第一章 1.1.1(二)

研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（二）
探究1 在△ABC中，已知a，b和A，若A为直角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关系式
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a≤b
a＞b
图形
解的个数
无解
一解
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1.1.1（二）
探究2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关系式
bsin A<a<b 两解(一锐 角,一钝角)
a≥b 一解(锐角)
a>b 一解(锐角)
2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角 形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一 为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
解 设方程的两根为x1、x2，
x1＋x2＝bcos A， 由根与系数的关系得 x1x2＝acos B，
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∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0. ∵A、B为△ABC的内角， ∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π.
(1)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c ； a＋b＋c a b c (2) ＝ ＝ ＝ ＝ ； sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C 2R (3)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a c b (4)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R，sin C＝ 2R.
∴A－B＝0，即A＝B. 故△ABC为等腰三角形．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.1（二）
1．在△ABC 中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60° ，则 C＝ 75° .
解析 2 6 2 由正弦定理得 ＝ ，∴sin A＝ . sin A sin 60° 2
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∵BC＝2<AC＝ 6，∴A为锐角．
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1.1.1（二）
探究点一 问题
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正弦定理的几何解释
如图所示，在 Rt△ABC 中，斜边 c 等于 a Rt△ABC 外接圆的直径 2R，故有 ＝ sin A b c ＝ ＝2R，这一关系对任意三角形 sin B sin C 也成立吗？
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解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， a b c ∴sin A＝sin B＝sin C＝2R＝2， a b 2c ∴sin A＋2sin B＋sin C＝2＋1＋4＝7.
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1.1.1（二）
探究点二 已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个
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数 问题 我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及 其中一边的对角往往得出不同情形的解， 有时一解， 有时 两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？
所以等式成立．
小结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角 与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．
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1.1.1（二）
跟踪训练 1
在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC 三边 2c a b 长分别为 a，b，c，则 ＋ ＋ ＝ 7 . sin A 2sin B sin C
＝2R恒成立．
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1.1.1（二）
a－ccos B sin B 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . b－ccos A sin A a b c 证明 因为 ＝ ＝ ＝2R，所以 sin A sin B sin C
2Rsin A－2Rsin Ccos B sinB＋C－sin Ccos B 左边＝ ＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos A sinA＋C－sin Ccos A sin Bcos C sin B ＝sin Acos C＝sin A＝右边．
a b 解析 由正弦定理sin A＝sin B， 3 1 1 可得sin 60° ＝sin B，∴sin B＝2，
故∠B＝30° 或150° .由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30° ，故∠C＝90° ，
由勾股定理得c＝2.
(B
)
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例3
1.1.1（二）
在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
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b 10 3 5 3 (2)sin B＝asin 60° ＝ × ＝ ， 9 2 9
3 5 3 而 < <1，所以当B为锐角时， 2 9
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1.1.1（二）
5 3 满足sin B＝ 9 的角有60° <B<90° ，
故对应的钝角B有90° <B<120° ，
探究1 如图所示，锐角三角形ABC和它的 a 外接圆O，外接圆半径为R，等式 sin A b c ＝ ＝ ＝2R成立吗？ sin B sin C
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1.1.1（二）
证明 如图，因为△ABC为锐角三角形， 连接BO交圆O于D，连接CD.
a a 因为∠A＝∠D，则在△BCD中，sin A＝sin D＝2R. b c 同理，sin B＝sin C＝2R， a b c 所以sin A＝sin B＝sin C＝2R成立．
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( C．2 D．不确定
A)
A．3
B. 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得 a 3 ＝6＝2R， sin A＝sin 150°
∴R＝3.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.1（二）
a b c 1．正弦定理： ＝ ＝ ＝2R 的常见变形： sin A sin B sin C
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1.1.1（二）
3．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120° ；
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(2)a＝9，b＝10，A＝60° ； (3)c＝50，b＝72，C＝135° .
b 4 3 3 解 (1)sin B＝asin 120° ＝5× 2 < 2 ， 所以三角形有一解．
一解
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【典型例题】
1.1.1（二）
例 2 已知一三角形中 a＝2 3，b＝6，A＝30° ，判断三角形是 否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° .
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又因为bsin A＝6sin 30° ＝3，a>bsin A，
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1.1.1（二）
小结
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已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先
求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的 情况加以讨论．
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1.1.1（二）
跟踪训练 2 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 已知 A＝60° ，a＝ 3，b＝1，则 c 等于 A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
D
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探究 2 如图所示，钝角三角形 ABC，A 为钝 角，圆 O 是它的外接圆，半径为 R，等式 a b c ＝ ＝ ＝2R 还成立吗？ sin A sin B sin C
证明 如图，当△ABC为钝角三角形时，
1.1.1（二）
连接BO交圆O于D，连接CD， a a a ∠A＝180° －∠D，所以 ＝ ＝ ＝2R. sin A sin180° －D sin D b c 同理，sin B＝sin C＝2R， a b c 所以sin A＝sin B＝sin C＝2R仍成立． a b c 小结 综上所述，对于任意△ABC， sin A ＝ sin B ＝ sin C
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1.1.1（二）
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时 三角形解的情况比较复杂，可能无解，也可能一解或两解.例 如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
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A为 锐角 A为直角 或钝角
a<bsin A a＝bsin A 无解 一解(直角) a≤b 无解
也满足A＋B<180° ，故三角形有两解． bsin C 72 2 (3)sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 ，所以B>45° ，
所以B＋C>180° ，故三角形无解．
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.1（二）
4．在△ABC 中，若 sin A>sin B，则角 A 与角 B 的大小关系 为 (
∴A＝45° .∴C＝75° .
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1.1.1（二）
2π 2．在△ABC 中，b＝1，c＝ 3，C＝ ，则 a＝ 1 3
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.
3 1 解析 由正弦定理，得 ＝ ， 2π sin B sin 3 1 ∴sin B＝2.∵C为钝角，
π π ∴B必为锐角，∴B＝6，∴A＝6.∴a＝b＝1.
所以本题有两解，由正弦定理得， bsin A 6sin 30° 3 sin B＝ ＝ ＝ ，故B＝60° 或120° . a 2 2 3
当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ a2＋b2＝4 3；
当B＝120° 时，C＝30° ，c＝a＝2 3.
所以B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3或B＝120° ，C＝30° ，c＝2 3.