人教版初二上册全册课时练(附答案共54页)

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第 1 页共53 页

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

专题一三角形个数的确定

1．如图，图中三角形的个数为（）

A．2 B．18 C．19 D．20

2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．

3．阅读材料，并填表：

在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？

完成下表：

△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)

构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …

专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围

4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）

A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2

5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．

6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式

2

2

x+

＞

12

3

x

-

-的正整数解，试求第

三边x的长．

状元笔记

【知识要点】

1．三角形的三边关系

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．

2．三角形三条重要线段

(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．

(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．

(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

3．三角形的稳定性

三角形具有稳定性．

【温馨提示】

1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．

2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．

【方法技巧】

1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．

2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．

参考答案:

1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．

2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．

3．解：填表如下：

△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)

构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)

解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．

4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．

5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．

6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．

∵x是它的正整数解，

∴x可取1，2，3，5，6，7．

再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，

∴x=7．

11.2与三角形有关的角

专题一利用三角形的内角和求角度

1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BPA的度数．

3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；

（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）

专题二利用三角形外角的性质解决问题

4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；

（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）

6．如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

状元笔记

【知识要点】

1．三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°．

2．直角三角形的性质及判定

性质：直角三角形的两个锐角互余．

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．

3．三角形的外角及性质

外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【温馨提示】

1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．

2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．

【方法技巧】

1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．

2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．

参考答案:

1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=1

2

∠ACE，

∠2=1

2

∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=

1

2

∠A=25°．故选C．

2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，

所以1

2

(∠BAC＋∠ABC)=45°.

因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，

∠BAP=1

2

∠BAC，∠ABP=

1

2

∠ABC ，

即∠BAP＋∠ABP=45°，

所以∠APB=180°－45°=135°.

（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，

所以1

2

(∠BAC＋∠ABC)=45°，

因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∠DBC=1

2

∠ABC，∠PAC=

1

2

∠BAC ，

所以∠DBC＋∠PAD=45°.

所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD

=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.

3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，

又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P－∠D=∠B－∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．

（3）2∠P=∠B+∠D．

4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点

O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+1

2

∠ACD=∠A+

1

2

∠ABD，即∠P=50°－

1

2

（∠ACD－∠ABD）

=20°．故选B．

5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=1

2

∠ACB=34°．

∵CE是AB边上的高，

∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．

（2）∠DCE=1

2

（∠B－∠A）．

6．（1）证明：延长BD交AC于点E，

∵∠BEC是△ABE的外角，

∴∠BEC=∠A+∠B．

∵∠BDC是△CED的外角，

∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．

（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．

证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD

=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1

=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）

=180°+180°=360°．

11.3多边形及其内角和

专题一根据正多边形的内角或外角求值

1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．9

2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．

3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．

专题二求多个角的和

4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）

A．360°B．540°C．630°D．720°

5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．

6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

状元笔记

【知识要点】

1．多边形及相关概念

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

2．多边形的内角和与外角和

内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．

外角和：多边形的外角和等于360°．

【温馨提示】

1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．

2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．

【方法技巧】

1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．

2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．

参考答案:

1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．

2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．

3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．

4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．

5．360°解析：在四边形BEFG中，

∵∠EBG=∠C+∠D，

∠BGF=∠A+∠ABC，

∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．

6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．

同理：∠BPO=∠D+∠C．

∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

12.2三角形全等的判定

专题一三角形全等的判定

1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F．

求证：△ABE≌△CDF．

2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．

（1）你添加的条件是：__________；

（2）证明：

3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．

（1）给出下列四个条件：

①AD=CE；

②AE=CD；

③∠BAC=∠BCA；

④∠ADB=∠CEB；

请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；

（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．

专题二全等三角形的判定与性质

4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）

A．6B．4 C．23D．5

5．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.

求证：AM＝AN.

N

M

E D B C

A

6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．

专题三 全等三角形在实际生活中的应用

7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ）

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

8．有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离，你能说说其中的道理吗？

9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？

状元笔记

【知识要点】

1．全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

2．全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．

3．三角形全等的判定方法

(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．

(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．

(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．

(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

【温馨提示】

1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．

2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】

1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：

（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；

（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．

全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC ≌△DEF ， 说明A 与D ，B 与E ， C 与F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边AC 与边DF 是对应边．

2．判定两个三角形全等的解题思路：

SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ????

??

???????????

???

???

???

???????

找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——

参考答案:

1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．

∵∠ABE=21∠ABD ，∠CDF=2

1

∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．

在△ABE 与△CDF 中，

??

?

??∠=∠=∠=∠C D F ABE CD

AB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒ （2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ，

又∵DC BD ，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB ．

又∠ABD=∠CBE ，BE=BD ， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．

4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，

765

4

321

N

M

E D B C

A

∵△AEB 由△ADC 旋转而得，

∴△AEB ≌△ADC .

∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ． ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C . ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7． ∵∠4＝∠5，

∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，

∴△AMB ≌△ANB ． ∴AM ＝AN ．

6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°．

∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ， 即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，

BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ．

又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°，

∴AE ∥BC ．

7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF ，AC=DF ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF ，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．

8．解：在△ABC 和△CED 中，

AC=CD ，∠

ACB=∠ECD ，EC=BC ， ∴△ABC ≌△CED ． ∴AB=ED ．

即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对． 理由：

∵AC ⊥AB,

∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，

ACB ACB AC AC CAB CAB =??

=??=?

∠∠′，，

∠∠′， ∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）． ∴AB′=AB ．

12.3 角的平分线的性质

专题一 利用角的平分线的性质解题

1．如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 在BC 上，若DF ⊥AB ，垂足为F ，DG ⊥AC ，垂足为G ，且DF=DG ．求证：AD ⊥BC.

2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21

BAC B

∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB

∶∶

于点E，AC=3 cm，求BE的长．

专题二角平分线的性质在实际生活中的应用

4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A．在AC、BC两边高线的交点处

B．在AC、BC两边中线的交点处

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在

__________，理由是__________．

6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）

状元笔记

【知识要点】

1．角的平分线的性质

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

2．角的平分线的判定

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【温馨提示】

1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．

【方法技巧】

1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，

若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，

若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．

2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；

若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；

若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．