数字信号处理常用公式(不惧怕繁琐的推导)

数学信号处理基本公式
1、傅里叶变换定义
连续正变换：X (jω)=∫x (t )e −jωt dt ∞
−∞ 连续反变换：x (t )=1
2π∫X (jω)e jωt dω∞
−∞ 离散正变换：21
0()(),0,1,
,1N j
nk N
N N n X k x n W
W e
k N π--==
==-∑
离散反变换：210
1
()(),0,1,,1N j nk N
N N n x n X k W
W e
n N N
π---==
==-∑
2、傅里叶变换性质
线性：[])]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([0
0t f F e
t t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-.
尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([a
F a at f F ω=
. 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞
→t f t
)]([)()]([)
(t f F j t f
F n n ω=，要求()lim ()0(1,2,
1)k t f t k n →+∞
==-
积分：)]([1
])([
t f F j dt t f F t
ω
=
⎰
∞
-，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰
帕塞瓦尔等式：
()
2
2
1
()()2f t dt F d ωωπ
+∞
+∞
-∞-∞
=
⎰⎰
，)]([)(t f f F =ω
频率位移：若()ωj e X n x ⇔)(,则()()
00)(ωωω-⇔j n
j e X n x e
时间共轭：若()ωj e X n x ⇔)(,则(),)(*
*
ω
j e X n x -⇔
频率共轭：若()ω
j e
X n x ⇔)(,则()ω
j e X n x *
*
)(⇔-
序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<<⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎰y x y x c R R z R R dv v v z Y v X j z W 1
)(21)(π
输入)cos()(ϕω+=n A n x ,则输出响应为：()()[]
)()(2
)(ϕωωϕωω+--++=n j j n j j e e H e e H A
n y 输入12()()()x n x n x n =+,则输出响应为：()()()()()2j j n j j n A
y n H e e H e e ωωϕωωϕ+--+⎡⎤=+⎣
⎦
3、傅立叶级数
满足狄利克雷条件的周期函数可由三角函数的线性组合表示：
()f t 的周期为1T ，11
2T π
ω=
其中：()00011t T t a f t dt T +=
⎰；()()010112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰；()()01
011
2sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 指数形式的付里叶级数表示：
0111
()[()sin()](5)n n n f t a a cos n n b n n ωω∞
==++-----∑
由欧拉公式：1111()()2jn t
jn t cos n n e e ωωω-=+；
1111sin()()2jn t jn t n n e e j ωωω-=+ 4、随机信号定义
4.1均值、方差 离散均值：{}x k
k k
E X x
p μ==
∑ 连续均值：{}()x E X xp x dx μ∞
-∞
==
⎰
离散方差：2
2
2{||}||X X k
X k k
E X x
p σμμ=-=
-∑
连续方差：2
2
2
{||}||()X X X E X x p x dx σ
μμ∞
-∞
=-=
-⎰
4.2相关函数的定义 互相关: ()()()xy n r m x n y n m ∞
=-∞
=
+∑ 自相关: ()()()xx
n r
m x n x n m ∞
=-∞
=
+∑
()()()()()
()()()()011112121110111
cos sin cos 2sin 2cos sin .................cos sin ..n n n n n f t a a t b t a t b t a n t b n t a a n t b n t ωωωωωωωω∞==+++++
+++
=++⎡⎤⎣⎦∑（
1）
有限点自相关函数估计值为：1
1
()()()
N N
N n r m x
n x n m N
-∧
==
+∑
平稳随机过程的互相关函数: ()[()()]xy r m E x n y n m *=+ 自相关: ()[()()]xx r m E x n x n m =+ 4.3功率谱
自功率谱：()()j j m
X x
m P e r m e
ω
ω∞
-=-∞
=
∑ 互功率谱：()()j j m XY xy
m P e r
m e ω
ω∞
-=-∞
=
∑
注意：功率信号的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换：
P x (e jω)=∑r x e −jωm ∞
m=−∞
5、三角函数变换
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ；cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tanA tanB tan(A+B) =
1-tanAtanB +；tanA tanB
tan(A-B) =1tanAtanB -+
cotAcotB-1cot(A+B) =
cotB cotA +；cotAcotB 1
cot(A-B) =cotB cotA +- 倍角公式
2
2tanA tan2A =
1tan A
-；sin2A=2sinA cosA ；Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2
A 三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3；cos3A = 4(cosA)3
-3cosA
a a tan3a = tana tan(
+a)tan(-a)33
和差化积
sina+sinb=2sin
cos 22a b a b +-；sina-sinb=2cos sin
22a b a b
+- cosa+cosb = 2cos cos 22a b a b +-；cosa-cosb = -2sin sin
22
a b a b
+- sin()
tana+tanb=cos cos a b a b
+
积化和差
1sinasinb =[cos(a+b)-cos(a-b)]2-， 1
cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]2
1 sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)]2，1
cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]2
诱导公式 ：
sin(-a) = -sina;cos(-a) = cosa;sin(
-a) = cosa;cos(
-a) = sina 2
2
π
π
sin(
+a) = cosa;cos(
+a) = -sina 22
ππ
sin(-a) = sina,cos(-a) = -cosa ππ
sin(+a) = -sina;cos(+a) = -cosa ππ
22
a a a a
1+sin(a) =(sin +cos );1-sina=(sin -cos )2222 函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m 欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e e x e e x x i x e 或。