二元方程组
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。
二元二阶微分方程组
二元二阶微分方程组1. 引言微分方程是数学中重要的概念之一，它描述了变量之间的关系以及随时间或空间变化的规律。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时满足微分方程的情况，这就引出了二元二阶微分方程组。
本文将介绍二元二阶微分方程组的定义、解法和应用，并通过具体例子进行说明。
2. 定义二元二阶微分方程组是指包含两个未知函数、两个独立变量以及它们的导数和二阶导数的方程组。
一般形式如下：{F(x,y,dydx,d2ydx2,t)=0 G(x,y,dydx,d2ydx2,t)=0其中，x和y是独立变量，dydx 和d2ydx2是关于x的函数y(x)的一阶和二阶导数，t表示时间。
3. 解法解决二元二阶微分方程组可以采用多种方法，常见的有代入法、变量分离法和参数代换法。
下面将分别介绍这三种方法的基本思想和具体步骤。
3.1 代入法代入法是将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知函数的一阶微分方程。
具体步骤如下：1.设已知方程组为：{F(x,y,dydx,d2ydx2,t)=0 G(x,y,dydx,d2ydx2,t)=02.假设已知方程F(x,y,dydx ,d2ydx2,t)=0的解为y=f(x)，将其代入另一个方程G(x,y,dydx ,d2ydx2,t)=0中，得到只包含未知函数f(x)及其导数的一阶微分方程。
3.求解得到一阶微分方程的解f(x)。
4.将f(x)代回原方程组中，求解得到另一个未知函数。
3.2 变量分离法变量分离法是通过将二元二阶微分方程组中的两个未知函数分别放在等式两侧，将其变量分离，从而得到两个一阶微分方程。
具体步骤如下：1.设已知方程组为：{F(x,y,dydx,d2ydx2,t)=0 G(x,y,dydx,d2ydx2,t)=02.将方程组中的未知函数分别放在等式两侧，得到：F(x,y,dydx,d2ydx2,t)=G(x,y,dydx,d2ydx2,t)3.将x和y的导数项移到等式两侧，并对x和y进行分离。
二元二次方程组解法例说
二元二次方程组解法例说1.消元法：通过将其中一个方程的两边进行相减或相加，消去其中一个未知数，从而得到另一个含有一个未知数的一次方程。
然后带入到另一个方程中，即可求得另一个未知数的值。
最后再将求得的值带回原方程组中，即可求得两个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：{x^2+y^2=25(1){x+y=7(2)首先，我们可以通过将式(2)两边乘以2，得到2x+2y=14然后，将这个式子与式(1)相减，得到：x^2+y^2-(2x+2y)=25-14，即x^2-2x+y^2-2y=11、化简后，得到：x^2-2x+y^2-2y-11=0。
接下来，我们可以将这个方程进行配方法，得到：(x-1)^2-1+(y-1)^2-1-11=0。
化简后，得到：(x-1)^2+(y-1)^2=13于是，我们得到了一个含有未知数x和y的一次方程。
我们可以选择将解析几何的知识来解决这个方程。
或者，我们也可以通过将这个方程与式(2)相减，得到(x-1)^2+(y-1)^2-(x+y)=0。
化简后，得到：(x-1)^2-x-(y-1)^2-y=0。
最后，我们可以将这个方程展开，得到：x^2-2x+1-x-y^2+2y-1-y=0。
化简后，得到：x^2-3x-y^2+y=0。
现在我们得到了一个新的只含有x和y的二次方程，我们可以使用求解一元二次方程的方法，求解这个方程，从而得到x和y的值。
最后，将求得的值带回原方程组中，即可求得方程组的解。
2.代入法：通过将其中一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的二次方程。
求解这个二次方程，可以得到一个未知数的值。
然后将这个值带回到原方程组中，可以求得另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：{ x^2 - 2xy + y^2 = 4 (1){x+y=4(2)我们可以将式(2)表示为x=4-y，然后将其代入式(1)中，得到：(4-y)^2-2(4-y)y+y^2=4化简后，得到：16-8y+y^2-8y+2y^2+y^2=4、合并同类项，得到：4y^2-16y+12=0。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。
二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。
解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。
假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。
重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。
我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。
当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。
无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。
二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。
解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
二元二次方程和方程组及其解法
21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值； ④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法 (1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（ ）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（ ）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次 代入 【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ， 把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3， 把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7， 即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③ 得:y=1把x=94代入④ 得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次 消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。
二元二次方程组经典例题
二元二次方程组经典例题二元二次方程组，这听起来是不是有点高大上？它就像你生活中的小麻烦，随时可能出现，得好好处理一下。
想象一下，某天你在街上遇到一个老朋友，聊着聊着，你们说到买房子的事。
老朋友说他想买个房子，结果发现，房子的价格和面积都是变量，就像那二元二次方程中的x和y。
于是，你俩一拍即合，决定用数学来解决这个“买房危机”。
你可能会觉得，哎呀，数学我最怕了。
可别着急，二元二次方程组其实并不复杂。
比如，有一个方程叫做y = ax² + bx + c，听上去很深奥，其实就像是你做饭时加的调料。
a、b、c分别代表了不同的调料，不同的比例，最后的味道才会不同。
我们把这些方程组结合起来，就能找到解决问题的钥匙。
想象一下，你和朋友一起决定，先写下两个方程，一个是房子的价格，另一个是面积。
然后你们就像侦探一样，开始破解这个数学谜题。
解方程就像解密游戏，先找到一个方程，弄明白它的意思，再去寻找另一个方程。
然后，就可以代入、消元，简简单单，就能找到x和y的值。
就好像打开了一扇门，瞬间看到光明的未来，房子终于在眼前了。
这里面有个小技巧，就是代入法和消元法。
就好比你跟朋友讨论，谁要去买零食，最后决定一个人去，那另一个人就可以省力。
你先算出一个变量，再把它代入另一个方程，哇，仿佛像在游戏中找到了一条捷径。
结果出来的那个x和y，就是你们的最终目标，房子的价格和面积都找到了。
做二元二次方程组的时候，咱们得注意一个事情，就是可能会有多个解。
就像生活中，我们可能有很多选择。
每个选择都有好坏之分，而方程的解也是如此。
有时候解出来的结果会让你眉头紧锁，有时候又会让你眉开眼笑。
选择就像一个游戏，有时候你得冒险，有时候你得稳妥，要做出最优的选择。
再说了，解二元二次方程的过程中，最重要的就是保持心态平和。
遇到困难，不要慌，深呼吸，理清思路。
就像一场马拉松，绝对不能中途放弃。
即使再复杂的方程，最终都能化为简单的答案。
人生不也如此吗？总会有难题，但只要你用心去解，总能找到属于自己的方向。
二元二阶微分方程组
二元二阶微分方程组摘要：一、引言二、二元二阶微分方程组的定义三、二元二阶微分方程组的分类1.线性二元二阶微分方程组2.非线性二元二阶微分方程组四、二元二阶微分方程组的解法1.常数变易法2.线性化方法3.常微分方程的数值解法五、二元二阶微分方程组在实际应用中的案例六、总结正文：一、引言二元二阶微分方程组是数学领域中的一种重要方程组，广泛应用于物理、化学、生物等各个领域。
本文将对二元二阶微分方程组进行详细的介绍，包括其定义、分类、解法以及在实际应用中的案例。
二、二元二阶微分方程组的定义二元二阶微分方程组是指包含两个未知函数及其导数的二阶微分方程组。
形式上，它可以表示为：M(x, y) dx + N(x, y) dy + P(x, y) dx dy = 0其中，M(x, y)、N(x, y) 和P(x, y) 都是已知函数。
三、二元二阶微分方程组的分类1.线性二元二阶微分方程组当M(x, y)、N(x, y) 和P(x, y) 都是线性函数时，二元二阶微分方程组被称为线性二元二阶微分方程组。
线性二元二阶微分方程组的解法相对简单，可以使用常数变易法、线性化方法等。
2.非线性二元二阶微分方程组当M(x, y)、N(x, y) 和P(x, y) 中至少有一个是非线性函数时，二元二阶微分方程组被称为非线性二元二阶微分方程组。
非线性二元二阶微分方程组的解法通常较为复杂，需要运用更为高级的数学方法。
四、二元二阶微分方程组的解法1.常数变易法常数变易法是一种求解线性二元二阶微分方程组的方法。
它的基本思想是将方程组进行变量替换，将二元方程组转化为一个一元方程，从而求解未知函数。
2.线性化方法线性化方法是一种求解非线性二元二阶微分方程组的方法。
它的基本思想是将非线性方程组进行变量替换，将其转化为一个线性方程组，从而求解未知函数。
3.常微分方程的数值解法对于复杂的二元二阶微分方程组，可以采用常微分方程的数值解法进行求解。
二元二次方程组定义
二元二次方程组定义
【实用版】
目录
1.二元二次方程组的定义
2.二元二次方程组的解法
3.二元二次方程组的应用
正文
【二元二次方程组的定义】
二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程组，一般形式为：ax + by = c
dx + ex + f = 0
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，且 a、d≠0。
这里的二次方程是指未知数的最高次数为 2 的方程，而二元是指方程组包含两个未知数。
【二元二次方程组的解法】
解二元二次方程组有多种方法，其中比较常见的方法有代入法、消元法和韦达定理。
1.代入法：先从一个方程中解出一个未知数，然后将其代入另一个方程，从而将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
2.消元法：通过加减消元或乘除消元，将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + by = c，其解的和与积分别满足以下关系：
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
通过韦达定理，我们可以求得二元二次方程组中未知数的和与积，从而进一步求得解。
【二元二次方程组的应用】
二元二次方程组在实际生活中有广泛的应用，例如在物理、化学、地理、经济等领域。
一个典型的例子是求解两个物体在重力作用下的运动轨迹，可以建立一个二元二次方程组来描述这个问题。
此外，在图像处理中，二元二次方程组也可以用来求解图像的坐标点。
二元二次方程组解题步骤
二元二次方程组解题步骤1. 二元二次方程组的基本概念首先，二元二次方程组可不是那么可怕，咱们可以把它理解成两个方程，里面有两个未知数，通常用 (x) 和 (y) 表示。
比如说，你可能遇到这样的方程组：begin{casesy = ax^2 + bx + cy = dx^2 + ex + fend{cases听起来很复杂，其实就是把一个曲线和一个抛物线放在一起，看看它们的交点在哪里。
没错，就是那种“缘分”让它们相遇的地方。
咱们的目标就是找出这些交点，简单吧？1.1 理解方程的构成每个二元二次方程都有个标准的格式，咱们得先把它们理解透。
第一个方程的 (a), (b), 和 (c) 就是系数，分别代表二次项、一次项和常数项。
二次方程就是“抛物线”的老大，这玩意儿开口朝上还是朝下，全靠 (a) 的符号。
注意了，如果 (a > 0)，开口朝上；如果(a < 0)，那就是朝下，跟人的情绪似的，时而阳光明媚，时而阴云密布。
1.2 设置方程好了，知道了这些基本概念之后，我们就要进入解题的阶段。
首先，我们得把这两个方程都化为 (y) 的形式，便于比较。
这就像咱们先把食材准备齐全，再开始做菜。
接下来，咱们要做的就是把两个方程相等，设定一个新的方程，这样一来，二元二次方程组就化身为一元二次方程。
简直是“化腐朽为神奇”啊！2. 解一元二次方程有了新方程，接下来就是找根了。
咱们可以用求根公式：x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a。
哎呀，听起来有点复杂，但其实只要好好算，一切都不是问题。
我们得先算判别式(b^2 4ac)。
如果判别式大于零，说明方程有两个不相等的实根；如果等于零，只有一个实根；小于零，那就得准备好安慰剂了，因为没有实根。
2.1 代入找 (y) 值算出 (x) 的值后，别急着高兴，接下来得把这个 (x) 代回任一方程中，找到对应的(y) 值。
这样一来，你就可以获得每一个交点的坐标了。
高中数学教案：解二元二次方程组的方法
高中数学教案：解二元二次方程组的方法解二元二次方程组的方法一、引言在高中数学的学习过程中，解二元二次方程组是一个常见的问题。
解二元二次方程组的方法有很多种，这些方法可以帮助我们找到方程组的解。
本文将介绍几种常用的方法来解二元二次方程组。
二、方法一：代入法代入法是解二元二次方程组的常用方法之一。
该方法通过先将其中一个方程中的一个变量表示成另一个变量的式子，再将其代入另一个方程中，从而将方程组化为一个关于一个变量的一元二次方程，然后通过求解这个一元二次方程求得变量的值，再带入到另一个方程中，从而求得另一个变量的值。
具体步骤如下：1. 将其中一个方程中的一个变量表示成另一个变量的式子，如将方程组中的x 表示成y的式子。
2. 将所得到的表达式代入另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
3. 解这个一元二次方程，得到y的值。
4. 将y的值带入到另一个方程中，得到x的值。
5. 得到方程组的解。
三、方法二：消元法消元法也是一种常用的解二元二次方程组的方法。
该方法通过逐一消去两个方程中的同一变量，从而将方程组化为一个关于一个变量的一元二次方程，然后通过求解这个一元二次方程求得变量的值，再带入到另一个方程中，从而求得另一个变量的值。
具体步骤如下：1. 选择一个变量，通过两个方程中的系数的比较确定该变量的倍数关系，使得两个方程中变量的系数相同或相反。
2. 将两个方程相减（或相加），消去这个变量，得到一个关于另一个变量的一元二次方程。
3. 解这个一元二次方程，得到一个变量的值。
4. 将该变量的值代入任意一个方程中，得到另一个变量的值。
5. 得到方程组的解。
四、方法三：配方法配方法也是一种常用的解二元二次方程组的方法。
该方法通过将一个方程中的一个变量表示成另一个变量的式子，然后将其代入到另一个方程中，并进行配方，从而将方程组化为一个关于一个变量的一元二次方程，然后通过求解这个一元二次方程求得变量的值，再带入到另一个方程中，从而求得另一个变量的值。
二元二阶微分方程组
二元二阶微分方程组标题:"二元二阶微分方程组"简介:本文介绍了二元二阶微分方程组的基本概念、解法和实际应用，以帮助读者理解和应用这一重要的数学概念。
正文:微分方程是数学中重要的研究领域之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
而二元二阶微分方程组是微分方程的一种特殊形式，它包含两个未知函数和两个独立变量的方程组。
本文将介绍二元二阶微分方程组的基本概念、解法和实际应用。
首先，我们来了解二元二阶微分方程组的基本概念。
二元二阶微分方程组由两个同变量的二阶微分方程组成，通常表示为：dx²/dt²=f(x,y,dx/dt,dy/dt)dy²/dt²=g(x,y,dx/dt,dy/dt)其中，x和y是未知函数，t是独立变量。
f和g是已知的函数，它们描述了x和y以及它们的导数如何随时间变化。
其次，我们将讨论二元二阶微分方程组的解法。
对于给定的f和g，我们可以使用不同的方法来求解这个方程组。
常见的解法包括直接解法、变量分离法、参数化方法和级数展开法。
通过这些方法，我们可以找到方程组的特解或通解，进而得到x和y的具体表达式。
最后，我们将探讨二元二阶微分方程组在实际应用中的重要性。
这类方程组在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
例如，它们可以用于描述振动系统、电路中的电流变化、经济模型中的供需关系等。
通过求解二元二阶微分方程组，我们可以预测和解释这些现象的变化规律，从而为科学研究和实际问题的解决提供有力的工具。
总结起来，二元二阶微分方程组是微分方程的一种特殊形式，它由两个同变量的二阶微分方程构成。
通过求解这类方程组，我们可以得到未知函数的特解或通解，并应用于实际问题的解决。
掌握二元二阶微分方程组的求解方法对于深入理解数学和应用科学非常重要，希望本文对您有所帮助。
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二元线性方程组专题
二元线性方程组专题1. 概述二元线性方程组是由两个变量和两个线性方程组成的方程组。
解决二元线性方程组的目标是找到满足这两个方程同时成立的变量值。
本文档将介绍解二元线性方程组的基本步骤和常用方法。
2. 解二元线性方程组的基本步骤解二元线性方程组的基本步骤如下：步骤一：列出方程组将给定的二元线性方程组写成标准形式，即将变量的系数与常数项整理到等式的两边，使得方程组呈现形如：ax + by = cdx + ey = f步骤二：选择合适的消元方法根据方程组的特点选择合适的消元方法，常见的消元方法有代入法、加减法和乘法。
- 代入法：从一个方程中解出其中一个变量，然后将其代入另一个方程，得到一个只包含一个变量的方程。
通过解这个方程可以求得其中一个变量的值，然后再代入原方程组求得另一个变量的值。
- 加减法：可以通过加减两个方程来消去其中一个变量的系数，得到一个只包含另一个变量的方程。
然后通过解这个方程可以求得其中一个变量的值，进而求得另一个变量的值。
- 乘法：可以通过乘以适当的倍数，使得两个方程中某个变量的系数相等或者相反。
然后通过相减操作可以消去这个变量的系数，得到一个只包含另一个变量的方程。
再通过解这个方程可以求得其中一个变量的值，进而求得另一个变量的值。
步骤三：解方程组根据所选的消元方法，对方程组进行计算和简化，得到一个只包含一个变量的方程。
通过解这个方程可以求得其中一个变量的值，然后代入其他方程求得另一个变量的值。
步骤四：验证解的正确性将求得的变量值代入原方程组中，验证方程组的每个等式是否成立。
如果所有等式成立，则所求解为方程组的解；如果有某个等式不成立，则所求解不是方程组的解。
3. 常用方法举例下面举例介绍几种常用的解二元线性方程组的方法。
3.1 代入法已知方程组：2x + 3y = 7x - y = 1从第二个方程中解出 x，得到 `x = y + 1`。
将其代入第一个方程：2(y + 1) + 3y = 7化简，得到 `5y = 5`，解得 `y = 1`。
初中解二元二次方程组
初中解二元二次方程组在解二元二次方程组之前，我们首先要了解什么是二元二次方程组。
二元二次方程组是指一组含有两个未知数的二次方程组合。
一般形式为：\[\begin{cases}ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0 \\fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0 \\\end{cases}\]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数。
解二元二次方程组的关键是找到未知数x和y的取值，使得方程组中的所有方程都成立。
下面我们将介绍两种常见的方法来解决二元二次方程组。
方法一：代入法使用代入法解决二元二次方程组的基本思路是，用一个方程的解（或其中一个未知数的值）代入另一个方程，从而将方程组化简为一个一元二次方程。
假设我们有以下二元二次方程组：\[\begin{cases}2x^2 - 3y^2 + 4x - 5y = 7 \\3x^2 + 5y^2 - 8x + 6y = 12 \\\end{cases}\]我们可以选择其中一个方程，如第一个方程，将其中的x表示成关于y的方程：\[x = \frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\]然后将这个x的表达式代入第二个方程中，得到一个关于y的一元二次方程：\[3\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right)^2 + 5y^2 -8\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right) + 6y = 12\]化简上述方程，可得：\[y^2 - 4y + 3 = 0\]解这个一元二次方程，我们可以得到两个y的解，假设为y₁和y₂。
将这两个y的解代入刚刚我们得到的关于x的方程中，即可求得对应的x的解。
方法二：消元法消元法是另一种解二元二次方程组的常用方法。
基本思路是通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为一个关于另一个未知数的一元二次方程。
二维方程组和二元方程组
二维方程组和二元方程组在数学中，二维方程组和二元方程组是解析几何和代数学中的重要概念。
二维方程组是由两个二次方程组成的方程组，而二元方程组则是由两个含有两个未知数的方程组成。
这些方程组可以用来描述平面上的点和直线之间的关系。
二维方程组的解析可以通过图形方法或代数方法来求解。
图形方法利用平面上的点和直线的几何关系来解方程组。
例如，对于方程组y = x^2和y = 2x + 1，可以通过将两个方程的图像绘制在平面上，并找到它们的交点来求解方程组。
交点的坐标就是方程组的解。
另一种方法是代数方法，通过代数运算来解方程组。
通过代数方法，可以将方程组转化为等价的形式，进而求解未知数的值。
例如，对于方程组x^2 + y^2 = 25和x + y = 7，可以通过将第二个方程改写为y = 7 - x，然后将其代入第一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
求解这个方程就可以得到方程组的解。
二元方程组的解析也可以通过类似的方法来求解。
例如，对于方程组2x + 3y = 10和3x - 2y = 5，可以通过图形方法或代数方法来求解。
利用图形方法，可以绘制两条直线的图像，并找到它们的交点来求解方程组。
代数方法则是通过代数运算来转化方程组，并求解未知数的值。
二维方程组和二元方程组的解析在数学中有着广泛的应用。
它们可以用于解决几何问题、物理问题以及工程问题。
通过解析方法，我们可以更加深入地理解平面上的点和直线之间的关系，以及未知数之间的约束条件。
这为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具。
二维方程组和二元方程组的解析是数学中重要的概念和工具。
通过图形方法和代数方法，我们可以求解这些方程组，并应用它们来解决各种实际问题。
这些方法不仅丰富了我们的数学知识，也提高了我们的问题解决能力。
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二元一次方程组练习题一、选择题：1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1x+4y=6 D．4x=24y-2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228 423119 (23754624)x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+= +=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩3．二元一次方程5a－11b=21 （）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）A．3333...2422 x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）A．－1 B．－2 C．－3 D．3 26．方程组43235x y kx y-=⎧⎨+=⎩的解与x与y的值相等，则k等于（）7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+xA．1 B．2 C．3 D．48．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（）A．246246216246... 22222222 x y x y x y x yB C Dy x x y y x y x+=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩二、填空题9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x 为：x=________．10．在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．12．已知2,3xy=-⎧⎨=⎩是方程x－ky=1的解，那么k=_______．13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．15．以57xy=⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________．16．已知2316x mx yy x ny=-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．三、解答题17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）•有相同的解，求a的值．18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？19．二元一次方程组437(1)3x ykx k y+=⎧⎨+-=⎩的解x，y的值相等，求k．20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？21．已知方程12x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，•使它与已知方程所组成的方程组的解为41 xy=⎧⎨=⎩．22．根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？23．方程组2528x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组2528x yx y+=⎧⎨-=⎩的解？24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？答案：一、选择题1．D 解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．2．A 解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．3．B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．4．C 解析：用排除法，逐个代入验证．5．C 解析：利用非负数的性质．6．B7．C 解析：根据二元一次方程的定义来判定，•含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．8．B二、填空题9．424332x y--10．43－1011．43，2 解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=43，n=2．12．－1 解析：把2,3xy=-⎧⎨=⎩代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．13．4 解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，∴x=1，y=－12，把112xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩代入方程2x－ky=4中，2+12k=4，∴k=1．14．解：12344321 x x x xy y y y====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；当x=3，y=2；当x=4时，y=1．∴x+y=5的正整数解为12344321 x x x xy y y y====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩15．x+y=12 解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，此题答案不唯一．16．1 4 解析：将2316x mx yy x ny=-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩代入方程组中进行求解．三、解答题17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，∵方程3x+5y=•－•3•和3x－2ax=a+2有相同的解，∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－11 9．18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，∴a－2≠0，b+1≠0，•∴a≠2，b≠－1解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．（•若系数为0，则该项就是0）19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，∴x=1，y=1．将x=1，y=•1•代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，∴k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－12．当x=1，y=－12时，x－y=1+12=32；当x=－1，y=－12时，x－y=－1+12=－12．解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．21．解：经验算41xy=⎧⎨=⎩是方程12x+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得130.8220 x yx y+=⎧⎨+=⎩．（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得415(1)y xy x+=⎧⎨-=⎩．23．解：满足，不一定．解析：∵2528x yx y+=⎧⎨-=⎩的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，•∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，如x=10，y=12，不满足方程组25 28x yx y+=⎧⎨-=⎩．24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=•7时，x=－1；m=－7时x=1．。