北京市东城区普通高中示范校2014届下学期高三年级零模考试数学试卷(文科)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷（带解析）1．设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- 【答案】B 【解析】试题分析：∵12x +≥，∴3x ≥，∴{|3}A x x =≥，∵={2,1,01,2}B --，∴{1,2}A B =.考点：集合的交集. 2．在复平面内，复数21i-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：22(1)11i (1i)(1+i)i i +==+--，对应的点为（1,1）在第一象限. 考点：复数的运算、复数和点的对应关系.3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）（A ）2或2- （B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1- 【答案】C 【解析】试题分析：当0x ≥时，210x -=，即1x =；当0x <时，220x x +=，即2x =-，所以输入的x 的值为1或-2. 考点：程序框图.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是（ ） （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72 【答案】C 【解析】试题分析：∵6726a a =+，∴6676a a a +=+，∴5776a a a +=+，∴56a =， ∴195599()9()5422a a a a S ++===. 考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式. 5．已知tan =2α，那么sin 2α的值是（ ） （A ）45-（B ）45 （C ）35- （D ）35【答案】B【解析】试题分析：2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.考点：齐次式、倍角公式.6．已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（ ）（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵()(||)g x f x =，∴)1()(lg g x g >(|lg |)(1)f x f ⇔>，∵函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，∴|lg |1x >，∴lg 1x >或lg 1x <-，∴10x >或110x <，又∵0x >，∴10x >或1010x <<. 考点：函数的单调性、不等式的解法.7．已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--【答案】A 【解析】试题分析：∵AB 的中点为（0,2），直线AB 的斜率为1k =-，∴线段AB 的垂直平分线为2y x =+，设(,)D a b ，则CD 中点为58(,)22a b ++在2y x =+上，且815CD b k a -==--， ∴85222815b ab a ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，∴67a b =⎧⎨=⎩，∴D 点坐标为(6,7).考点：中点坐标公式、直线的方程.8．对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） （A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)- 【答案】D 【解析】试题分析：∵222224,234,141(1)(4)1,231,141x x x x x x y x x x x x x x ⎧+≤-≥⎧+---≥=-+==⎨⎨--≤≤----<⎩⎩或， ∵函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，∴2(1)(4)y x x =-+的图像与y k =-的图像有三个交点， ∴2(1)(4)y x x =-+的图像如图所示，根据图像得：12k -<-≤，∴21k -≤<.考点：函数图像.9．函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ． 【答案】3[,)4+∞ 【解析】试题分析：只需430x ->，∴34x >，所以函数0.5log (43)y x =-的定义域是3[,)4+∞. 考点：函数的定义域.10．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则=b ．【答案】【解析】试题分析：∵a ∥b ，∴40m -=，∴4m =，∴(2,4)b =-，∴2||(2)b =-=考点：向量平行的充要条件、向量的模.11．在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +≤”的概率为_________． 【答案】14【解析】试题分析：符合题意的区域范围如图所示，所以概率为13612664P ⨯⨯==⨯.考点：几何概型.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n ∈N ,有232n n S a =-，则1a = ；n S = ．【答案】2 31n - 【解析】试题分析：当1n =时，11232S a =-，∴12a =， ∵11232232,(2)n n n n S a S a n --=-⎧⎨=-≥⎩，∴1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴2(13)3113n n n S -==--. 考点：由n S 求n a ，等比数列的前n 项和公式.13．过点(1,0)A -且斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点，若B 为AC 中点，则k 的值是 ．【答案】3【解析】直线(1)y k x =+，设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则由有B 为AC 中点，则2112121x x x x -+⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴12122x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则C 带入直线(1)y k x =+中，有(21)k =+，∴k =考点：直线方程、中点坐标公式.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 【答案】6{21}+ 【解析】试题分析：①2m =时，112PA PC AC +=>=结合椭圆定义知，动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.⑴当椭圆体与AB 有交点时，则由对称性知椭圆体必与11C D 11,AD B C ，11,AA CC 有交点.设,(01)AP a a =<<，则1C P m a =因为10m '=<，所以1).m ∈由于2m =，所以此时有六个交点.⑵当椭圆体与11A B 有交点时，则由对称性知椭圆体必与CD 11,A D BC ，11,BB DD 有交点.设1,(01)A P a a =<<，则1C P m因为0m '==得1.2a =所以1).m ∈由于2m =，所以此时无有六个交点.说明：当0a =或1a =时，椭圆体与正方体交于除1,A C 外的六个顶点.②若m <则动点P 不存在.若m =则动点P 轨迹为线段1AC ，满足条件的点P的个数为2.因此m >即动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点P 的个数为6，须使得){21}m ∈+. 考点：椭圆的标准方程及其性质.15．已知函数2()sin cos f x x x x =.（1）求()12f π的值； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）1()122f π=；（2）最小值0，最大值32.【解析】试题分析：本题主要考查诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、运用数学公式计算的能力，考查学生的数形结合思想.第一问，先利用诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，使之化简为()sin(+)+f x A x B ωϕ=的形式，再将12π代入求三角函数值；第二问，将已知x 的范围代入第一问化简的表达式中，求出角26x π-的范围，再数形结合得到最大值和最小值.（1）2()sin cos f x x x x =1cos 222x x -=+112cos 222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+．所以()16f π=． 7分（2）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤．所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0；当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32． 13分考点：诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值.16．汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x =乙．（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少？（2）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性． 【答案】（1）0.7；（2）120x =，乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. 【解析】试题分析：本题主要考查随机事件的概率、平均数、方差等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，5辆甲品牌汽车任取2辆，写出所有情况，在所有情况中选出至少有一辆二氧化碳的情况种数，相除得到概率；第二问，先利用乙品牌的平均数得到x 的值，再利用2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-求出甲、乙的方差，先比较甲和乙的平均数，如果相差不大或相等，再比较方差，方差越小表示二氧化碳排放量的稳定性越好.（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆， 共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)， (110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A ， 则事件A 包含以下7种不同的结果：(80,140)，(80,150)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．所以 7()0.710P A ==． 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7． 6分 （2）由题可知，120x =乙，所以4801205x+=，解得 120x =． 22222215600.s ⎡⎤=++++⎣⎦=甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120） 22222215480.s ⎡⎤=++++⎣⎦=乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）， 因为 22120x x s s ==>乙乙甲甲，，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好． 13分 考点：随机事件的概率、平均数、方差.17．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥；（3）求三棱锥P BEC -的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）P BEC V -=【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D 、E 分别为AB 、AC 中点，所以利用三角形的中位线得出DE ∥BC ，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由BC AB ⊥，而DE ∥BC 得DE AB ⊥，而D 为AB 中点，PA=PB ，得PD A B ⊥，所以利用线面垂直的判定得AB ⊥平面PDE ，再利用线面垂直的性质得AB PE ⊥；第三问，由于PD AB ⊥，利用面面垂直的性质得PD ⊥平面ABC ，所以PD 是三棱锥的高，而12BEC ABC S S ∆∆=，所以12P BEC P ABC V V --=. （1）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点， 所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC . 4分 （2）连结PD ，因为DE ∥BC ，又90=∠ABC °， 所以DE AB ⊥.又PA PB =，D 为AB 中点， 所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PDE ，所以AB PE ⊥. 9分（3）因为平面PAB ⊥平面ABC ， 有PD AB ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ，所以11112322322P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. 14分 考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积. 18．已知a ∈R ，函数3211()(2)62f x x a x b =+-+，()2ln g x a x =． （1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求a ，b 的值；（2）设()'()(F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．【答案】（1）1a =，或12a =；（2）12a ≤-. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，由于()f x 与()g x 在(1,)c 处的切线互相垂直，所以两条切线相互垂直，即斜率相乘得-1，对()f x 和()g x 求导，将1代入得到两切线的斜率，列出方程得出a 的值；第二问，先将“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”转化为“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”，令()()G x F x ax =-，则原命题等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数，对()G x 求导，判断导数的正负，决定函数的单调性. （1）21'()(2)2f x x a x =+-，3'(1)2f a =-． 2'()ag x x=，'(1)2g a =． 依题意有'(1)'(1)1f g =-，可得32()12a a -=-，解得1a =，或12a = ． ６分 （2）21()(2)2ln 2F x x a x a x =+--． 不妨设12x x <， 则2121()()F x F x a x x ->-等价于2121()()()F x F x a x x ->-，即2211()()F x ax F x ax ->-． 设()()G x F x ax =-，则对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()F x F x a x x ->-，等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数．21()2ln 22G x x a x x =--，可得2222'()2a x x a G x x x x--=--=， 依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥．由2222(1)1a x x x ≤-=--，可得12a ≤-． 13分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线.19．已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F（1）求椭圆方程；（2）过点(3,0)M 且斜率为k 的直线与椭圆交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，求△MBC 面积的最大值.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程，解出基本量a 和b ，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点斜式先设出直线l 的方程，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x 的方程，利用韦达定理得到12x x +，12x x ，列出AMC ∆和ABC ∆的面积，从而得到MBC ∆的面积表达式，将12x x +，12x x 代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要讨论最大值成立的条件.（1）依题意有2c =，c a =． 可得26a =，22b =． 故椭圆方程为22162x y +=． ５分 （2）直线l 的方程为(3)y k x =-． 联立方程组22(3),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=． （*）设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221831k x x k +=+，212227631k x x k -=+． 不妨设12x x <，显然12,x x 均小于3． 则111112(3)(3)2AMC S y x y x =⋅⋅-=-， 12112112()()2ABC S y x x y x x =⋅⋅-=-． 1212(3)(3)(3)MBC ABC AMC S S S y x k x x =-=-=-- 121223[93()]31k k xx x x k =-++=+ ≤=． 等号成立时，可得213k =，此时方程（*）为 22630x x -+=，满足0∆>． 所以MBC ∆面积S 13分 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理.20．设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）． （1）求(99)f ，(2014)f ；（2）若1100a ≥，求证：12a a >；（3）求证：存在*m ∈N ，使得100m a <．【答案】（1）(99)162f =，(2014)21f =；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于()f a 是a 的各位数字的平方和，所以22(99)99162f =+=，2222(2014)201421f =+++=；第二问，通过题干中给出的()f a 的定义设出1a 的值，利用21()a f a =，得到2a 的值，然后用作差法比较1a 和2a 的大小；第三问，用反证法，先假设不存在*m ∈N ，使得100m a <，经过推理得出矛盾即可.（1）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． 5分（2）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+， 其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-12211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． 9分（3）由（2）可知当1100a ≥时， 12a a >．同理当100n a ≥时， 1n n a a +>．若不存在*m ∈N ，使得100m a <．则对任意的*n ∈N ，有100n a ≥，总有1n n a a +>．则11n n a a -≤-，可得1(1)n a a n ≤--．取1n a =，则1n a ≤，与100n a ≥矛盾．存在*m ∈N ，使得100m a <． 14分考点：归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想.。
北京市东城区2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学文科
北京市东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则AB =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14（D ）30（5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C （D ）（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④（C ）①③④ （D ）①②③④（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)(3,)-∞--+∞ （D ）[3,3)-（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33- （B ）3[,0)(0,]33- （C ）11[,]33-（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高三二模数学(文)北京市东城区试题Word版带解析
知识点;函数与导数-------函数--------函数的定义域与值域
难度系数：2
第 4页 共 15页
（10）已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a ∥ b ，则 b
．
解析： a
∥b
，
1 2
2 m
m
4
b
4 16 2 5
知识点：平面向量------------平面向量基本定理及坐标表示-----平面向量的坐标运算
2
知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系
难度系数：3
（8）对任意实数
a
，b
定义运算“⊙”：a
b
b, a b a, a b
1, 1,
设
f
(x)
(x2
1)
(4
x)
k
，
若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰有三个交点，则 k 的取值范围是
（A） (2,1)
（B） [0,1]
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数---------推理与证明---------直接证明与间接 证明； 数列----------数列综合； 难度系数：4
y1
2, y2
4 k 2 2
2
3
知识点;解析几何----------圆锥曲线------------抛物线
难度系数：3
（14）在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是正方体棱上一点（不包括棱的端
点）， PA PC1 m ， ①若 m 2 ，则满足条件的点 P 的个数为________；
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试文综试卷有答案
北京市东城区2014 届下学期高三年级一模考试文综试卷有答案本试卷共300 分。
考试时长150 分钟。
第一部分（选择题共140分）本部分共35 小题，每小题 4 分，共140 分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
北京植物园每年都举办以赏花为主的时令旅游活动——桃花节。
读图1，回答1、 2 题。
1.北京植物园桃花节开始日期A.呈现提前趋势B.都比山桃始花期晚C.呈现推迟趋势D.与山桃始花期相同2.从审美特征看，举办桃花节主要是为了欣赏桃花的A.动态美和形象美B.色彩美和形象美C.朦胧美和动态美D.色彩美和朦胧美读图2，回答第 3 题。
3.在图中所示的灾害链中，①、②、③依次是A.狂风、泥石流、滑坡B.海啸、洪水、滑坡1C.风暴潮、洪水、泥石流D.洪水、风暴潮、泥石流博格达峰位于我国天山的东段。
读图3，回答4、 5 题。
4.图中博格达峰A.垂直自然带分布主要以水分为基础B.北坡和南坡垂直自然带的数量相同C.垂直自然带的基带是温带荒漠带D.各垂直自然带的分布随季节而变化5.图中山地针叶林带形成的主要原因是其位于①阳坡，蒸发强②阴坡，蒸发弱③迎风坡，降水量多④背风坡，降水量少A.②③B.①③C.①②D.③④读图4，回答6、 7 题。
6.图中河流特征及其成因对应正确的是A.渭河南岸无大支流——地转偏向力影响B.泾河自西北流向东南——地势西北高东南低C.洛河含沙量小——流经地区植被覆盖率高D.河流以冰雪融水补给为主——发源于高原27.图中泾河流域可持续发展的重点是A.加固大堤，治理“地上河”B.引水灌溉，发展农业C.修建水库，梯级开发D.合理采矿，保持水土花岗岩在我国分布广泛，图 5 为“岩石圈物质循环示意图”。
读图，回答第8 题。
8.图中表示花岗岩的岩石类型及其形成的地质作用分别是A.甲、①B.乙、③C.丙、④D.丁、②读图6，回答9～ 11 题。
9.图示大部分地区海拔在A. 200 米以下B. 200 ～ 1000 米C. 800 ～ 1000 米D.大于1000 米10.图中城镇集中分布在沿海地区的主要原因是①地形平坦②气候温和湿润③交通运输便捷④基督教的影响A.①③B.②③C.①④D.②④3。
北京市东城区2014年高三二模数学文科试题
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：n 个数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s ，由以下公式计算：2222121[()((]n s x x x x x x n=-+-++-L ．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B I =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- （2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18 （B ）36（C ）54 （D ）72（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45-（B ）45 （C ）35- （D ）35（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞U （7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩e 设2()(1)(4)f x x x k =-++e ，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k的取值范围是（A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测(文科数学)(解析版)
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测文科数学（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P = ，{}3,4,5Q =，则()UPQ =ð（ ）A.{}1,2,3,4,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2 【答案】D【解析】试题分析：由题意知{}1,2,6U Q =ð，因此(){}1,2UP Q =ð，故选D.考点：集合的基本运算2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：52545456565655555555.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3.已知i 是虚数单位，若31ii z+=-，则z 的共轭复数为（ ）A.12i -B.24i -C.D.12i + 【答案】A 【解析】试题分析：由31i i z +=-可得()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+，因此z 的共轭复数为12i -，故选A.考点：1.复数的除法；2.共轭复数4.设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若//l α，//l β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，//l α，则l β⊥5.函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（ ）A.2+B.4C.3D.26.“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，()()222f x x ax x x =-==，此时函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a ≠时，令()()20f x x ax =-=，解得0x =或2x a=，7.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A.2x y =B.2x =C.28x y =D.216x y =8.已知()3269f x x x x abc =-+-，a b c <<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①()()010f f ⋅>；②()()010f f ⋅<；③()()030f f ⋅>；④()()030f f ⋅<. 其中正确结论的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C 【解析】 试题分析：()3269f x x x x abc =-+-，()()()23129313f x x x x x '∴=-+=--，结合导数可知，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,3上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，因此函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知变量x、y满足条件1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y+的最大值是______.【答案】6. 【解析】试题分析：作出不等式组1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设z x y =+，联立290x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得33xy=⎧⎨=⎩，即点()3,3A，作直线:l z x y=+，则z为直线l在x轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 336z =+=.考点：线性规划10.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 .11.曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .12.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5a = . 【答案】2ln 5+. 【解析】试题分析：由于()111ln 1ln ln 1ln n n n n n a a a a n n n n++⎛⎫=++=+=++- ⎪⎝⎭， ()1ln 1ln n n a a n n +∴-=+-，因此54ln5ln 4a a -=-，43ln 4ln3a a -=-，32ln3ln 2a a -=-，21ln 2ln1a a -=-， 上述四个等式累加得()()()()51ln5ln4ln4ln3ln3ln2ln2ln1ln5ln1ln5a a -=-+-+-+-=-=，因此51ln52ln5a a =+=+. 考点：累加法求数列通项13.已知平面向量()2,4a =，()1,2b =-若()c a a b b =-⋅， 则c =_____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意可得()21426a b ⋅=⨯+⨯-=-，()()()()62,461,28,8c a a b b a b ∴=-⋅=+=+-=-，(28c ∴=+=.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模14.定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线()222:42C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =_______.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=.（1）证明:：AC BC =； （2）证明：AB PC ⊥；（3）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）83. 【解析】 试题分析：（1）先证明PAC PBC ∆≅∆，从而得到AC BC =；（2）取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，证明AB ⊥平面PCD ，利用直线与平面垂直的性质得到AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，结合（2）中的结论证明PC ⊥平面ABE ，再求出AEB∆的面积，最后利用分割法得到三棱锥P ABC -的体积13ABE V PC S ∆=⋅来进行计算. 试题解析：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=， 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =；（2）如图，取AB 中点D ，连结PD 、CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PDC ，所以AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =， 由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=，因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以AEB ∆、PEB ∆、CEB ∆都是等腰直角三角形. 由已知4PC =，得2AE BE ==，AEB ∆的面积2S =， 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=. 考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积17.（本题满分13分）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3 、9.0、8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值 不超过0.5的概率.（2）设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样，所以40010005m=，解得2m =， 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作1S 、2S 、1B 、2B 、3B ， 则从中任取2辆的所有基本事件为()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B ，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710；18.（本题满分14分）设函数()(),,nn f x x bc c n N b c R +=++∈∈.（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （2）设2n =，若对任意1x 、[]21,1x ∈-，有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）当2n =时，()22f x x bx c =++，对任意1x 、[]21,1x ∈-都有()()21224f x f x -≤等价于()2f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差4M ≤，据此分类讨论如下：19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.试题解析：（1）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，其离心率为2，故2a =，解得4a =，因此椭圆2C 的方程为221164y x +=；20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集{}m a ，记{}12max ,,,k k b a a a =()1,2,,k m =，即k b 为1a 、2a 、、k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1、3、2 、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1k =、2、、m ）.求证：k kb a =()1,2,,k m =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列{}n a ；（2）根据数列{}n b 的定义得到1k k b b +=，再结合1k m k a b C -++=得到1k m ka b C +-+=，将两个等式作差得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，结合1k k b b +=证明k k b a =.。
北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学文试卷(含答案)
北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{1,0,1,2}=-A ，集合{0,2,4,6}=B ，则集合A ∩B ＝ A. {1，2，4}B. {2，4}C. {0，2}D. {－1，0，1，2，4，6}2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝ A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）3. 抛物线24=y x 的焦点坐标为 A. （0，2）B. （2，0）C. （0，1）D. （1，0）4. 下列命题：①2,∀∈≥x R x x ；②2,∃∈≥x R x x ；③43≥；④“21≠x ”的充要条件是“1≠x 且1≠-x ”中，其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知4,0,c o s()25⎛⎫∈--=- ⎪⎝⎭x x ππ，则tan 2=x A.724B. 724-C.247D. 247-6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是7. 函数()ln |1|=-f x x 的图象大致是8. 在圆2250+-=x y y 内，过点35(,)22作n 条弦()+∈n N ，它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53∈d ，则n 的值为A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若曲线3=+y x a x 在原点处的切线方程是20-=x y ，则实数a ＝__________。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一) 文科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）文科数学试卷（带解析）1（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）（C）{x|-l<x<2} （D）{x|-l<x<2}【答案】C【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2（A（B（C（D【答案】B【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3．为了得到函数y=sin（y= sin2x的图象（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4m=（A（B）3 （C（D）【答案】B【解析】试题分析：B正确。
考点：双曲线的简单几何性质。
5．设等差数列的前n项和为S n，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=（A）27 （B）39（C）45 （D）63【答案】B【解析】考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
6b=log42，c=log31．6，则（A）a>b>c （B）a>c>b（C）b>a>c （D）c>a>b【答案】A【解析】3A正确。
考点：1指数函数的单调性；2对数函数的单调性；3对数函数的运算法则。
7．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）8【答案】A【解析】为3，则底面边长为2故A正确。
考点：三视图8．已知a，b是正数，且满足2<a+2b<4（A（B（C（D【答案】A【解析】试题分析：内，分析可知A正确。
考点：线性规划问题。
9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .【解析】试题分析：由准线方程考点：抛物线的简单几何性质及方程。
10．= .【解析】考点：三角函数的诱导公式。
11．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .【答案】76【解析】试题分析：将甲组数据按从小到大（或从大到小）排列中间的数为76，则甲组数据的中位数为76.乙组数据分别为65、82、87、85、95考点：茎叶图、中位数、平均数12．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，。
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷(文科 有答案)
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷（文科） 有答案本试卷共150分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则R C A ＝ A. {|1,2}x x x <->或 B. {|1,2}x x x ≤-≥或 C. {|12}x x -<<D. {|12}x x -≤≤2. 复数11ii+-＝ A. i -B. iC. 1i +D. 1i -3. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度4. 若双曲线2214x y m -=，则m ＝A.B. 3 B.D.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231,11a a a =+=，则63S S -＝ A. 27B. 39C. 45D. 636. 已知1343,log 2,log 1.6a b c ===则 A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>7. 若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A. 4+B. 4C. 4+D. 88. 已知,a b 是正数，且满足224a b <+<，那么11b a ++的取值范围是 A. 1(,3)5B. 1(,2)3C. 1(,2)5D. 1(,3)3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9. 5cos()4π-＝___________。
10. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝2，则抛物线的方程为_______。
2014东城区高三二模数学(文科)
2014东城区高三二模数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合S={x∈R|x+1≥2}，T={﹣2，﹣1，0，1，2}，则S∩T=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A．2或﹣2 B．﹣1或﹣2 C．2或﹣1 D．1或﹣24．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．545．（5分）已知tanα=2，那么sin2α的值是（）A． B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=f（|x|），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是（）A．（0，10）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）7．（5分）已知点A（2，0），B（﹣2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是（）A．（6，7） B．（7，6） C．（﹣5，﹣4）D．（﹣4，﹣5）8．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数的定义域是．10．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则||=．11．（5分）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件“2x+y≤6”的概率为．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N*，有2S n=3a n﹣2，则a1=；S n=．13．（5分）过点A（﹣1，0）且斜率为k（k＞0）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，若B为AC中点，则k的值是．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），|PA|+|PC1|=m，①若m=2，则满足条件的点P的个数为．②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．=120g/km．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．18．（13分）已知a∈R，函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+b，g（x）=2alnx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）设F（x）=f′（x）﹣g（x），若对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有F（x2）﹣F（x1）＞a（x2﹣x1），求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点M（3，0）且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，求△MBC面积的最大值．20．（14分）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f ）（n∈N*，n≥2）．（a n﹣1（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得a m＜100．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】S={x∈R|x+1≥2}，则∴S={x∈R|x≥1}，又∵T={﹣2，﹣1，0，1，2}，故S∩T={1，2}．故选B．2．【解答】复数==1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）．在复平面内，复数对应的点位于第一象限．故选：A．3．【解答】由题意，或∴x=1或﹣2故选D．4．【解答】在等差数列{a n}中，∵2a6=a5+a7，又由已知2a6=6+a7，得a5=6，∴S9=9a5=54．故选：D．5．【解答】∵tanα=2，∴sin2α===．6．【解答】∵g（x）=f（|x|），∴函数g（x）是偶函数，∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴不等式g（lgx）＞g（1），等价为g（|lgx|）＞g（1），即|lgx|＞1，则lgx＞1或lgx＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜，故选：D．7．【解答】设D（x，y），∵A（2，0），B（﹣2，4），∴AB点E（0，2），AB的斜率k==﹣1，∴AB的垂直平分线的斜率为1，∴AB的垂直平分线的方程为y=x+2，∴CD的中点F（，）在y=x+2上，∴=+2，①又CD的斜率=﹣1，②联立①②解得，即D（6，7）故选：A．8．【解答】当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵4x﹣3＞0⇒x＞，∴函数的定义域是{x|x＞}．故答案是{x|x＞}10．【解答】∵，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴==．故答案为：．11．【解答】由题意，在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，在平面直角坐标系中做出对应的区域，事件“2x+y≤6”对应的区域，如图所示：所以事件“2x+y≤6”的概率为=故答案为：12．【解答】∵2S n=3a n﹣2，①∴n=1时，2a1=3a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，②①﹣②，得：2a n=3a n﹣3a n﹣1，整理，得a n=3a n﹣1，∴，∴{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，=3n﹣1．故答案为：2，3n﹣1．13．【解答】依题意知直线方程为y=k（x+1），带入抛物线方程得y2=4（），整理得ky2﹣4y+4k=0，解得y=，∵B为AC中点，∴y B=，y C=，且=y B，即=，求得k=．故答案为：14．【解答】∵正方体的棱长为1，∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故满足条件的点P的个数为6个．（2）∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b＜∵短半轴长b=，∴，∴m，∴m的取值范围是（，）故答案为：6，（，）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）===．∴f（x）=．所以f（）=．（Ⅱ）当时，．∴当时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当时，即时，函数f（x）取得最大值．16．【解答】（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）∴．答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7；（2）由题可知，，∴，解得x=120．又，∴，∴，∵，∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．17．【解答】（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高=S△ABC=又∵PD=，S△BEC=S△BEC×PD=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC18．【解答】（Ⅰ），．，g'（1）=2a．依题意有f'（1）g'（1）=﹣1，可得，解得a=1，或．当a=1时，f（x）=x3﹣x2+b，g（x）=2lnx．由，解得c=0．b=，当a=时，f（x）=x3﹣x2+b，g（x）=lnx．由，解得c=0．b=．（Ⅱ）．不妨设x1＜x2，则等价于F（x2）﹣F（x1）＞a（x2﹣x1），即F（x2）﹣ax2＞F（x1）﹣ax1．设G（x）=F（x）﹣ax，则对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，等价于G（x）=F（x）﹣ax在（0，+∞）是增函数．，可得，依题意有，对任意x＞0，有x2﹣2x﹣2a≥0．由2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，可得．19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．∴c=2，，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．故椭圆方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣3）．联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．（*）设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．不妨设x1＜x2，显然x1，x2均小于3．则，．S△MBC=|S△ABC﹣S△AMC|=|y1|（3﹣x2）=|k|（3﹣x1）（3﹣x2）=．等号成立时，解得，此时方程（*）为2x2﹣6x+3=0，满足△＞0．所以△MBC面积S的最大值为．20．【解答】（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21．（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），那么可以设，其中0≤b i≤9且b i∈N（1≤i≤n），且b n≠0．由a2=f（a1）可得，．=所以．因为b n≠0，所以（10n﹣1﹣b n）b n≥99．而（b1﹣1）b1≤72，所以a1﹣a2＞0，即a1＞a2．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知当a1≥100时，a1＞a2．同理当a n≥100时，a n＞a n．+1若不存在m∈N*，使得a m＜100．．则对任意的n∈N*，有a n≥100，总有a n＞a n+1则a n≤a n﹣1，可得a n≤a1﹣（n﹣1）．﹣1取n=a1，则a n≤1，与a n≥100矛盾．存在m∈N*，使得a m＜100．。
2014北京东城高三二模数学(文)试卷与解析(易题库教研团队出品)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：n 个数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s ，由以下公式计算：2222121[(()(]n s x x x x x x n=-+-++-．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则AB =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}-解析：根据集合的基本运算性质答案为B 。
（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：22(1)11i (1)(1)_i i i i +==+--+，所以对应的点在第一象限。
（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-解析：本程序相当于以分段函数221;02;0x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，y=0，x=1或2-，答案为C 。
（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18 （B ）36（C ）54 （D ）72解析：67555262()626a a a d a d a =+∴+=++∴=，195992=9=5422a a a S +⨯=⨯（）随意答案C 。
（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45- （B ）45 （C ）35- （D ）35解析：tan =2α，α在逸散象限，4sin 2=2sin cos 25αα∙α==，所以答案B 。
北京市东城区2014届高三第二学期第二次模拟数学(文)试卷
北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（二）数学（文）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A={x ∈R|x+1≥2），B={一2，一1，0，1，2}，则A B= （A ）{2） （B ）{1，2}（C ）{0，1，2） （D ）{一l ，0，1，2}（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或一2 （B ）-1或一2 （C ）1或一2 （D ）2或一1（4）设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若2a 6=6+a 7，则S n 的值是 （A ）18 （B ）36 （C ）54（D ）72（5）已知tan α=2，那么sin2α的值是（A ）45-（B ）45（C ）一35（D ）35（6）已知函数()f x 在区间[0，+∞）上是增函数，函数()(||),(lg )(1)g x f x g x g =>若，则x 的取值范围是（A ）（0，10） （B ）（10，+∞）（C ）（110，10） （B ）（0，110） （10，+∞）（7）已知点A （2，0），B （一2，4），C （5，8），若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）（6，7）（B ）（7，6） （C ）（一5，一4） （D ）（—4，—5）（8）对任意实数a ，b 定义运算“ "：a b=2,1,()(1)(4),1,b a b f x x x k a a b -≥⎧=-++⎨-<⎩ 设，若函数f(x)的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是第二部分（非选择题 共1 1 0分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数学高三二模2014—2015试卷东城区(文)含答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（A ）{}2 （B ）{}01， （C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4（2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- （C ）(1,3) （D ）(1,3)- （4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是C （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b <<（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）11 正（主）视图11（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈ （B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩（C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩（D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数学_2014年北京市东城区普通校高考数学零模试卷(文科)(含答案)
2014年北京市东城区普通校高考数学零模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 集U ={x|x ≤1}，A ={x|−2≤x ≤1}，则∁U A =( )A {x|x ≤−2}B {x|x ≤−2或x ≥1}C {x|x <−2}D {x|x <−2或x >1} 2. “a <b <0”是“1a>1b ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 设a =30.2，b =(13)−1.1，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A a <b <c B b <a <c C c <a <b D c <b <a4. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）A X =2，S 甲2<S 乙2B X =2，S 甲2>S 乙2C X =6，S 甲2<S 乙2D X =6，2，S 甲2>S 乙25. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为158，则判断框内应填入的条件是（ ）A k <3B k >3C k <4D k >46. 已知函数f(x)=2sin(wx +φ)（其中x ∈R ，w >0，−π<φ<π）的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是( )A f(x)=2sin(2x −π3) B f(x)=2sin(2x +2π3) C f(x)=2sin(6x −2π3) D f(x)=2sin(6x +π3)7. 下列命题说法正确的是（ ）A ∀x ∈(1, +∞)使得lnx +x 12=0 B ∀x ∈(0, 1)使得lnx +x 12=0 C ∃x ∈(1, +∞)使得lnx +x 12=0 D ∃x ∈(0, 1)使得lnx +x 12=08. 已知奇函数f(x)的导函数f′(x)=1−cosx ，x ∈(−1, 1)．满足f(1−x 2)+f(1−x)<0，则实数x 的取值范围是（ ）A (0, 1)B (1, √2)C (−2, −√2)D (−√2, 1)∪(1, √2)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数z ＝(3+i)⋅i 的实部是________．10. 数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 2=6，则首项a 1=________，前n 项和S n =________． 11. 设点(a, b)是区域{x −y +1≥00≤x ≤1y ≥0内的随机点，则满足a 2+b 2≤1的概率是________．12. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．13. △ABC 中，AD 为BC 边上的高，且|AD|=1，则(AB →+AC →)⋅AD →的值为________． 14. 给定数集A ．若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a −b ∈A ，则称集合A 为闭集合．给出如下四个结论：①集合A ={−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合； ②集合A ={n|n =3k, k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合；④若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊊R ，A 2⊊R ，则存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)． 其中，全部正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．（1）求角B 的大小；（2）若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．16. 某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：合计50(Ⅰ)抽查的50人中，每天平均学习时间为6∼8小时的人数有多少？(Ⅱ)经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．17. 如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形，AB // CD，AB=2CD，BC⊥CD，∠DBC=30∘，点E，F分别为AD，PB中点．（1）求证：CF // 平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PEB．18. 已知函数f(x)=x−2x−mlnx(m∈R)．（1）若m=4，求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)在(0, +∞)单调递增，求m的取值范围；（3）求g(x)=f(x)+(m+3)lnx+1的零点个数．(ln2≈0.693, ln3≈1.099)．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是2√2，且过点(1, √22)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于M，N两点，F为椭圆的右焦点，直线MF与NF关于x轴对称．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20. 设函数f(x)，g(x)的定义域分别为D1，D2，且D1⊊D2．若对于任意x∈D1，都有g(x)=f(x)，则称g(x)为f(x)在D2上的一个延拓函数．给定f(x)=x2−1(0<x≤1)．（1）若ℎ(x)是f(x)在[−1, 1]上的延拓函数，且ℎ(x)为奇函数，求ℎ(x)的解析式；（2）设g(x)为f(x)在(0, +∞)上的任意一个延拓函数，且y=g(x)x是(0, +∞)上的单调函数．(I)判断函数y=g(x)x在(0, 1]上的单调性，并加以证明；(II)设s>0，t>0，证明：g(s+t)>g(s)+g(t)．2014年北京市东城区普通校高考数学零模试卷（文科）答案1. C2. A3. C4. A5. C6. B7. D8. B9. −110. 2,3n−111. π612. 413. 214. ②④15. 解：（1）由已知得cos2B+cosB=0，可得2cos2B+cosB−1=0，即(2cosB−1)(cosB+1)=0，解得cosB=12或cosB=−1．因为0<B<π，故舍去cosB=−1，所以，B=π3．（2）由sinA=3sinC利用正弦定理可得a=3c，而△ABC的面积为12acsinB=3√34，将a=3c和B=π3代入上式，得出c=1，且a=3，再由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，解得b=√7．16. （1）由直方图知，学习时间为6∼8小时的频率为1−(0.02+2×0.12+0.06)×2＝0.36，∴ 学习时间为∼小时的人数为50×0.36＝18；（2）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有18+12+6＝36人．∵ 从中抽取6名学生的抽取比例为636=16，高中三个年级的人数分别为12、6、18，∴ 从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；(Ⅲ)设高一的2名学生为A1，A2高二的1名学生为B，高三的3名学生为C1，C2，C3．则从6名学生中选取2人所有可能的情形有（A1, A2），（A1, B），（A1, C1），（A1, C2），（A1, C3），（A2, B），（A2, C1），（A2, C2），（A2, C3），(B, C1)，（C1, C2），（C1, C3），(C2, C3)，(B, C2)，（B, C3），共15种可能．其中2名学生来自不同年级的有（A1, B），(A1, C1)，（A1, C2），(A1, C3)，（A2, B），（A2, C1），(A2, C2)，(A2, C3)，（B, C1），（B,C2），（B, C3），共11种情形，故所求概率为P=1115．17. 证明：（1）取PA中点M，连结MF、MD．由题意，MF // CD且MF=CD，所以MDCF为平行四边形．所以CF // MD．…4分又因为CF∉平面PAD，MD⊂平面PAD，所以CF // 平面PAD．…6分（2）因为侧面PAD为等边三角形，所以PE⊥AD．…8分由已知可得BD=2CD=AB，所以BE⊥AD，…10分而BE∩PE=E，故AD⊥平面PBE．…12分因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PEB．…13分18. 解：（1）m=4时，f(x)=x−2x−4lnx，f′(x)=1+2x2−4x，则有k=f′(1)=−1，且f(1)=1，故所求切线方程为x+y=0．（2） f′(x)=1+2x2−mx=x2−mx+2x2(x>0)，因为f(x)在(0, +∞)单调递增，因此有f′(x)≥0，即x2−mx+2≥0在(0, +∞)恒成立．当m>0时，需m2−8≤0，解得m∈(0, 2√2)．当m≤0时，x2−mx+2≥0在(0, +∞)恒成立，符合题意．综上，m∈(−∞, 0]∪(0, 2√2]即m∈(−∞, 2√2)．（3）g(x)=f(x)+(m−3)lnx+1=x−2x+1−3lnx，则g′(x)=1+2x2−3x=(x−1)(x−2)x2．令g′(x)=0，得x=1和x=2．x、g′(x)与g(x)在(0, +∞)上的情况如下：由此可知，g(x)的极大值为g(1)=0， g(x)的极小值为g(2)=2−3ln2<0， 且g(3)=103−2ln3>0，故g(x) 在(0, +∞)有两个零点．19. （1）解：由题意可得{2a =2√21a2+12b2=1，解得a =√2，b =1． 故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1． ...5分（2）证明：椭圆的右焦点F(1, 0)，由{y =kx +m x 2+2y 2=2 消y ，并整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)则有△=(4km)2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=8(2k 2−m 2+1)>0， 且x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1因为直线MA 与NA 关于 x 轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数， 则有k MA +k NA =0，即y 1x1−1+y 2x 2−1=0，则有2kx 1x 2+(m −k)(x 1+x 2)−2m =0，…11分 所以2k ⋅2m 2−22k 2+1−(m −k)⋅4km2k 2+1−2m =0，整理得m =−2k ，…13分 此时k 满足−√22<k <√22且k ≠0，直线l 的方程是y =k(x −2)，故直线l 过定点，且该定点为(2, 0)． ...14分20. 解：（1）当x =0时，由ℎ(x)为奇函数，得ℎ(0)=0．…1分 任取x ∈[−1, 0), 则−x ∈(0, −1]，由ℎ(x)为奇函数，得ℎ(x)=−ℎ(−x)=−[(−x)2−1]=−x 2+1，…3分 所以ℎ(x)的解析式为ℎ(x)={x 2−1，0<x ≤10,x =0−x 2+1，−1≤x <0 …4分(2)(I)函数y =g(x)x是(0, 1]上的增函数．…5分证明如下：因为g(x)为f(x)在(0, +∞)上的一个延拓函数， 所以当x ∈(0, 1]时，g(x)=f(x)=x 2−1． 记k(x)=g(x)x=f(x)x=x −1x ，则k′(x)=1+1x 2>0，所以函数g(x)是(0, +∞)上的增函数．…8分(II)由y=g(x)x 是(0, +∞)上的单调函数，且x∈(0, 1]时，y=g(x)x是增函数，从而得到函数y=g(x)x是(0, 1]上的增函数．…9分因为s>0，t>0，所以s+t>s，s+t>t，所以g(s+t)s+t >g(s)s，即s⋅g(s+t)>(s+t)⋅g(s)．同理可得：t⋅g(s+t)>(s+t)g(t)．将上述两个不等式相加，并除以s+t，即得g(x+t)>g(s)+g(t)．…13分。
北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)数学(文科)
北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（文科）本试卷共150 分，考试时长120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）集合}1{≤=x x U ，}12{≤≤-=x x A ，则A C U =（A ）}2{-≤x x （B ）}12{≥-≤x x x 或 （C ）}2{-<x x （D ）}12{>-<x x x 或 （2）“0<<b a ”是ba 11>的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）设2.03=a ，1.131-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 3=c ，则c b a , , 的大小关系是（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（4）以下茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（A ）2=X ，22S 乙甲<S （B ）2=X ，22S 乙甲>S （C ）6=X ，22S 乙甲<S （D ）6=X ，22S 乙甲>S（5）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为815，则判断框内应填入的条件是（A ）3<k （B ）3>k （C ）4<k （D ）4>k（6）已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中R ∈x ，0>ω，πϕπ<<-)的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式是（A ）)32sin(2)(π-=x x f （B ）)322sin(2)(π+=x x f（C ）)326sin(2)(π-=x x f （D ）)36sin(2)(π+=x x f（7）下列命题说法正确的是（A ）)1(∞+∈∀ , x 使得0ln 21=+x x （B ）)10( , ∈∀x 使得0ln 21=+x x（C ）)1(∞+∈∃ , x 使得0ln 21=+x x （D ）)10( , ∈∃x 使得0ln 21=+x x（8）已知奇函数)(x f 的导函数x x f cos 1)('-=，)11( , -∈x ．满足0)1()1(2<-+-x f x f ，则实数x 的取值范围是（A ）)10( , （B ）)21(,（C ）)22(--, （D ）)2,1()1,2( --第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）复数i i z ⋅+=)3(的实部是_______．（10）数列}{n a 满足n n a a 31=+，且62=a ，则首项1a =___，前n 项和n S =_______．（11）设点)(b a , 是区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-，，，01001y x y x 内的随机点，则满足122≤+b a 的概率是____．（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．（13）ABC ∆中，AD 为BC 边上的高，且1=AD ，则⋅+)(的值为_________．（14）给定数集A .若对于任意A b a ∈,，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下四个结论：① 集合}42024{，，，，--=A 为闭集合； ② 集合}3{Z ∈==k k n n A ，为闭集合； ③ 若集合21A A ,为闭集合，则12A A 为闭集合；④ 若集合21A A ,为闭集合，且1A ≠⊂R ，2A ≠⊂R ，则存在R ∈c ，使得12()c A A ∉.其中，全部正确结论的序号是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知：△ABC 的三个内角C B A 、、的对边分别为a bc 、、，且满足0)c o s (2c o s =+-C A B ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若C A sin 3sin =，ABC ∆的面积为433，求b 边的长． （16）（本小题共13分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：（Ⅰ）抽查的50人中，每天平均学习时间为6~8小时的人数有多少?（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率． （17）（本小题共13分）如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形，CD AB //，CD AB 2=，CD BC ⊥，30=∠DBC ，点F E 、分别为PB AD 、中点．（Ⅰ）求证： //CF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面⊥PAD 平面PEB ．（18）（本小题共14分）已知函数x m xx x f ln 2)(--=（R ∈m ）． （Ⅰ）若4=m ，求)(x f 在))1(1(f , 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在)0(∞+ , 单调递增，求m 的取值范围；（Ⅲ）求1ln )3()()(+-+=x m x f x g 的零点个数．（099.13ln 693.02ln ≈≈,）． （19）（本小题共14分）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的长轴长是22，且过点)221( ，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线)0(≠+=k m kx y l :与椭圆C 交于N M 、两点，F 为椭圆的右焦点，直线MF 与NF 关于x 轴对称．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （20）（本小题共13分）设函数)()(x g x f ,的定义域分别为21D D ,，且1D ≠⊂2D .若对于任意1D x ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在2D 上的一个延拓函数.给定2() 1 (01)f x x x =-<≤.（Ⅰ）若()h x 是()f x 在]11[,-上的延拓函数，且()h x 为奇函数，求()h x 的解析式； （Ⅱ）设()g x 为()f x 在)0(+∞,上的任意一个延拓函数，且()g x y x= 是)0(+∞, 上的单调函数.（ⅰ）判断函数()g x y x=在]10(，上的单调性，并加以证明； （ⅱ）设0s >，0t >，证明：()()()g s t g s g t +>+.北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学文参考答案及评分标准阅卷须知：评分标准所注分数仅供参考，其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）B （7）D （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）2 13-n（11）6π （12）4 （13）2 （14）○2○4 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知得0cos 2cos =+B B ， 得到01cos cos 22=-+B B ，即0)1)(cos 1cos 2(=+-B B ， 解得21cos =B 或1cos -=B ． …………………………………………4分 因为π<<B 0，故舍去1cos -=B ． 所以3π=B ． ……………………………………………………………6分(Ⅱ) 由正弦定理可得c a 3=．……………………………………………7分 而433sin 21=B ac ， 将c a 3=和3π=B 代入上式，得出1=c ，3=a ．………………………11分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得出7=b ． ……………………13分（16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由直方图知，学习时间为6~8小时的频率为36.02)06.012.0202.0(1=⨯+⨯+-，所以学习时间为6~8小时的人数为1836.050=⨯． (4)分(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有3661218=++人．（由人数统计表亦可直 接得出36人）由人数统计表知，高中三个年级的人数之比为3:1:2，所以从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生． ……………………………8分 （Ⅲ）设高一的2名学生为21A A ,，高二的1名学生为B ，高三的3名学生为321C C C ,,．则从6名学生中选取2人所有可能的情形为（21A A ,），（B A ,1），（11C A ,），（21C A ,），（31C A ,），（B A ,2），（12C A ,），（22C A ,），（32C A ,），（1C B ,），（2C B ,），（3C B ,），（21C C ,），（31C C ,），（32C C ,），共15种可能． ………10分其中（B A ,1），（11C A ,），（21C A ,），（31C A ,），（B A ,2），（12C A ,），（22C A ,），（32C A ,），（1C B ,），（2C B ,），（3C B ,），这11种情形符合2名学生来自不同年级的要求．…………12分 故所求概率为1511=P ．…………………………………………………13分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结MD MF 、.由题意，CD MF //,且CD MF =, 所以MDCF 为平行四边形.所以MD CF //. ………………………………………………………………4分 又因为⊄CF 平面PAD ，⊂MD 平面PAD ，所以//CF 平面PAD ．……………………………………………………6分 （Ⅱ）因为侧面PAD 为等边三角形，所以AD PE ⊥.……………………8分 由已知可得AB CD BD ==2，所以AD BE ⊥， …………………………………………………………10分 而E PE BE = ，故⊥AD 平面PBE . …………………………………12分 因为⊂AD 平面PAD ，所以平面⊥PAD 平面PEB ． ………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）4=m 时，x x x x f ln 42)(--=，x xx f 421)('2-+=，……………2分 则有1)1('-==f k ，且1)1(-=f ，故所求切线方程为0=+y x ． …………………………………4分（Ⅱ）222221)('xmx x x m x x f +-=-+=（0>x ），………………………5分 因为)(x f 在)0(∞+,单调递增，因此有0)('≥x f ，即022≥+-mx x 在)0(∞+,恒成立． ……………………………6分当0>m 时，需082≤-m ，解得]220( ,∈m ．当0≤m 时，022≥+-mx x 在)0(∞+,恒成立，符合题意．综上，]220(]0(，， -∞∈m 即]22(，-∞∈m ． ……………………9分 （Ⅲ）x xx x m x f x g ln 3121ln )3()()(-+-=+-+=， 则22)2)(1(321)('x x x x x x g --=-+=．令0)('=x g ，得21==x x 和.……10分x 、),0()()('∞+在与x g x g 上的情况如下：由此可知，)(x g 的极大值为0)1(=g ，)(x g 的极小值为02ln 32)2(<-=g ， 且03ln 3310)3(>-=g ，故)0()(∞+,在x g 有两个零点．…………………14分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，121122222b a a 解得2=a ，1=b ． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． ……………………5分（Ⅱ）椭圆的右焦点)01(，F ，由⎩⎨⎧=++=，，2222y x m kx y 消y 并整理得0224)12(222=-+++m kmx x k ， 设)(11y x M ,，)(22y x N ,，则有0)12(8)22)(12(4)4(22222>+-=-+-=∆m k m k km ，且124221+-=+k km x x ，12222221+-=k m x x ，………………………8分因为直线MA 与NA 关于x 轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数， 则有0=+NA MA k k ，即0112211=-+-x yx y ， 则有02))((22121=-+-+m x x k m x kx ， …………………………11分所以02124)(12222222=-+⋅--+-⋅m k kmk m k m k ， 整理得k m 2-=， ………………………………………………………13分 此时k 满足2222<<-k 且0≠k ，直线l 的方程是)2(-=x k y ， 故直线l 过定点，且该定点为)02(，． …………………………………14分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0x =时，由()h x 为奇函数，得(0)0h =. ………………………1分任取[10)x ∈-，，则(01]x -∈，， 由()h x 为奇函数，得22()()[()1]1h x h x x x =--=---=-+， (3)分所以()h x 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+-=≤<-=．，，，，，01100101)(22x x x x x x h …………………………………4分实用标准文案文档 （Ⅱ）（ⅰ）函数()g x y x=是]10(，上的增函数. …………………5分 证明如下： 因为()g x 为()f x 在)0(∞+,上的一个延拓函数，所以当(01]x ∈，时，2()()1g x f x x ==-. 记()()1()g x f x k x x x x x===-，其中(01]x ∈，. 任取]10(21，∈x x ,，且12x x <，则210x x x ∆=->， 因为211221212112()(1)11()()()0x x x x y k x k x x x x x x x -+∆=-=---=>， 所以函数()g x y x=是]10(，上的增函数. …………………………………8分 （ⅱ）由()g x y x = 是)0(∞+,上的单调函数，且(01]x ∈，时，()g x y x=是增函数，从而得到函数()g x y x= 是)0(∞+,上的增函数.……………………9分 因为 0s >，0t >， 所以 s t s +>，s t t +>，所以 ()()g s t g s s t s+>+，即 ()()()s g s t s t g s ⋅+>+⋅. 同理可得：()()()t g s t s t g t ⋅+>+⋅.将上述两个不等式相加，并除以s t +，即得 ()()()g s t g s g t +>+. …13分。
北京市东城区2014届高三3月质量调研数学文 含答案
北京市东城区2014届高三3月质量调研数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（C U Q ）= A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3， 4，5} C.{1，2，5} D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+B. 4C. 3D.32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A. 23x y =B. 2x y =C. 28x y = D. 216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5=13. 已知平面向量(2,4)a =r，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距 离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。
北京市东城区2014届高三第二次月考数学试题无答案
东城区 2013-2014-1 学年度高三第 2 次月考高三数学本试卷满分150 分，考试时间120 分钟一、选择题（本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分）1．已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）（A）（B）（C）（D）2．若会合，，则“”是“”的 ()（ A）充足不用要条件（B）必需不充足条件（ C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件3．以下函数中，与函数 y= x 有同样图象的一个是（）.（） y=（） y= ()2A B（C） y =（D） y =4．以下函数中，在区间 (0 ， +∞ ) 上是增函数的是（） .（A） y = - x2（B） y = x2 -2（C）y=（）y D5．假如直线 l 与直线 x+5=0对于 x 轴对称，那么直线 l 的方程为（）3 -4.（A）（B）（C）（D）6 ．实数-·+lg4+2lg5 的值为（）.（A）20（B）10（C）5（D）27．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（） .（A）（B）（C）（D）8.已知函数则“”是“增”的（）（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件在上单一递9．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（）（A）（ B）（ C）（D）10．已知函数实数根，则实数的取值范围是（若方程）有且只有两个不相等的（A）（B）（ C）（D）二、填空题（本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分）11．函数的定义域为.12．若点在幂函数的图象上，则. 13．已知是奇函数，则.14．已知 f （x）=若 f0( x )=3，则 x0＝___ _______.15．. 参数方程表示的图形上的点到直线的最短距离为；16．经过点M(2，1)，而且与圆相切的直线方程是.17．如图，已知椭圆的左极点为，左焦点为，上极点为，若，则该椭圆的离心率是.三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）18．（本小题满分 10 分）定义在 R 上的奇函数（Ⅰ）求的分析式；（Ⅱ）写出函数的单一区间。
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北京市东城区普通高中示范校2014届下学期高三年级零模考试数学试卷（文科，有答案）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ⋂（U Q ）=A. {1，2，3，4，6}B. {1，2，3，4，5}C. {1，2，5}D. {1，2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55。
若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 标准差3. 已知i 是虚数单位，若i zi-=+13，则z 的共轭复数为 A. 1－2i B. 2－4iC.2－22i D. 1+2i4. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面， A. 若l ∥ α，l ∥β，则α∥β B. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD. 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5. 函数y=2sin )36(ππ-x（0≤x ≤9）的最大值与最小值之差为A. 2+3B. 4C. 3D. 2－36. “a ≤0”“是函数f （x ）=)2(ax x -在区间（0，+∞）内单调递增”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线1:22221=-by a x C （a >0，b>0）的离心率为2，若抛物线C 2：x 2=2py （p>0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为A. y x 3382=B. y x 33162=C. y x 82=D. y x 162=8. 已知f （x ）=x 3－6x 2+9x －a bc ，a <b<c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0，现给出如下结论： ①f （0）f （1）>0；②f （0）f （1）<0；③f （0）f （3）>0；④f （0）f （3）<0。
其中正确结论的序号是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥，，，09201y x y x x 则x +y 的最大值是 。
10. 经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x +y=0垂直的直线方程是 。
11. 曲线y=x e x +2x +1在点（0，1）处的切线方程为 。
12. 在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +ln （1+n1），则a 5＝ 。
13. 已知平面向量a =（2，4），b=（1，－2）若c=a －（a ²b ）b ，则c = 。
14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l ：y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+（y+4）2=2到直线l ：y=x 的距离，则实数a = 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3a cosB 。
（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA ，求△ABC 的面积。
16. （本题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，△PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°（Ⅰ）证明：AC=BC ； （Ⅱ）证明：AB ⊥PC ；（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P －ABC 的体积。
17. （本题满分13分）一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：A 类轿车10辆。
（Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本。
将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。
把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
18. （本题满分14分）设函数f n （x ）=x n +b x +c （n ∈N +，b ，c ∈R ） （Ⅰ）设n ≥2，b=1，c=－1，证明：f n （x ）在区间（21，1）内存在唯一的零点； （Ⅱ）设n=2，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有)()(2212x f x f -≤4，求b 的取值范围。
19. （本题满分14分）已知椭圆14:221=+y x C ，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率。
（Ⅰ）求椭圆C 2的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，2=，求直线A B 的方程。
20. （本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k =max {a 1，a 2，…，a k }（k=1，2，…，m ），即b k为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列。
如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5。
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n }； （Ⅱ）设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k +b m －k+1=C （C 为常数，k=1，2，…，m ）。
求证：b k =a k （k=1，2，…，m ）。
2014年3月高三年级教学质量调研试卷数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. D 2. D 3. A4. B5. A6. C7. D8. C 。
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 6 10. x －y+1=0 11. y=3x+112. 2+ln5 13. 82 14.49三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）bsinA=3acosB ，由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB ， 即得，tanB=3，∴B=3π。
…………………………………………………… 5分 （Ⅱ）∵sinC=2sinA ，由正弦定理得c=2a ， 由余弦定理，b 2=a 2+c 2－2a ccosB ，9=a 2+4a 2－2a ²cos 3π， 解得a=3，∴c=2a=23。
△ABC 的面积=21acsinB=233。
……………………………………………12分16. （本题满分14分）（Ⅰ）因为△PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，所以Rt △PBC ≌Rt △PAC ，可得AC=BC 。
…………………………………………… 3分（Ⅱ）如图，取AB 中点D ，连结PD ，CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ， 所以AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PC 。
…………………………………………7分（Ⅲ）作BE ⊥PC ，垂足为E ，连结AE 。
因为Rt △PBC ≌Rt △PAC ，所以AE ⊥PC ，AE=BE 。
由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故∠AEB=90°所以Rt △AEB ≌Rt △PEB ，Rt △AEB ≌Rt △CEB ，AE=BE ，所以△AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形。
由已知PC=4，得AE=BE=2，△AEB 的面积S=2。
因为PC ⊥平面AEB ，所以三棱锥P —ABC 的体积V=3831=⨯⨯PC S …………………… 14分17. （本题满分13分）（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得，3001001050+=n ， 所以n=2000。
z=2000－100－300－150－450－600=400 ……………………… 3分 （Ⅱ）设所抽样本中有m 辆舒适型轿车， 因为用分层抽样，所以51000400m=，解得m=2， 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2辆的所有基本事件为（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2），（B 2，B 3），（B 1，B 3）共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S 1，B 1），（S 2，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为107。
………………………………………………………………… 9分（Ⅲ）样本的平均数为81=x （9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为86=0.75。
……… 13分18. （本题满分14分）（Ⅰ）当b=1，c=－1，n ≥2时，f n （x ）=x n +x －1， ∵01)2121()1()21(<⨯-=nn n f f ，∴f n （x ）在)121(，内存在零点。
又当x ∈（21，1）时，f n （x ）=nx n －1+1>0， ∴f n （x ）在（21，1）上是单调递增的，∴f n （x ）在（21，1）内存在唯一零点。
……6分（Ⅱ）当n=2时，f 2（x ）=x 2+bx+c 。
对任意x 1，x 2∈[－1，1]都有)()(2212x f x f -≤4等价于f 2（x ）在[－1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4，据此分类讨论如下：（ⅰ）当2b>1，即b >2时， M=42)1()1(22>=--b f f ，与题设矛盾。
（ⅱ）当－1≤－2b<0，即0<b ≤2时， M=222)12()2()1(+=--b b f f ≤4恒成立。