数字信号处理常用公式(不惧怕繁琐的推导)

数学信号处理基本公式

1、傅里叶变换定义

连续正变换：X (jω)=∫x (t )e −jωt dt ∞

−∞ 连续反变换：x (t )=1

2π∫X (jω)e jωt dω∞

−∞ 离散正变换：21

0()(),0,1,

,1N j

nk N

N N n X k x n W

W e

k N π--==

==-∑

离散反变换：210

1

()(),0,1,,1N j nk N

N N n x n X k W

W e

n N N

π---==

==-∑

2、傅里叶变换性质

线性：[])]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([0

0t f F e

t t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-.

尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([a

F a at f F ω=

. 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞

→t f t

)]([)()]([)

(t f F j t f

F n n ω=，要求()lim ()0(1,2,

1)k t f t k n →+∞

==-

积分：)]([1

])([

t f F j dt t f F t

ω

=

⎰

∞

-，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰

帕塞瓦尔等式：

()

2

2

1

()()2f t dt F d ωωπ

+∞

+∞

-∞-∞

=

⎰⎰

，)]([)(t f f F =ω

频率位移：若()ωj e X n x ⇔)(,则()()

00)(ωωω-⇔j n

j e X n x e

时间共轭：若()ωj e X n x ⇔)(,则(),)(*

*

ω

j e X n x -⇔

频率共轭：若()ω

j e

X n x ⇔)(,则()ω

j e X n x *

*

)(⇔-

序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<<⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

⎰y x y x c R R z R R dv v v z Y v X j z W 1

)(21)(π

输入)cos()(ϕω+=n A n x ,则输出响应为：()()[]

)()(2

)(ϕωωϕωω+--++=n j j n j j e e H e e H A

n y 输入12()()()x n x n x n =+,则输出响应为：()()()()()2j j n j j n A

y n H e e H e e ωωϕωωϕ+--+⎡⎤=+⎣

⎦

3、傅立叶级数

满足狄利克雷条件的周期函数可由三角函数的线性组合表示：

()f t 的周期为1T ，11

2T π

ω=

其中：()00011t T t a f t dt T +=

⎰；()()010112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰；()()01

011

2sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 指数形式的付里叶级数表示：

0111

()[()sin()](5)n n n f t a a cos n n b n n ωω∞

==++-----∑

由欧拉公式：1111()()2jn t

jn t cos n n e e ωωω-=+；

1111sin()()2jn t jn t n n e e j ωωω-=+ 4、随机信号定义

4.1均值、方差 离散均值：{}x k

k k

E X x

p μ==

∑ 连续均值：{}()x E X xp x dx μ∞

-∞

==

⎰

离散方差：2

2

2{||}||X X k

X k k

E X x

p σμμ=-=

-∑

连续方差：2

2

2

{||}||()X X X E X x p x dx σ

μμ∞

-∞

=-=

-⎰

4.2相关函数的定义 互相关: ()()()xy n r m x n y n m ∞

=-∞

=

+∑ 自相关: ()()()xx

n r

m x n x n m ∞

=-∞

=

+∑

()()()()()

()()()()011112121110111

cos sin cos 2sin 2cos sin .................cos sin ..n n n n n f t a a t b t a t b t a n t b n t a a n t b n t ωωωωωωωω∞==+++++

+++

=++⎡⎤⎣⎦∑（

1）