高考数学大一轮复习 8.2空间点、直线、平面之间的位置关系 理 苏教版
2016高考数学大一轮复习 8.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 苏教版
思维点拨
解析
思维升华
取 AC 中点，利用三角
形中位线的性质作出
所求角.
题型三 求两条异面直线所成 的角
例3 空间四边形 ABCD中，AB＝CD 且AB与CD所成的 角为30°，E、F分别为BC、AD 的中点，求EF与AB所成角的大小.
思维点拨
解析
思维升华
解析
答案
思维升华
正三角形的直棱柱)的
顶点或所在棱的中点，则表示直线
先判断直线GH、MN是 否共面，若不共面，再 利用异面直线的判定定
GH 、 MN 是 异 面 直 线 的 图 形 有
______.(填上所有正确答案的序号)
理判定.
例2 (2)在图中， G、N、M、H分别是 正三棱柱(两底面为
思维点拨
(2) 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过
该点的直线是异面直线.
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面 α，β有一条公共直线a，就说平
面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面 α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过A点
解析
答案
思维升华
空间中两直线位置关系的判 定，主要是异面、平行和垂 例2 (1)如图，在正方 直的判定.对于异面直线，可 体ABCD－A1B1C1D1中， 采用直接法或反证法；对于 平行直线，可利用三角形(梯 M，N分别是BC1，CD1 形 ) 中位线的性质、公理 4 及 ④ 的中点，则下列判断错误的是____. 线面平行与面面平行的性质 ①MN 与 CC1 垂直；②MN 与 AC 垂直； 定理；对于垂直关系，往往 ③MN与BD平行；④MN与A1B1平行. 利用线面垂直的性质来解决.
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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第97 页 )[基础知识填充 ]1．平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理 2的三个推论推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行图形语言关系相交关系符号语言a∥ b a∥αα∥β图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l图形语言独有关系符号语言a，b 是异面直线a? α3.平行公理 (公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2)范围： 0，2 .[知识拓展 ]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线． ()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面α，且 a?α，则α内的所有直线与 a 异面． ()[答案 ] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编 )如图 7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线B1 C 与 EF 所成的角的大小为 ()图7-3-1A．30°B．45°C．60°D．90°C[ 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1 D1＝ B1C＝D1 C，∴∠D1B1C＝ 60°.]3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B， C，D 是平面的基本性质公理． ]4．(2016 ·山东高考 )已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[ 由题意知 a? α， b? β，若 a，b 相交，则 a， b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的位置关系是 ________．b 与α相交或 b? α或 b∥α(对应学生用书第98 页 )平面的基本性质(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C， E 共面，则 A，B，C， D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：①E，C，D1，F 四点共面；②CE，D1F，DA 三线共点．图7-3-2(1)B[ ①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C 在同一条直线上，则A，B，C，D，E 不一定共面，故②错误；③中，直线b，c 可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误． ](2)①如图，连接 EF，CD1， A1B．∵E，F 分别是 AB， AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C， D1，F 四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE 与 D1F 必相交，设交点为P，则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，得P∈平面ABCD.同理 P∈平面ADD 1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1 A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE， D1F，DA 三线共点．[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练 1](1)(2018 上·饶模拟 )如图 7-3-3 所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ 与 CB 的延长线交于点 M， RQ 与 DB 的延长线交于点 N，RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下命题：图 7-3-3①直线 MN? 平面 PQR；②点 K 在直线 MN 上；③M，N， K， A 四点共面．其中正确结论的序号为 ________．【导学号： 79170240】1 1(2)如图 7-3-4 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊2AD，BE 綊2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．①证明：四边形 BCHG 是平行四边形；②C，D，F， E 四点是否共面？为什么？图7-3-4(1)①②③[ 由题意知， M∈PQ，N∈RQ，K ∈RP，从而点 M，N，K∈平面PQR.所以直线 MN? 平面 PQR，故①正确．同理可得点 M ，N，K∈平面BCD.从而点 M，N，K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，即点 K 在直线 MN 上，故②正确．因为 A?直线 MN，从而点 M ，N，K，A 四点共面，故③正确．]1(2)①证明：由已知 FG＝ GA， FH＝ HD ，得 GH 綊2AD.1又BC 綊2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形．②C，D，F， E 四点共面，理由如下：1由BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG.由①知 BG∥CH，∴ EF∥CH，∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH ，∴ C，D，F，E 四点共面．空间直线的位置关系(1)(2018 金·华模拟 )已知 a，b，c 为三条不同的直线，且a? 平面α， b? 平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥ b，则必有 a∥ C．其中真命题有 ________．(填序号 ) 【导学号： 79170241】(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-5 中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号 )．①②③④图7-3-5(1)①③(2)②④[(1) 对于①，若 c 与 a，b 都不相交，则 c∥a，c∥b，从而 a∥b，这与 a 与 b 是异面直线矛盾，故①正确．对于②， a 与 b 可能异面垂直，故②错误．对于③，由 a∥b 可知 a∥β，又α∩β＝c，从而 a∥c，故③正确．(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中， G，H，N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接MG，GM ∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G，M，N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图②④中， GH 与 MN 异面． ][规律方法 ] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练 2](2018 烟·台模拟 )a，b，c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若 a∥ M，b∥M，则 a∥b 或 a， b 相交或 a，b 异面；②若 b? M， a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M ，则 a∥B．其中正确的为 ()A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面，①为真命题．②中， b? M， a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 ()图 7-3-61 2A．5 B．53 4C．5 D.5(2)(2018 泸·州模拟 )如图 7-3-7 所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 ________．图7-3-715 [(1) 连接 BC1，易证 1 1(1)D (2) 5 BC ∥AD，则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，在△A1BC1中，由余弦定理得5＋ 5－ 2 4cos∠A1BC1＝＝.2×5×5 5(2)取 BC 的中点 G.连接 GC1，则 GC1∥FD 1，再取 GC 的中点 H，连接 HE、OH，∵E 是 CC1的中点，∴GC1∥EH.∴∠OEH 为异面直线所成的角．5 5在△OEH 中， OE＝ 3，HE＝2 ，OH＝2 .OE2＋EH2－OH2 3 15由余弦定理，可得 cos∠OEH＝2OE·EH ＝＝5 .]52· 3·2[规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练 3]如图7-3-8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1 B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．【导学号：79170242】图7-3-82[ 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以 C1D＝2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.]。
高三第一轮复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
高二年级徐雯雯2.1.1平面一、教材分析本节课主要是学习空间中点、直线、平面的位置关系，使学生了解空间基本元素的位置关系。
并且本节知识与学生生活的联系密切，如直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等，都可以在日常生活中找到相关模型。
这是个学生在对图形认识由平面到立体的过渡过程。
二、学情分析由于学生的抽象概括能力，空间想象能力还有待提高，空间点、直线、平面的位置关系比较抽象，所以教学中要引导学生从生活中的实际出发，从中抽象出空间图形，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言。
三、教学目标1、正确理解平面的概念，掌握平面的表示方法。
（C类目标）2、了解并会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、直线、平面的位置关系。
（A、B类目标）3、掌握平面的基本性质的三种语言表示，初步掌握性质的简单运用。
（A类目标）四、教学重点难点重点：1、平面概念的理解；（C类目标）2、点、线、面的位置关系；（B、C类目标）3、掌握平面的基本性质；（A类目标）难点: 三种语言：文字语言、图形语言和符号语言的转化。
（A类目标）五、教学过程新课教授（一）、创设情景导入新课在《西游记》中，如来佛祖对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会逃出我的手掌心。
”结果悟空真没跑出如来佛祖的手掌心，如果把孙悟空看做是一个点，他的运动成为一条线，那么如来佛祖的手掌像什么？（二）、新课教授一、平面的引入生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的的形象。
二、平面的探究（1）给出平面的一般概念，并针对这一概念提示学生注意以下三点：1.平面是平的2.平面无厚度3.平面式无边界的可以无限延展的（2）平面的画法（3）平面的表示方法①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面r②用平行四边形的四个顶点表示：平面ABCD∉ ③用平行四边形相对两个顶点的字母表示：平面AC 或平面BD 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，可以表示为： ①点A 在平面α内，记作A ∈α ②点B 在平面α外，记作 B三、点、直线、平面之间的位置关系点在直线上，点在直线外；点在平面内，点在平面外；线在平面内，线在平面外 (点动成线、线动成面)；直线、平面都可以看成点的集合。
2023版高考数学一轮总复习：空间空间点直线平面之间的位置关系课件理
公理4
平行于同一条直线的两
条直线__________
平行 .
续表
P∈α∩β⇒α (1)证明“三点共线
∩β=l,且
“三线共点”;(2)
P∈l .
________
确定两平面的交线.
若直线
a∥b,b∥c,
a∥c.
判断直线平行.
考点1
平面的基本性质
2. 公理2的推论
推论1
经过一条直线和 直线 外一点,有且只有一个平面.
③¬p2∨p3 ④¬p3∨¬p4
①③④
.
考向1
解析
平面的基本性质及应用
对于p1,由题意设直线l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,则A,B,C三点不
共线,所以此三点确定一个平面α,则A∈α,B∈α,C∈α,所以
AB⊂α,BC⊂α,CA⊂α,即l2⊂α,l3⊂α,l1⊂α,所以p1是真命题.对于p2,当
A.α内的所有直线与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内存在唯一的直线与a平行
D.α内的直线与a都相交
3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,
则γ与β的交线必通过
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
( D )
考向扫描
考向1
题,p1∧p2为假命题,¬p2∨p3为真命题,¬p3∨¬p4为真命题.综上可知,真命
题的序号是①③④.
考向1
平面的基本性质及应用
2.典例 [截面交线问题]已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图 (1)中,E,F分
别是D1C1,B1B的中点,画出图 (1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线,
(江苏专版)高考数学一轮复习第八章立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系实用课件文
[方法技巧] 用平移法求异面直线所成的角的步骤 一作 即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角 三求 或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝 角，则它的补角才是要求的角
第二十四页，共31页。
第十一页，共31页。
2．如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________条．
解析：依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交 且与 CC1 平行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱 有 CD，C1D1.故符合条件的有 5 条． 答案：5
第二十一页，共31页。
异面直线所成的角 [例 2] 空间四边形 ABCD 中，AB＝CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°，E，F 分别为 BC， AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小．
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[解] 如图，取 AC 的中点 G，连结 EG， FG， 则 EG 綊12AB，FG 綊12CD，
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(3)异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直 线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
2．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_锐__角__(_或__直__角__)叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)范围：__0_，__π2__.
第二十九页，共31页。
(2)如图，取 BC 的中点 F，连结 EF，AF，则 EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线 AE 与 PB 所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC， ∴AF＝ 3，AE＝ 2，EF＝ 2，cos∠AEF＝AE2＋ 2·AEEF·E2－FAF2 ＝2×2＋22×－3 2＝14， 故异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为14.
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的寻找两平面的交线；证明线共点公共直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//m n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补A A'∠=∠A Aπ'∠+∠=判断或证明两角相等或互补2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：0，π2.【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0 (B)1(C)2 (D)3B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点MD解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M ∈γ，而C∈γ.又∵M ∈β，C ∈β，∴γ和β的交线必通过点C 和点M .3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6答案：C4．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BB 1与AD 1所成的角为( ) (A)π3 (B)π4 (C)π6(D)π2 B 解析：如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AD 1为直线BB 1与AD 1所成的角， 在Rt △AA 1D 1中，∠A 1AD 1＝π4.5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________________． 答案：b 与α相交或bα或b ∥α考点一 平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC，，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∴B为MA的中点．中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠ 2.有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C考点三异面直线所成的角问题已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.解法二 如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.答案：C【反思归纳】 (1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移； 补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成的角的余弦值为________．解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()(A)若l⊥β，则α⊥β(B)若α⊥β，则l⊥m(C)若l∥β，则α⊥β(D)若α∥β，则l∥mA解析：依题意，若l⊥β，lα，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，选A.2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是()①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．(A)1(B)2(C)3 (D)4A解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°(B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°(C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行(D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直B解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝ 3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°C解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.5．下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③C解析：注意考查所给的问题：①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确．综上可得：命题正确的是：②④.故选C.6．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，＝2 3.所以斜边BC＝3cos 60°答案：2 37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是________．解析：连接ND，取ND中点为E，则ME∥AN，则∠EMC为异面直线AN、CM所成的角，因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝(2)2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.答案：789．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间：15分钟)10．下列说法错误的是()(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C 与BE所成角的余弦值为()(A)15(B)31010(C)1010(D)35B解析：如图连结A 1B .由题意知A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B. 12．直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( )(A)22(B)12 (C)32 (D) 2A 解析：连接AB 1交A 1B 于F ，连接EF ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1，所以角FEA 为所求线面角，其正切值为AF EF ＝221＝22.故选A.13．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填正确条件的序号)①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面解析：本题考查线面之间的位置关系，易知③正确．答案：③14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以总能使MP 与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 515．如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，P A⊥圆O所在的平面，P A＝3，点M在线段BP上，且BM＝13BP.(1)求证：CM∥平面P AD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，连接CE，如图，则ME∥AP.∵ME面P AD，AP面P AD，∴ME∥面P AD.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝3，因为BM＝13BP，所以BE＝13BA＝33，tan∠BCE＝BEBC＝33，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC面P AD，AD面P AD∴EC∥面P AD.又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面P AD，又CM平面MEC，CM/ 平面P AD，所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，交AG于F，连接PF，如图所示，则∠PBF为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ. 易知AF＝1，PB＝6，BF＝2，PF＝2，故cos θ＝PB2＋BF2－PF22PB·BF＝6＋4－426×2＝64.即异面直线BP与CD所成角的余弦值为64.。
高考数学第一轮知识点总复习 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
（2）EF∥GH，但EF≠GH,故EFHG是梯形. 如图，设FH与EG交于O点，
则O∈FH 平面DAC,O∈EG 平面BAC,
∴O∈(平面DAC∩平面BAC)=AC, 即直线AC过O点， 故三直线FH、EG、AC共点.
易错警示
【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个 点A、B、C、D分别画四条直线. 求证:这四条直线在同一平面内.
(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互 补.
（4）异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b， 我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹 角）.
②两范条直围线：垂θ∈直（，0记, 作2].特a⊥别b地. ，如果两异面直线所成的角是
交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线a∩b=M,知直线a和
b确定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知点N、Q都在平面
α内,故c α.同理可证d α,故直线a,b,c,d共面于α.
由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同
一平面内.
学后反思 证多线共面的方法： （1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也 在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内. （2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平 面重合.
如果不重合的两个平面 有一个公共点,那么它们 有且只有一条过这个点
的公共直线
若P∈α,P∈β,则 α∩β=a,且P∈a
公理4
公推 理 论1 2 的推 推 论2 论
推 论3
平行于同一条直 线的两条直线互 相平行 经过一条直线和 直线外一点,有且 只有一个平面 两条相交直线确 定一个平面
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．( × )(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．( × ) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B 解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____． 解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2 点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3 直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B 解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。
高考数学大一轮复习 第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 苏教版
答案：14·泰州期末)在空间中，用 a，b，c 表示三条不同的直
线，γ 表示平面，给出下列四个命题： (1)若 a∥b，b∥c，则 a∥c； (2)若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c； (3)若 a∥γ，b∥γ，则 a∥b； (4)若 a⊥γ，b⊥γ，则 a∥b. 其中真命题的序号为________．
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2．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置 关系是________． 解析：b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以． 答案：b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α
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1．求异面直线所成角的方法 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平 面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他 线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两 个平面重合．
⇒AB∥DE.
平面ABED∩平面DEFG＝DE
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同理 AD∥BE，则四边形 ABED 是平行四边形． 又 AD⊥AB，AD＝AB，所以四边形 ABED 是 正方形． (2)取 DG 的中点 P，连结 PA，PF. 在梯形 EFGD 中，PF∥DE 且 PF＝DE. 又 AB∥DE 且 AB＝DE，所以 AB∥PF 且 AB＝PF，所以四边形 ABFP 为平行四边形，则 AP∥BF. 在梯形 ACGD 中，AP∥CG，所以 BF∥CG， 所以 B，C，F，G 四点共面．
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(3)证明：同(1)中证明方法知四边形 BFGC 为平行四边形． 又有 AC∥DG，EF∥DG，从而 AC∥EF.
高考数学大一轮复习8.2空间点、直线、平面之间的位置关系教师用书理苏教版
§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．定理(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． (2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( √ )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (3)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A .( × ) (4)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( × ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )1．下列命题正确的个数为________． ①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 答案 2解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．(2014·广东改编)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是________． ①l 1⊥l 4； ②l 1∥l 4；③l 1与l 4既不垂直也不平行； ④l 1与l 4的位置关系不确定． 答案 ④解析 如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除①和③.若l 4＝DC 1，也满足条件，此时l 1与l 4相交，可以排除②.故l 1与l 4的位置关系不确定．3．(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是______，AE 和BG 所成角的大小是_____________________________． 答案 45° 60°解析 ∵BC 与EG 所成的角等于AC 与BC 所成的角即∠ACB ，tan∠ACB ＝AB BC ＝2323＝1，∴∠ACB＝45°，∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF ＝60°.4．已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD )．其中正确的是________． 答案 ④解析 如图，取BC 的中点O ， 连结MO 、NO ， 则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN <OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确.题型一 平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维点拨 第(2)问先证CE 与D 1F 交于一点，再证该点在直线DA 上． 证明 (1)连结EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是FA 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 题型二 判断空间两直线的位置关系例2 (1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是________． ①MN 与CC 1垂直； ②MN 与AC 垂直； ③MN 与BD 平行； ④MN 与A 1B 1平行．(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)思维点拨 (1)连结B 1C ，B 1D 1，则点M 点是B 1C 的中点，证明MN ∥B 1D 1；(2)先判断直线GH 、MN 是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定．答案(1)④(2)②④解析(1)连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明方法一假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线．方法二(直接证法)∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．题型三求两条异面直线所成的角例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．思维点拨取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角．解取AC的中点G，连结EG、FG，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．(1)(2014·大纲全国改编)已知正四面体(各面均为正三角形)ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为________．(2)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小为________． 答案 (1)36(2)60°解析 (1)画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示． 设其棱长为2，取AD 的中点F ，连结EF ， 设EF 的中点为O ，连结CO ， 则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角． △ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ， 易得CE ＝3， 同理可得CF ＝3， 故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos∠FEC ＝EO CE＝123＝36. (2)如图，可补成一个正方体， ∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1. 又易知△A 1BD 1为正三角形， ∴∠A 1BD 1＝60°. 即BA 1与AC 1成60°的角．构造模型判断空间线面位置关系典例：已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是________．思维点拨 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n .答案 ①④温馨提醒 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2013·安徽改编)在下列命题中，不是公理的是________．①平行于同一个平面的两个平面相互平行；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．答案①解析命题①是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2014·辽宁改编)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是________(填序号)．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α. 答案 ②解析 方法一 若m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、相交或异面，①错；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确； 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，③错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，④错． 方法二 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用平面ABCD 表示α.①中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′，满足m ∥α，n ∥α，但m 与n 是相交直线，故①错． ②中，m ⊥α，n ⊂α，满足m ⊥n ，这是线面垂直的性质，故②正确． ③中，若m 为AA ′，n 为AB ，满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊂α，故③错． ④中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′， 满足m ∥α，m ⊥n ，但n ∥α，故④错．3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________． 答案 (0，2)解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于2.4．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为________． 答案55解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与PA 所成的角即为AB 与PA 所成的角，即为∠PAB .在△PAB 内，PB ＝PA ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22×PA ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55. 5．设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案③④解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．6．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c 的位置关系是________．答案a∥b∥c解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.7．(2013·江西改编)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.答案8解析取CD的中点H，连结EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.8．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．答案 24解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24(对)．9．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．(1)解 ∵AE EB ＝CF FB ＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH .∴AH HD ＝CG GD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14， ∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．解 (1)由已知可求得，正方形ABCD 的面积S ＝4，所以，四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)连结AC ，设线段AC 的中点为E ，连结ME ，DE ，则∠EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角(或其补角)，由已知，可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是________．答案 1解析 ①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．2．如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．答案 35解析 如图，连结DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos∠D 1FD ＝52a 2＋52a 2－a22·52a ·52a ＝35. 4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明 连结BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线．5．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值． 解 取AC 的中点F ，连结EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．在Rt△EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12， ∴BE ＝52. 在Rt△EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt△BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010. ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。
2021版高考数学苏教版：空间点、直线、平面之间的位置关系含答案
教课资料范本2021版高考数学苏教版：7.2空间点、直线、平面之间的地点关系含答案编辑： __________________时间： __________________第二节空间点、直线、平面之间的地点关系[最新考纲 ] 1.理解空间直线、平面地点关系的定义.2.认识能够作为推理依照的公理和定理 .3.能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题．1.四个公义公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内、那么这条直线在此平面内．公义 2：假如两个不重合的平面有一个公共点、那么它们有且只有一条2/25点的公共直线．公义 3：过不在一条直线上的三点、有且只有一个平面．拓展：公义 3 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点、有且只有一个平面．推论 2：经过两条订交直线、有且只有一个平面．推论 3：经过两条平行直线、有且只有一个平面．公义 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行．2．直线与直线的地点关系(1)地点关系的分类订交直线共面直线平行直线异面直线：不一样在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设 a、b 是两条异面直线、经过空间任一点O 作直线 a′∥ a、b′∥ b、把 a′与 b′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 )．②范围： (0 °、 90°]．拓展：异面直线判断的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线、与平面内可是该点的直线是异面直线、如下图．3．空间中直线与平面、平面与平面之间的地点关系(1)空间中直线与平面的地点关系(2)空间中平面与平面的地点关系地点关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β0 个两平面订交α∩β＝l无数个4.等角定理空间中假如两个角的两边分别对应平行、那么这两个角相等或互补．[ 常用结论 ]独一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×”)(1)两个平面α、β有一个公共点 A、就说α、β订交于过 A 点的随意一条直线．()(2)两两订交的三条直线最多能够确立三个平面．()(3)假如两个平面有三个公共点、则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面α、且 a?α、则α内的全部直线与 a 异面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．已知 a、b 是异面直线、直线 c 平行于直线 a、那么 c 与 b() A．必定是异面直线B．必定是订交直线C．不行能是平行直线D．不行能是订交直线C[由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为订交直线、但不行能为平行直线、若 b∥ c、则 a∥b、与已知 a、b 为异面直线相矛盾． ]2.如下图、在正方体ABCD-A1B1C1D1中、 E、F 分别是 AB、 AD 的中点、则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为 ()A．30°B．45°C．60°D．90°C[连结 B1D1、D1C(图略)、则 B1D1∥EF、故∠D1B1C 为所求的角、又 B1D1＝B1C＝D1C、∴∠ D1B1C＝ 60°.]3．以下命题正确的选项是 ()A ．两个平面假如有公共点、那么必定订交B．两个平面的公共点必定共线C．两个平面有 3 个公共点必定重合D．过空间随意三点、必定有一个平面D[假如两个平面重合、则清除 A、 B 两项；两个平面订交、则有一条交线、交线上任取三个点都是两个平面的公共点、故清除 C 项；而 D 项中的三点无论共线仍是不共线、则必定能找到一个平面过这三个点．]4.如图、在三棱锥 A-BCD 中、 E、 F、 G、H 分别是棱 AB、BC、CD、 DA 的中点、则(1)当 AC、 BD 知足条件时、四边形EFGH为菱形；(2)当 AC、 BD 知足条件时、四边形EFGH为正方形．(1)AC＝BD (2)AC＝ BD 且 AC⊥BD [(1) ∵四边形 EFGH 为菱形、∴EF＝EH、∴AC＝BD.(2)∵四边形 EFGH 为正方形、∴EF＝EH 且 EF⊥ EH、11∵EF∥AC、EH∥BD、且EF＝2AC、EH＝2BD、∴ AC＝ BD 且 AC⊥BD.]考点 1平面的基天性质及应用共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确立一个平面、而后再证其余的线 (或点 )在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确立一条直线、再证其余各点都在这条直线上；② 直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证此中两条直线交于一点、再证其余直线经过该点．如图所示、正方体ABCD-A1B1C1D1中、 E、 F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点．[ 证明 ](1)如图、连结 EF、CD1、 A1B.∵E、F 分别是AB、AA1的中点、∴ EF∥ BA1.又∵A1B∥D1C、∴EF∥CD1、∴E、C、D1、F 四点共面．(2)∵EF∥CD1、 EF<CD1、∴CE 与 D1F 必订交、设交点为 P、则由 P∈直线 CE、CE? 平面 ABCD、得P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD A.又平面 ABCD∩平面 ADD 1A1＝DA、∴P∈直线 DA、∴CE、D1F、DA 三线共点．本例第 (1)问的证明应用了公义2的推论、采纳线线共面、则线上的点必共面的思想；本例第(2)问的证明应用了公理 3、采纳先证明 CE 与 D1F 订交、再证明交点在直线DA 上．1.(20xx ·衡水中学模拟 ) 有以下四个命题：①空间四点共面、则此中必有三点共线；②空间四点不共面、则此中随意三点不共线；③空间四点中有三点共线、则此四点共面；④空间四点中随意三点不共线、则此四点不共面．此中真命题的全部序号有．②③[ ①中、关于平面四边形来说不行立、故①是假命题；②中、若四点中有三点共线、则依据“ 直线与直线外一点能够确立一个平面” 知四点共面、与四点不共面矛盾、故② 是真命题；由②的剖析可知③是真命题；④ 中、平面四边形的四个极点中随意三点不共线、但四点共面、故④是假命题． ]2.如下图、空间四边形 ABCD 中、 E、F 分别是 AB、AD 的中点、 G、 H 分别在BC、 CD 上、且 BG∶GC＝DH ∶HC＝ 1∶ 2.(1)求证： E、F、G、H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P、求证： P、 A、 C 三点共线．[ 证明 ](1)因为 E、F 分别为 AB、 AD 的中点、所以 EF∥BD.BGDH1在△BCD 中、＝＝、GCHC2所以 GH∥ BD、所以 EF∥GH.所以 E、F、 G、H 四点共面．(2)因为 EG∩FH ＝P、 P∈EG、EG? 平面 ABC、所以 P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC.所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点．又平面 ABC∩平面 ADC＝AC、所以 P∈AC、所以 P、A、 C 三点共线．考点 2判断空间两直线的地点关系空间中两直线地点关系的判断方法1.若直线 l1和 l2是异面直线、 l1在平面αl 2在平面βαβ()内、内、 l 是平面与平面的交线、则以下命题正确的选项是A ． l 与 l1、l2都不订交B． l 与 l1、l2都订交C． l 至多与 l 1、 l2中的一条订交D． l 起码与 l1、 l2中的一条订交D[法一： (反证法 ) 因为 l 与直线 l1、l2分别共面、故直线 l 与 l 1、l 2要么都不订交、要么起码与 l1、l2中的一条订交．若 l∥l 1、l ∥l2、则 l1∥l2、这与 l1、l2是异面直线矛盾．故 l 起码与 l 1、 l2中的一条订交．法二： (模型法 )如图 (1)、 l1与 l 2是异面直线、 l1与 l 平行、 l2与 l 订交、故 A 、B不正确；如图 (2)、 l1与 l 2是异面直线、 l1、l 2都与 l 订交、故 C 不正确．]图(1)图(2)2.(20xx 全·国卷Ⅲ)如图、点 N 为正方形 ABCD 的中心、△ ECD 为正三角形、平面 ECD⊥平面 ABCD、M 是线段 ED 的中点、则 ()A ． BM＝EN、且直线 BM、EN 是订交直线B． BM≠ EN、且直线 BM、EN 是订交直线C． BM＝ EN、且直线 BM、EN 是异面直线D． BM≠EN、且直线 BM、EN 是异面直线B[如下图、作 EO⊥CD 于 O、连结 ON、过 M 作 MF⊥OD 于 F.连结 BF、∵ 平面 CDE⊥平面 ABCD、EO⊥CD 、 EO? 平面 CDE、∴EO⊥平面 ABCD、MF ⊥平面 ABCD、∴△ MFB 与△ EON 均为直角三角形．设正方形边长为2、易知 EO＝3、ON＝1、EN＝2、3 5MF＝2、BF＝2、∴BM＝ 7.∴BM≠EN.连结 BD、BE、∵点 N 是正方形 ABCD 的中点、∴点 N 在 BD 上、且 BN＝DN.又∵M 为 ED 的中点、∴BM、EN 为△DBE 的中线、∴BM、EN 必订交．应选 B.]3．在以下四个图中、G、N、 M、H 分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点、则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有．(填序号)①②③④②④[图①中、直线GH∥MN；图②中、G、H、N 三点共面、但M?平面GHN、所以直线 GH 与 MN 异面；图③中、连结 MG、GM∥HN、所以 GH 与 MN 共面；图④中、 G、M、 N 共面、但 H?平面 GMN、所以 GH 与 MN 异面．所以在图②④ 中、GH 与 MN 异面． ]在直接判断不好办理的状况下、反证法、模型法 (如结构几何体：正方体、空间四边形等)和特例清除法等是解决此类问题的三种常用便利方法．考点 3异面直线所成的角1.平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)作角——用平移法找 (或作 )出切合题意的角．(2)求角——转变为求一个三角形的内角、经过解三角形、求出角的大小．提示：异面直线所成的角θ∈.2.坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时、常采用坐标法．提示：假如求出的角是锐角或直角、则它就是要求的角；假如求出的角是钝角、则它的补角才是要求的角．(1)[ 一题多解 ](20xx 全·国卷Ⅱ )在长方体 ABCD-A1 B1C1D1中、 AB＝ BC＝1、AA1＝ 3、则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 ()1552A. 5B. 6C. 5D. 2(2)如下图、 A 是△ BCD 所在平面外的一点、 E、F 分别是 BC、AD 的中点．①求证：直线EF 与 BD 是异面直线；②若 AC⊥BD、AC＝BD、求 EF 与 BD 所成的角．(1)C [ 法一：(平移法)如图、连结BD1、交DB1于O、取AB 的中点M、连结DM 、OM.易知O 为BD1的中点、所以AD1∥OM、则∠MOD 为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1中、 AB＝ BC＝1、 AA1＝ 3、 AD1＝125AD2 ＋ABAD2＋DD21＝2、, DM ＝2＝ 2 、115 DB1＝ AB2＋AD2＋ DD21＝ 5、所以 OM ＝2AD1＝1、OD＝2DB1＝2、于是在△DMO 中、由余弦定理、52 5212＋2－25得 cos∠MOD＝5＝5、2×1×2即异面直线 AD15与 DB1所成角的余弦值为5 .应选 C.法二： (坐标法 )以 D 为坐标原点、 DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴成立空间直角坐标系、如下图．由条件可知D(0,0,0)、 A(1,0,0)、 D1(0,0、→→3)、B1、＝(－1,0、3)、DB1＝ (1,1、 3)、则由向量夹角公式、(1,13)、所以 AD1→→→→AD1·DB1＝25、即异面直线 AD1与 DB1所成角得 cos〈 AD1、DB1〉＝→→＝5 25|AD1| · |DB1|5的余弦值为5、应选 C.法三： (补体法 )如图、在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个同样的长方体 A′ B′BA-A1′B1′B1A1.连结 B1B′、由长方体性质可知、 B1B′∥ AD1、所以∠DB1B′为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角．连结 DB′、由题意、得 DB′＝错误 ! ＝错误 ! 、B′B1＝错误 ! ＝2、DB1＝错误 ! ＝错误 ! .在△DB′B1中、由余弦定理、得DB′2＝B′B21＋DB21－ 2B′ B1·DB1·cos∠DB1B′、即 5＝4＋5－2×2 5cos∠DB1B′、5∴cos∠ DB1B′＝5 .应选 C.](2)[解 ] ①证明：假定 EF 与 BD 不是异面直线、则 EF 与 BD 共面、进而 DF 与BE 共面、即 AD 与 BC 共面、所以 A、 B、 C、D 在同一平面内、这与 A 是△ BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．②取 CD 的中点 G、连结 EG、FG、则 AC∥ FG、 EG∥ BD、所以订交直线 EF 与 EG 所成的角、即为异面直线EF 与 BD 所成的角．又因为 AC⊥ BD、则 FG⊥EG.在 Rt△ EGF 中、由 EG＝ FG1＝2AC、求得∠FEG＝45°、即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°.平移法、坐标法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的三种常用方法、此中平移法和补体法的本质是平行挪动直线、把异面直线所成的角转变为订交直线的夹角、表现了化归思想．[教师备选例题 ]1．(20xx ·全国卷Ⅰ)平面α过正方体 ABCD-A1B1 C1D1的极点 A、α∥平面 CB1D1、α∩平面 ABCD＝m、α∩平面 ABB1A1＝n、则 m、n 所成角的正弦值为 ()3 231A. 2B. 2C. 3D.3A[如图、设平面 CB 1D 1∩平面ABCD ＝ 1m .∵ 平面 α∥ 平面 CB 1D 1、∴ m 1∥m.又平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1、且平面 CB 1D 1∩平面 A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1、∴ B 1D 1∥ m 1.∴ B 1D 1∥ m.∵ 平面 ABB 1A 1∥平面 DCC 1D 1、且平面 CB 1D 1∩平面 DCC 1D 1＝CD 1、同理可证 CD 1∥n. 所以直线 m 与 n 所成的角即直线 B 1D 1 与 CD 1 所成的角．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中、 △CB 1D 1 是正三角形、3故直线 B 1D 1 与 CD 1 所成角为 60°、其正弦值为 2 .]2． (20xx ·全国卷 Ⅲ )a 、 b 为空间中两条相互垂直的直线、等腰直角三角形ABC 的直角边 AC 所在直线与 a 、 b 都垂直、斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转、有以下结论：①当直线 AB 与 a 成 60°角时、 AB 与 b 成 30°角；②当直线 AB 与 a 成 60°角时、 AB 与 b 成 60°角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°；④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°.此中正确的选项是 ．(填写全部正确结论的编号 )②③ [ 依题意成立如下图的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为 1.由题意知点 B 在平面 xOy 中形成的轨迹是以 C 为圆心、 1 为半径的圆．→设直线 a 的方向向量为 a ＝(0,1,0)、直线 b 的方向向量为 b ＝(1,0,0)、 CB 以 Ox轴为始边缘逆时针方向旋转的旋转角为 θ、θ∈[0,2 π)、则 B(cos θ、 sin θ、0)、→ → ∴ AB ＝(cos θ、 sin θ、－ 1)、|AB ＝2.| 设直线 AB 与 a 所成夹角为 α、→则 cos α＝ |AB ·a|22→ ＝ 2 |sin θ|∈ 0， 2 、|a||AB |∴ 45°≤α≤90°、∴③ 正确、 ④错误．设直线 AB 与 b 所成夹角为 β、→则 cos β＝ |AB ·b|2→ ＝ 2 |cos θ|.|b||AB |当直线 AB 与 a 的夹角为 60°、即 α＝60°时、2则 |sin θ|＝ 2cos α＝ 2cos 60 °＝ 2 、221∴|cos θ|＝2 .∴ cos β＝2 |cos θ|＝2.∵ 0°≤β≤90°、∴ β＝ 60°、即直线 AB 与 b 的夹角为 60°.∴②正确、①错误． ]1.(20xx ·聊城一模 ) 如图、圆柱的轴截面 ABCD 为正方形、 E 为弧 BC的中点、则异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为()35A.3B. 5306C.6D. 6D[取 BC 的中点 H、连结 EH、 AH、∠EHA＝90°、设 AB＝ 2、则 BH＝HE＝1、AH＝ 5、所以 AE＝ 6、连结 ED、ED＝ 6、因为 BC∥ AD、所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为∠EAD、在△EAD 中 cos∠ EAD＝6＋4－66＝、应选2×2× 66D.]2．(20xx ·西安模拟 )如图是正四周体的平面睁开图、 G、H、M、 N 分别为 DE、BE、 EF、 EC 的中点、在这个正四周体中、① GH 与 EF 平行；② BD 与 MN 为异面直线；③ GH 与 MN 成 60°角；④ DE 与 MN 垂直．以上四个命题中、正确命题的序号是．②③④[复原成正四周体A-DEF、此中 H 与 N 重合、 A、 B、 C 三点重合．易知 GH 与 EF 异面、 BD 与 MN 异面．连结 GM、∵△ GMH 为等边三角形、∴GH 与 MN 成 60°角、易证 DE⊥AF、又 MN∥AF、∴MN⊥DE.所以正确命题的序号是②③④ .]。
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解析
思维升华
公理1是判断一条直线 是否在某个平面的依据； 公理2是证明三线共点 或三点共线的依据；公 理3及其推论是判断或 证明点、线共面的依据.
思维点拨
解析
例1 (2)CE、D1F、DA三线共点.
思维升华
思维点拨
解析
例1 (2)CE、D1F、DA三线共点.
思维升华
第(2)问先证CE与D1F交 于一点，再证该点在直 线DA上.
题号
1 2 3 4
答案
2 ④
45°60° ④
解析
∵BC与EG所成的角等于AC与BC所成的角即∠ACB， tan∠ACB＝BACB＝22 33＝1，∴∠ACB＝45°， ∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF， tan∠GBF＝GBFF＝223＝ 3，∴∠GBF＝60°.
解析
题型一 平面基本性质的应用
例1 (2)CE、D1F、DA三线共点.
思维点拨
解析
思维升华
证 明 ∵EF∥CD1 ， EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必 相 交 ， 设交点为P，
则由P∈CE，
CE⊂平面ABCD，
例1 (2)CE、D1F、DA三线共点.
思维点拨
解析
思维升华
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1. 又 平 面 ABCD∩ 平 面
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平 面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点 的任意一条直线.( × )
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点， 并记作α∩β＝A.( × ) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( √ )
例1 如图所示， 正方体ABCD— A1B1C1D1中，E、 F分别是AB和AA1 的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面；
思维升华
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示， 正方体ABCD— A1B1C1D1中，E、 F分别是AB和AA1 的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解 ∵BE 綊12AF，G 是 FA 的中点， ∴BE 綊 FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.
题型二 判断空间两直线的 位置关系
思维点拨 解析 答案 思维升华
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直 线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 锐角(或直角)叫做 异面直线a，b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2 .
3.直线与平面的位置关系有平行、 相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.定理 (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向 相同，那么这两个角相等. (2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过 该点的直线是异面直线.
解析
思维升华
证明 连结EF，CD1，A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的 中点，
∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面.
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示， 正方体ABCD— A1B1C1D1中，E、 F分别是AB和AA1 的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面；
ADD1A1＝DA， ∴P∈ 直 线 DA.∴CE 、
D1F、DA三线共点.
例1 (2)CE、D1F、DA三线共点.
思维点拨
解析
思维升华
公理1是判断一条直线 是否在某个平面的依据； 公理2是证明三线共点 或三点共线的依据；公 理3及其推论是判断或 证明点、线共面的依据.
跟 踪 训 练 1 如 图 ， 平 面 ABEF⊥ 平 面
例2 (1)如图，在正方
体ABCD－A1B1C1D1中， M，N分别是BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是____.
①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直； ③MN与BD平行；④MN与A1B1平行.
题型二 判断空间两直线的 位置关系
思维点拨 解析 答案 思维升华
例2 (1)如图，在正方 体ABCD－A1B1C1D1中， M，N分别是BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是____. ①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直； ③MN与BD平行；④MN与A1B1平行.
数学 苏（理）
第八章 立体几何
§8.2 空间点、直线、平面之间 的
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直 线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公 共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的 一条直线 . 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
连结B1C，B1D1，则点 M点是B1C的中点，证 明MN∥B1D1；
题型二 判断空间两直线的 位置关系
思维点拨 解析 答案 思维升华
连 结 B1C ， B1D1 ， 则 点 M
例2 (1)如图，在正方
是 B1C 的 中 点 ， MN 是
ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是
直 角 梯 形 ， ∠BAD ＝ ∠FAB ＝ 90° ，
BC∥AD且BC＝12 AD，BE∥AF且BE＝
1 2
AF，G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
证明 由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得 GH 綊21AD. 又 BC 綊12AD，∴GH 綊 BC. ∴四边形BCHG为平行四边形.
推论1 经过一条直线和 这条直线外的一点 有 且 只 有 一 个平面； 推论2 经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面； 推论3 经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相位置关系的分类
共面直线
平行 相交
异面直线：不同在任何 一个平面内 ，没有公共点