江苏省扬州中学2020届高三下学期4月月考数学试题 Word版含解析

江苏省扬州中学2019-2020学年第二学期4月高三数学试卷（1）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x << 【解析】 【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题. 2.在复平面内，复数20161iz i i=+-对应的点所在第________象限. 【答案】一 【解析】 【分析】利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义即可求解.【详解】由题意知，20161i z i i=+-()()()45041111111222i i i i i i i ⨯+-+=+=+=+-⋅+， 由复数的几何意义可知，复数1122z i =+在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故答案为：一【点睛】利用复数的四则运算和复数的几何意义判断复数对应的点所在象限；考查运算求解能力；属于基础题.3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40 【解析】 【分析】根据平均数的公式计算即可【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题4.如图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为________；【答案】4或-1 【解析】 【分析】由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，利用输出y 的值为16，利用逆推的方法即可求解. 【详解】因为输出y 的值为16，所以162x =，解得4x =， 当输入x 的值满足x 3≥时，此时4x =即为所求； 当输入x 的值满足3x <时，则34x -=，解得1x =-； 故答案为：4或-1【点睛】本题考查利用程序框图中的循环结构，采用逆向思维已知输出变量的值求输入变量的值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握程序框图中的循环结构是求解本题的关键；属于中档题.5.在区间[0,]π上随机取一个数α，则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为________.【答案】13【解析】 【分析】利用余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为[]0,απ∈，11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,33ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由与长度有关的几何概型概率计算公式可得，133P ππ==.故答案为：13【点睛】本题考查余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式；考查运算求解能力；熟练掌握余弦函数的性质和几何概型概率计算公式是求解本题个关键；属于中档题. 6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 【答案】42【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 32h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:423． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题． 7.若数列为等差数列，且18153120a a a ++=，则9102a a -的值等于 ________．.【答案】【解析】【详解】因为1815113535120724a a a a d a d ++=+=⇒+=， 所以91012724a a a d +==-，故答案为24.8.已知A ，B ，分别为双曲线2222:1x y E a b-=（0,a >0b >）的左，右顶点，点M 在E 上，且||:||:||3AB BM AM =E 的渐近线方程为________.【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据ABM 的三边关系及双曲线的几何性质，利用余弦定理求出ABM ∠，进而得到点M 的坐标，再将点M 的坐标代入双曲线方程，得到,a b 的关系代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】根据题意，易知点M 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第一象限，如图所示：因为||:||:||3AB BM AM =2AB a =，23,2AM a BM a ==，在ABM 中，由余弦定理可得，222cos 2AB BM AM ABM AB BM+-∠=⋅，即()()()22222231cos 2222a a aABM a a+-∠==-⋅⋅，因为0ABM π<∠<，所以23ABM π∠=，3xBM π∠=，过M 作MN x ⊥轴于点N ，则13cos2,sin 233232BN BM a a MN BM a a ππ==⨯===⨯=， 所以点M 的坐标为()23a a ，将点M 代入双曲线2222:1x y E a b-=可得，())2222321a a ab-=，化简可得a b =，所以双曲线E 的渐近线方程为by x x a=±=±.故答案为：y x =±【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力；掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.9.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()x f x f x '⋅<-，则不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为________.【答案】(3,)+∞ 【解析】【分析】观察不等式()()x f x f x '⋅<-的特征，构造函数()()g x xf x =，利用导数()g x '判断函数()g x 的单调性，利用单调性和()f x 的定义域即可求出不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集.【详解】令()()g x xf x =，因为()()x f x f x '⋅<-，所以()g x '()()f x xf x '=+0<， 所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，由函数()f x 的定义域为()0,∞+，可得29030x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >，因为()2(3)903f x f x x ---≤+， 所以()()()2393x f x f x +-≤-，所以()()()()229933x f x x f x --≤--，所以2933x x x ⎧-≥-⎨>⎩，解得3x >，综上可知，不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为()3,+∞.故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查通过构造函数法、利用抽象函数的导数判断函数的单调性解不等式及抽象函数的定义域；考查运算求解能力、逻辑推理能力和数学抽象；熟练掌握利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.10.在ABC 中，AB =2,AC =105BAC ∠=︒，点D 满足AD x AB y AC =+且1(,)x y x y R +=∈，则当||AD 最小时，xy的值为________.【解析】 【分析】结合题目中的条件，利用平面向量的数量积公式进行转化，利用参数的,x y 之间的关系加以消元，通过配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值即可求解. 【详解】因为AD x AB y AC =+，所以()2222222AD xAB y ACx AB y AC xy AB AC =+=++⋅222422cos105x y xy ++⨯2224x y ⎛=++⨯ ⎝⎭()()()2224121x x x x =+---)211x ⎡=+⎣，所以当x =，y =x y =||AD 有最小值为1.【点睛】本题考查平面向量的数量积、二次函数的图象与性质，考查化归与转化的能力和运算求解能力；熟练掌握二次函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题. 11.锐角ABC 的面积为1，内角A ，B ，C 所对的边分别为,a ,b c 且a b c >>，则()()a b c a b c +--+ 的取值范围是________.【答案】,43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用三角形的面积公式得到bc 的表达式，再利用余弦定理得到222a b c --的表达式，把()()a b c a b c +--+转化为关于ABC 内角A 的三角函数，再由锐角三角形和大边对大角求出角A 的范围，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，1sin 12ABCSbc A ==,所以2sin bc A=， 由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos a b c bc A --=-，因为()()a b c a b c +--+2222a b c bc =--+， 所以()()a b c a b c +--+2cos 2bc A bc =-+()22sin 421cos 4sin 2sin cos 22AA A A A =⋅-=⋅4tan 2A =，因ABC 为锐角三角形，a b c >>，所以32A ππ<<，即624A ππ<<，所以tan 132A<<，所以4tan 432A <<， 所以()()a b c a b c +--+的取值范围为4⎫⎪⎪⎝⎭.故答案为：4⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理，结合三角形内角的取值范围和正切函数的单调性求边长的取值范围；考查运算求解能力和转化与化归能力；灵活运用三角形的面积公式和余弦定理是求解本题的关键；属于中档题.12.已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(]2,3 【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.13.已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅的最小值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】取BM 的中点N ，则21PM PB PN ⋅=-，故只需求PN 长度的最小值，注意N 的轨迹方程2254x y +=，从而可求PN 的最小值. 【详解】因为4AB =，2BM =，取BM 的中点N ，连接,OM PN ， 则()()21PM PB PN NB PN NB PN ⋅=+⋅-=-，又225OM MB +=，故1OM =，所以222112ON =+=，ON =又PN OP ON ≥-，而006OP +-≥=PN ≥OP 垂直于直线l 且,,O N P 三点共线时等号成立，所以PM PB ⋅的最小值为817-=，填7.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）到定点的距离为定长的动点的轨迹；（2）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （3）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．14.设函数3()f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，+a b 的值为________. 【答案】34【解析】 【分析】构造函数()3g x x ax b =--，可知函数()g x 的图象关于点()0,b -对称，然后分0,3,03a a a ≤≥<<三种情况进行讨论，分析函数()y g x =在区间[]1,1-上的单调性，得出函数()()f x g x =在区间[]1,1-上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时+a b 的值.【详解】令函数()3g x x ax b =--，则()()f x g x =，因为()()()332g x g x x ax b x ax b b +-=--+-+-=-， 所以函数()g x 的图象关于点()0,b -对称，且()23g x x a '=-，所以当0a ≤时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递增，所以()()1111M f a b M f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111122a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时，当0,11a b =-≤≤时，M 取得最小值1； 当3a ≥时，对任意的[1,1]x ∈-，()0g x '≤，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递减，所以()()1111M f a bM f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111222a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时当3,22a b =-≤≤时，M 取得最小值2； 当0<<3a 时，令()0g x '=，得x =，令()0,1t =，列表如下：不妨设()00g b =-≥，则0b ≤，则()()()()33112211M f a b M f t t b M f t t bM fa b⎧≥=--⎪≥=--⎪⎪⎨≥-=-⎪⎪≥-=-+-⎪⎩，所以()()()(){}max 1,,,1M f f t f t f ≥--，因为()()()200g t g t g -+=≥，且()()g t g t <-，所以()()()g t g t f t -≥=， 因为()()()11200g g g -+=≥，若()()11g g -≥，则()()()111g g f -≥=，若()()11g g -<，则()10g >，但()()1g t g ->-，因为()()()()3312121g t g t b a b t a --=----=+-()()232231211t t t t =+-=-+，所以()(){}()()1102max ,1112g t g t g g t t ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪-<<⎪⎩，当102t <≤时，()2211113134M g a b t b t ≥=--=--≥-≥，当且仅当10,2b t ===时，即当3,04a b ==时，M 取得最小值14；当112t <<时，()33222M g t t b t ≥-=-≥>， 综上所述，当当3,04a b ==时，M 取得最小值14，此时+a b 34=.故答案为：34【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数、绝对值三角不等式的运用、通过构造函数，利用导数判断函数的单调性；考查运算求解能力和分类讨论的思想；充分利用三次函数的单调性、求出绝对值三次函数的最大值的可能值、并结合绝对值三角不等式的性质是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题.二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知O 为坐标原点，()22sin ,1,OA x=(1,cos 1),OB x x =-+1()12f x OA OB =-⋅+.（1）求()y f x =的最小正周期；（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，3()5g α=，4()5g β=-，求cos 2()1αβ--的值.【答案】（1）π；（2）98625- 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简()f x 的表达式，进而求出其最小正周期即可；（2）根据函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求出函数()g x 的表达式，再利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】（1）因为()22sin ,1,OA x =(1,cos 1),OB x x =-+所以211()1sin cos 22f x OA OB x x x =-⋅+=-++1cos 221sin 2226π-+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将其图象向左平移6π个单位后得到函数 ()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3(),5g α=4()5g β=-，即3sin ,35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为2,,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以,,32ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 4cos ,35πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭3cos 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin()sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33447555525⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2cos 2()12sin ()αβαβ--=--2798225625⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、利用函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求变化后的解析式、两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；熟练掌握两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并观察出角之间的关系是求解本题的关键；属于中档题.16.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17.如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机D 监控河流南岸相距150米的,A B 两点处（A 在B 的正西方向），河流北岸的监控中心C 在B 的正北方100米处，监控控制车E 在C 的正西方向，且在通向C 的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车E 到无人机D 和到监控中心C 的距离之和150米，平面ADE 始终垂直于水平面ABCE ，且DE DA ⊥，,A D 两点间距离维持在100米.（1）当监控控制车E 到监控中心C 的距离为100米时，求无人机D 距离水平面ABCE 的距离；（2）若记无人机D 看A 处的俯角（DAE θ∠=），监控过程中，四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V ，请将V 表示为关于θ的函数，并求出监控影响区域的最大值.【答案】（1）5（2）25sin 5103sin cos ()032V θθθπθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=<< ⎪⎝⎭，50000023立方米 【解析】 【分析】（1）过D 作DF AE ⊥，垂足为F ，由面面垂直的性质定理可知，DF ⊥平面ABCE ，即线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中利用面积相等求出DF 即可；（2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高，在Rt ADE △中，把DF 表示成关于θ的表达式，再利用四棱锥的体积公式把四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V 表示成关于θ的函数，对函数()V θ进行求导，利用导数判断其单调性并求其最大值.【详解】（1）过D 作DF AE ⊥，垂足为F ， 又因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，所以DF ⊥平面ABCE ，所以线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中，DE DA ⊥，100AD =（米），50DE =（米），所以2211005022051100502DF ⨯⨯==+.即点D 到水平面ABCE 的距离为205. （2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高， 在Rt ADE △中，因100AD =（米），DAE θ∠=， 所以100sin DF θ=（米），100tan DE θ=（米）， 所以(150100tan )CE θ=-（米），所以梯形ABCE 的面积1(150150100tan )10050(300100tan )2S θθ=+-⨯=-（米）， 所以四棱锥D ABCE -的体积25sin 5103sin cos 150(300100tan )100sin 33V θθθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=，分析知，30tan 2θ<<，且02πθ<<， 所以V 关于θ的函数关系为25sin 5103sin cos (),3V θθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭= 30tan ,2θ<<02πθ<<，32325000003cos 2sin cos sin ()3cos V θθθθθθ⎛⎫--'=⎪⎝⎭()2500000(tan 1)tan tan 3cos 3θθθθ=--++. 因为30tan ,2θ<<02πθ<<， 所以当0tan 1θ<<时，()0V θ'>；当31tan 2θ<<时，()0V θ'<， 即当0tan 1θ<<时，函数()V θ单调递增；当31tan 2θ<<时，函数()V θ单调递减， 所以当tan 1θ=，即4πθ=时，max500000()33V θ=⨯=.. 【点睛】本题考查利用面面垂直的性质定理求点到面的距离、棱锥的体积公式和利用导数判断函数的单调性并求最值；考查逻辑推理能力和运算求解能力；灵活运用面面垂直的性质和利用导数求最值是求解本题的关键；属于难度较大型试题.18.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，，可得223{21.3mx my =-=+，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得32222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．19.已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a R =++=-∈，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）[1,)-+∞【解析】试题分析：（1）()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，通过求导分析，得函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；（2）()()()()121212f x g x f x g x x x -==-''，所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==-，通过求导讨论，得到a 的取值范围是[)1,-+∞．试题解析：（1）函数()h x 的定义域为()0,+∞当1a =时，()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以()()()211121x x h x x x x='-+=+- 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>， 所以函数()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值； （2）设函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同， 则()()()()121212f xg x f x g x x x -==-''所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入()21211221ln x x x ax x a x -=++--得： ()222221ln 20*424a a x a x x -++--= 设()221ln 2424a a F x x a x x =-++--，则()23231121222a x ax F x x x x x+-=-++=' 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：()()20000min 012ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设()212ln 2G x x x x x =+-+-，则()211220G x x x x=+++>'对0x >恒成立， 所以()G x 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时()00F x ≤, 又当2a x e+=时()222421ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--221104a a e +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以()120,1y x x=-在单调递减，因此[)20000121=21+x a x x x ，-=-∈-∞ 所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞．20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<， 所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列； ③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.数学Ⅱ附加题选做题，本题包括A ，B 两小题.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.设矩阵021a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=．求曲线C 的方程．【答案】22841x xy y ++=【解析】 【分析】首先确定矩阵的特征多项式，由特征值可求得2a =；从而得到22x xy x y=⎧⎨=+''⎩，代入已知方程即可求得结果.【详解】由题意知，矩阵M 的特征多项式：()()()1fa λλλ=--矩阵M 有一个特征值为2 ()20f ∴=，解得：2a =即22x x y x y=⎧⎨=+''⎩，代入方程221x y +=得：()()22221x x y ++= 即曲线C 的方程为：22841x xy y ++=【点睛】本题考查根据矩阵变换下的方程求解曲线方程的问题，关键是能够利用特征值和特征多项式得到变换原则，进而求得曲线方程.22.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】 【分析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可； （2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长.【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π22sin 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=. （2）当3π4θ=时，3ππ||22sin 2244OP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 则点P 的极坐标为3π22,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2||22222OQ ==+，则点Q 的极坐标为23π,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故线段PQ 的长为23222-=. 【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.23.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30，试确定点M 的位置.【答案】（12）点M 是线段11A B 的中点. 【解析】 【分析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,AM =-，(14,0,CA =，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,4M x x -，得(4,4AM x x =--，直线AM 与平面1ABC 所成角为30，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M 的位置.【详解】以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A ，(14,0,A ，(10,4,B .（1）因为113A M MB =，所以(M . 所以(14,0,CA =，(3,3,AM =-.所以111cos ,3924CA AM CA AM CA AM⋅===-.所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为39. （2）由()4,0,0A ，()0,4,0B ，(10,0,C ， 知()4,4,0AB =-，(1AC =-.设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1a =，则1b =，c =1ABC 的一个法向量为(1,1,2n =.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(,4M x x -，所以(4,4AM x x =--， 因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30，所以1cos ,sin 302n AM =︒=.由cos ,n AM n AM n AM ⋅=，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M 是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.24.设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:01nrr a r =+∑;（2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n n n +<+, 当3n ≥时,1(1)n nn n +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+- 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+=⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。