勾股定理的应用第课时勾股定理在现实生活中的应用(优质课)获奖课件

图 14－2－2
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
(1)用一根铁丝缠绕连结 A，B 两点，计算铁丝最短长 度，用图①计算，应用等式为_A_B2＝(πr)2＋h2 __．
(2)点 A 到点 B 的直线距离可用图②计算，应用等式 为_A_B_2＝(2r)2＋h2 _．
(3)题(1)中如果是 A，C′两点，计算铁丝最短长度， 用图①计算，应用等式为_A_ C′2＝(2πr)2＋h2__．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
[归纳总结] 解决有关立体图形中路线最短的问题，其 关键是把几何体上的路线问题转化为平面上的路线问 题．如圆柱侧面展开为长方形，圆锥侧面展开为扇形，长 方体的侧面沿某一条棱展开为长方形等．运用平面上两点 之间线段最短的道理，利用勾股定理求解．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结] (1)利用线段垂直平分线的性质可证明两条 线段相等，只需直线满足垂直、平分即可．
(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段 相等关系．
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探究新知
活动1 知识准备 等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上的高为 AD. (1)已知 BC＝8 cm，则 CD＝_4_c_m_； (2)已知∠BAC＝80°，则∠BAD＝_4_0_°_．
图 13－5－5
13.5.2 线段垂直平分线
[解析] 由 AB＝AC，DB＝DC 可以知道 AD 是 BC 的垂直平 分线，点 P 又是 AD 上的点，所以 PB＝PC.因此就要考虑如何由 线段相等证得角相等，故应连结 BC，探讨∠ABC 与∠ACB，∠ PBC 与∠PCB 之间的关系，从而来证明∠ABP＝∠ACP.
13.5.2 线段垂直平分线
新知梳理
► 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的__ 距离相等 __．
► 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端__ 距离相等 __的点在线段的__垂直平分线__上．
13.5.2 线段垂直平分线
► 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且 到三个顶点的距离相等
13.5.2 线段垂直平分线
新知梳理
► 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的__ 距离相等 __．
► 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端__ 距离相等 __的点在线段的__垂直平分线__上．
13.5.2 线段垂直平分线
► 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且 到三个顶点的距离相等
13.5.2 线段垂直平分线
活动2 教材导学 1．线段垂直平分线的性质定理 完成下列填空，想一想线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离有什么关系？ (1)线段既是__ 中心对称 __图形，又是轴对称图形，
对称轴是__线段的垂直平分线 __；
13.5.2 线段垂直平分线
(2)如图 13－5－3，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线， 垂足为点 O，P 是 MN 上的点，连结 PA，PB.根据__S.A.S_. _，可 得△_P_A_O_≌△PBO，从而 PA＝PB.这表明：线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相__等__．
探究问题二 实际问题 例 2 如图 14－2－4，是飞船舱内一个长、宽、高分别为 50
cm，40 cm，30 cm 的长方体的空间，宇航员能否把一根长为 70 cm 的实验仪器放进去？请说明你的理由．
图 14－2－4 解：在直角三角形 ABC 中，因为∠ABC＝90°，AB＝50 Cm， BC＝40 Cm，所以 AC2＝AB2＋BC2＝502＋402＝2500＋1600＝ 4100; 在直角三角形 A1AC 中，∠A1AC＝90°，AC2＝4100，A1A2 ＝302，所以 A1C2＝A1A2＋AC2＝302＋4100＝5000. 所以长方体内最长对角线 A1C 的长的平方为 5000＞4900 ＝702 .故仪器能放进去．
端的距离有什么关系？ (1)线段既是__ 中心对称 __图形，又是轴对称图形，
对称轴是__线段的垂直平分线 __；
13.5.2 线段垂直平分线
(2)如图 13－5－3，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线， 垂足为点 O，P 是 MN 上的点，连结 PA，PB.根据__S.A.S_. _，可 得△_P_A_O_≌△PBO，从而 PA＝PB.这表明：线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相__等__．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
探究新知
活动1 知识准备 1．如图 14－2－1 所示，可以看出圆柱的侧面展开图 是_长__方_．形
图 14－2－1 2．在连结两点的线中，_线__段_最短．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
活动2 教材导学 生活中勾股定理的应用 一个圆柱，将其侧面剪开，展开成一个长方形，如图 14 －2－2①所示．沿着圆柱中心面剖开，截面也是一个长方形， 如图②所示．设该圆柱的半径为 r，高为 h，回答下列问题．
[解析] 蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有 三种方式，分别展成平面图形如图：
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
解：如图①，在 Rt△ABC1 中， AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝25，∴AC1＝ 25. 如图②，在 Rt△ACC1 中， AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37，∴AC1＝ 37. 如图③，在 Rt△AB1C1 中， AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29， ∴AC1＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线长最短，最短的路线长为 5.
(1)如果要确定这一点，那么只需画两边的垂直平分线取 其交点即可；
(2)注意区分：若要求到．三．边．距．离．相．等．的点，则是三个内 角平分线的交点(下一节学到)；若要求到．三．个．顶．点．距．离．相．等． 的点，则是三边垂直平分线的交点．
13.5.2 线段垂直平分线
重难互动探究
探究问题一 线段垂直平分线的性质定理的应用 例 1 如图 13－5－4 所示，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂 直平分线，AE＝3 cm，△ABD 的周长为 13 cm.求△ABC 的 周长．
活动1 知识准备 等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上的高为 AD. (1)已知 BC＝8 cm，则 CD＝_4_c_m_； (2)已知∠BAC＝80°，则∠BAD＝_4_0_°_．
13.5.2 线段垂直平分线
活动2 教材导学 1．线段垂直平分线的性质定理 完成下列填空，想一想线段垂直平分线上的点到线段两
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 逆命题是_到_线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线__上； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线_M_N_ 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 逆命题是_到_线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线__上； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线_M_N_ 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结]通过线段的垂直平分线的性质把未知的线段 转化为已知线段，是进行有关计算和证明的重要方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
13.5.2 线段垂直平分线
探究问题二 线段垂直平分线的判定定理的应用
例 2 如图 13－5－5 所示，已知 AB＝AC，DB＝DC，P 是 AD 上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
图 13－5－4
13.5.2 线段垂直平分线
[解析] △ABC 的周长等于 AB＋BC＋AC，而线段 BC ＝BD＋CD.因为 DE 是 AC 的垂直平分线，则有 CD＝AD， 所以 BC＝BD＋AD，从而求出 AB＋BC，于是求得△ABC 的周长即可．
解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6 cm. 又∵△ABD 的周长＝AB＋BD＋AD＝13 cm， ∴AB＋BD＋CD＝13 cm， 即 AB＋BC＝13 cm， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm)．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点三
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
新知梳理
► 知识点一 直接应用型 实际问题转化为数学问题后，利用题中的直角三角形信 息，直接应用勾股定理求解． ► 知识点二 间接应用型 实际问题转化为数学问题后，不能直接求出线段的长，则 应根据题中与直角三角形有关的信息，考虑添加辅助线，构 造直角三角形进行求解． ► 知识点三 最短路线型 求几何体表面两点之间的最短距离，通常将几何体的表面 展开，把立体图形转化为_ 平面__图_，形再根据“两点之间，线 段最短”这个公理找到最短距离，然后利用勾股定理进行计 算求解．
13.5.2 线段垂直平分线
证明：连结 BC. 因为 AB＝AC，DB＝DC(已知)， 所以点 A，D 均在线段 BC 的垂直平分线上(到线段两 端距离相等的点在线段的垂直平分线上)，所以 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线)． 因为点 P 在 AD 上，所以 PB＝PC(线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等)， 所以∠PBC＝∠PCB(等边对等角)． 又因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB(等边对等角)， 所以∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB， 即∠ABP＝∠ACP.