同余
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题在数学中，同余是一个非常有趣且经常应用的概念。
同余问题即涉及到同余的各种问题。
在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，同余问题经常出现且需要解决。
本文将介绍同余问题的几个典型奥数题，并提供详细的解析步骤和思考过程。
一、同余的定义和性质：1. 定义：对于整数a，b和正整数n，如果a与b除以n的余数相等，则称a与b在模n下同余，记作a≡b(mod n)。
- 同余关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
- 如果a≡b(mod n)且c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)和ac≡bd(mod n)。
- 对于正整数m、n和a，如果m|n，则a≡b(mod m)蕴含着a≡b(mod n)。
1. 题目：求满足8n+6≡3(mod 7)的最小非负整数n。
解析：根据同余的性质得到8n≡3-6(mod 7)，即8n≡-3(mod 7)。
由于8和7互质，可以用扩展欧几里得算法求得系数使得8a+7b=1，即8×4+7×(-5)=1。
两边乘以-3，得到8×(-12)+7×15=-3。
因此，n≡-12(mod 7)。
最小非负整数n即为-12+7=（-5）+14=9。
2. 题目：若p是一个素数，求证p^2-1能被24整除。
解析：要证明p^2-1能被24整除，可以通过同余问题进行证明。
首先，我们知道24=3×2×2×2，其中，3和2是两个互质的因数。
如果p是一个素数，那么p在模3下只能是0或1或2。
如果p≡0(mod 3)，那么p^2-1≡0^2-1≡-1(mod 3)，不被3整除。
同理，如果p≡1(mod 3)，则p^2-1≡1^2-1≡0(mod 3)，被3整除。
而如果p≡2(mod 3)，则p^2-1≡2^2-1≡3(mod 3)，也被3整除。
因此，对于任意一个素数p，p^2-1都能被3整除。
又因为p是素数，所以p是奇数，即p≡±1(mod 2)。
同余
可以理解为： 31除以4的余数是3 可以理解为： 50除以4的余数是18
求123+72的和除以10的余数
方法一：123+72=195
求121+74的和除以3的余数
方法一：121+74=195
求121-74的差除以3的余数
方法一：121-74=47
同余式定义和基本性质
若ab(mod m), cd(mod m), k为正整数 ①可加减性 和（差）的余数等于余数的和（差） 即a±c b±d(mod m), 特别地有a±k b±k(mod m). 同时有a-b 0（mod m） 显然：移项变号同样适用于同余式
【例7】若今天是星期六，从今天 102003天后的那一天是星期（ ）
10 3(mod7)
6
10
2003
3
2003
(mod7)
3 （ 1 mod7） 2003 6 333 5
10
2003
3 3
2003
5
5(mod7)
∴所求那天是星期四。
一次同余式组
• 本节介绍一次同余式组的解法及其应用举 例． • 在公元三世纪前,《孙子算经》里已提出了下 面的同余式组 xb1(mod m1), xb2(mod m2),…, xbk(mod mk) (1) • 这种形式的问题, 并且很好地解决了它.《孙子 算经》里所提出的问题之一如下: • “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之 剩三, 七七数之剩二. 问物几何？” “答日二 15:51:43 十三.”
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余 2，求这个数。 被7除余2的数有：2，9，16，23
被5除余3的数有：3，8，13，18，23 被3除余2的数有：2，5，8，11，14，17 ，20，23
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
初等数论 同余
注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
我喜欢数学
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
第二章同余与同余式
mod13). 所以 ，结论得证。
i 0
n
同余的算术应用2 ——弃九法
*证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数
假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p.
由题设条件知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p-1)!+1)-(p-1)!), 即a|l, 因而p只有因子1和p, 即p为素数.
同余关系及其在计算机领域的应用
可见S中ห้องสมุดไป่ตู้数可分成(p-3)/2对, 每一对数a和b, 满
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯 定不正确； 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算 式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种 情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九 法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
弃九法
例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9)
[自然科学]同余式
![[自然科学]同余式](https://img.taocdn.com/s3/m/79c67a3ec8d376eeafaa31b3.png)
25 + 2 +1=35=5·7≡0( mod 7) 还有解 x≡4(mod 7) , 解数为 2.
12.12.2020
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4
同余式的基本定理
定理1 若(a , m) = 1,则 ax ≡ b (mod m) 有一解.
证明：因(a , m ) = 1 , 故 0 ,a ,2a , … , (m - 1)a
为m的完全剩余系.故其中有且只有一个r使 ar ≡ b (mod )
故得：x ≡ r (mod m ) 是同余式的唯一解.
12.12.2020
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5
同余式的基本定理
定理2 若(a , m) = d > 1, d b ,则 ax ≡ b (mod m) 没有解. 证明 若有解 ，则可得: ax ≡ b (mod m) 而d | m, 故由2.1 定理11得到 ax ≡ b (mod d) 从而有 d | b,这与d b 矛盾，所以原同余式无解.
1 (m,a) 事实上，如果同时有同余式
12.12.2020
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同余式的基本定理
ax≡ b(mod m)和 ax1 ≡ b(mod m) 成立， 两式相减得到 a(x- x1 )≡ 0 (mod m) 根据 2.1 定理 10 和定理 8，这等价于
x ≡ x1 (mod m) 因此， 同余式(2)的全部解可写成(7)式，证毕.
第三章 同余式
▪ 同余式的基本概念 ▪ 一次同余式相关定理 ▪ 一次同余式的解法
12.12.2020
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1
同余式的基本概念
定义 1 设 m 是一个正整数，设 f(x)为多项式
六年级同余问题练习题
六年级同余问题练习题在六年级数学学习中，同余问题是一个重要的概念。
同余可以理解为两个数除以某个数得到的余数相等，即它们在模这个数下是等价的。
同余问题的练习可以帮助学生巩固对同余概念的理解和运用。
本文将为大家提供一些六年级同余问题的练习题。
1. 小明班上有45个学生，他们每次排队时，按照三个一组排队。
请问，排队后剩余几个学生不够组成一组？解：我们可以将小明班上的学生数45除以每组学生数3，得到除数为15，余数为0。
所以小明班排队后不剩余学生。
2. 有一个机器人在一个方格上移动，每次只能向右或向上移动一个格子。
如果机器人从左下角的格子开始移动，向右移动6个格子，向上移动8个格子，最后能到达的格子是哪个？解：我们可以将机器人向右移动6个格子看作是对6取余，向上移动8个格子看作是对8取余。
左下角的格子为(0,0)，那么向右移动6个格子就是(0+6,0)=(6,0)，向上移动8个格子就是(6,0+8)=(6,8)。
所以机器人最后能到达的格子是(6,8)。
3. 有一串数字：435289143764。
请问这串数字中能被3整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即4+3+5+2+8+9+1+4+3+7+6+4=56。
因为56除以3的余数为2，所以这串数字中没有能被3整除的数字。
4. 某班有32个学生，老师要将他们分成若干个小组。
要求每个小组都有7个学生，并且每个小组的学生之间不能互相交流。
请问老师最少能分成几个小组？解：我们可以将32除以7，得到商为4，余数为4。
所以老师最少能分成4个小组。
其中3个小组有7个学生，1个小组有4个学生。
5. 有一串数字：235892651971。
请问这串数字中能被9整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即2+3+5+8+9+2+6+5+1+9+7+1=58。
因为58除以9的余数为4，所以这串数字中没有能被9整除的数字。
通过以上练习题，我们可以加深对六年级同余问题的理解和应用。
第36讲 同 余
第 17 讲 同 余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不 同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），n na b ≡（mod m ） 3、除法 设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod (,)m c m ）。
A 类例题例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。
分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n－1=9M ，则10n ≡1(mod9)，故a n ×10n ≡a n (mod9)。
可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。
证明 设a=110n n a a a a =a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0，∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
第二讲-同余(数论复赛辅导)
第二讲 同余一.基础知识1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(mod m b .例如：)15(mod 434≡，)7(mod 11000-≡，98(mod 2) 等等。
当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。
对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是,a mt b t Z =+∈也即)(|b a m -。
性质2.同余关系满足以下规律：（1）（反身性）)(mod m a a ≡；（2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡；（4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±；（5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡；注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ；② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(mod m c b c a kk ≡； ③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ≡，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡),(mod c m m b a . 由此可以推出：（6）若,1),(=m c )(mod m bc ac ≡，则有)(mod m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.（7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡；（8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡；（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k ≡=L ，则12(mod [,,,])k a b m m m ≡L ，特别地，若12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m ≡⋅⋅⋅L ；性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od Λ=≡，则)(mod 11m b a k i k i i i ∑∑==≡；11(mod )k ki i i i a b m ==≡∏∏； 性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则))(mod ()(m b f a f ≡。
同余的 概念与性质
由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．
例3. 2 求证：(1) 如果a除以m的余数为r(0≤r<m), 那么 a≡r (modm); (2)如果a ≡r (modm)，0≤r<m，那么a 除以m的 余数为r。
证明 (1) 由题意得可设， a＝mq+r ( 0≤r<m ) ． 由于0≤r<m ，所以r除以m的不完全商为0，余数为r，即 r ＝m· ０+r ( 0≤r<m ) ． 根据同余概念，可得a≡r(modm); (2) 因为a ≡ r(modm)，所以由同余概念可得· a＝mq1+R , r＝mq2+R，( 0≤R<m )， 又因为０≤r<m，所以q2＝0，即R＝r. 因此 得 a＝mq1+r (0≤r<m)．即a被m除，所得的余数为r．
例3. 12 把由1开始的自然数依次写下来，直写到 第201位为止，就是 201位
12345678910111213…
试问这个数除以3的余数等于几?
解 因为1～9写在一起构成九位数，10～99写在一 起为90 X 2＝180位数，所以由1开始的自然数依 次写到99，合计为189位数，由于201－189=12， 因此只需在1写到99后再写上100，101，102，103 四个数．即从１开始的自然数依次写到103就构成 一个201位数(由103个连续的自然数组成）． 因为每三个连续自然数的各位数字之和能被3除， 103≡1(mod3)，所以这个数除以3的余数为1．
从例3．6的证明，还可以得出如下的结论：
如果 a ≡ b (modm)，又d 能整除m以及整除a，b两 个数中的一个，则d 必能整除a，b中的另一个．
同余定理的定义及其性质
同余定理的定义及其性质
一、同余定理的定义：
两个整数a，b，如果他们同时对一个自然数m求余所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作a≡b（mod m）。
读为：a同余于b模m。
在这里“≡”是同余符号。
二、同余定理的一些性质：
•对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
(加减乘同理）
(a+b)%c==(a%c+b%c)%c
•对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差一定能被这个除数整除。
•对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
•记忆口诀：
1、“数的和差积与余的和差积同余”
2、“数与数同余，则方与方同余”
3、“同余相减得整除”。
同余
或21+X+Y=36，X-Y+13=22
X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
∴
11 1
50
≡11（mod 7）≡4（mod 7）
即余数为4。
例4：求( 257
解： ( 257
i0
( 1 ) a i (mod
i
7)
n
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
( 1) a i
i
i0
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
例判断 28997*39495=1114523641 5是否正确
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
定义：称k0 ,k1,…km-1叫做模m的剩余类，设 a0,a1…am-1是m个整数，并且其中任何两数都不 在一个剩余类里，则a0,a1…am-1叫做模m的一个 完全剩余系(简称完系)
第三章 同余
§1 同余的概念及其基本性质
在日常生活中，我们常接触到一些周 期为正整数性的问题.例如：问火车下午2 点从金华出发,30小时后到广州,则到广州 是几点?就是24去除30所得的余数6加2,即 晚上8点到广州,这就是同余问题.今天是星 期一,问过了100天后是星期几等……．,现 在同余理论已发展成为初等数论中内容丰
b. 由同余的定义可知: 相等必同余，同余未 必相等，不同余肯定不相等,这是一种很好 的方法，尤其在证明不相等时非常有用。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
数论中的同余关系与应用
数论中的同余关系与应用数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中，同余关系是数论中的一个重要概念，它在密码学、模运算等领域中有着广泛的应用。
同余关系是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
设a、b为整数，m为正整数，则a与b对模m同余，记作a≡b (mod m)。
简单来说，如果两个数除以同一个数所得的余数相等，那么它们满足同余关系。
例如，10除以4和14除以4的余数都为2，所以10≡14 (mod 4)。
同余关系在数论中有许多重要的性质。
首先，同余关系是一种等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
即对于任意整数a，有a≡a (mod m)，对于任意整数a、b，若a≡b (mod m)，则b≡a (mod m)，对于任意整数a、b、c，若a≡b (mod m)且b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)。
其次，同余关系还满足加法与乘法的性质。
即对于任意整数a1、a2、b1、b2，若a1≡b1 (mod m)且a2≡b2 (mod m)，则a1+a2≡b1+b2 (mod m)，a1a2≡b1b2 (mod m)。
同余关系在密码学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在信息加密中的模运算。
模运算是指将一个数除以另一个数后得到的余数。
在密码学中，常常用模运算来对信息进行加密和解密。
通过选择合适的模数和密钥，可以实现信息的安全传输。
同时，同余关系还应用于素数的判断。
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
利用同余关系可以判断一个数是否为素数。
若n为一个正整数，若对于任意小于n的整数a，a的n次方减去a除以n所得的余数等于0，即a^n ≡ a (mod n)，则n有可能是一个素数。
除了密码学和素数判断，同余关系还有许多其他的应用。
例如，在日历计算中，可以利用7的同余关系来确定星期几；在校园卡计算机系统中，可以利用同余关系来进行余额判断和消费记录查询；在电子电路中，可以利用同余关系来确定电压与电流之间的关系。
和与余数的和同余理解
和与余数的和同余理解1. 什么是同余？大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点儿高深的数学概念——同余。
哎，别急，听起来复杂，但其实它就像咱们平常说的“看谁能忍”，不是什么难题。
简单来说，同余就是两个数在某种情况下是“相等”的。
比如，你想象一下，有两个朋友，虽然住在不同的地方，但他们每次聚会都是一起的，时间也是一样的。
就像如果我和你都买了同样的泡面，不管我们在哪里，我们都能在同一时间吃上。
用数学的话说，就是如果你把一个数A除以某个数B，余数和另一个数C除以B的余数是一样的，那么A和C就是同余的。
是不是简单？让我们继续深入！1.1 同余的公式同余的公式看起来也许有点吓人，但其实就是个简单的表达式。
它通常写作：A ≡ B (mod M)。
这儿的“mod”就是取模的意思，简单来说，就是求余数的过程。
举个例子，假设你有17块钱，想买东西。
你如果买个8块的东西，剩下的钱就是9块；再买一个8块的，剩下的钱就是1块。
要是你再来一轮买，虽然你剩的钱不同，但如果以8块为基准，17和1在这个模下是同余的，因为它们的余数都是1。
哎呀，这就像你们的饮料，虽然大家的杯子不同，但喝到最后，大家的杯底都是湿的，哈哈！1.2 日常生活中的同余那么，咱们的日常生活中有没有同余的影子呢？当然有！想象一下，你和小伙伴一起做饭，结果不小心多做了一大锅米饭。
假设你们是四个人，那每人分到的米饭都是一样的。
但如果你把米饭的总量变了，可能每人分到的还是相同的“余数”。
这就像一场“米饭派对”，不管你加了多少米，只要参与的人数不变，大家都能平等分到同样的“份额”，这不就有点儿同余的意思吗？2. 和与余数的和接下来说说和与余数的和，这个概念更有趣了。
咱们刚才讲的同余其实在算和的时候也能找到乐趣。
比如，假设你们班里有10个人，老师发了20个苹果。
每个人分到的苹果数是2，余下的0个苹果。
再比如，如果你们班里有11个人，老师发了20个苹果，这回每个人分到的苹果数是1，余下的9个苹果。
小学六年级数学 奥数 第38讲 应用同余问题
小学六年级数学奥数第38讲应用同余问题一、知识要点同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
二、精讲精练【例题1】求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
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数论基础
显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无 穷多个。 例如，集合{9, 5, 3, 1}是模8的简化剩余系，集合 {1, 3, 5, 7}也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余 系。 定理1 整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是 (ⅰ) A中含有(m)个整数； (ⅱ) A中的任何两个整数对模m不同余； (ⅲ) A中的每个整数都与m互素。
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
数论基础
同余与等号类似的性质： 定理2 若ab(mod m), cd(mod m), 则:
① ax+cy bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数. ②若 a+b c(mod m),则a c-b(mod m) 因为 m|(a-b), m|(c-d), 故有 m|x(a-b)+y(c-d) = ③(ax+cy)-(bx+dy). ac bd(mod m). c-b c+(-b)m), (a+b)+(-b) 0. a(mod m) n(mod ④ an b 其中 n＞ 由 m|(a-b)+b(c-d)=ac-bd 立即可得 ⑤由于 f(a) f(b)(mod m), 其中 f(x) 为任给的一个整系数多项式 . a-b=mq, 其中 q是一整数 , 因此，an =(b+mq)n=
3.3 简化剩余系和欧拉函数
简化剩余系 欧拉函数 性质
数论基础
定义2 对于正整数k，令函数(k)的值等于模k的 所有简化剩余类的个数，称(k)为Euler函数，或 Euler—函数。 例如，容易验证(2) = 1，(3) = 2，(4) = 2， (7) = 6。 显然，(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互 素的整数的个数。
数论基础
3.4 欧拉定理 费马定理及其对循环小数的应用
欧拉定理 费马定理 循环小数
定理1Euler 设m是正整数，(a, m) = 1，则 am) 1 (mod m)
定理2(Fermat) 设p是素数，则对于任意的整 数a，有a p a (mod p)
证明 若(a, p) 1，则由定理1得到
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
数论基础
1、检查因数的一 定理 正整数a能被9(3)整除 iff些方法， 9(3)整除a的十进制表示各数 2、弃九法 字的和．
1、检查因数的一些方法
a ai 10 证明 若 定理 正整数 i 0 n n1 i 则由 10 1(mod … ,n)和性质可得 : ai 1000 a an1000 9)(i=1,2, an11000 a0 ,0
数论基础
CH3 同余
1
2 3
3.1 同余的概念和基本性质 3.2 剩余类及完全剩余系 3.3 简化剩余系与欧拉函数
4
3.4 欧拉定理 费马定理
数论基础
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
定义1 给定一正整数m, 若用m去除两个整数a和b 所得余数相同, 则称a为对模m同余, 记作ab(mod m); 若余数不同, 则称 a为对模m不同余, 记作ab(mod m). 显然，a0(mod m) iff m| a.
由同余的定义, 可得下列简单性质: ①自反性: aa (mod m). ②对称性: 若ab(mod m), 则 ba(mod m). ③传递性: 若ab(mod m), bc(mod m), 则: ac(mod m)同余关系是等价关系
.
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
-
3 ， 3 ， 9 ， 15
-
2 ， 4 ， 10 ， 16
-
1 ， 5 ， 11 ， 17
-
3.2 剩余类和完全剩余系
剩余类 完全剩余系
最小完全剩余系
数论基础
0,1,2, …,m-1
m为偶数时，-m/2，…,1,0,1, …,m/2-1
或-m/2+1，…,1,0,1, …,m/2
m为奇数时，-(m-1)/2，…,1,0,1, …,(m-1)/2
绝对最小完全剩余系
3.2 剩余类和完全剩余系
剩余类 完全剩余系
数论基础
3.2 剩余类和完全剩余系
剩余类 完全剩余系
数论基础
• 例： 1、求模1990的完全剩余系 2、利用模5,6的完全剩余系去 构造模30的完全剩余系 3、证明 x u p s t v, u 0,1,, p t 1, t s
a p 1 1 (mod p) a p a (mod p)。
若(a, p) > 1，则pa，所以 a p 0 a (mod p)
数论基础
3.4 欧拉定理 费马定理及其对循环小数的应用
欧拉定理 费马定理 循环小数
证明 由第三节定理2，设{x1, x2, , x(m)}是模m的一个 简化剩余系，则{ax1, ax2, , ax(m)}也是模m的简化剩余系， 因此 ax1ax2 ax(m) x1 x2 x(m)(mod m)， a (m) x1x2x(m) x1 x2 x(m)(mod m)。 由于(x1 x2 x(m),m) = 1，所以由式得出 a(m) 1 (mod m)。 证毕
数论基础
3.3 简化剩余系和欧拉函数
简化剩余系 欧拉函数 性质
例：1、 设n是正整数，则 (d ) n 此处 d |n 有正约数求和 2、 设nN，证明：
d |n
是对n的所
(ⅰ) 若n是奇数，则(4n) = 2(n)； 1 (ⅱ) (n) = n 的充要条件是n = 2k，kN； 2 (ⅲ) (n) = 1 n的充要条件是n = 2k3l，k, lN； 3 (ⅳ) 若6n，则(n) 1 n 3 (ⅴ) 若n 1与n 1都是素数，n > 4，则(n) 1 n 3
同余概念 同余性质 性质应用
余数为2
数论基础
K2
K1
余数为1
1、整数集划分成m 个等价类 K3 余数为3 2、Kr=qm+r
…
K0
余数为0 余数为m-1
K m1
整数 集合
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
余数为2 K 2 -4,2,8,14
数论基础
K1
余数为1 -5,1,7,13, 余数为0 -6,0,6,12
数论基础
3.3 简化剩余系和欧拉函数
简化剩余系 欧拉函数 性质
定理2 设a是整数，(a, m) = 1，B = {x1, x2, , x(m)}是 模m的简化剩余系，则集合A = {ax1, ax2, , ax(m)} 也是模m的简化剩余系。 定理3 设m1, m2N，(m1, m2) = 1，又设x,y分别通过模 m1与m2的简化剩余系，则 A = {m1 y m2 x；xX，yY } 是模m1, m2的简化剩余系
余数为3 -3,3,9,15 余数为4 -2,4,10,16
K3
K0
K4
余数为5 -1,5,11,27
K5
整数 集合
3.2 剩余类和完全剩余系
剩余类 完全剩余系
数论基础
3.2 剩余类和完全剩余系
剩余类 完全剩余系
数论基础
6 ， 0 ， 6 ， 12
-
5 ， 1 ， 7 ， 13
-
4 ， 2 ， 8 ， 14
数论基础
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
数论基础
定理 (弃九法) 若ab=c, 其中a>0, b>0, 并且, 则:
a ai 10 , b b j 10 , c ck 10k
i
j
m
n
p
i 0
j 0
k 0
( a )( b j ) ( Ck )(mod9)
数论基础
3.3 简化剩余系和欧拉函数
简化剩余系 欧拉函数 性质
定理4 设m, nN，(m, n) = 1，则(mn) = (m)(n) 定理5 设n是正整数，p1, p2, , pk是它的全部素因数， 则
(n) =
1 1 1 1 n(1 )(1 ) (1 ) n (1 ) p1 p2 pk p p| n
数论基础
3.1 同余的概念和基本性质
同余概念 同余性质 性质应用
• 例： 1、正整数模m在什么条件下满足下列同余式？ 1+2+…(m-1)+m 0(mod m)
5 2 2、证明641|(2 +1)
3、对那些模m，同余式3211(mod m)及1000-1(mod m) 同时成立？ 4、证明： 70！61！(mod 71),
是模p s的一个完全剩余系 4、思考剩余系和剩余类的概念 及性质？
3.3 简化剩余系和欧拉函数
简化剩余系 欧拉函数 性质
数论基础
在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合 有一些特殊的性质，我们要在这一节中对它们做些研究。 定义1 设R是模m的一个剩余类，若有aR，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类。 显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都 与m互素。例如，模4的简化剩余类有两个： Rm=6 = { , 7 , 3, 1 ,是模 5 , 9 , }， 1(4)时，余数 0,1,2,3,4,5 R (4) = { , 5 , 1 , 3 , 7 , 11 , } 63的完全剩余系
数论基础
定理 1 整数a,b对模m同余 iff m|(a-b), 即: ab(mod m), iff m|(a-b). 证明 设ab(mod m), 则a=mq1+r, b=mq2+r, 0≤r<m. 例：对那些模m，下列同 故(a-b)=m(q1-q 2), m|(a-b). 余式成立？ 反之, 设a=mq1+r1, b=mq2+r2, 0<r1≤m, 0<r2≤m, m|(a-b).于是, m|(a-b)=m(q )+(rl-r2), 故: m|(r1-r2). l-q 2) 32 11(mod m 又因|r1-r2|<m, 得r1=r2.