的对易关系
L2 , Lz
氢原子哈密顿算符
H
p2
U (r)
2
[H
,
L2
]
[
p2
,
L2
]
[U
(r),
L2
]
0
（28）
2
所以，H , L2 , L对z 易，它们有组成完备系的共同的本征函
数 RnYlm ( ,，) 在该台中三者同时有确定值： En ,l(l 1) 2 , m
13
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F的本
征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和F 独立且和
F对易的其它力学量
G 。如果
F , G的共同的本征函数仍然
有简并，则必定还存在独立于
F
,
G 而又和
F
,
G对易的其它
力学量
M
，
F
,
G,
M的共同的本征函数是否还有简并？
我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，
波函数 (x描,t)写的状态随时间的变化
满足 Schrodin方ge程r
i
( x, t )
波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？
总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子
具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的
不确定范围可参见教材。
23
• 例题4 一维运动的粒子处在
(x)
Axe
x
0
( 0) 当x 0
当x 0
求 (x)2 (px )2 ?
解：归一化后可得 A 23利/ 2 用
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∧ ∧ ∧ ∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以 F 的本征质谱作为力学量 F 的可能值。若我们同 时观测状态ψ 中的一组不同力学量 F , G , L ， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问 题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
∧
⎧共同本征态定理（包括逆定理） ⎪ 不确定关系 三个定理 ⎨ ⎪ 力学量守恒定理 ⎩
[ L, U ( r )] = 0 , [ L , U (r )] = 0 ( 4) [ Li , r 2 ] = 0 , [ L, r 2 ] = 0
∧ ∧ ∧ ∧ 2
（21） （22）
2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 F 和 G 有一个共同的本征函数 ϕ n ， 则必有 F ϕ n = λ aϕ n 及 G ϕ n = λbϕ n ， 即在 ϕ n 态 中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
∧
∧
∧
∧
∧
∧
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∧
∧
∧
（16）
另外有
[ Lx , L y ] = ih Lz
∧
∧
∧
∧
[ L y , Lz ] = ih Lx
L× L = ih L
∧ ∧
∧
∧
∧
[ L z , L x ] = ih L y
∧
∧
∧
（17） （18）
1.4
几个重要的推论（请大家自行导出）
(1)
2 2 [ L2 , L z ] = [ L2 x , Lz ] + [ L y , Lz ] + [ Lz , Lz ] = 0
( F G − G F )ϕ n = (λ a λb − λ a λb )ϕ n = 0
3
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
这似乎提醒我们有 ( F G − G F ) = 0 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函 数ϕn ） ，如果 F 和 G 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
∧
∧
∧ ∧
p j ( j = 1,2,3) ≡ ( p x , p y , p z )
∧
∧
∧
∧
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。 1.3 角动量算符的对易关系
2
∧ ∧ ⎧ ∧ = = L x L y i z L [ , ] 0 , [ , ] h , [ x x x , z ] = −i h y ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎨[ L y , x] = −ihz , [ L y , y ] = 0, [ L y , z ] = ihx ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎪[ L z , x] = ihy, [ L z , y ] = −ihx, [ L z , z ] = 0 ⎩ 只证明其中一个，请注意证明方法
∧ ∧
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
Y3,1 Y2, 2
∧
L z Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
∧
c
2
2
L2 = 12h 2
L2 = 6h 2
Lz = h Lz = 2h L z = −h
c3,1 = 4 / 9 c 2, 2
2
= 4/9
Y1, −1
L2 = 2h 2
L2 = 12h 2 ×
c1, −1 = 1 / 9
2
4 4 1 74 2 + 6h 2 × + 2h 2 × = h 9 9 9 9 4 4 1 11 L z = h × + 2h × + ( − h ) × = h 9 9 9 9
解法二 由
（3）
n 个相同算符 F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧
∧
例如 F =
∧
∧ ∧ d2 dn d ，则 F 2 = 2 ， F n = n 。 dx dx dx
为了运算上的方便，引入量子括号
⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ F , G⎥ = F G− G F ⎢ ⎣ ⎦
（5）
若
∧
∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ ≠ 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这 组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数 目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对 照一下。 （注意：完全集中力学量的数目一般 ≥ 体系的自由度） 2 2 1 例题一 任意态ψ = Y3,1 (θ , ϕ ) + Y2, 2 (θ , ϕ ) − Y1, −1 (θ , ϕ ) ，求ψ 态中 L2 , Lz 的可能值、概率 3 3 3 及 L2 , L z 。 解法一 可以看出ψ 是 L2 , L z 的共同本征函数所组成，列表对应求解：
（14a）
⎡ ∧ ⎤ x, p z ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
但是
⎡ ∧ ⎤ x, p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
∧ ⎡ ⎤ x , p i j ⎥ = ihδ ij ⎢ ⎣ ⎦
(14c)
其中
xi = (i = 1,2,3) ≡ ( x, y, z )
(15)
[ Lx , y] = [ y p z − z p y , y ] = [ y p z , y ] − [ z p y , y ] = y[ p z , y ] + [ y, y ] p z − z[ p y , y ] − [ z, y ] p y = − z[ p y , y ] = ihz
∧
∧
（24）
例如， L2 Ym (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ ) ， L z Ym (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) ，即 L2 , L z 在 Ylm (θ , ϕ ) 态中 同时有确定值 l (l + 1)h 2 及 mh ，所以 Ylm (θ , ϕ ) 是 L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
(8) (9) (10) (11)
[x, y ] = 0
动量算符是微分算符，因为
[ y, z ] = 0
[ z , x] = 0
（12）
∂2 ∂2 = ，则 ∂x∂y ∂y∂x
⎡∧ ∧ ⎤ py, pz ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ⎤ pz, px ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
⎡∧ ∧ ⎤ px , p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（13）
坐标算符与动量算符：设ψ 为任意函数
∧ ∂ ⎧ ψ x p x ψ = −ihx ⎪ ∂x ⎨∧ ∂ ∂ ⎪ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x ⎩
比较后可得
x p x ψ − p x xψ = ihψ ，即
∧
∧
⎡ ∧ ⎤ x , p x ⎥ = ih ⎢ ⎣ ⎦
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
[ L2 , L j ] = 0 , (2)
∧ ∧
∧
∧
j = (1,2,3) = ( x, y, z )
∧ ∧ ∧ ∧
（19） （20）
[ L j , p 2 ] = 0 , [ L, p 2 ] = 0 , [ L2 , p 2 ] = 0
∧
（3）球坐标下 L 是 θ , ϕ 的函数，若有径向函数算符 U ( r ) ，则
[ L2 , L z ] = 0 。
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以 F 的本征质谱作为力学量 F 的可能值。若我们同 时观测状态ψ 中的一组不同力学量 F , G , L ， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问 题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
∧
⎧共同本征态定理（包括逆定理） ⎪ 不确定关系 三个定理 ⎨ ⎪ 力学量守恒定理 ⎩
[ L, U ( r )] = 0 , [ L , U (r )] = 0 ( 4) [ Li , r 2 ] = 0 , [ L, r 2 ] = 0
∧ ∧ ∧ ∧ 2
（21） （22）
2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 F 和 G 有一个共同的本征函数 ϕ n ， 则必有 F ϕ n = λ aϕ n 及 G ϕ n = λbϕ n ， 即在 ϕ n 态 中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
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（16）
另外有
[ Lx , L y ] = ih Lz
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[ L y , Lz ] = ih Lx
L× L = ih L
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∧
[ L z , L x ] = ih L y
∧
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（17） （18）
1.4
几个重要的推论（请大家自行导出）
(1)
2 2 [ L2 , L z ] = [ L2 x , Lz ] + [ L y , Lz ] + [ Lz , Lz ] = 0
( F G − G F )ϕ n = (λ a λb − λ a λb )ϕ n = 0
3
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这似乎提醒我们有 ( F G − G F ) = 0 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函 数ϕn ） ，如果 F 和 G 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
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p j ( j = 1,2,3) ≡ ( p x , p y , p z )
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※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。 1.3 角动量算符的对易关系
2
∧ ∧ ⎧ ∧ = = L x L y i z L [ , ] 0 , [ , ] h , [ x x x , z ] = −i h y ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎨[ L y , x] = −ihz , [ L y , y ] = 0, [ L y , z ] = ihx ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎪[ L z , x] = ihy, [ L z , y ] = −ihx, [ L z , z ] = 0 ⎩ 只证明其中一个，请注意证明方法
∧ ∧
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
Y3,1 Y2, 2
∧
L z Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
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c
2
2
L2 = 12h 2
L2 = 6h 2
Lz = h Lz = 2h L z = −h
c3,1 = 4 / 9 c 2, 2
2
= 4/9
Y1, −1
L2 = 2h 2
L2 = 12h 2 ×
c1, −1 = 1 / 9
2
4 4 1 74 2 + 6h 2 × + 2h 2 × = h 9 9 9 9 4 4 1 11 L z = h × + 2h × + ( − h ) × = h 9 9 9 9
解法二 由
（3）
n 个相同算符 F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧
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例如 F =
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∧ ∧ d2 dn d ，则 F 2 = 2 ， F n = n 。 dx dx dx
为了运算上的方便，引入量子括号
⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ F , G⎥ = F G− G F ⎢ ⎣ ⎦
（5）
若
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⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ ≠ 0 ⎢ ⎣ ⎦
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我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这 组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数 目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对 照一下。 （注意：完全集中力学量的数目一般 ≥ 体系的自由度） 2 2 1 例题一 任意态ψ = Y3,1 (θ , ϕ ) + Y2, 2 (θ , ϕ ) − Y1, −1 (θ , ϕ ) ，求ψ 态中 L2 , Lz 的可能值、概率 3 3 3 及 L2 , L z 。 解法一 可以看出ψ 是 L2 , L z 的共同本征函数所组成，列表对应求解：
（14a）
⎡ ∧ ⎤ x, p z ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
但是
⎡ ∧ ⎤ x, p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
∧ ⎡ ⎤ x , p i j ⎥ = ihδ ij ⎢ ⎣ ⎦
(14c)
其中
xi = (i = 1,2,3) ≡ ( x, y, z )
(15)
[ Lx , y] = [ y p z − z p y , y ] = [ y p z , y ] − [ z p y , y ] = y[ p z , y ] + [ y, y ] p z − z[ p y , y ] − [ z, y ] p y = − z[ p y , y ] = ihz
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（24）
例如， L2 Ym (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ ) ， L z Ym (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) ，即 L2 , L z 在 Ylm (θ , ϕ ) 态中 同时有确定值 l (l + 1)h 2 及 mh ，所以 Ylm (θ , ϕ ) 是 L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
(8) (9) (10) (11)
[x, y ] = 0
动量算符是微分算符，因为
[ y, z ] = 0
[ z , x] = 0
（12）
∂2 ∂2 = ，则 ∂x∂y ∂y∂x
⎡∧ ∧ ⎤ py, pz ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ⎤ pz, px ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
⎡∧ ∧ ⎤ px , p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（13）
坐标算符与动量算符：设ψ 为任意函数
∧ ∂ ⎧ ψ x p x ψ = −ihx ⎪ ∂x ⎨∧ ∂ ∂ ⎪ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x ⎩
比较后可得
x p x ψ − p x xψ = ihψ ，即
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⎡ ∧ ⎤ x , p x ⎥ = ih ⎢ ⎣ ⎦
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[ L2 , L j ] = 0 , (2)
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j = (1,2,3) = ( x, y, z )
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（19） （20）
[ L j , p 2 ] = 0 , [ L, p 2 ] = 0 , [ L2 , p 2 ] = 0
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（3）球坐标下 L 是 θ , ϕ 的函数，若有径向函数算符 U ( r ) ，则
[ L2 , L z ] = 0 。
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