模糊与概率

模糊熵定理： E ( A) =
M ( A ∩ Ac ) M ( A ∪ Ac )
模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶 点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。 （ M ( A ∩ Ac ) = 0, M ( A ∪ Ac ) = n, E ( A) = 0 ）
不精确的椭圆 概率上的椭圆还是模糊的椭圆？可否 m A ( x ) = Pr ob{x ∈ A} ？ 证实了概率论是一种有限测量理论。
二、模糊集合的几何图示：sets as points
F (2 X )看成一个超立 将论域X的所有模糊子集——模糊幂集合
方体 I n = [0,1]n ，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。 非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。 也是唯一满足以下特性的点： = A ∩ Ac = A ∪ Ac = Ac A （多值连续集合理论）
l p ( A, B ) =
p
∑ mA ( xi ) − mB ( xi )
i =1
n
p
l 2 距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是 l 1 ，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉 模糊汉明距离 1 明距离，计数 M可以写成 l 距离的形式：
M ( A) = ∑ m A ( xi )
i n
一、模糊和概率的基本知识
1.是否不确定性就是随机性？似然比、概率是否代表了所有的不 确定性？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值 Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的 相似：通过单位间隔[0,1]间的数来表述不确定性，都兼有集 合、相关、联系、分布方面的命题 c c c A 区别：对待 A ∩ A 。经典集合论， ∩ A = φ , P( A ∩ A ) = P (φ ) = 0 A ∩ Ac ≠ φ 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在
0.1 10 S ( A, B ) = 1 − = 1.1 11
类似可得：
S ( B, A) = 1 −
1.3 10 = 2.3 23
d ( A, F (2 B )) = inf{d ( A, B′) : B′ ∈ F (2 B )}
通过F(2B)边线的直线延伸，将超 * 立方体In分割成2n个超长方形。非 = d ( A, B ) 子集A1, A2 , A3, 分别位于不同的象 限。西北和东南象限是固定主导 隶属度函数的长方形，而西南和 东北象限则是“纯”的长方形。 通过F(2B)与A1, A3的范数距离，分 别找到与西北和东南象的点A1, A3 距离最近的点B1*和B3*。而离东北 象限中的点A2距离最近的点B*就 是B自身。由此可证得一般性勾股 定理。且这种“正交”优化情况 表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜 边。 d ( A, B ) = d ( A, B* ) + d ( B, B* )
E ( A) =
a b
=
l 1 ( A, Anear ) l 1 ( A, Afar )
Байду номын сангаас
1 3 1 1 7 2 3 17 7 A = ( , ), Anear = (0,1), Afar = (1,0), a = + = , b = + = , E ( A) = 3 4 3 4 12 3 4 12 17
（1）是否 A ∩ Ac = φ 总是成立的？ 考虑能否逻辑上或部分地违背“无矛盾定理”（Aristotle的 三个‘思考定理’之一，同时‘排中定理’ c = X ，‘同 A∪ A 一 A= A 性定理’ 这些都是非黑即白的经典定理。） 模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束
P ( B | A) =
SUPERSETHOOD( A, B ) = 1 − S ( A, B)
SUPERSETHOOD ( A, B ) =
∑ max(0, m
x
A
( x ) − mB ( x ))
M ( A)
S ( A, B ) = 1 −
∑ max(0, m
x
A
( x ) − mB ( x ))
M ( A)
这种包含度度量满足主导隶属度函数关系，当m A ( xi ) ≤ mB ( xi ) 时，S(A,B)=1。 如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反 之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是 模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的程度为： 0 < S ( A, B ) < 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子集，但不完 全是，因为 m A ( x3 ) − mB ( x3 ) = .4 − .3 = .1 > 0 所以，
A− B
p
= A− B
n
* p
+ B −B
* n * i
p
∑a
i =1
n
i
− bi = ∑ ai − b
p i =1
* p i
+ ∑ b − bi
i =1
p
计数M(A)为恒定值的点A的轨迹为一条平行于负斜率对角线的直线。以B为中 心的l1范数区域呈钻石形。可见，包含度依赖于计数M(A)。A1和A2到F(2B)等 距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)>M(A2)。考虑归一化，进一步猜测：
模糊与概率
王磊
思路：
• • • • • • 模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小 模糊集合的模糊程度 模糊集合间的包含关系 如何用模糊集合间的包 含关系表征某个模糊集 合的模糊程度
结论：
• • • • • • 概率表征不完备 超立方体中的点的集合 隶属度函数和 M ( A) 模糊熵 E ( A) 模糊包含度 S ( A, B ) 模糊熵—包含度定理 E ( A) = S ( A ∪ Ac , A ∩ Ac )
m A∩ B = min( m A , mB ) m A∪ B = max( m A , mB ) m Ac = 1 − m A
模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3， 3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立 方体包含了两个元素{x1， x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1， x2}的 幂集2X。对角线连接了模糊集合及其补集。
对于其它i, bi = ai * 综上： max(0, ai − bi ) = ai − bi
*
d ( A, B ) =
*
∑ max(0, m
i =1
n
A
( xi ) − mB ( xi ))
这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质：B* = A ∩ B * * 因为如果有一个失配关系，那么 ai > bi ， bi = bi 所以 min(ai , bi ) = bi ， * * * 其余的 ai = bi ，所以 min( ai , bi ) = bi 故 B = A ∩ B 。 B*是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近 d ( B, F (2 A )) = d ( B, A* ) = d ( B, B* ) 的A的子集A*:
（2）是否可以推导条件概率算子P(φ | X ) = 0 ？ P( A ∩ Ac | A ∪ Ac ) = 经典集合论中： A ∩ Ac A ∪ Ac 模糊理论：考虑超集 是其子集 的子集性程 度，这是模糊集合的特有问题。
P( A ∩ B) P ( A)
2。模糊和概率：是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性） 停车位问题 一个苹果在冰箱里的概率和半个苹果在冰箱里 事件倒转，地球演变恢复原点 模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需 要重新审视现实模型。
利用失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素：X={x1,…,x100}。 而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)>mB(x1)。直观上， 我们认为A大部分是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.01，并且，如 果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1) 越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集， 或者说，A就越象是B的超集。直观上有：
V ( B ) = ∏ mB ( xi )
i =1
n
点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不 同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属 于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：
S ( A, B ) = Degree( A ⊂ B ) = mF (2B ) ( A)
= ∑ m A ( xi ) − 0
i
= ∑ m A ( xi ) − mφ ( xi )
i
= l 1 ( A,φ )
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊， 中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。引出熵的比例形式：
A is properly fuzzy iff A ∩ Ac ≠ φ
or iff A ∪ Ac ≠ X
A = (1/ 3,3/ 4), Ac = (2 / 3,1/ 4), A ∩ Ac = (1/ 3,1/ 4), A ∪ Ac = (2 / 3,3/ 4)