场论-2

S S

S S1

S1
3dV 0 2 a3 （ S1 : z 0 的下侧）

解法 2 由于上半球面上任一点 M ( x, y, z) 处的单位
x y z 0 n , , 与 r xi yj zk 同方向，故 法矢量 a a a
例 1
已知平面矢量场 A yi xj ， l 为星形线
A dl ydx xdy
l l
x R cos3 , y R sin3 ， 求此矢量场沿 l 正向的环量
解
3 2 2 2 3 2 R sin 2 d R 0 4 4
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为
P Q R divA x y z
推论 1
澳—高公式可以写成如下的矢量形式
A dS divAdV
S
说明 A 穿出封闭曲面 S 的通量， 等于 S 所围区域 上的散度在 上的三重积分
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
S 是速度场中的一片有向光滑曲面 函数
P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )
均在 S 上连续 求在单位
时间内流向 S 指定侧的流体的质量 即流量 Q
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
解（应用微元法）取曲面微元 dS S ，取点 M dS ， 则流体穿过 dS 的流量为
说明（1） 0 时，称为正通量
0 时，称为负通量 0 时，称为零通量
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
（2）若 S 为封闭曲面外侧，则由奥-高公式，得
P Q R S An dS S A dS ( x y z )dV
第 四 节 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度
§4 矢量场的环量与旋度
1.环量 引例 设有力场
F F (M ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
l 为场内一条封闭的有向曲线。 求一个质点 M 在场
力 F 的作用下，沿曲线正向运转一周时所做的功。
第 四 节 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度
l H dl 表 根据环量的定义，磁场 H (M ) 的环量 I 示通过磁场中以 l 为边界的一块曲面的总电流强
度（研究的是整体性质） 。为了研究磁场中任一点
I H dl
l
第 四 节 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度
定义 1（环量）设矢量场 A(M ) ，则沿场中某一封 闭的有向曲线 l 的曲线积分
A dl
l
叫做矢量场 A(M ) 按积分所取方向沿曲线 l 的环量。
定理 1 在直角坐标系下， 矢量场 A(M ) Pi Qj Rk
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
简单曲面：设连续曲面的参数方程为
S : x x(u, v), y y(u, v), z z (u, v)
若曲面上的每一点都只对应唯一一对参数值 (u , v) （除闭合曲面的闭合点） ，则称曲面是简单曲面。 （一张无重点的连续曲面。一般指分片光滑）
S1
S2 r
o
x
解法 2
r dS + r dS
S1 S2
n
y

Dxy
Hdxdy + r ndS (r n)
S2
H3
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
例
q 0 D r 2（P46）电位移矢量 4 r 2
解
由于在球面 S 上恒有 r R ，且法矢量 n 与
推论 2
若在封闭曲面 S 内处处有 divA 0 ，则

推论 3
S
A dS 0
若在矢量场 A(M ) 内某些点（或区域）上有
divA 0 或 divA 不 存 在 ， 而 在 其 他 的 点 上 都 有
divA 0 ，则穿出包围这些点（或区域）的任一闭
曲面的通量都相等，即为一常数。
（1）计算 A 的散度 divA ； （2）求 A 从球面 x2 y2 z 2 a2 的内部穿出的通量。
解
2 2 2 div A 3( x y z ) （1 ）
3 3 3 A d S x dydz y dzdx z dxdy （2 ） S S
r dS r n0 dS r n0 cos 0dS
S S S

S
x 2 y 2 z 2 dS 2 a3
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
3. 散度运算的基本公式 （1） div(cA) cdivA （2） div( A B) divA divB （3） div(uA) udivA gradu A 。 例6
已知函数 ( x, y, z) exyz ，矢量场 r xi yj zk ，
求 div( r )
解
由基本公式得：
div( r ) divr grad r 3exyz 3xyzexyz
第 三 节
作业：P55
矢 量 场 的 通 量 与 散 度
1,2,3（2）,4（3）,5（2） ，6 ，8
t
l
dl
F
第 四 节 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度
解 应用微元法： 在 l 上取弧元素 dl ，则当质点运动经过 dl 时， 场力 F 所做的功近似等于
dW Ft dl F dl F dl
其中 表示 l 的单位切向矢量，dl dl 是与曲线的 切向量 t 的方向一致，其模等于弧长 dl 。
2. 散度 为了进一步探讨产生通量的源在曲面 S 内各 点的分布情况以及源的强弱程度等问题，引入了 矢量场的散度概念。
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
定义 2 （散度） 设有矢量场 A(M ) ， 于场中一点 M 的 某邻域内作包含 M 点在内的任一封闭曲面 S ，设 所包围的空间区域为 ， V 表示其体积，则极 限值（通量对体积的变化率）
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
例3
解
在点电荷 q 所产生的静电场中， 求电位移矢
取点 q 所在之点为坐标原点，则
D q r 3 4 r
量 D 在任何一点 M 处的散度 divD
其中 r xi yj zk, r r ， 故 divD 0 (r 0) 。 说明除 q
当 divA 0 时，称矢量场 A(M ) 为无源场。
定义 3 （散度场） 矢量场中每一点处的散度构成的 数量场，称为矢量场产生的散度场
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
定理 1
在直角坐标系下，矢量场
A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z)k
A dl Pdx Qdy Rdz
l l
沿曲线 l 所给方向的环量为
( P cos Q cos R cos )dl
l
其中 cos , cos , cos 是与 l 同方向的切线矢量 t 的
方向余弦。
第 四 节 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度
dQ vn dS v n 0dS v dS
0 n 其中 为 S 上点 M 处的单位法矢量。故流量
Q vn dS v dS
S S
例如： 在电位移矢量 D 分布的电场中， 穿过曲面 S 的电通量为： e S Dn dS S D dS 在磁感应强度矢量 B 分布的磁场中，穿过曲 面 S 的磁通量为： m S Bn dS S B dS
q e S D dS 4 R 2 q S r n dS 4 R 2
0 0
r 0 的方向一致（ r 0 n0 = 1 ） ，所以

S
dS q
可见，在球面 S 内产生电通量 e 的源就是电场中 的电荷 q 。
M
n
r0 q
S
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
12 5 3 ( x y z )dV a 5
2 2 2
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
例 5
2 2 2 2 S x y z a ( z 0) ，求矢量场 设曲面 为
r xi yj zk 向上穿过 S
的通量。
解法 1
r dS xdydz ydzdx zdxdy
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
§3 矢量场的通量与散度 预备知识
简单曲线：设连续曲线的参数方程为
C : x x(t ), y y(t ), z z (t )
若曲线上每一点都只对应一个参数值 t（除闭合曲 线的闭合点） ，则称曲线是简单曲线 （一条无重点的连续曲线，一般指分段光滑）
divA lim lim M V M

SA dSV称为矢量场 A(M ) 在点 M 处的散度，也称其为该点 处场源的强度。
第 三 节 矢 量 场 的 通 量 与 散 度
当 divA 0 时，称矢量场 A(M ) 为有源场
divA 0 ， divA 表示在该点处散发通量的强度 divA 0 ， divA 表示在该点处吸收通量的强度
因此， 当质点沿封闭的曲线 l 正向运转一周时， 场力 F 所做的功
W Ft dl F dl
l l
第