高考数学大一轮复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文 新人教版
第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1)短语“ 所有的 ”、“ 任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称 量词，并用符号“ ∀ ”表示. (2)含有 全称量词 的命题，叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记
为： ∀x∈M，p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(3)∀θ ∈R，函数y＝sin(2x＋θ )都不是偶函数.
(4)∂x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分 内容往往能够和其他的知识联系起来，通过这两类量词的理 解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命
题的热点内容.2009年宁夏、海南卷就考查了这一内容.
2.判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)存在x∈R，x3≤0；
解：(1)指数函数的形式为y＝ax(其中a＞0且a≠1)，定义
域{x|x∈R}，对每一个符合题意的a，函数y＝ax都是单调
的，当a＞1时，函数y＝ax在R上为增函数.当0＜a＜1时， 函数y＝ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函 数都是单调函数”是真命题. (2)－1是实数，但x2＝－1无解，也就是 无意义，
一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 p∧q，
读作“ p且q”. 2.用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 p∨q，
读作“ p或q ”.
3.对一个命题p全盘否定记作 “p的否定”. ，读作“非p”或
4.命题p∧q，p∨q， p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
高考数学一轮复习 第1篇 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文 新人教版
即时突破 2 下列命题中的假命题是(
(A)∀ x∈R,2 >0 (B)∀ x∈N ,(x-1) >0 (C)∃ x∈R,lg x<1 (D)∃ x∈R,tan x=2 解析:对于选项 A,正确;对于选项 B,当 x=1
x-1 * 2
)
时,(x-1) =0,错误;对于选项 C,当 x∈(0,1) 时,lg x<0<1,正确;对于选项 D,∃ x∈R,tan x=2,正确.故选 B.
4.(2013 中山市期末)若命题“存在实数 x,使 2 x +ax+1<0”的否定是假命题,则实数 a 的取值范 围为 . 2 解析:因为命题“存在实数 x,使 x +ax+1<0”的否 2 定是假命题,所以命题 “存在实数 x,使 x +ax+1<0” 2 是真命题,所以 a -4>0,解得 a<-2 或 a>2. 答案:a<-2 或 a>2
3.(2013 年高考四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集 合 B 是偶数集.若命题 p:∀ x∈A,2x∈B,则( C ) (A) p:∃ x∈A,2x∈B (B) p:∃ x A,2x∈B (C) p:∃ x∈A,2x B (D) p:∀ x A,2x B 解析:将 “∀ ” 否定为 “∃ ” , “2x∈B” 否定为 “2x B” . 得 p:∃ x∈A,2x B,故选 C.
2
m 2 4 m 3
是幂函数,且在
解析:对于选项 A,β=0 时,命题成立,故选项 A 为真命题; 对于选项 B,当
π = 时,f(x)=cos 2x 是偶函数, 2
≨选项 B 为假命题; 对于选项 C,若 f(x)为幂函数,则 m-1=1, ≨m=2,此时 f(x)=x 在(0,+≦)上单调递减,故选项 C 为真 命题;
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．命题∧，∨，綈的真假判断∧∨綈真真真真假假假真假真假假假．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对中的任意一个，有()成立存在中的一个，使()成立，∃∈∈∀()简记()，，綈∈∃()∀∈否定()，綈[小题体验]．(·启东中学期末检测)在“綈”，“∧”，“∨”形式的命题中，若“∨”为真，“∧”为假，“綈”为真，则，的真假为，.解析：∵“∨”为真，∴，至少有一个为真．“∧”为假，∴，至少有一个为假，而“綈”为真，∴为假，为真．答案：假真．(·盱眙中学检测)命题“存在实数，使＞”的否定是．答案：对于任意的实数，使得≤．已知命题：对任意∈，总有＞；：“＞”是“＞”的充分不必要条件，则下列命题：①∨；②綈∧綈；③綈∨；④∧綈.其中为真命题的序号是．解析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以綈是假命题，綈是真命题；所以∨是真命题，綈∧綈是假命题，綈∨是假命题，∧綈是真命题，故①④正确．答案：①④．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]．命题“若＝，则＝或＝”，其否定为．答案：若＝，则≠且≠．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等全称命题与存在性命题)[题组练透]．已知命题：∀∈，(＋)≤，则命题的否定是“”．答案：∃∈，(＋)＞．(·淮安期末)若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．解析：若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，即“∃∈，使得λ＞＋成立”是假命题，所以“∀∈，都有λ≤＋成立”是真命题．由∈，得函数＝＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．所以λ≤，即实数λ的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．已知函数()＝＋，()＝＋，若∀∈，∃∈[]，使得()≥()，则实数的取值范围是．解析：由题意知，()≥()(∈[])，因为()＝＋，所以′()＝－，所以()在上单调递减，所以()＝()＝，又因为()在[]上的最小值为()＝＋，所以≥＋，即≤.答案：(－∞，]．(·南通中学调研)已知命题：“∀∈[]，≥”，命题：“∃∈，＋＋＝”，若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：若命题：“∀∈[]，≥”为真命题，则≥；若命题：“∃∈，＋＋＝”为真命题，则Δ＝－≥，即≤，所以若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是[]．答案：[][谨记通法]．全称命题与存在性命题的否定()改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．()否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．含有逻辑联结词的命题的真假判断)[典例引领](·泰州模拟)已知命题：函数＝－－在上为增函数，：函数＝＋－在上为减函数，则在命题①∨；②∧；③(綈)∨；④∧(綈)中，真命题的序号是．解析：因为＝在上为增函数，＝－＝在上为减函数，所以＝－－＝－在上为增函数，所以＝－－在上为增函数，故是真命题．＝＋－在上为减函数是错误的，故是假命题，所以①∨是真命题；②∧是假命题；③(綈)∧是假命题；④∧(綈)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的个步骤()先判断简单命题，的真假．()再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]．(·启东期末)命题：∈*，命题：∈，则“或”是命题．(填“真”“假”)解析：命题：∈*，为假命题；命题：∈，为真命题，则命题“或”为真命题．答案：真．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①∧；②∨；③∧(綈)；④(綈)∨中，是真命题的序号是．解析：由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①∧为假命题；②∨为真命题；③綈为真命题，则∧(綈)为真命题；④綈为假命题，则(綈)∨为假命题．答案：②③根据命题的真假求参数的取值范围)[典例引领](·无锡天一中学月考)已知命题：∃∈[－，]，使不等式－＋≥＋成立；命题：＋＋＝有两个负数根，若∨为真，∧为假，求实数的取值范围．解：因为∨为真，∧为假，所以，一真一假．由题设知，对于命题，因为∈[－]，所以＋∈[]，所以不等式－＋≥成立，所以－＋≥，解得≤或≥.对于命题，因为＋＋＝有两个负数根，所以(\\(Δ＝－≥，＋＝－＜，))所以≥.若真假，则≤；若假真，则≤＜，所以实数的取值范围为(－∞，]∪[，)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤()先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；()然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；()最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]．(·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃∈[]，使＋＋≥”为真命题，则实数的取值范围是．解析：当∈[]时，＋＝(＋)－是增函数，所以≤＋≤，由题意得＋≥，所以≥－.答案：[－，＋∞)．(·海门中学检测)已知命题：∀∈，＋＞，命题：∀∈，＋＜，且∧为假命题，则实数的取值范围为．解析：由已知可得：命题为真命题，∵∧为假命题，∴为假命题．若为真，则＞＋对∀∈恒成立，∵＋＝且正弦函数＝的值域为[－]，∴＋＝的最大值为，∴＞.∵为假命题，∴≤，∴实数的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三检测)命题“∃∈(，＋∞)，＝－”的否定是“”．答案：∀∈(，＋∞)，≠－．(·镇江模拟)已知命题：函数＝＋＋(＞且≠)的图象恒过点(－)；命题：已知平面α∥平面β，则直线∥α是直线∥β的充要条件，则有下列命题：①∧；②(綈)∧(綈)；③(綈)∧；④∧(綈)．其中为真命题的序号是．解析：由指数函数恒过点()知，函数＝＋＋是由＝先向左平移个单位，再向上平移个单位得到．所以函数＝＋＋恒过点(－)，故命题为真命题；命题：与β的位置关系也可能是⊆β，故是假命题．所以∧(綈)为真命题．答案：④．若“∈[]或∈(－∞，)∪(，＋∞)”是假命题，则的取值范围是．解析：根据题意得“∉[]且∉(－∞，)∪(，＋∞)”是真命题，所以(\\(＜或＞，≤≤，))解得≤＜，故∈[)．答案：[)．已知函数()＝＋＋，若命题“∃＞，()＜”为真，则的取值范围是．解析：因为函数()＝＋＋的图象过点()，若命题“∃＞，()＜”为真，则函数()＝＋＋的图象的对称轴必在轴的右侧，且与轴有两个不同交点，所以(\\(Δ＝－＞，,－()＞，))解得＜－，所以的取值范围是(－∞，－)．答案：(－∞，－)．(·南京外国语学校模拟)已知命题：∃∈，使＝，命题：－＋＜的解集是{＜＜}，给出下列结论：①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．其中正确的是．解析：命题：∃∈，使＝是真命题，命题：－＋＜的解集是{＜＜}也是真命题，所以，①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④．(·海门实验中学检测)命题：∃∈[－]，使得＜成立；命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立．若命题∧为真，则实数的取值范围为．解析：由∈[－]可知，当＝－时，取得最小值，若命题：∃∈[－]，使得＜成立为真，则＞.若命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立为真，即∀∈(，＋∞)，＜＋恒成立为真，当＝时，＋取最小值，故＜.因为命题∧为真，所以∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是“∃∈*，()∉*或()＞”．答案：∃∈*，()∉*或()＞．(·海安中学测试)若命题“∀∈[]，－＋≤”是真命题，则实数的取值范围是．解析：令()＝－＋，根据题意可得(\\(＝－＋≤，＝－＋≤，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．(·南通大学附中月考)已知命题：“任意∈[]，－≥”，命题：“存在∈，使＋＋－＝”．若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：由题意知，：≤，：≤－或≥.因为“∧”为真命题，所以，均为真命题，所以≤－或＝.答案：(－∞，－]∪{}．(·沙市区校级期中)函数()＝－＋，()＝－，若对∀∈[－]，∃∈[]，()≥()，则实数的最小值是．解析：由′()＝－，可得()在区间[－]上单调递减，在区间[]上单调递增，∴()＝()＝－，∵()＝－是增函数，∴()＝－，要满足题意，只需()≥()即可，解得≥，故实数的最小值是.答案：．已知：－＜，：(－)(－)＞，若綈是綈的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解析：由题意知：－＜＜＋，：＜＜，因为“綈”是“綈”的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件．所以(\\(－≤，＋＞))或(\\(－＜，＋≥，))解得－≤≤.答案：[－]．(·杨大附中月考)给出下列命题：①∀∈，＞；②所有可以被整除的整数，末位数字都是；③∃∈，－＋≤；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为．解析：命题与命题的否定一真一假．①当＝或时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被整除的整数，末位数字是或，所以②是假命题，②的否定是真命题；③－＋＝＋＞恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③．命题的否定是“对所有正数，＞＋”，则命题可写为．解析：因为是綈的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．答案：∃∈(，＋∞)，≤＋．若“∀∈，≤ ＋”为真命题，则实数的最大值为．解析：由∈，可得－≤ ≤，所以≤ ＋≤，因为∀∈，≤ ＋，所以≤，所以实数的最大值为.答案：．(·南京期末)已知∈，设命题：∀∈，＋＋＞；命题：函数()＝－＋－只有一个零点，则使“∨”为假命题的实数的取值范围为．解析：若为真，当＝时，符合题意；当≠时，(\\(＞，,Δ＝－＜，))则＜＜，∴命题为真时，≤＜.若为真，由()＝－＋－，得′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴当∈(－∞，)∪(，＋∞)时，′()＞；当∈()时，′()＜，∴()的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，单调递减区间为()．∴()的极大值为()＝－，极小值为()＝－.要使函数()＝－＋－只有一个零点，则－＜或－＞，解得＜或＞.∵“∨”为假命题，∴为假，为假，即(\\(＜或≥，≤≤，))解得≤≤，故实数的取值范围为[]．答案：[]．(·南京一中模拟)给出如下命题：①“≤”是“∃∈[]，使－≥成立”的充分不必要条件；②命题“∀∈(，＋∞)，＞”的否定是“∃∈(，＋∞)，≤”；③若“∧”为假命题，则，均为假命题．其中正确的命题是．(填序号)解析：对于①，由∃∈[]，使－≥成立，可得≤，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“且”为假命题，则，中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②．已知命题：函数＝(＋＋)的定义域为；命题：函数()＝－在(－∞，)上单调递减．()若“∧綈”为真命题，求实数的取值范围；()设关于的不等式(－)(－＋)＜的解集为，命题为真命题时，的取值集合为.若∩＝，求实数的取值范围．解：()若为真命题，则＋＋＞的解集为，则＞且－＜，解得＞.若为真命题，则≥，即≥.因为“∧綈”为真命题，所以为真命题且为假命题，所以实数的取值范围是()．()解不等式(－)(－＋)＜，得－＜＜，即＝(－，)．由()知，＝(，＋∞)．因为∩＝，则⊆，所以－≥，即≥.故实数的取值范围为[，＋∞).．设：实数满足－＋＜(其中＞)，：实数满足＜≤.()若＝，且∧为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，－＋＜，解得＜＜，即为真时，实数的取值范围是＜＜.若∧为真，则真且真，所以实数的取值范围是()．()綈是綈的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，设＝{()}，＝{()}，则，由－＋＜得(－)(－)＜，因为＞，所以＝()，又＝(]，则≤且＞，解得＜≤.所以实数的取值范围为.．(·启东检测)已知：∃∈(，＋∞)，－≤；：函数＝－＋有两个零点．()若∨为假命题，求实数的取值范围；()若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：若为真，令()＝－，问题转化为求函数()的最小值．′()＝－＝，令′()＝，解得＝，函数()＝－在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故()＝()＝，故≥.若为真，则Δ＝－＞，解得＞或＜－.()若∨为假命题，则，均为假命题，即＜且－≤≤，所以实数的取值范围为[－)．()若∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足(\\(≥，,－≤≤，))即≤≤；若假真，则实数满足(\\(＜，＞或＜－，))即＜－.综上所述，实数的取值范围为(－∞，－)∪[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·姜堰中学检测)设：函数()＝－－在区间[－]上单调递减；：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．如果∨为真命题，∧为假命题，则实数的取值范围是．解析：若为真，由函数()＝－－在区间[－]上单调递减，得′()＝－≤在区间[－]上恒成立，即≥，当－≤≤时，≤，则≥；若为真，由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，得(\\(－＞，－＞，－＞－，))解得＜＜.如果∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假，若真假，则(\\(≥，≥或≤，))得≥；若假真，则(\\(＜，＜＜，))得＜＜，综上，实数的取值范围是()∪[，＋∞)．答案：()∪[，＋∞)．(·宿迁中学月考)已知命题：∃∈，＋≤，：∀∈，－＋＞，若∨为假命题，则实数的取值范围是．解析：因为∨为假命题，所以，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得綈：∀∈，＋＞为真命题，所以≥.由：∀∈，－＋＞为假命题，得綈：∃∈，－＋≤为真命题，所以Δ＝(－)－≥，解得≤－或≥.综上，可得≥.答案：[，＋∞)命题点一集合及其运算.(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{，＋}．若∩＝{}，则实数的值为．解析：因为＋≥，所以由∩＝{}，得＝，即实数的值为.答案：．(·江苏高考)已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.解析：在集合中满足集合中条件的元素有－两个，故∩＝{－}．答案：{－}．(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中元素的个数为．解析：因为＝{}，＝{}，所以∪＝{}，所以∪中元素个数为.答案：．(·浙江高考改编)已知全集＝{}，＝{}，则∁＝.解析：∵＝{}，＝{}，∴∁＝{}．答案：{}．(·北京高考改编)已知集合＝{＜}，＝{－，}，则∩＝.解析：∵＝{＜}＝{－＜＜}，＝{－}，∴∩＝{}．答案：{}．(·全国卷Ⅰ改编)已知集合＝{}，＝{－，－}，则∩＝.解析：∩＝{}∩{－，－}＝{}．答案：{}命题点二充分条件与必要条件．(·浙江高考改编)已知等差数列{}的公差为，前项和为，则“＞”是“＋＞”的条件．解析：因为{}为等差数列，所以＋＝＋＋＋＝＋＝＋，＋－＝，所以＞⇔＋＞.答案：充要．(·天津高考改编)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞⇒＞⇒＞，反之不成立，故“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设∈，则“＜”是“＜”的条件．解析：由＜，得＜＜，则＜＜，即“＜”⇒“＜”；由＜，得＜，当≤时，≥，即“＜”“＜”．所以“＜”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·上海高考)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞可得＞，由＞可得＞或＜－.所以“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设{}是首项为正数的等比数列，公比为，则“＜”是“对任意的正整数，－＋＜”的条件．解析：设数列{}的首项为，则－＋＝－＋－＝－(＋)＜，即＜－，故＜是＜－的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三命题及其真假性．(·全国卷)下面是关于复数＝的四个命题：：＝，：＝，：的共轭复数为＋，：的虚部为－.其中的真命题为．解析：因为复数＝＝－－，所以＝，＝(－－)＝(＋)＝，的共轭复数为－＋，的虚部为－，综上可知，是真命题．答案：，．(·山东高考改编)设∈，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是．解析：根据逆否命题的定义，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．答案：若方程＋－＝没有实根，则≤命题点四全称量词和存在量词．(·全国卷Ⅰ改编)设命题：∃∈，＞，则綈为．解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．答案：∀∈，≤．(·浙江高考改编)命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式为“∃∈，∀∈*，使得＜”．答案：∃∈，∀∈*，使得＜．(·山东高考)若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于，又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.答案：。
高考数学(文)大一轮复习课件：第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A [取 a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然 a· b＝0，b· c＝0，但 a· c＝1≠0，∴p 是 假命题． a，b，c 是非零向量， 由 a∥b 知 a＝xb，由 b∥c 知 b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q 是真命题． 综上知 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题． 又∵綈 p 为真命题，綈 q 为假命题， ∴(綈 p)∧(綈 q)，p∧(綈 q)都是假命题．]
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(
[ 解析] (1)错误．命题 p∨q 中，p，q 有一真则真． (2)错误．p∧q 是真命题，则 p，q 都是真命题． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相 等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[ 规律方法] 1.“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命题真假判断的关键是对 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形 式；(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命 题的真假． 2．p 且 q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或 q 形式是“一真必真，全 假才假”，非 p 则是“与 p 的真假相反”．
) 【导学号：31222011】
A．∃x0∈R，lg x0＝0 C．∀x∈R，x3>0
B．∃x0∈R，tan x0＝1 D．∀x∈R,2x>0
π C [对于 A，当 x0＝1 时，lg x0＝0，正确；对于 B，当 x0＝4时，tan x0＝1， 正确；对于 C，当 x<0 时，x3<0，错误；对于 D，∀x∈R,2x>0，正确．]
高考数学总复习 第1单元 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文 新人教A版
解：
(1)是“p或q”的形式．其中p：5是30的约数(真)； q：7是30的约数(假)．为真命题.
(2) 是“p且q”的形式. 其中p：菱形的对角线互相垂直(真)； q：菱形的对角线互相平分(真)．为真命题.
B. 1 C. 2
D. 3
4.解析：①正确，其余都错误，故选B.
5. (2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0” 的否定是__对__任_ 意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0 ___， 它是_____真辑联结词的命题的真假
【例1】 分别指出下列复合命题的形式及 构成它的简单命题，并判断其真假． (1)5或7是30的约数； (2)菱形的对角线互相垂直平分； (3)不等式(x＋2)2≤0没有实数解．
分析：这几个命题中(1)(2)是全称命题， (3)(4)是特称命题，在否定时既要对 结论否定，又要对量词否定．
解：(1) ¬p：存在正数x，≤x－1，真命题． (2) ¬q：存在一个三角形有两个或两个以上 的外接圆或没有外接圆，假命题．
4. (教材改编题)下列命题为真命题的个数为( B ) ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分条件； ②命题＝－1的否定是假命题； ③有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0成立是真命题； ④“所有的矩形都是平行四边形”的否定是
“所有的矩形都不是平行四边形”；
⑤任何实数都有算术平方根为真命题．
A. 0
读作“_存_ 在M中的__元__素__x_0，__使__p_(_x_0_)成__立_____”．
4. 含有一个量词的命题的否定
命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
高考数学大一轮复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 理
┃考点二┃ 全称命题、特称命题的真假判断 ——师生共研型
[调研2] (2015·临沂模拟)下列命题中是假命题的是( ) A．∀x∈0，π2，x>sin x B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0 [答案] B
[解析] 对于A，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈ 0，π2 时，f′(x)>0，从而f(x)在 0，2π 上是增函数，则f(x)>f(0)＝0， 即x>sin x，故A正确；对于B，由sin x＋cos x＝ 2sinx＋4π≤ 2<2， 不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故B错误；对于C，易知 3x>0，故C正确；对于D，由lg 1＝0知，D正确．综上，故选B.
• A．(¬p)∧(¬q)
B．(¬p)∨(¬q)
• C．p∨(¬q)
D．p∧q
• [答案] B
[解析] 当a＝1.1，x＝2时， ax＝1.12＝1.21 ，logax＝log1.12>log1.11.21＝2， 此时，ax<logax，故p为假命题． 由等差数列的性质知， 当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立， 当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立， 故q是真命题， 故¬p是真命题，¬q是假命题． 所以p∧q为假命题，p∨(¬q)为假命题，(¬p)∧(¬q)为假命题， (¬p)∨(¬q)为真命题．故选B.
• A．①③ • C．②③
B．①④ D．②④
• [答案] C
• [解析] 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q
为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③¬q为 真命题，则p∧(¬q)为真命题，④¬p为假命题，则(¬p) ∨q为 假命题，故选C.
高考数学一轮总复习课件 第1章-第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[答案] m≤－2 或 m>－1
考 点
题 型 突 破
考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判 断—自练型
(1)(2016· 山东枣庄第一学期期中 ) 如果命题“p ∨q”与命题“┑p”都是真命题，则( A．命题 q 一定是真命题 B．命题 p 不一定是假命题 C．命题 q 不一定是真命题 D．命题 p 与命题 q 真假相同 )
[答案] C
6．已知命题 p：m∈R，且 m＋1≤0，命题 q：∀x∈R， x2＋mx＋1>0 恒成立，若 p∧q 为假命题，则 m 的取值范围是 ________．
[解析] 先求 p∧q 是真命题时 m 的取值范围，再求其补 集．命题 p 是真命题时，m≤－1，命题 q 是真命题时，m2－ 4<0，解得－2<m<2，所以 p∧q 是真命题时，－2<m≤－1， 故 p∧q 为假命题，则 m 的取值范围是 m≤－2 或 m>－1.
π C．直线 x＝ 是曲线 f(x)＝ 3sin2x＋cos2x 的一条对称轴 6 D．若 x∈(0,2)，则在曲线 f(x)＝ex(x－2)上任意一点处的 1 切线的斜率不小于－ e
[解析] 可判断命题 p 是假命题，若 p∨q 是真命题，则 命题 q 为真命题．A、B、D 均不正确．f(x)＝ 3sin2x＋cos2x π π ＝2sin(2x＋ ) ，则直线 x＝ 是曲线 f(x)的一条对称轴．故选 6 6 C.
3．含有一个量词的命题的否定 命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 命题的否定
∃x0∈M，┑p(x0) ∀x∈M，┑p(x)
பைடு நூலகம்
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)命题 p∧q 为假命题， 则命题 p、 q 都是假命题． ( )
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
高考数学总复习 第一章 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文
2．(2012·河北五校联盟调研)下列结论错误的是
()
A．命题：“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题为：“若 x≠2，则x2－3x＋2≠0”
B．命题：“存在x为实数，x2－x＞0”的否定是“任意(rènyì)x是实 数，x2－x≤0”
C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件
A. (－∞，－2] (－1,2)
B.( －∞，－2]∪[－1,2)
C．[－1,2)
D．[－2,2)
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解析：∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p，q 一真一 假．依题意 Δ＝(2a)2－16＜0，得－2＜a＜2，所以命题 p： －2＜a＜2.由 a＜x2－1 恒成立得 a＜－1，所以命题 q：a ＜－1.若 p 真 q 假，有－ a≥2＜ －a1＜ ，2， 得－1≤a＜2；若 p 假 q 真，有aa≤＜－－21或，a≥2， 得 a≥－2.故选 B. 答案：B
思路点拨：先由全称命题(mìng tí)p和特称命题(mìng tí)q分别确定 a的取值范围，再由“p且q”是真命题(mìng tí)列出关于a的不等式，解 不等式即得a的取值范围.
解析：由“p且q”是真命题知，p为真命题，q也为真命题．
p为真命题时，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.
q为真命题时，x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则Δ＝4a2－4(2－ a)≥0，即a≥1或a≤－2.
D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
解析：观察知，选项D错误，因为p且q为假命题，有三种 可能(kěnéng)：p，q均为假命题；p为真命题、q为假命题； p为假命题、q为真命题．故选D. 答案：D
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2020届高考数学一轮复习第1章 集合与常用逻辑用语 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识批注——理解深一点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论汇总——规律多一点含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．()(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(二)选一选1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是()A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0<0C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x <0解析：选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y ，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q)为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故真命题为②③.3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 选项A 中，14<x 0<34，与x 0∈Z 矛盾，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．(三)填一填4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．答案：存在两个全等三角形的面积不相等5．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：由题知命题p 为假命题，命题q 为假命题，故只有“綈p ”是真命题． 答案：綈p考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．(2)对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧ (綈q )为真命题，故选A.[答案] (1)B (2)A[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p ，q ，则“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若綈p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则綈p 为假命题．所以“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(綈q) B．p∨qC．p∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[解题技法]1．全称命题与特称命题真假的判断方法2.(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2] [解题技法]根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．。
高考数学大一轮复习 第一章 第3课 简单的逻辑联结词、
第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(本课对应学生用书第5-6页)自主学习回归教材1. 全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫作全称命题.“对任意实数x∈M,都有p(x)成立”简记成“x∈M,p(x)”.2. 存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫作存在性命题.“存在实数x0∈M,使p(x0)成立”简记成“x0∈M,p(x0)”.3. 简单逻辑联结词有或(符号为∨),且(符号为∧),非(符号为¬).4. 命题的否定:“x∈M,p(x)”与“x0∈M,¬p(x0)”互为否定.5. 复合命题的真假:对p且q而言,当p,q均为真时,其为真;当p,q中至少有一个为假时,其为假.对p或q而言,当p,q均为假时,其为假;当p,q中有一个为真时,其为真;当p为真时,¬p为假;当p 为假时, ¬p为真.6. 常见词语的否定如下表所示:词语是一定是都是大于小于词语的否不是不一定是不都是小于或等于大于或等于定词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立1. (选修1-1P15例1(4)改编)若命题p:x∈R,x2+x+1=0,则¬p为. [答案]x∈R,x2+x+1≠02. (选修1-1P17习题2(1)改编)“x∈R,2x2-3x+4>0”的否定为. [答案]x∈R,2x2-3x+4≤03. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x2+ax(a∈R),对任意的a∈R,使得f(x)是偶函数”是命题.(填“真”或“假”) [答案]假4. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x2+ax(a∈R),存在a∈R,使得f(x)是偶函数”是命题.(填“真”或“假”)[答案]真[解析]当a=0时,函数f(x)是偶函数.5. (选修1-1P20习题3改编)已知命题p“x∈R,sinx+cosx>m”是真命题,那么实数m的取值范围是.[答案](-∞,-2)[解析]x∈R2sinπx4⎛⎫+⎪⎝⎭∈22],所以2.。
2020届高三数学一轮复习： 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定∀x∈M，綈1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p ∧q中真命题的个数为()A．1 B.2C.3D.4B[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2nC[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]4．(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是()【导学号：01772011】A．∃x0∈R，lg x0＝0 B.∃x0∈R，tan x0＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D.∀x ∈R,2x >0C [对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0，正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立． 当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.]设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨q B.p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )A [取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但a·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题， ∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．][规律方法] 1.“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的命题的真假．2．p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )【导学号：01772012】A ．p ∨q B.p ∧q C ．qD.綈pB [取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确．故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．](2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]☞角度2 全称命题、特称命题的真假判断(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B.p 1，p 4 C ．p 1，p 2D.p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4， 得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u 2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．][规律方法] 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.(1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B.(－1,3) C ．(－3，＋∞)D.(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B.m ≤－2 C ．m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0， 则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.][规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．2．全称命题可转化为恒成立问题．[变式训练2] (2017·济南调研)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.【导学号：01772013】1 [∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，由“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，得m ≥1.故实数m 的最小值为1.][思想与方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与綈p →真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错与防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．2．几点注意(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定．①綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)；②綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈p)．。
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2．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( ) A．∃x0∈R，ex0≤0 B．∀x∈R,2x>x2 C．a＋b＝0 的充要条件是ab＝－1 D．a>1，b>1 是 ab>1 的充分条件
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【解析】 对于∀x∈R，都有 ex>0，故选项 A 是假命题；
当 x＝2 时，2x＝x2，故选项 B 是假命题；当ab＝－1 时，有 a
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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考纲要求：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个 量词的命题进行否定．
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[基础真题体验]
考查角度[简单的逻辑联结词]
1．(2014·重庆高考)已知命题 p：对任意 x∈R，总有|x|≥0；
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【思路点拨】 先分别判断命题 p，q 的真假，再根据真 值表判断复合命题的真假．
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【解析】 取 a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然 a·b＝0，b·c ＝0，但 a·c＝1≠0，∴p 是假命题．
a，b，c 是非零向量，由 a∥b 知 a＝xb， 由 b∥c 知 b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q 是真命题． 综上知 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题． 又∵┑p 为真命题，┑q 为假命题， ∴(┑p)∧(┑q)，p∨(┑q)都是假命题． 【答案】 A
【答案】 B
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4．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知命题 p：∀x∈R,2x＜3x；命
题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．┑p∧q
C．p∧┑q
D．┑p∧┑q
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【解析】 当 x＝0 时，有 2x＝3x＝1， 不满足 2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x 是假命
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考查角度[全称量词与存在量词] 3．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是 有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
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【解析】 原命题的否定是“任意一个无理数，它的平 方不是有理数”．
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其中的真命题是( A．p2，p3 C．p1，p2
) B．p1，p4 D．p1，p3
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【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
由 xx＋ －y2＝y＝1， 4， 得交点 A(2，－1)．
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目标函数的斜率 k＝－12>－1， 观察直线 x＋y＝1 与直线 x＋2y＝0 的倾斜程度，可知 u ＝x＋2y 过点 A 时取得最小值 0.y＝－2x＋u2，u2表示纵截距结合 题意知 p1，p2 正确． 【答案】 C
题．
如图，函数 y＝x3 与 y＝1－x2 有交点， 即方程 x3＝1－x2 有解， ∴q：∃x∈R，x3＝1－x2 是真命题．
∴p∧q 为假命题，排除 A.
∴┑p 为真命题，∴┑p∧q 是真命题，选 B.
【答案】 B
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[命题规律预测] 命题 含有逻辑联结词的命题及含有一个量词的命题的真假 规律 性判断是高考的命题热点． 考向 预测 2016 年高考仍将保持以往命题方向，含参数的逻 预测 辑问题将会登台亮相.
q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的根．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧┑q
B．┑p∧q
C．┑p∧┑q
D．p∧q
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【解析】 由题意知命题 p 是真命题，命题 q 是假命题， 故┑p 是假命题，┑q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的 真值表可知 p∧┑q 是真命题．故选 A.
【答案】 A
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判断一个含有逻辑联结词的命题真假的步骤： (1)判断命题的结构，看其是由哪些简单命题构成． (2)判断构成这个命题的每一个简单命题的真假． (3) 依 据 “ 或 ”—— 见真 即 真 ， “ 且 ”—— 见 假即 假 ， “非”——真假相反，作出判断即可．
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[对点练习]
(2014·湖南高考)已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：
＋b＝0，但当
a＋b＝0
时，如
a＝0，b＝0
时，a无意义，故 b
选项 C 是假命题；当 a>1，b>1 时，必有 ab>1，但当 ab>1
时，未必有 a>1，b>1，如当 a＝－1，b＝－2 时，ab>1，但 a
不大于 1，b 不大于 1，故 a>1，b>1 是 ab>1 的充分条件，选
项 D 是真命题． 【答案】 D
由真值表知，①p∧q 为假命题；②p∨q 为真命题；③p ∧(┑q)为真命题；④(┑p)∨q 为假命题．故选 C.
【答案】 C
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考向二 全称命题、特称命题的真假判断
[典例剖析]
【例 2】 (2014·课标全国卷Ⅰ)不等式组xx－＋2y≥y≤14， 的 解集记为 D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
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考向一含有逻辑联结词的命题的真假判断
[典例剖析]
【例 1】 (2014·辽宁高考)设 a，b，c 是非零向量，已知
命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b，b
∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(┑p)∧(┑q)
D．p∨(┑q)
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全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假
判断方法一
真 全称命题
假
所有对象使命题真 存在一个对象使命题假
真 特称命题
假
存在一个对象使命题真 所有对象使命题假
判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
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[对点练习] (2015·抚州模拟)下列命题中，假命题为( ) A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．z1，z2∈C，z1＋z2 为实数的充分必要条件是 z1，z2 互 为共轭复数 C．若 x，y∈R，且 x＋y>2，则 x，y 至少有一个大于 1 D．对于任意 n∈N，C0n＋Cn1＋…＋Cnn都是偶数
若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(┑q)；④(┑
p)∨q 中，真命题是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
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【解析】 当 x>y 时，－x<－y，故命题 p 为真命题，从 而┑p 为假命题．
当 x>y 时，x2>y2 不一定成立，故命题 q 为假命题，从而 ┑q 为真命题．