2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版
【名师推荐】安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
������ ������
，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.
[ 2 ,1]
2
B.
[2,3]
2 6
C.
[ 3 ,1)
6
D.
[2,2]
2 3
【答案】B 【解析】解： ∵ ������和 A 关于原点对称 ∴ ������也在椭圆上 设左焦点为������′ 根据椭圆定义：|������������| + |������������′| = 2������ 又 ∵ |������������| = |������������′| ∴ |������������| + |������������| = 2������ …① O 是������������ △ ������������������的斜边中点， ∴ |������������| = 2������ 又|������������| = 2������������������������������ …② |������������| = 2������������������������������ …③ ②③代入①2������������������������������ + 2������������������������������ = 2������ ������ 1 ∴ = ������ ������������������������ + ������������������������ 即 ������ = ������������������������ + ������������������������ =
【答案】D 【解析】解：因为原命题是“若 x，y 都是偶数，则������ + ������也是偶数”， 所以原命题的否命题为：“若 x，y 不都是偶数，则������ + ������不是偶数”， 故选：D． 根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答． 本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点.而且要注意“都是”的否定为“不都 是”，选择填空中常考察． 设 x、y 是两个实数，命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是( )
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(有解析)
【答案】D 【解析】解：因为原命题是“若 x，y 都是偶数，则������ + ������也是偶数”， 所以原命题的否命题为：“若 x，y 不都是偶数，则������ + ������不是偶数”， 故选：D． 根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答． 本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点.而且要注意“都是”的否定为“不都 是”，选择填空中常考察． 设 x、y 是两个实数，命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是( )
安徽省定远重点中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试 题（解析版）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 命题“若 x，y 都是偶数，则������ + ������也是偶数”的否命题是( )
A. B. C. D.
若 x，y 都是偶数，则������ + ������不是偶数 若 x，y 都不是偶数，则������ + ������不是偶数 若 x，y 都不是偶数，则������ + ������是偶数 若 x，y 不都是偶数，则������ + ������不是偶数
2.
A. ������ + ������ = 2
【答案】B
B. ������ + ������ > 2
2 2 C. ������ + ������ > 2
D. ������������ > 1
【解析】解：若{������ ≤ 1时有������ + ������ ≤ 2但反之不成立，例如当������ = 3，������ = −10满足������ + ������ ≤ 2但不满足{������ ≤ 1
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
所以{������ ≤ 1是������ + ������ ≤ 2的充分不必要条件．
������ ≤ 1
所以������ + ������ > 2是 x、y 中至少有一个数大于 1 成立的充分不必要条件． 故选：B． 先求出{������ ≤ 1的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的
������2 ������2 ������2
4.
椭圆������
2
+
= 1(������ > ������ > 0)
上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若������������ ⊥ ������������，设∠������������������ = ������，且
������ ∈ [12,4]
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设左焦点为������′，根据椭圆定义：|������������| + |������������′| = 2������，根据 B 和 A 关于原点对称可知|������������| = |������������′|，推知 |������������| + |������������| = 2������，又根据 O 是������������ △ ������������������的斜边中点可知|������������| = 2������，在������������ △ ������������������中用������和 c 分别表示出|������������|和
∗ 所以光线经过2������(������ ∈ ������ )次反射后回到左焦点所经过的路径长为2������(������−������)
[首发]安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题
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[首发]安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1 . 已知命题，；命题，使则下列命题中为真命题的是()A．B．p∧(q) C．D．2 . 下列说法正确的是（）A．命题“”的否定是：“”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的否命题是：若，则D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.3 . 设定点、，动点满足，则点的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段4 . 设分别是椭圆的左，右焦点， P是椭圆上一点，且，则的面积为（）A．24B．25C．30D．485 . 在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则（）A．B．C．D．6 . 设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“ 直线对”.现有所成的角为60°的“ 直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7 . 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为( )A．B．C．2D．8 . 已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．9 . 已知点是抛物线上的一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．4B．C．5D．10 . 已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A．B．C．D．11 . 过曲线图象上一点（2，2）及邻近一点（2 ， 2 ）作割线，则当时割线的斜率为（）A．B．C．1D．12 . 已知，则( )A．B．C．D．以上都不正确二、填空题13 . 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．14 . 已知圆：及一点，在圆上运动一周，的中点形成轨迹的方程为__________．15 . 直线与椭圆交与两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为__________．16 . 已知在上可导，，则__________．三、解答题17 . 已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．（Ⅰ）求的值及函数的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．18 . （题文）已知函数.（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求和的值；（Ⅱ）讨论方程的解的个数，并说明理由.19 . 已知抛物线的焦点为是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，；(2) 为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.20 . 已知，分别是双曲线 E：的左、右焦点， P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，求双曲线的渐近线方程；当时，的面积为，求此双曲线的方程．21 . 设命题，命题：关于不等式的解集为.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围.22 . 如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE∥AB,AB为短轴,OC为长半轴(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2018-2019学年度上学期期中考试高二理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）1.已知命题p x R ∀∈： ， 1x+2x ≥；命题0q:x 0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin?x +cos?x 下列命题中为真命题的是( )A. ()p q ∨⌝B. p ∧(⌝q ) ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定是：“2,10x R x x ∀∈++>”B. “1x =-”是“2560x x -+=”的必要不充分条件C. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是：若21x =，则1x ≠ D. 命题“若x y =，则si n s i n x y =”的逆否命题为真命题.3.设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段4.设12,F F 分别是椭圆2214924x y +=的左,右焦点， P 是椭圆上一点，且12:4:3,PF PF =则12PF F ∆的面积为（ ）A. 24B. 25C. 30D. 405.在平面直角坐标系xOy 中，已知((,0,,A B P 为函数y =图象上一点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A. 13B.C. 34D.356.设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ()1,2B. [)3,9C.3,32⎛⎤⎥⎝⎦D. (]2,3 7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ， N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( )A. 3B.C. 2D.8.已知O 为坐标原点， 1F ， 2F 是双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C的离心率为（ ）A.B. 2C.D. 9.已知点P 是抛物线24y x =上的一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线210x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A. 4B. 115C. 5D.10.已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A. ()2,1B. ()2,1-C.11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,4⎛⎫⎪⎝⎭11.过曲线()1xy f x x==-图象上一点（2， -2）及邻近一点（2 x +∆，-2 y +∆）作割线，则当0.5x ∆=时割线的斜率为（ ）A.13 B. 23C. 1D. 53-12.已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f = ( )A.12B. πC. 2πD. 以上都不正确 第II 卷 选择题 （共90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.关于x 的不等式1x m -<成立的充分不必要条件是14x <<，则实数m 的取值范围是__________．14.已知圆O ： 224x y +=及一点()1,0P -， Q 在圆O 上运动一周， PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为__________．15.直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为__________．16.已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题(共6小题,共70分。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题(★★) 1 . 是方程表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★) 2 . 下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“”的否定是“”D．命题“若，则”的逆否命题是真命题。
(★★) 3 . 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．(★) 4 . 已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程为()A．B．C．D．(★) 5 . 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k="( " )A. B. C. D.(★★) 6 . 正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为()A．B．C．D．(★★) 7 . 在矩形中，，，平面，，则与平面所成角是（）．A．B．C．D．(★) 8 . 在棱长为1的正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是A．B．C．D．(★★) 9 . 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则与平面所成角的正弦值为()A ．B ．C ．D ．(★★) 10 . 二面角的棱上有 A 、 B 两点，直线 AC 、 BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，，则该二面角的大小为A ．B ．C ．D ．(★) 11 . 过抛物线的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，若 ， 在准线上的射影为，，则等于( )．A ．B ．C ．D ．(★) 12 . 已知双曲线 的焦点为 ， ，点 在双曲线上，且 轴，则 到直线 的距离为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 13 . 已知 ：， ：，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为__________．(★★) 14 . 如图所示， ， 是椭圆的两个顶点， 是的中点， 为椭圆的右焦点， 的延长线交椭圆于点 ，且，若，则椭圆的方程为________________．(★★★★) 15 . 、分别为双曲线的左、右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为________．(★★) 16 . 在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点.其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则的面积为____.三、解答题(★★) 17 . 已知命题：，，命题：，.若“ 且”为真命题，求实数的取值范围．(★★) 18 . 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，.（1）当时，试在棱上确定一个点，使得平面，并求出此时的值；（2）当时，若平面平面，求此时棱的长．(★★★★) 19 . 设, 分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（1）若的周长为16，求；（2）若，求椭圆的离心率.(★★) 20 . 如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．(★★) 21 . 已知双曲线：.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程.（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于，两点.当时，求实数的值.(★★) 22 . （本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.。
安徽省滁州市定远县西片区2018-2019学年高二数学上学期期中试题理(含答案)
安徽省滁州市定远县西片区 2018～2019学年上学期高二期中考试数学试卷 理科2018. 11考生注意：1、本卷考试范围：人教A 版必修2。
满分150分，考试时间120分钟；2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。
第I 卷 （选择题 60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
)1.光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线3y ax =-+射出，则由（ ）A. 13a =， 9b =- B. 13a =-， 9b = C. 3a =， 19b =- D. 3a =-， 19b =2.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为（ ）．A. 2-或2B.12或32C. 2或0D. 2-或0 3.在三菱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ， 2AB =，1AA ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为（ ）A. 1124.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 43πB. 53πC. 223π+D. 243π+5.在四面体 中，底面， ， ， ，为 的重心， 为线段上一点，且平面，则线段的长为( ) A.B.C. D.6.如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长都相等，则二面角1A B A --的平面角的正切值为（ ）7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（ ）A. 与是异面直线 B. 平面C.D.平面8.已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A. ()()22112x y ++-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22112x y -+-= D. ()()22112x y +++=9.在三棱锥A BCD -中， ABC ∆与BCD ∆都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. 60π C. D. 10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）A.1B.C. D.211.若直线 与曲线有两个交点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C. D.12.设,αβ为两个不重合的平面， ,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//αβ， l α⊂，则//l β；②若m α⊂， n α⊂， //m β， //n β，则//αβ；③若//l α， l β⊥，则αβ⊥；④若m α⊂， n α⊂，且l m ⊥， l n ⊥，则l α⊥. 其中正确命题的序号是（ ）A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ②④第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为 ．14.已知ABC ∆的顶点都在球O 的球面上， 6,8,10AB BC AC ===，三棱锥O ABC -的体积为_________.15.如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆上一动点， 圆O 所在平面，且PA=AB=2，过点A 作平面 ，交PB,PC 分别于E,F ，当三棱锥P-AEF 体积最大时，= ．16.在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆与直线相切，则圆 面积的最小值为 ．三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.（10分）直线过点P 4,23⎛⎫⎪⎝⎭且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．18. （12分）在平面直角坐标系中，圆O ： 224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以A 为圆心的圆A ： ()2222x y r -+=（0r >）与圆O 交于B ， C 两点.（1）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ， E ，当直线DE 长最小时，求直线l 的方程；（2）设P 是圆O 上异于B ， C 的任意一点，直线PB 、PC 分别与x 轴交于点M 和N ，问OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积.20. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形， ,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．21. （12分）如图，在四棱锥A CDFE -中，四边形CDFE 为直角梯形，//,,CE DF EF FD AF ⊥⊥平面 CEFD ，P 为AD 的中点，12EC FD =．（1）求证：//CP 平面 AEF ；（2）设2,3,4EF AF FD ===，求点F 到平面 ACD 的距离．22. （12分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，（1）证明： 1AD D F ⊥；（2）求异面直线AE 与1D F 所成的角；（3）证明：平面AED ⊥平面11A FD 。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若x，y都是偶数，则也是偶数”的否命题是A. 若x，y都是偶数，则不是偶数B. 若x，y都不是偶数，则不是偶数C. 若x，y都不是偶数，则是偶数D. 若x，y不都是偶数，则不是偶数【答案】D【解析】解：因为原命题是“若x，y都是偶数，则也是偶数”，所以原命题的否命题为：“若x，y不都是偶数，则不是偶数”，故选：D．根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答．本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点而且要注意“都是”的否定为“不都是”，选择填空中常考察．2.设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：若时有但反之不成立，例如当，满足但不满足所以是的充分不必要条件．所以是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选：B．先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．3.已知p：，q：，若，同时为假命题，则满足条件的x的集合为A. 或，B.C. 或，D.【答案】D【解析】解：对于命题p：，解得或．q：，，同时为假命题，真p假．，解得，1，2．则满足条件的x的集合为1，．故选：D．对于命题p：，解得或由于，同时为假命题，可得q真p假．本题考查了绝对值不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4.椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设∠，且，则该椭圆离心率的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：和A关于原点对称也在椭圆上设左焦点为′根据椭圆定义：′又′①O是的斜边中点，又②③②③代入①即，故选：B．设左焦点为′，根据椭圆定义：′，根据B和A关于原点对称可知′，推知，又根据O是的斜边中点可知，在中用和c分别表示出和代入中即可表示出即离心率e，进而根据的范围确定e的范围．本题主要考查了椭圆的性质要特别利用好椭圆的定义．5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：与双曲线′：有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点如图，，所以光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为故选：D．根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长．本题以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查学生对新定义的理解，理解新定义是关键．6.已知P为抛物线上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点，准线l：．如图所示，过点P作交y轴于点M，垂足为N，则，，．故选：B．抛物线的焦点，准线l：如图所示，过点P作交y轴于点M，垂足为N，则，即可得出．本题考查了抛物线的定义及其标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知正方体′′′′的棱长为a，设，，′，则′，′′等于A.B.C.D.【答案】D【解析】解：正方体′′′′的棱长为a，设，，′，′′，′，′′是∠′的补角，′′，∠′，′，′′．故选：D．由′′，得到′，′′是∠′的补角，由′′，得∠′，由此能求出′，′′本题考查两向量的夹角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于A.B. 0，C.D. 0，【答案】C【解析】解：正方体的棱长为1，，1，，，1，．故选：C．利用正方体的棱长为1，，可得点B，E的坐标，进而得到向量．本题考查了正方体的性质、空间直角坐标系、向量的坐标运算，属于基础题．9.如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为，且，，，M、N分别为、的中点，则MN与AC所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为，且，，，M、N分别为、的中点，，∠是MN与AC所成角或所成角的补角，∠，，，∠．故MN与AC所成角的余弦值为．故选：B．由，得到∠是MN与AC所成角或所成角的补角，由此利用余弦定理能求出MN与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.已知曲线C的方程为，则C上点处的切线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：′′′C上点处的切线斜率为1设倾斜角为则故选：B．利用导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率；直线的斜率等于倾斜角的正切值．本题考查导数的几何意义、直线的斜率等于倾斜角的正切值．11.设函数若′是偶函数，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：′，因为′为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选：B．通过化简可得′，由′为偶函数，知当时′取得最值，由此可得，，根据的范围即可解得值．本题考查导数的运算、函数的奇偶性及三角恒等变换，考查学生对问题的理解解决能力，属中档题．12.函数导数是A. ′B. ′C. ′D. ′【答案】C【解析】解：设，，则′，′，′，故选：C．设，，则′′′．牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．【答案】【解析】解：′′．′故答案为：．根据导数的定义，原式等于′，求出′后令计算．本题考查导数的定义，函数的导函数求解，属于基础题．14.过点的直线与双曲线相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______．【答案】【解析】解：设，，则，，，，，，，直线的方程为，即．故答案为：设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知和的值，进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程．本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．15.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与x轴相交于点，则抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】解：沿直线发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点，抛物线的焦点是，，抛物线的标准方程，抛物线的准线方程为．故答案为：．沿直线发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点，由此得抛物线的焦点是，从而能求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．16.在正方体中，M、N分别为棱和的中点，则，的值为______．【答案】【解析】解：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则2，，0，，0，，2，可知，2，，，，，，由三角函数的平方关系得，故答案为．建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦．本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值、同角的三角函数的平方关系三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数及上一点，过点P作直线l．求使直线l和相切且以P为切点的直线方程；求使直线l和相切且切点异于P的直线方程．【答案】解：由得，′，过点P且以为切点的直线的斜率′，所求直线方程为．设过的直线l与切于另一点，则′．又直线过，，故其斜率可表示为，又，即，解得舍或，故所求直线的斜率为，，即．【解析】由已知可得斜率函数为′，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．设另一切点为，求出该点切线方程，再由条件计算．本题较为简单，主要考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．18.已知p：函数在∞上单调递增；q：关于x的不等式的解集为若为真命题，为假命题，求m的取值范围．【答案】解：若命题p为真，因为函数的对称轴为，则；若命题q为真，当时原不等式为，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在；当时，则有，解得；若为真命题，为假命题，则p，q一真一假；故或或解得或；的取值范围为∞，．【解析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围根据为真命题，为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，一元二次不等式解的情况和判别式的关系，以及，真假和p，q真假的关系．19.如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点B．若∠，求椭圆的离心率；若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．【答案】解：若∠，则为等腰直角三角形则，即．，椭圆的离心率；由题知，，则，，设，由，即，，解得，．代入椭圆，即解得，椭圆方程为．【解析】由为等腰直角三角形，则，利用椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；由，根据向量数量积的坐标运算，求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20.已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线l交双曲线于A、B两点，为左焦点．Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ若的面积等于，求直线l的方程．【答案】解：双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点到渐近线的距离为又双曲线离心率，平方得，解得因此，双曲线的方程为设，，由右焦点设直线l方程：由消去y，得根据题意知，由根与系数的关系得：，，的面积两边去分母并且平方整理，得，解之得舍负，得直线l的方程为【解析】根据题意，得离心率且，结合联解得，即得双曲线的方程；设，，直线l方程：由双曲线方程与直线l方程消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和的面积等于，建立关于k的方程并解出k的值，即得直线l的方程．本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．21.如图，在三棱锥中，底面ABC，，∠，∠，点D、E分别在棱PB、PC上，且．求证：平面PAC；当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；是否存在点E使得二面角为直二面角？并说明理由．【答案】解：底面ABC，．又∠，，平面PAC．为PB的中点，，．又由知，平面PAC，平面PAC，垂足为点E，∠是AD与平面PAC所成的角．底面ABC，．又，为等腰直角三角形，．在中，∠，，在中，∠，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．，又由知，平面PAC，平面PAC．又平面PAC，平面PBC，，，∠为二面角的平面角．底面ABC，，∠，在棱PC上存在一点E，使得．这时，∠，故存在点E使得二面角是直二面角．【解析】欲证平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知，而，满足定理所需条件；根据平面PAC，垂足为点E，则∠是AD与平面PAC所成的角在中，求出AD与平面PAC所成角即可；根据，，由二面角的平面角的定义可知∠为二面角的平面角，而，则在棱PC上存在一点E，使得，从而存在点E使得二面角是直二面角．考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．22.已知直线：和直线：若抛物线C：上的点到直线和直线的距离之和的最小值为2．求抛物线C的方程；若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：由题意可知，为抛物线的准线，抛物线的焦点坐标为，由抛物线的定义可知抛物线上的点到直线的距离等于其到焦点F的距离，抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离，，解得：，抛物线的方程为：，设，由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设为直线的斜率为k，则直线方程为：，代入抛物线线方程，整理得：，，求得，直线l的方程为：，令，又由，可知，设，，，由题意可知，，把，代入上式，可得：，对任意的等式恒成立，，，即在x轴上存在点到在以MN为直径的圆上．【解析】由椭圆的定义可知，抛物线的焦点，根据抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；设直线，，代入抛物线方程，由与抛物线相切，，求得，代入求得N点坐标，求得向量和，，根据向量数量积的坐标运算，，即可求得，即在x轴上存在点到在以MN为直径的圆上．本题考查抛物线的方程及性质，考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，向量数量积的坐标运算的综合应用，考查转化思想，属于中档题．。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文
2018-2019学年度上学期期中考试高二文科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）1.设命题p ：“1a ∃≥-， ()1ln e 12n+>”，则p ⌝为（ ）A. 1a ∀≥-， ()1ln e 12n +≤ B. 1a ∀<-， C. 1a ∃≥-， ()1ln e 12n +≤ D. 1a ∃<-， 2.已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(12)，；命题q ：若函数(1)y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝34ax -+在[)1,+∞上是增函数，命题:q 函数a 的取值范围是（ ）A 2,3⎤⎛⎫+∞ ⎪⎥⎦⎝⎭ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦已知、是椭圆的直线交椭圆于点、 ， 若等于（）A.11B.10C.9D.165.设1F 、2F 分别是双曲线2214y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，且15PF =，则2PF =（ ）A. 1B. 3C. 3或7D. 1或96.已知抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且 ， 则△AFK 的面积为( )A.4B. 8C.16D.32 7.抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（ ）A. B. C. D.8.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），若直线y=2x ，被抛物线所截弦长为4 ，则抛物线C的方程为（ ）A.x 2=8y B.x 2=4y C.x 29.设()f x 为可导函数，且()122f '=，求h → ）A. 1B. 1-C.2D. 12-10.已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11.曲线1xy e =+在点()0,2A 处的切线斜率为（ ）A. 1B. 2C. eD.1e12.设f （x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2，则x 0等于（ ） A. e 2B. eC.D. ln2第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 .14.已知命题:p 方程220x x m -+=有两个不相等的实数根；命题:q 关于x 的函数()21y m x =+-是R 上的单调增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则实数m 的取值范围为 ____________．15.设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线 与双曲线分别交于 ， ，且 在第一象限，若 为等边三角形，则双曲线的实轴长为 ．16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()21ln f x x f x +'=，则()1f '=__________． 三、解答题(共6小题，共70分。
2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版
绝密★启用前安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题p x R ∀∈： ， 1x+2x ≥；命题0q:x 0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin?x +cos?x =则下列命题中为真命题的是( )A ． ()p q ∨⌝B ． p ∧(⌝q) ()p q ∧⌝C ． ()()p q ⌝∧⌝D ． ()p q ⌝∧ 【答案】D【解析】由题意可知，命题 p 为假命题，则p ⌝为真命题；命题q 为真命题，则q ⌝为假命题，所以由真值表可得， p q ⌝∧为真命题， p q ∧⌝为假命题， p q ⌝∧⌝为假命题， p q ∧为假命题，故选D. 2．下列说法正确的是（ ） A ． 命题“”的否定是：“”B ． “”是“”的必要不充分条件 C ． 命题“若，则”的否命题是：若，则D ． 命题“若，则”的逆否命题为真命题.【答案】D 【解析】逐一考查所给命题的真假：A .命题“”的否定是：“”，选项A 错误B .“”是“”的充分不必要条件，选项B 错误 C .命题“若，则”的否命题是：若，则，选项C 错误D .命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题，该说法正确.本题选择D 选项.3．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ． 椭圆B ． 线段C ． 不存在D ． 椭圆或线段 【答案】D【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有： 96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立.当96a a +=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 位焦点的椭圆,本题选择D 选项.点睛：椭圆定义中的常数必须大于|F 1F 2|，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.4．设分别是椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，且则的面积为（ ）A ． 24B ． 25C ． 30D ． 40 【答案】A 【解析】∵|PF 1|：|PF 2|=4：3， ∴可设|PF 1|=4k ，|PF 2|=3k ， 由题意可知3k +4k=2a=14， ∴k=2，∴|PF 1|=8，|PF 2|=6， ∵|F 1F 2|=10，∴△PF 1F 2是直角三角形，其面积=××=×6×8=24．故选A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知((,0,,A B P 为函数y =图象上一点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A ．13 B ． C ． 34 D ． 35 【答案】C【解析】由y =得()2211y x y -=≥，所以函数y =图象为双曲线221y x -=的上支，又点((,0,A B 分别为双曲线的上、下焦点。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年度上学期第三次月考高二理科数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）1.“”是“方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程为表示圆；方程表示椭圆，则必有即故选B2.下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确，再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确，对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，不正确，故选D考点：本题考查了简易逻辑知识点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面3.已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 设右焦点则由对称性知即所以解得故选C4.已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】根据椭圆的几何性质有。
因为的周长为16，所以。
而，所以，解得。
因为椭圆的离心率，所以，从而，所以椭圆方程为，故选D5.已知直线与抛物线相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若,则k="( " )A. B. C. D.【答案】D 【解析】由一元二次根系关系出，由抛物线定义出，三式联立得k 为，故选D. 6.正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度。
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二数学上学期开学考试试题
定远重点中学2018-2019学年上学期开学考试高二数学注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将第I 卷（选择题）答案用2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I 卷（选择题 60分）一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。
）1.小明同学的QQ 密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是（ ） A.5110 B. 4110 C. 2110 D. 1102.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是（ ） A. B. C.D.3.已知03x <≤，则16y x x=+的最小值为（ ） A.253B. 16C. 20D. 104.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图所示的程序框图中，输出S 的值为（ ）A ．10B ．12C ．15D ．8 6.在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别()12,,,2,sin ,sin 33a b c a A A C ==+=则b 等于( )A. 4B. 83C. 6D.2787.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A. 18B. 36C. 54D. 728.已知C 是正方形ABDE 内的一点，且满足AC BC ⊥， 2AC BC =，在正方形ABDE 内投一个点，该点落在图中阴影部分内的概率是（ ）A.15 B. 25 C. 35 D. 459.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =， 12n n S a +=，,则n S =（ ）A. 12n - B. 112n - C. 123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 132n -⎛⎫⎪⎝⎭10.在ABC ∆中， 601A b ︒＝，＝sin sin sin a b cA B C++++等于( )A.B.3C. 311.某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（ ） A.35 B. 1180 C. 119 D. 5912.若实数,x y 满足约束条件1{133x y x y x y +≥-≥--≤，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. []6,2-B. ()6,2-C. []3,1- D. ()3,1-第II 卷（非选择题 90分）二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。
安徽省滁州市定远县育才学校2018-2019学年高二数学上学期期中试题(实验班)理
育才学校2018-2019学年度第一学期期中考试卷高二实验班理科数学试题满分：150分，考试时间：120分钟； 命题人：第I 卷 选择题 60分一、选择题（12小题，共60分）1.设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( )A. 如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于βB. 如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥C. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD. 如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β2.在正方体1111ABCD A B C D -中， M 和N 分别为BC 、1C C 的中点，那么异面直线MN与AC 所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 903.在三菱柱111ABC A B C -中， ABC 是等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ， 2AB =，1AA ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为（ ）A. 1B. 7C. 124.点P 在平面ABC 外，若PA PB PC ==，则点P 在平面ABC 上的射影是ABC 的（ ）A. 外心B. 重心C. 内心 D. 垂心5.已知两点()23M -，， ()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ） A. 344k -≤≤ B. 4k ≤-或34k ≥ C. 344k ≤≤ D. 344k -≤≤ 6.若()()1:120l x m y m +++-=， 2:280l mx y ++=的图象是两条平行直线，则m 的值是（ ）A. 1m =或2m =-B. 1m =C. 2m =-D. m的值不存在7.过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ）A. 2B. 1C.12 D. 12- 8.直线21y kx k =-+恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为（ ）A. ()()22215x y -+-= B. ()()222125x y -+-= C. ()()222125x y ++-= D.()()22215x y +++=9.某几何体的三视图如图所示（单位： ）则该几何体的体积（单位： ）是（ ）A. B. C. D.10.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）（注：1丈=10尺=100寸， 3.14π≈， 5sin22.513︒≈）A. 633立方寸B. 620立方寸C. 610立方寸D. 600立方寸11.在正方体ABCDA B C D ''''中， P 为棱AA '上一动点， Q 为底面ABCD 上一动点， M是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D. 球的一部分12.如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.B. 3πC.D. 2π第II 卷 非选择题 90分二、填空题（每小题5分，共20分）13.半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且60AB ACB =∠=，则球心O 到平面ABC的距离为_______.14.已知矩形,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为 .15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1， P 为BC 的中点， Q 为线段1CC 上的动点，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)． ①当102CQ <<时， S 为四边形；②当12CQ =时， S 为等腰梯形；③当314CQ <<时，S 为六边形；④当1CQ =时， S16.已知经过点()21M ，作圆C ： ()2211x y ++=的两条切线，切点分别为A ， B 两点，则直线AB 的方程为__________.三、解答题（70分）17. （10分）已知直线1:10l x y --=，直线2:30l x y +-=（1）求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标；（2）过点P 的直线与x 轴的非负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且4AOB S ∆=（O 为坐标原点），求直线AB 的斜率k .18. （12分）如图，正方体ABCD A B C D '-'''棱长为a ，连接A C ''， A D '， A B '， BD ， BC '， C D '，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥A BC D '-'的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A BC D '-'的体积.19. （12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别是11A C ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）求证：1//C F 平面ABE ；（Ⅲ）求三棱锥E ABC -的体积.20. （12分）已知圆()221:24C x y ++=与圆()222:44C x y -+=（1）若直线()()10mx y m m R -+-=∈与圆1C 相交于A B ，两个不同点，求AB 的最小值；（2）直线3x =上是否存在点P ，满足经过点P 有无数对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，并且直线1l 被圆1C 所截得的弦长等于直线2l 被圆2C 所截得的弦长？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. （12分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 中，M 为DD 1的中点，O 为AC 的中点，AB=2．（I ）求证：BD 1∥平面ACM ；（Ⅱ）求证：B 1O⊥平面ACM ；（Ⅲ）求三棱锥O-AB 1M 的体积．22. （12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；（2）证明：平面BDE⊥平面BCD．（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．高二实验班理科数学试题参考答案与解析1.D 【解析】由上图可得选项A 中： α 内存在直线1CC β ,故A 正确；选项B 中：直线l 即为直线1BB ,故B 正确；选项C 中：可用反证法假设存在直线,a a αβαβ∃⊂⊥⇒⊥，与已知矛盾，故C 正确；选项D 中: 11,CC CC αβ∃⊂ ,故D 错误.综上应选D.2.C 【解析】连接11,,AD D C ， 11//,MN AD D AC ∴∠为异面直线MN 与AC 所成的角，而1D AC ∆为正三角形， 160,D AC ∴∠=︒故选C ．3.A 【解析】如图，作1//BD AB 交11A B 的延长线于D ，连接1DC ，则1DBC ∠就是异面直线1AB 和1BC 所成的角（或其补角），由已知BD ==， 11BC C D =，由22211BD BC C D +=，知190,DBC ∠=∴异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，正弦值为1，故选A.4.A 【解析】设点P 作平面ABC 的射影O ，由题意， ,PA PB PC PO ==⊥底面,ABC ,,PAO POB POC ∴∆∆∆ 都为直角三角形， PAO POB POC ∴∆≅∆≅∆，即,OA OB OC O ==∴为三角形的外心，故选A.5.B 【解析】如图所示，直线PM 的斜率为()13412PM k --==--；直线PN 的斜率为()()123134PM k --==--，当斜率为正时， PN k k ≥，即34k ≥；当斜率为负时， PM k k ≤，即4k ≤-，直线的斜率k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选B. 6.B 【解析】显然0m = 或10m += 时两条直线不培训，则由题意可得28112m m m ∴≠+-＝ ，解得1m =． 故选：B ． 7.A 【解析】因为点P (2,2)满足圆()2215x y -+=的方程，所以P 在圆上，又过点P (2,2)的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线ax −y +1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax −y +1=0平行，所以直线ax −y +1=0的斜率为： 20221a -==-.故选A. 8.B 【解析】直线21y kx k =-+，化为21y k x =-+（）， 2x =时，总有1y =，即直线直线21y kx k =-+过定点21（，），圆心坐标为21（，），又因为圆的半径是5，所以圆的标准方程是()()222125x y -+-=，故选B.9.B 【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥.该几何体的体积.故答案为:B10.A 【解析】如图：10AB = (寸)，则5AD = (寸)， 1CD = (寸)设圆O 的半径为x (寸)，则()1OD x =- (寸)在Rt ADO 中，由勾股定理可得：()22251x x +-=，解得13x = (寸)，5sin 13AD AOD AO ∴∠==，即22.5AOD ∠≈︒，则45AOB ∠=︒ 2451311012 6.333602ACB ACB OACB S S S π⨯=-=-⨯⨯≈弓形扇形平方寸 故该木材镶嵌在墙中的体积V 100633ACB S =⨯≈弓形立方寸 。
精编安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“若x ，y 都是偶数，则x +y 也是偶数”的否命题是( )A. 若x ，y 都是偶数，则x +y 不是偶数B. 若x ，y 都不是偶数，则x +y 不是偶数C. 若x ，y 都不是偶数，则x +y 是偶数D. 若x ，y 不都是偶数，则x +y 不是偶数【答案】D【解析】解：因为原命题是“若x ，y 都是偶数，则x +y 也是偶数”， 所以原命题的否命题为：“若x ，y 不都是偶数，则x +y 不是偶数”， 故选：D ．根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答．本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点.而且要注意“都是”的否定为“不都是”，选择填空中常考察．2. 设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A. x +y =2B. x +y >2C. x 2+y 2>2D. xy >1【答案】B【解析】解：若{y ≤1x≤1时有x +y ≤2但反之不成立，例如当x =3，y =−10满足x +y ≤2但不满足{y ≤1x≤1所以{y ≤1x≤1是x +y ≤2的充分不必要条件．所以x +y >2是x 、y 中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件． 故选：B ．先求出{y ≤1x≤1的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．3. 已知p ：|x −1|≥2，q ：x ∈Z ，若p ∧q ，¬q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A. {x|x≤−1或x≥3，x∉Z}B. {x|−1≤x≤3,x∉Z}C. {x|x<−1或x>3，x∈Z}D. {x|−1<x<3,x∈Z}【答案】D【解析】解：对于命题p：|x−1|≥2，解得x≥3或x≤−1．q：x∈Z，∵p∧q，¬q同时为假命题，∴q真p假．∴{−1<x<3x∈Z，解得x=0，1，2．则满足条件的x的集合为{0,1，2}．故选：D．对于命题p：|x−1|≥2，解得x≥3或x≤−1.由于p∧q，¬q同时为假命题，可得q真p假．本题考查了绝对值不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π12,π4]，则该椭圆离心率的取值范围为()A. [√22,1] B. [√22,√63] C. [√63,1) D. [√22,√32]【答案】B【解析】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴ca=1sinα+cosα即e=1sinα+cosα=√2(sin(α+π4)∵a∈[π12,π4]，∴π3≤α+π/4≤π2∴√32≤sin(α+π4)≤1∴√22≤e≤√63故选：B．设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|= 2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+ |BF|=2a中即可表示出ca即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．本题主要考查了椭圆的性质.要特别利用好椭圆的定义．5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C′：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N∗)次反射后回到左焦点所经过的路径长为()A. k(a+m)B. 2k(a+m)C. k(a−m)D. 2k(a−m)【答案】D【解析】解：因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点如图，BF1=BF2−2m，BF1+BA+AF1=BF2−2m+BA+AF1=2a−2m所以光线经过2k(k∈N∗)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a−m)故选：D．根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过2k(k ∈N ∗)次反射后回到左焦点所经过的路径长．本题以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查学生对新定义的理解，理解新定义是关键．6. 已知P 为抛物线y 2=4x 上的任意一点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A(4,5)，则|PA|+d 的最小值为( )A. √34B. √34−1C. √34−2D. √34−4【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线l ：x =−1． 如图所示，过点P 作PN ⊥l 交y 轴于点M ，垂足为N ， 则|PF|=|PN|， ∴d =|PF|−1，∴|PA|+d ≥|AF|−1=√(4−1)2+52−1=√34−1． 故选：B ．抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线l ：x =−1.如图所示，过点P 作PN ⊥l 交y 轴于点M ，垂足为N ，则|PF|=|PN|，|PA|+d ≥|AF|−1.即可得出．本题考查了抛物线的定义及其标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 已知正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为a ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则<A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘【答案】D【解析】解：∵正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为a ， 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴<A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >是∠DBA′的补角， ∵A′D =A′B =BD ，∴∠DBA′=60∘， ∴<A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120∘． 故选：D ．由B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到<A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >是∠DBA′的补角，由A′D =A′B =BD ，得∠DBA′=60∘，由此能求出<A′B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B′D′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >.本题考查两向量的夹角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E =14A 1B 1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. (0,14,−1) B. (−14,0，1) C. (0,−14,1) D. (14,0，−1)【答案】C【解析】解：∵正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E =14A 1B 1， ∴B(1,1，0)，E(1,34,1)，∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,34,1)−(1,1，0)=(0,−14,1)． 故选：C ．利用正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E =14A 1B 1，可得点B ，E 的坐标，进而得到向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了正方体的性质、空间直角坐标系、向量的坐标运算，属于基础题．9. 如图所示，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60∘，且AB =2，AD =1，AA 1=3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A. 1314B. √9114 C. √9128 D. √7812【答案】B【解析】解：∵如图所示，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60∘，且AB =2，AD =1，AA 1=3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点， ∴MN//BC 1//AD 1，∴∠CAD 1是MN 与AC 所成角(或所成角的补角)，AC=√AB2+BC2−2×AB×BC×cos∠ABC=√4+1−2×2×1×cos120∘=√7，AD1=√AD2+DD12−2×AD×DD1×cos120∘=√1+9−2×1×3×cos120∘=√13，CD1=√CD2+DD12−2×CD×DD1×cos60∘=√4+9−2×2×3×cos60∘=√7，∴cos∠CAD1=AC2+AD12−CD122×AC×AD1=2×√7×√13=√9114．故MN与AC所成角的余弦值为√9114．故选：B．由MN//BC1//AD1，得到∠CAD1是MN与AC所成角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理能求出MN与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.已知曲线C的方程为y=xlnx，则C上点x=1处的切线的倾斜角为()A. π6B. π4C. 3π4D. 5π4【答案】B【解析】解：∵f′(x)=y′=lnx+1∴f′(1)=1 C上点x=1处的切线斜率为1设倾斜角为α则tanα=1∵0≤α≤π∴α=π4故选：B．利用导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率；直线的斜率等于倾斜角的正切值．本题考查导数的几何意义、直线的斜率等于倾斜角的正切值．11.设函数f(x)=cos(√3x+φ)(−π<φ<0).若f(x)+f′(x)是偶函数，则φ=()A. π3B. −π3C. π6D. −π6【答案】B【解析】解：f(x)+f′(x)=cos(√3x+φ)−√3sin(√3x+φ)=2sin(√3x+φ+56π)，因为f(x)+f′(x)为偶函数，所以当x=0时2sin(√3x+φ+56π)=±2，则φ+56π=kπ+π2，k∈Z，所以φ=kπ−π3，k ∈Z ， 又−π<φ<0， 所以φ=−π3． 故选：B ．通过化简可得f(x)+f′(x)=2sin(√3x +φ+56π)，由f(x)+f′(x)为偶函数，知当x =0时f(x)+f′(x)取得最值，由此可得φ+56π=kπ+π2，k ∈Z ，根据φ的范围即可解得φ值．本题考查导数的运算、函数的奇偶性及三角恒等变换，考查学生对问题的理解解决能力，属中档题．12. 函数y =sin(2x 2+x)导数是( )A. y′=cos(2x 2+x)B. y′=2xsin(2x 2+x)C. y′=(4x +1)cos(2x 2+x)D. y′=4cos(2x 2+x)【答案】C【解析】解：设y =sinu ，u =2x 2+x ， 则y′=cosu ，u′=4x +1，∴y′=(4x +1)cosu =(4x +1)cos(2x 2+x)， 故选：C ．设H(x)=f(u)，u =g(x)，则H′(x)=f′(u)g′(x)．牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=2sin3x +9x ，则△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=______．【答案】6cos3+9【解析】解：f′(x)=(2sin3x +9x)′=6cos3x +9．△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=f′(1)=6cos3+9故答案为：6cos3+9．根据导数的定义，原式等于f′(1)，求出f′(x)后令x =1计算． 本题考查导数的定义，函数的导函数求解，属于基础题．14. 过点P(8,1)的直线与双曲线x 2−4y 2=4相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为______． 【答案】2x −y −15=0【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=16，y 1+y 2=2，∵x 12−4y 12=4，x 22−4y 22=4，∴(x 1+x 2)(x 1−x 2)−4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，∴16(x 1−x 2)−8(y 1−y 2)=0， ∴k AB =2，∴直线的方程为y −1=2(x −8)，即2x −y −15=0． 故答案为：2x −y −15=0设出A ，B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x 1+x 2和y 1+y 2的值，进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程．本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．15. 沿直线y =−2发出的光线经抛物线y 2=ax 反射后，与x 轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为______． 【答案】x =−2【解析】解：∵沿直线y =−2发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点， ∴抛物线的焦点是(2,0)， ∴a =4×2=8，∴抛物线的标准方程y 2=8x ， ∴抛物线的准线方程为x =−2． 故答案为：x =−2．沿直线y =−2发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点，由此得抛物线的焦点是(2,0)，从而能求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值为______． 【答案】4√59【解析】解：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系， 则C(0,2，0)，M(2,0，1)，D 1(0,0，2)，N(2,2，1) 可知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−1)，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2−2×2−1×1=−1，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3∴cos <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−19∴<CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈(π2,π)∴由三角函数的平方关系得sin <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=4√59故答案为4√59． 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦．本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值、同角的三角函数的平方关系!三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=x 3−3x 及y =f(x)上一点P(1,−2)，过点P 作直线l ．(1)求使直线l 和y =f(x)相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y =f(x)相切且切点异于P 的直线方程． 【答案】解：(1)由f(x)=x 3−3x 得，f′(x)=3x 2−3， 过点P 且以P(1,−2)为切点的直线的斜率f′(1)=0， ∴所求直线方程为y =−2．(2)设过P(1,−2)的直线l 与y =f(x)切于另一点(x 0,y 0)，则f′(x 0)=3x 02−3．又直线过(x 0,y 0)，P(1,−2)， 故其斜率可表示为y 0−(−2)x 0−1=x 03−3x 0+2x 0−1，又x 03−3x 0+2x 0−1=3x 02−3，即x 03−3x 0+2=3(x 02−1)⋅(x 0−1)，解得x 0=1(舍)或x 0=−12，故所求直线的斜率为k =3×(14−1)=−94， ∴y −(−2)=−94(x −1)，即9x +4y −1=0．【解析】(1)由已知可得斜率函数为f′(x)=3x 2−3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可． (2)设另一切点为(x 0,y 0)，求出该点切线方程，再由条件计算．本题较为简单，主要考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．18. 已知p ：函数f(x)=x 2−2mx +4在[2,+∞)上单调递增；q ：关于x 的不等式mx 2+4(m −2)x +4>0的解集为R.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．【答案】解：若命题p 为真，因为函数f(x)的对称轴为x =m ，则m ≤2；若命题q 为真，当m =0时原不等式为−8x +4>0，该不等式的解集不为R ，即这种情况不存在； 当m ≠0时，则有{△=16(m −2)2−16m <0m>0，解得1<m <4； 若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假； 故{m ≤1或m ≥4m≤2或{1<m <4m>2解得m ≤1或2<m <4；∴m 的取值范围为(−∞,1]∪(2，4)．【解析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p ，q 为真命题时m 的取值范围.根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题得到p 真q 假或p 假q 真，求出这两种情况下m 的范围并求并集即可．考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，一元二次不等式解的情况和判别式的关系，以及p ∨q ，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系．19. 如图，已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ． (1)若∠F 1AB =90∘，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求椭圆的方程．【答案】解：(1)若∠F 1AB =90∘，则△AOF 2为等腰直角三角形.则|OA|=|OF 2|，即b =c ． ∴a =√b 2+c 2=√2c ， 椭圆的离心率e =c a =√22；(2)由题知2c =2，c =1，则A(0,b)，F 2(1,0)，设B(x,y)， 由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(1,−b)=2(x −1,y)， ∴{2y =−b 2x−2=1，解得x =32，y =−b2． 代入椭圆x 2a2+y 2b 2=1，即94a 2+14=1解得a 2=3.b 2=a 2−c 2=2，∴椭圆方程为x 23+y 22=1．【解析】(1)由△AOF 2为等腰直角三角形，则b =c ，利用椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；(2)由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量数量积的坐标运算，求得B 点坐标，代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于√3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B两点，F 1为左焦点． (Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)若△F 1AB 的面积等于6√2，求直线l 的方程． 【答案】解：(1)∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为bx ±ay =0， ∴双曲线焦点(±c,0)到渐近线的距离为|bc|√b 2+a 2=b =√3 又∵双曲线离心率e =ca =2∴c =2a ，平方得c 2=a 2+b 2=a 2+3=4a 2，解得a =1因此，双曲线的方程为x 2−y 23=1 (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由右焦点F 2(2,0)设直线l 方程：y =k(x −2)由{y =k(x −2)x 2−y 23=1消去y ，得(k 2−3)x 2−4k 2x +4k 2+3=0 根据题意知k ≠±√3，由根与系数的关系得：x 1+x 2=4k 2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，y 1−y 2=k(x 1−x 2) ∴△F 1AB 的面积S =c|y 1−y 2|=2|k||x 1−x 2|=2|k|⋅√(4k 2)2−4(k 2−3)(4k 2+3)|k 2−3|=2|k|⋅6⋅√k 2+1|k 2−3|=6√2两边去分母并且平方整理，得k 4+8k 2−9=0，解之得k 2=1(舍负)∴k =±1，得直线l 的方程为y =±(x −2)【解析】(1)根据题意，得离心率e =ca =2且b =√3，结合c 2=a 2+b 2联解得a =1，即得双曲线的方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 方程：y =k(x −2).由双曲线方程与直线l 方程消去y ，得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和△F 1AB 的面积等于6√2，建立关于k 的方程并解出k 的值，即得直线l 的方程． 本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．21. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB ，∠ABC =60∘，∠BCA =90∘，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE//BC ．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点E 使得二面角A −DE −P 为直二面角？并说明理由．【答案】解：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ．又∠BCA =90∘，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC ．(2)∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴DE =12BC ． 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ．又PA =AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD =1√2AB ．在Rt △ABC 中，∠ABC =60∘，∴BC =12AB ，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=DEAD =BC2AD=√24，即AD与平面PAC所成角的正弦值为√24．(3)∵DE//BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A−DE−P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90∘，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90∘，故存在点E使得二面角A−DE−P是直二面角．【解析】(1)欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；(2)根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC 所成角即可；(3)根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A−DE−P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A−DE−P是直二面角．考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．22.已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=−p2(p>0).若抛物线C：y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．(I)求抛物线C的方程；(II)若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：(I)由题意可知，l2为抛物线的准线，抛物线的焦点坐标为(p2,0)，由抛物线的定义可知抛物线上的点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离，∴抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离，∴d=√32+42=2，解得：p=2，∴抛物线的方程为：y2=4x，(II)设M(x0,y0)，由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设为直线的斜率为k，则直线方程为：y−y0=k(x−x0)，代入抛物线线方程，整理得：ky2−4y+4y0−ky02=0，△=16−4k(4y0−ky02)=0，求得k=2y0，∴直线l 的方程为：y −y 0=2y 0(x −x 0)，令x =−1，又由y 02=4x 0，可知N(−1,y 02−42y 0)，设Q(x 1,0)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 1,y 0)，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x 1,y 02−42y 0)， 由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(x 0−x 1)(−1−x 1)+y 0⋅y 02−42y 0=0，把y 02=4x 0，代入上式，可得：(1−x 1)x 0+x 12+x 1−2=0，∵对任意的x 0等式恒成立，{1−x 1=0x 12+x 1−2=0， ∴x 1=1，即在x 轴上存在点到Q(1,0)在以MN 为直径的圆上．【解析】(I)由椭圆的定义可知，抛物线的焦点(p 2,0)，根据抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 2的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得p 的值，求得抛物线方程；(II)设直线M(x 0,y 0)，y −y 0=k(x −x 0)，代入抛物线方程，由与抛物线相切，△=0，求得k =2y 0，代入求得N 点坐标，求得向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据向量数量积的坐标运算，(1−x 1)x 0+x 12+x 1−2=0，即可求得x 1=1，即在x 轴上存在点到Q(1,0)在以MN 为直径的圆上．本题考查抛物线的方程及性质，考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，向量数量积的坐标运算的综合应用，考查转化思想，属于中档题．。
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安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期期中考试 高二理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案） 1.已知命题p x R ∀∈： ， 1x+2x ≥；命题0q:x 0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin?x +cos?x 2=则下列命题中为真命题的是( )A. ()p q ∨⌝B. p ∧(⌝q ) ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定是：“2,10x R x x ∀∈++>”B. “1x =-”是“2560x x -+=”的必要不充分条件C. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是：若21x =，则1x ≠D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.3.设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段4.设12,F F 分别是椭圆2214924x y +=的左,右焦点， P 是椭圆上一点，且12:4:3,PF PF =则12PF F ∆的面积为（ ）A. 24B. 25C. 30D. 405.在平面直角坐标系xOy 中，已知()()0,2,0,2,A B P -为函数21y x =+图象上一点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ） A. 13 B. 33 C. 34 D.356.设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ()1,2B. [)3,9C.3,32⎛⎤⎥⎝⎦D. (]2,3 7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ， N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( )A. 3B. 3C. 2D.28.已知O 为坐标原点， 1F ， 2F 是双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C的离心率为（ ） A.5 B. 2 C.3 D.29.已知点P 是抛物线24y x =上的一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线210x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A. 4B. 115C. 5D.115510.已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A. ()2,1B. ()2,1-C.11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,4⎛⎫⎪⎝⎭11.过曲线()1xy f x x==-图象上一点（2， -2）及邻近一点（2 x +∆，-2 y +∆）作割线，则当0.5x ∆=时割线的斜率为（ ）A.13 B. 23C. 1D. 53-12.已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f = ( )A.12B. πC. 2πD. 以上都不正确 第II 卷 选择题 （共90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.关于x 的不等式1x m -<成立的充分不必要条件是14x <<，则实数m 的取值范围是__________．14.已知圆O ： 224x y +=及一点()1,0P -， Q 在圆O 上运动一周， PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为__________．15.直线3y x =-与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为__________．16.已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题(共6小题,共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
)17.（12分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）= x 3+ax（a ∈R ），且曲线f （x ）在x= 处的切线与直线y=﹣ x ﹣1平行． （Ⅰ）求a 的值及函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f （x ）﹣m 在区间[﹣3， ]上有三个零点，求实数m 的取值范围．18.（12分）已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.19.（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，；(2)为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.20.（12分）已知12,F F 分别是双曲线E ： 22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 是双曲线上一点， 2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260F PF ∠=时， 12PF F ∆的面积为483，求此双曲线的方程。
21.（12分）设命题21:01c p c -<-，命题q ：关于x 不等式()221x x c +->的解集为R .（1）若命题q 为真命题，求实数c 的取值范围；（2）若命题p 或q 是真命题， p 且q 是假命题，求实数c 的取值范围. 22.（10分）如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE ,且梯形ABDE 内接于半椭圆,DE ∥AB ,AB 为短轴,OC 为长半轴(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围参考答案1.D2.D3.D4.A5.C6.D7.C8.D9.D 10.D 11.B 12.B 13.∅14.22112x y⎛⎫++= ⎪⎝⎭15.3-116.017.解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x= 处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）= +a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）= x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）= x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）= x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）= ，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．18.(1) 2 ， 2ln2-；（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解.解析：（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln22,2212af a b f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-.（Ⅱ）当0a =时， ()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时， ()()0af x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立， 所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时， ()2x af x x='-. 当()0,x a ∈时， ()0f x '<， ()f x 在区间()0,a 内为减函数，当(),x a ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间(),x a ∈+∞内为增函数，所以当x a =时，取得最小值()()11ln 2f a a a =-. 当()0,a e ∈时， ()()11ln 02f a a a =->，无方程解； 当a e =时，()()11ln =02f a a a =-，方程有唯一解.当(),a e ∈+∞时， ()()11ln 02f a a a =-<， 因为()1102f =>，且1a >，所以方程()0f x =在区间()0,a 内有唯一解， 当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-. 因为21a a >>，所以()()22122202f a a a >-=. 所以方程()0f x =在区间(),a +∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解.19. 解析： (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y ＝2px 1，y ＝2px 2，所以yy ＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x 1x 2＝，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得＋＝＝ (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝ (|AC |＋|BD |)＝ (|AF |＋|BF |)＝|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切20.（1）430x y ±=（2）2212748x y -=解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则点2F 到渐近线距离为220bc b b a±=+（其中c 是双曲线的半焦距），所以由题意知2c a b +=，又因为222a b c +=，解得43b a =，故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=. （2）因为1260F PF ∠=，由余弦定理得222121212||2cos60||PF PF PF PF F F +-⋅= ，即2221212||4PF PF PF PF c +-⋅=。