第9章 回归模型的函数形式
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
统计学第9章 相关分析和回归分析
回归模型的类型
回归模型
一元回归
线性回归
10 - 28
多元回归
线性回归 非线性回归
非线性回归
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归模型
10 - 29
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变 量称为自变量 (independent variable) ，用 x 表示
统计学
STATISTICS (第二版)
3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关 系的密切程度；回归分析不仅可以揭示 变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由 回归方程进行预测和控制 4.回归系数与相关系数的符号是一样的，但 是回归系数是有单位的，相关系数是没 有单位的。
10 - 27
统计学
STATISTICS (第二版)
10 - 19
统计学
STATISTICS (第二版)
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关
10 - 20
10 - 6
统计学
STATISTICS (第二版)
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
第九章回归模型的函数形式非线性回归模型的估计-PPT文档资料
L 52783 54334 55329 63909 64799 65554 66373 67199 67947 68850 69600 69957 71394 72085 73025 73740 74432
K 3791.7 4753.8 4410.4 4517.0 5594.5 8080.1 13072.3 17042.1 20199.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 43499.9 55566.6
，称这类模型为可线性化模型。
1．对数模型（或对数-对数模型） 模型形式：
lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）
lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）
对数-对数模型特点： b1表示当X每变动1个相对量时
（而X变动1个相对量，用符号表达就是ΔX/X，用数
据表达就是 1% ）， Y将变动一个相对量，这个相对
L K
2．半对数模型
在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要 方面。在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。 模型形式：
lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型） Y=b0+b1lnX+u (线性-对数模型）
lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型）
对数-线性模型特点： b1表示当X每变动1个绝对量单 位时（而X变动1个单位，用符号表达就是 ΔX），Y 将变动一个相对量，这个相对量用 ΔY/Y表示。然后，
第九章 回归模型的函数形式 （可线性化的非线性模型的估计）
典型的可线性化的非线性模型
• • • • 1．倒数模型 2．多项式模型 3．半对数模型： 4．双（边）对数模型
回归模型的数学表达式
回归模型的数学表达式回归模型是一种常见的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
它通过建立数学表达式，来预测一个或多个自变量与因变量之间的关系。
回归模型的数学表达式可以写成如下形式：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1, x2,..., xn表示自变量，β0, β1, β2, ..., βn 表示回归系数，ε表示误差项。
回归模型的目标是找到最佳的回归系数，使得模型能够最好地拟合数据。
回归模型的数学表达式可以分为线性回归模型和非线性回归模型。
线性回归模型是最简单的回归模型，假设自变量与因变量之间存在线性关系。
非线性回归模型则假设自变量与因变量之间存在非线性关系。
在线性回归模型中，回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
例如，β1表示x1每变动一个单位对y的影响，β2表示x2每变动一个单位对y的影响，以此类推。
回归系数的正负号表示自变量与因变量之间的正向或负向关系，而系数的大小表示影响的强度。
在非线性回归模型中，回归系数的解释与线性回归模型类似，但由于存在非线性关系，解释起来相对复杂。
非线性回归模型通常需要依赖于特定的函数形式，如指数函数、对数函数、幂函数等。
回归模型的数学表达式可以通过最小二乘法来求解。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与回归模型预测值之间的误差平方和，来确定最佳的回归系数。
最小二乘法可以通过求解正规方程组或使用迭代算法来实现。
对于回归模型的数学表达式，我们可以根据具体的研究问题和数据特点，选择合适的自变量和函数形式，来构建回归模型。
在建立模型后，我们可以通过拟合优度和显著性检验等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
回归模型的数学表达式是一种描述自变量与因变量关系的工具，通过建立数学模型，我们可以预测因变量的变化，并了解自变量对因变量的影响。
回归模型的数学表达式可以通过最小二乘法来求解，并根据具体问题选择合适的自变量和函数形式。
计量经济学回归分析模型
计量经济学回归分析模型计量经济学是经济学中的一个分支，通过运用数理统计和经济理论的工具，研究经济现象。
其中回归分析模型是计量经济学中最为常见的分析方法之一、回归分析模型主要用于确定自变量与因变量之间的关系，并通过统计推断来解释这种关系。
回归分析模型中的关系可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归模型是回归分析中最为常见和基础的模型。
它可以表示为:Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y代表因变量，X1,X2,...,Xk代表自变量，β0,β1,β2,...,βk代表回归系数，ε代表随机误差项。
回归模型的核心是确定回归系数。
通过最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差异最小化。
最小二乘法通过使得误差的平方和最小化来估计回归系数。
通过对数据进行拟合，我们可以得到回归系数的估计值。
回归分析模型的应用范围非常广泛。
它可以用于解释和预测经济现象，比如价格与需求的关系、生产力与劳动力的关系等。
此外，回归分析模型还可以用于政策评估和决策制定。
通过分析回归系数的显著性，可以判断自变量对因变量的影响程度，并进行政策建议和决策制定。
在实施回归分析模型时，有几个重要的假设需要满足。
首先，线性回归模型要求因变量和自变量之间存在线性关系。
其次，回归模型要求自变量之间不存在多重共线性，即自变量之间没有高度相关性。
此外，回归模型要求误差项具有同方差性和独立性。
在解释回归分析模型的结果时，可以通过回归系数的显著性来判断自变量对因变量的影响程度。
显著性水平一般为0.05或0.01，如果回归系数的p值小于显著性水平，则说明该自变量对因变量具有显著影响。
此外，还可以通过确定系数R^2来评估模型的拟合程度。
R^2可以解释因变量变异的百分比，值越接近1，说明模型的拟合程度越好。
总之，回归分析模型是计量经济学中非常重要的工具之一、它通过分析自变量和因变量之间的关系，能够解释经济现象和预测未来走势。
在应用回归分析模型时，需要满足一定的假设条件，并通过回归系数和拟合优度来解释结果。
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种用于研究变量之间关系的统计模型。
它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测未来的观测值。
回归模型的函数形式通常包括线性回归和非线性回归两种。
一、线性回归模型线性回归模型是回归分析中最常见的一种模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是回归系数，ε是误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从正态分布，且均值为0，方差为常数σ^2、回归系数β表示自变量对因变量的影响程度，其值越大表示影响越大。
二、非线性回归模型当自变量和因变量之间的关系不是简单的线性关系时，我们可以使用非线性回归模型。
非线性回归模型的函数形式可以是各种形式的非线性函数，常见的形式包括指数函数、幂函数、对数函数等。
例如，指数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1e^(β2X)+ε幂函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X^β2+ε对数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1ln(X) + ε需要注意的是，非线性回归模型的参数估计一般不像线性回归模型那样可以用最小二乘法直接求解，通常需要使用迭代算法。
三、多元回归模型多元回归模型用于研究多个自变量对因变量的影响。
多元回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是多个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的回归系数，ε是误差项。
多元回归模型可以通过估计回归系数，来衡量每个自变量对因变量的影响。
通过比较不同自变量的回归系数，我们可以判断它们之间的影响大小。
总结：回归模型是一种用于研究变量关系的统计模型。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用线性函数表示。
统计学第九章 相关与回归分析
第九章相关与回归分析Ⅰ. 学习目的和要求本章所要学习的相关与回归分析是经济统计分析中最常重要的统计方法之一。
具体要求：1.掌握有关相关与回归分析的基本概念；2.掌握单相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测；3.理解标准的多元线性回归模型，掌握估计、检验的基本方法和预测的基本公式，理解复相关系数和偏相关系数及其与单相关系数的区别；4.了解常用的非线性函数的特点，掌握常用的非线性函数线性变换与估计方法，理解相关指数的意义；5.能够应用Excel软件进行相关与回归分析。
Ⅱ. 课程内容要点第一节相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。
当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。
这种关系，称为具有不确定性的相关关系。
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。
116117二、相关关系的种类按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。
按相关的方向可分为正相关和负相关。
按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。
按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。
三、相关分析与回归分析相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。
只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。
四、相关图相关图又称散点图。
它是以直角坐标系的横轴代表变量X ，纵轴代表变量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
古扎拉蒂《计量经济学基础》第9章
虚拟变量数量的设置规则
1．若定性因素具有m（m≥2）个相互排斥
属性(或几个水平)，当回归模型有截距项时， 只能引入m-1个虚拟变量；
2．当回归模型无截距项时，则可引入m个 虚拟变量；否则，就会陷入“虚拟变量陷阱”。 （为什么？）
若对两个相互排斥的属性 “性别属性”， 仍然引入m=2个虚拟变量，则有
E Yi | Di = 0 = 0
Yi （ 0 1） i 女 性
Yi 0 i
男性
（2）一个定性解释变量（两种属性）和一
个定量解释变量的情形
模型形式 Yi = f(Di，Xi )+μi 0 1Di
例如：Yi =0 1Di +Xi +μi
其中：Y－支出；X－收入;
Di
1 0
女性 支出
例：比较改革开放前、后我国居民（平 均）“储蓄－收入”总量关系是否发生了变 化？模型的设定形式为：
Yt 1 2 Dt 1X t 2 (Dt X t ) ut
其中 : Yt为储蓄总额，X t为收入总额。
D
1
0
改革开放后 改革开放前
回归方程：
改革开放后 EYt | Xt , D 1 （1 2）（1 2）Xt 改革开放前 EYt | Xt , D 0 1 1Xt
夏季、农村居民
E Yi | X i ,D1 = 1, D2 = 0 =（ 0 + 1）+ X i
冬季、城市居民
E Yi | X i , D1 0, D2 1 (0 2 )＋ X i
冬季、农村居民
E Yi | X i , D1 0, D2 0 0 X i
Y
D1 1,D2 1
基准：四季度
（4）两个定性解释变量（均为两种属性） 和一个定量解释变量的情形
第9章含定性变量的回归模型
高学历家庭x2=1,低学历家庭x2=0。
§9.2 自变量定性变量回归模型的应用
回归模型（9.8）式可以分解为对高学历和对低学历家庭 的两个线性回归模型，分别为：
高学历家庭x2=1, yi=β0+β1xi1+β2+β3xi1+εi =（β0+β2）+（β1+β3）xi1+εi
t Sig. 9.757 .000 -2.65 .045 -1.69 .153
§9.2 自变量定性变量回归模型的应用
对β2的显著性检验的显著性概率Sig=0.153，β2没有通 过显著性检验，不能认为β2非零。用y对x做一元线性回归， 计算结果为：
Coeffi ci ents
(C onstant ) X
x（（（（
图9.1 单位成本对批量散点图
§9.2 自变量定性变量回归模型的应用
由图9.1可看出数据在生产批量xp=500时发生较大变化， 即批量大于500时成本明显下降。我们考虑由两段构成的分 段线性回归,这可以通过引入一个0-1型虚拟自变量实现。 假定回归直线的斜率在xp=500 yi=β0+β1xi+β2(xi-500)Di+εi
对一般情况，一个定性变量有k类可能的取值 时，需要引入k-1个0-1型自变量。当k=2时，只需要引 入一个0-1型自变量即可。
§9.2 自变量定性变量回归模型的应用
一、分段回归
例9.2 表9.3给出某工厂生产批量xi与单位成本yi(美元)的 数据。试用分段回归建立回归模型。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
§9.1 自变量中含有定性变量的回归模型
第9章 回归分析
1. 多元线性回归模型 设随机变量 y 与 m (m ≥ 2) 个自变量 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xm 之间存在相关关系,且有
y= a + b1 x1 + b2 x2 + ⋅⋅⋅ + bm xm + ε 2 ε ~ N (0, σ )
其中 a, b1 , b2 , ⋅⋅⋅, bm , σ 是与 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xm 无关的未知参数, ε 是不可观测的随机变量.称上式
= F
SR ~ F (1, n − 2) , Se /(n − 2)
168
对于给定的显著性水平 α ,拒绝域为 = F
SR ≥ Fα (1, n − 2) . Se /(n − 2)
Se
2
t 检验法: ˆ ~ N (b, 由b
此得到
σ2
lxx
) 知,
ˆ−b b
σ
lxx ~ N (0,1) .又由
σ
=
= i 1
n
ˆ ( x − x )x ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i i
= i 1= i 1
n n
n
= i 1
ˆ ( x − x )( x − x + x ) ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i i
= i 1= i 1 n n n
=
= i 1
ˆˆ ( x − x ) 2 − b ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i
当原假设 H 0 为真时, (3) F 检验法
σ
SR
2
~ χ 2 (m) ,且 S R 与 Se 相互独立.
SR / m , 当 H 0 为真时, F ~ F ( m, n − m − 1) . 因此 ,对于给定 Se / (n − m − 1) 的显著性水平 α ,拒绝域为 F ≥ Fα (m, n − m − 1) .
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
它可以用来预测因变量的值，基于给定的自变量值。
回归模型可以是线性的或非线性的，具体选择哪种形式取决于数据的特点和研究的目标。
以下是一些常见的回归模型的函数形式：1.线性回归模型：线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最简单的线性回归模型称为简单线性回归模型，可以使用一条直线来描述自变量和因变量之间的关系：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示Y截距，β1表示X的系数，ε表示误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型用于描述多个自变量与因变量之间的线性关系。
它的函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示Xi的系数，ε表示误差项。
3.多项式回归模型：多项式回归模型用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
它可以通过引入自变量的幂次项来逼近非线性函数：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε4.对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量之间存在指数关系的情况。
它可以将自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系：ln(Y) = β0 + β1X + ε5. Logistic回归模型：Logistic回归模型用于描述分类变量的概率。
它的函数形式是Sigmoid函数，将自变量的线性组合映射到0和1之间的概率值：P(Y=1，X)=1/(1+e^(-β0-β1X))以上是几种常见的回归模型的函数形式。
回归模型的选择取决于数据的特征和研究的目标，需要考虑线性或非线性关系、自变量的数量、相关性等因素。
根据实际情况，可以选择合适的模型进行建模和预测。
回归方程的函数形式
P
P0
D2
A
dQ P Ed dP Q
D1
Q0
Q
对于对数线性回归模型， ln Y 3.9617 0.2272ln X
其回归系数-0.2272的经济意义是价格每上升1%， 平均而言，需求量会下降0.22%。
对于线性回归模型，
Y 49.667 2.1576 X
其回归系数-2.1576的经济意义是价格每增加1元 钱，平均而言，需求量会减少大约2个单位。
形如Yi B1 B2 X i B3 X i2 B4 X i3 ui的回归模型称为 多项式回归模型,
它只有一个解释变量,不过解释变量以 不同次幂的形式出现在回归模型中
由于参数B1 , B2 , B3 , B4是以一次方的形式出现在回归方程中 因而这是一个线性回归模型
问题？由于解释变量X的不同次幂同时出现在回归模型 中，是否会导致（多重）共线性呢？
Y
LNY
X
LNX
思考：是否可以根据判定系数决定模型形式 的选择？
注意：只有当两个模型的应变量相同时，才 可能根据判定系数的高低评价两个模型的拟合优 度。在线性回归模型中，应变量是绝对形式，在 对数线性回归模型中，应变量是对数形式。
判定系数并不是评价模型优劣的唯一标准， 像回归系数的符号是否与理论预期相一致，是 否在统计上显著等也是评价模型好坏的重要标 准。
X Y B2 ( ) X
5.6
倒数模型
1 形如Yi B1 B2 ( ) ui的模型称为倒数模型 Xi
它的特点是随着X取值的无限增大,应变量Y将趋向于 其渐进值B1
Y
B1 B2
0 0
B1
0
X
Y
B1
第9章回归的函数形式
第9章回归的函数形式在统计学和机器学习中，回归是一种预测任务，目标是找到输入变量与输出变量之间的关系。
回归问题中，输入变量通常被称为特征，输出变量通常被称为目标变量。
在回归的函数形式中，我们试图找到一个可以预测目标变量的函数。
这个函数可以是线性的，也可以是非线性的。
在本章中，我们将介绍几种常见的回归函数形式，包括线性回归、多项式回归和非线性回归。
线性回归是回归问题中最简单的形式之一、在线性回归中，我们假设目标变量是输入变量的线性组合加上一个误差项。
我们可以使用最小二乘法来找到最佳的线性拟合。
线性回归模型的形式如下：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是目标变量，X1,X2,...,Xn是输入变量，β0,β1,β2,...,βn是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
多项式回归是线性回归的一种变形，它将输入变量的幂次作为特征。
多项式回归可以更好地拟合非线性关系。
多项式回归模型的形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + β11X1^2 + β22X2^2 + ... + βnnXn^n + ε其中，X1, X2, ..., Xn是输入变量的幂次，β0, β1, β2, ..., βn是回归系数，β11, β22, ..., βnn是多项式回归的系数。
非线性回归是回归问题中最灵活的形式之一，它不限制目标变量与输入变量之间的关系。
非线性回归可以采用各种不同的函数形式，如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的形式如下：Y=f(X1,X2,...,Xn;β)+ε其中，Y是目标变量，X1,X2,...,Xn是输入变量，β是回归系数，f 是一个非线性函数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
在实际应用中，选择适当的回归函数形式非常重要。
回归模型的函数形式
• 建立工作文件，导入数据。
• 拟合回归模型：
• 取得回归结果：
1、说明回归系数的意义，分析回归结果。
偏斜率系数0.3397度量产出对劳动投入的弹性； 偏斜率系数0.8460度量产出对资本投入的弹性； 系数的统计显著性； F值，模型整体显著性； R 2 ，表明劳动力和资本解释产出的变动。
2、检验该时期墨西哥是否经历规模报酬递增 的阶段。
ln Q = A + α ln L + β ln K
• 数据集data2_2为墨西哥1955～1974年实 际GDP、就业与实际固定资本的数据。 gdp：国内生产总值（1960年的百万比索） employment：就业人数（千人） capital：固定资本（1960年的百万比索）
• 拟合柯布-道哥拉斯生产函数，估计墨西哥 该时期的生产函数。说明回归系数的意义。 分析回归结果。 • 检验该时期墨西哥是否经历规模报酬递增 的阶段。
规模报酬参数（两个弹性系数相加），反映产 出对投入的比例变动。 规模报酬递增 规模报酬递减 规模报酬不变
作业
9.10，9.13，9.14
回归模型的函数形式
双对数模型 柯布-道格拉斯生产函数
• • • • •
双对数模型（不变弹性模型） 半对数模型（测度增长率） 倒数模型（菲利普斯曲线） 多项式回归模型 过原点的回归模型（零截距模型）
• 柯布-道格拉斯生产函数
Q = AL K
α
β
• 反映产出与劳动力和资本投入之间的函数 关系。 • 函数两边取对数，变换为
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劳动力供给函数
劳动力供给模型： 劳动力供给模型： • hours=33+45.1 log(wage) • wage：每小时工资 ： • hours：每周工作的小时数 ： 工资每增加1%将使每周工作的小时数增加： 1%将使每周工作的小时数增加 工资每增加1%将使每周工作的小时数增加：
• 0.45小时 小时
7
• 对于线性模型 i = β1 + β2Xi+ εi 对于线性模型Y • Y对X的弹性可以表示为 dY X = β X 对 的弹性可以表示为 2
dX Y Y
两种模型的区别： 两种数模型给出常数弹性。 双对数模型给出常数弹性 常数弹性。
ln Yi = β0 +α ln Xi + β ln Ki + ui
βi …称为偏弹性系数 称为偏弹性系数 含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。 含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。
10
1974年墨西哥的数据得到 例：使用1955 ～ 1974年墨西哥的数据得到 使用1955 这一期间墨西哥的生产函数。 这一期间墨西哥的生产函数。
3
常用的可线性化回归模型
通过适当变量代换可变为参数线性的模型
• 双对数模型 • 半对数模型 • 多项式模型 • 倒数模型
4
一、双对数模型
需求量模型： 需求量模型： X=书的价格 书的价格 Y=书的需求量 书的需求量 ε随机误差项 建立模型如下： 建立模型如下：
Yi = αXi εi
β2
(1)
对（1）式取对数得到
lnYi = β1 + β2 ln Xi + ui (2)
其中
β1 = lnα , ui = lnεi
5
lnYi = β1 + β2 ln Xi + ui
经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 实质线性模型 双对数模型的参数估计 使用最小二乘法得到 β1 、β2的估计值 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。
• Y：产出（GDP） ：产出（ ） • X1：劳动投入（总就业人数） ：劳动投入（总就业人数） • X2：资本投入（固定资本） ：资本投入（固定资本） 回归结果：lnY=-1.6524+0.3397lnx1+0.8640lnx2 回归结果 se=(0.6062) (0.1857) (0.0934) t= (-2.73) (1.83) (9.06) p值=(0.014) (0.085) (0) r2=0.995 值 规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。 规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。 • 规模报酬不变 • 规模报酬递增 • 规模报酬递减
19 X
Y
模型的选择
• • • • • DATA4-1:1990年圣地亚哥大学城独栋房屋的数据 price:售价（千美元） 售价（ 售价 千美元） sqft:居住面积（平方英尺） 居住面积（ 居住面积 平方英尺） bedrms:卧室数 卧室数 baths:浴室数 baths:浴室数
price = β1 + β2 ln( sqft ) + β3 ln( bedrms ) + β4 ln( baths) + ui
6
lnYi = β1 + β2 ln Xi + ui
β2的含义 对于一般的模型 Y=f(X) 根据弹性的定义， 对 的弹性可以表示为 根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为
dY X ∆Y / Y ∆Y X E= = == dX Y ∆X / X ∆X Y
d(lnY ) dY X β2 = = d(ln X ) dX Y • 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。 弹性 • 双对数模型的重要假定：弹性是常数 双对数模型的重要假定：
unit cos t = β1 + β2output + β3output 2 + β4inpcos t + ui
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倒数模型
reciprocal models
1 Yi = β1 + β2 + ui X i
24
（一）生产的固定成本与产出水平
25
（二）菲利普斯曲线
• 自然失业率 • 失业率再增长，工资下降率渐近底限
dY = β2 + 2β3 ⋅ X dX 2 unit cos t = β1 + β2output + β3output
output
+ β4inpcos t + βk inpcos t 2 + ui
22
模型的选择
unit cos t = β1 + β2output + β3output
2
+ β4inpcos t + βk inpcos t 2 + ui
price = β1 + β2 ln( sqft ) + β3 ln( bedrms ) + ui price = β1 + β2 ln( sqft ) + β3bedrms + ui
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多项式回归模型
Polynomial regression models
Yi = β1 + β2 Xi + β3 X +⋯+ βk X + ui
18
线性对数关系的选择
lnYi = β1 + β2 X + ui Yi = β1 + β2 ln Xi + ui
dY β2 = dX X
X • DATA4-1:1990年圣地亚哥 DATA4-1:1990年圣地亚哥 大学城独栋房屋的数据 Y Y对X的边际增量递减 对 的边际增量递减 • price:售价（千美元） 售价（ 售价 千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） 居住面积（ 居住面积 平方英尺） • bedrms:卧室数 卧室数 • baths:浴室数 浴室数
14
lnYi = β1 + β2t + ui
1991年美国实际GDP数据 年美国实际GDP数据。 例：使用1972 ～ 1991年美国实际GDP数据。 使用1972 试确定这一期间实际GDP的增长率。 GDP的增长率 试确定这一期间实际GDP的增长率。 回归模型： 回归模型：lnGDP=8.0139+0.0247t se=(0.0114)(0.00956) t=(700.54)(25.8643) p值=(0.0000)(0.0000) R2=0.9738 增长率=？ 增长率 ？
2 k
• 在生产成本函数领域应用广泛
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Yi = β1 + β2 Xi + β3 X +⋯+ βk X + ui
2 k
unitcos t • DATA6-1:一家公司 年 一家公司20年 一家公司 的成本函数数据。 的成本函数数据。 • unitcost :单位成本（美元） 单位成本（ 单位成本 美元） • output :产量 产量 • inpcost :投入成本 投入成本
第 9 章 回归模型的函数形式
多元回归模型的应用
线性模型 非线性模型 • 实际经济活动中 的许多问题， 的许多问题，都 可以最终化为线 性问题。 性问题。 • 线性回归模型具 有普遍意义。 有普遍意义。
x
2
y
“线性”回归的含义
方程中的参数是线性的
变量和参数均为线性: 变量和参数均为线性:
Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X4 + u
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线性对数(lin-log)模型
Yi = β1 + β2 ln Xi + ui
使用1973 ～ 1987年美国的 年美国的GNP(Y）与货币供 例：使用 年美国的 ） 给M2(X）的数据。 ）的数据。 试求当货币供给增加1%时，GNP的绝对增加值。 的绝对增加值。 试求当货币供给增加 时 的绝对增加值 回归模型： 回归模型：Y=-16329.0+2584.8lnX t=(-23.494) (27.549) p值=(0.0000) (0.0000) R2=0.9832 值 回归系数的含义？ 回归系数的含义？
log( wage) = 2.78 + 0.094⋅ educ
• 多受一年教育将使每小时工资增加多少？ • 9.4%
13
lnYi = β1 + β2t + ui — 恒定的增长模型
对数线性（log-lin)模型 对数线性（log-lin)模型
测度增长率：人口、GDP、贸易 测度增长率：人口、GDP、贸易…… • 线性模型与对数线性模型的区别 1）线性模型 Yi= β1 + β2 Xi+ ui ） • β2 的含义：X增加一个单位，Y的平均增量 的含义： 增加一个单位 增加一个单位， 的平均增量 • 表示因变量的绝对增量。 表示因变量的绝对增量 因变量的绝对增量。 2）对数线性模型 ） 的含义：因变量的相对增量。 • β2 的含义：因变量的相对增量。 • 增长率或衰减率
Y = β1 + β2 X + β3 X3 + β4 log X4 + u
2 2
参数线性，变量非线性: 参数线性，变量非线性:
Z2 = X , Z3 = X3 , Z4 = log X4 Y = β1 + β2 Z2 + β3 Z3 + β4 Z4 + u
2 2
参数非线性: 参数非线性:
Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + β2β3 X4 + u