中考因式分解专题(难)
中考中的因式分解
因式分解是中考数学中的一个重要知识点，也是中考数学中难度较大的考点之一。
在中考中，因式分解主要涉及整式的因式分解、多项式的因式分解和多项式根式化简等。
首先，整式的因式分解是中考中最常见的题型之一。
整式的因式分解是将一个整式拆分成两个或多个乘积的形式。
例如，对于整式 $a+b$,可以将其因式分解为 $(a+b)$。
在整式因式分解中，需要注意系数的一致性问题，即同类项的系数应该相同。
其次，多项式的因式分解也是中考中的一类重要题型。
多项式的因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个乘积的形式。
例如，对于多项式 $a+bx+c$,可以将其因式分解为 $(a+bx+c)$。
在多项式因式分解中，需要注意系数的一致性问题，即同类项的系数应该相同。
最后，中考中还涉及到多项式根式化简的问题。
多项式根式化简是将根式化简成一个最简形式的过程。
例如，对于多项式根式 $\sqrt{a+b}$,可以将其化简为 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
在多项式根式化简中，需要注意根式的符号问题，即根式的分子和分母应该同时乘以适当的正数，使得根式的符号发生变化。
在中考中，因式分解是一个较为重要的考点，需要我们熟练掌握因式分解的方法和技巧，以便在考试中能够更好地解决问题。
2022中考真题分类4——因式分解(参考答案)
2022中考真题分类——因式分解(参考答案)1.(2022·广西河池)多项式244x x −+因式分解的结果是( )A ．x (x −4)+4B ．(x +2)(x −2)C ．(x +2)2D ．(x −2)2 【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：()22442x x x −+=−.故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键.2.(2022·四川绵阳)因式分解：32312x xy −=_________. 【答案】()()322x x y x y +−【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解.【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y −=+−. 故答案为：()()322x x y x y +−.【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键.3.(2022·广西贺州)因式分解：2312m −=__________.【答案】3(2)(2)m m +−【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2).【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.4.(2022·湖北恩施)因式分解：3269a a a −+=______.【答案】2(3)a a −【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：原式22(69)(3)a a a a a =−+=−，故答案为：2(3)a a −.【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征.5.(2022·辽宁锦州·)分解因式：2232x y xy y −+=____________. 【答案】2()y x y −【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2ab +b 2.【详解】解：222223(2)(2)=−++=−−x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y −【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式.6.(2022·四川内江)分解因式：a 4−3a 2−4＝_____.【答案】(a 2+1)(a +2)(a −2)【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +− ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可.【详解】解：a 4−3a 2−4＝(a 2+1)(a 2−4)＝(a 2+1)(a +2)(a −2)，故答案为：(a 2+1)(a +2)(a −2).【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查.7.(2022·黑龙江绥化)因式分解：()()269m n m n +−++=________.【答案】()23m n +−【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可.【详解】解：()()269m n m n +−++ ()()22233m n m n =+−⨯⨯++ ()23m n =+−，故答案为：()23m n +−.【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键.8.(2022·辽宁沈阳)分解因式：269ay ay a ++=______. 【答案】()23a y +【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：269ay ay a ++=()269a y y ++ ()23a y =+； 故答案为：()23a y +.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.9.(2022·贵州黔东南)分解因式：2202240442022x x −+=_______.【答案】()220221x −##()220221x −【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解.【详解】解：原式=()()2220222120221x x x −+=−； 故答案为()220221x −.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.10.(2022·四川广元)分解因式：a 3−4a ＝_____.【答案】()()22a a a +−【分析】根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：原式=()()()2422a a a a a −=+−； 故答案为：()()22a a a +−.【点睛】本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.11.(2022·湖南常德)分解因式：329x xy −=________.【答案】(3)(3)x x y x y −+【分析】先提取公因式，然后再根据平方差公式即可得出答案.【详解】原式=32229(9)x xy x x y −=−=(3)(3)x x y x y −+.故答案为：(3)(3)x x y x y −+.【点睛】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法.12.(2022·湖南怀化)因式分解：24−=x x _____. 【答案】2(1)(1)+−x x x【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可.【详解】解：()242221(1)(1)−=−=+−x x x x x x x ， 故答案为：2(1)(1)+−x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键.13.(2022·内蒙古赤峰)分解因式：32242x x x ++=______. 【答案】22(1)x x +【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解.【详解】解：32242x x x ++，22(21)x x x =++，22(1)x x =+，故答案是：22(1)x x +.【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及完全平方公式.14.(2022·四川巴中)因式分解：322a a a −+−=______.【答案】2(1)a a −−【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可【详解】∵322a a a −+−=−a 22)1(a a −+=2(1)a a −−故答案为： 2(1)a a −−.【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键.15.(2022·山东威海)因式分解24ax a −=___________ 【答案】(2)(2)a x x +−.【详解】试题分析：原式=2(4)(2)(2)a x a x x −=+−.故答案为(2)(2)a x x +−. 考点：提公因式法与公式法的综合运用.16.(2022·贵州黔西)已知2ab =，3a b +=，则22a b ab +的值为_____. 【答案】6【分析】将22a b ab +因式分解，然后代入已知条件即可求值.【详解】解：22a b ab +()ab a b =+23=⨯6=.故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.17.(2022·四川广安)已知a +b =1，则代数式a 2−b 2 +2b +9的值为________. 【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +−++，可得9a b ++，即可求解.【详解】解：a 2−b 2 +2b +9()()29a b a b b =+−++29a b b =−++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键.。
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
初中数学：因式分解强化练习(含答案)
因式分解知识讲解1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解.注：因式分解和整式乘法互为逆运算.2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法.4、因式分解的原则（1）分解因式必须要分解到不能分解为止.（2）有公因式的一定要先提取公因式.（一）提公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式；找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数；2、字母是相同字母；3、字母的次数：相同字母的最低次数.总结:把公有的因式提出来，剩下的照着抄下来.一、填空题（1）因式分解：am-3a= a （m-3） .（2）因式分解：ax ²-ax= ax （x-1） .（3）因式分解：3ab ²+a ²b= ab （3b+a ） .（4）因式分解：x 2﹣xy= x （x ﹣y ） ．（5）因式分解：（x+y ）²-（x+y ）= （x+y ）（x+y-1） .（6）因式分解：a （a-b ）-a+b= （a-b ）（a-1） .（7）因式分解：2m(a －b)－3n(b －a)＝ (a －b)(2m ＋3n) .二、因式分解的解答题1、直接提取公因式(1)3ab 2＋a 2b ； (2)2a 2－4a ； （3）20x ³y-15x ²y 解：原式＝ab(3b ＋a) 解：原式＝2a(a －2) 解：原式=)34(52-x y x(4)x 4＋x 3＋x ； (5)3x 3＋6x 4； (6)4a 3b 2－10ab 3c ；解：原式＝x(x 3＋x 2＋1)． 解：原式＝3x 3(1＋2x)． 解：原式＝2ab 2(2a 2－5bc)．(7)－3ma 3＋6ma 2－12ma ； （8）ab b a b a 264222-+- （9） y x y x y x 332232-- 解：原式＝－3ma(a 2－2a ＋4) 解：原式=-2ab （2ab-3a+1） 解：原式=)321(22x y y x --2、变符号，再提取公因式（1）a （3-b ）+3（b-3） （2）2a （x-y ）-3b （y-x ） (3)x(x －y)＋y(y －x) 解：原式=（3-b ）（a-3） 解：原式=（x-y ）（2a+3b ） 解：原式＝(x －y)2.(4)m(5－m)＋2(m －5)； （5）)93()3(2-+-x x解：原式＝(m －2)(5－m)． 解：原式=x （x-3）；3、稍微复杂的提取公因式（1）6x （a-b ）+4y （b-a ） (2)6p(p ＋q)－4q(p ＋q)．解：原式=2（a-b ）（3x-2y ） 解：原式＝2(p ＋q)(3p －2q)．(3)4q(1－p)3＋2(p －1)2. (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3.解：原式＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1) 解：原式＝5(x －2y)3(x ＋4y)．(5)(a 2－ab)＋c(a －b)； （6）22)2(20)2(5a b b b a a --- 解：原式＝(a ＋c)(a －b)． 解:原式=5（a-2b ）2（a-4b ）4、用简便方法计算：（1）213×255-213×55. （2）1571215711576⨯-⨯-⨯. 解：（1）原式=42600； 解：（2）原式=-15.（二）平方差公式因式分解1、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-2、平方减平方等于平方差，等于两个数的和乘以两个数的差.3、有公因式的，先提公因式，再因式分解.一、填空题（1）因式分解：a ³-a= a （a+1）（a-1） .（2）因式分解：x 2﹣4= （x+2）（x ﹣2） .（3）因式分解：16x 2－64＝ 16(x ＋2)(x －2) .（4）因式分解：a 3﹣ab 2= a （a+b ）（a ﹣b ） ．二、在实数范围内分解因式：1、(1)4x 2－y 2 (2)－16＋a 2b 2 (3)100x 2－9y 2解：(2x ＋y)(2x －y) 解：(ab ＋4)(ab －4) 解：(10x ＋3y)(10x －3y)（4）4x ²-9y ² (5)x 2－3解：原式=（2x+3y ）（2x-3y ） 解：原式＝(x －3)(x ＋3)(6)4x 2－25 (7)(x 2＋9)2－36x 2解：原式＝(2x ＋5)(2x －5) 解：原式＝(x ＋3)2(x －3)22、将下列式子因式分解.（1）（m+n ）²-（m-n ）² (2)(x ＋2y)2－(x －y)2 (3)(a ＋3)2－(a ＋b)2 解:原式=4mn 解：原式＝3y(2x ＋y) 解：原式＝(2a ＋b ＋3)(3－b)3、先提公因式再因式分解.(1)a 3－9a （2）2416x x - （3）224364b a a -解：原式＝a(a ＋3)(a －3) （2）原式=x ²（x+4）（x-4） （3）原式=4a ²（a+3b ）（a-3b ）(4)3m(2x －y)2－3mn 2 （5）(a －b)b 2－4(a －b) 解：原式＝3m(2x －y ＋n)(2x －y －n) 解：原式＝(a －b)(b ＋2)(b －2)4、四次的因式分解.(1)16－b 4 (2)x 4－4解：原式＝(2＋b)(2－b)(4＋b 2) 解：原式＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2) （三）完全平方公式因式分解完全平方式 222)(2b a b ab a ±=+± 等于（首-尾）2或者（首+尾）2一、填空题（1）因式分解：x 2y 2－2xy ＋1＝ (xy －1)2 ．（2）因式分解：－4a 2＋24a －36＝ －4(a －3)2 .（3）因式分解：x 2﹣6x+9= （x ﹣3）2 .（4）因式分解：ab 2﹣4ab+4a= a （b ﹣2）2 ．（5）因式分解：= ﹣（3x ﹣1）2 ．二、解答题1、分解因式.(1)a 2＋4a ＋4 (2)4x 2＋y 2－4xy (3)9－12a ＋4a 2 解：原式＝(a ＋2)2 解：原式＝(2x －y)2 解：原式＝(3－2a)22、因式分解.（1）9)1(6)1(222+---x x （2）16)4(8)4(222+-+-m m m m 解：原式=（x+2）²（x-2）² 解：原式=4)2(-m(4)(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4 (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9解：原式＝(a ＋b －2)2 解：原式＝(m ＋n －3)23、利用因式分解计算.（1）202²+98²+202×196 （2）800²-1600×798+798²解：（1）原式=90000； 解：（2）原式=4.4、利用因式分解计算：992＋198＋1.解：原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10000. （四）十字相乘法方法步骤：第一步：拆分，拆分二次项次数和常数项.第二步：交叉相乘，然后相加，加出来的得数若等于中间的一次项系数则配对成功，可以横着写.十字相乘法专项练习题（1）=--1522x x (x-5)(x+3) (2)=+-652x x (x-2)(x-3)（2）=--3522x x (2x+1)(x-3) （4）=-+3832x x (3x-1)(x+3)（5）=+-672x x (x-1)(x-6) （6）=-+1232x x (3x-1)(x+1)（7）=--9542x x (4x-9)(x+1) （8)=--2142x x (x-7)(x+3)（9）2x 2+3x+1= (2x+1)(x+1) （10）=-+22x x (x-1)(x+2)（11）20－9y －20y 2 =-(4y+5)(5y-4) （12）=-+1872m m (m-2)(m+9)（13）=--3652p p (p-9)(p+4) （14）=--822t t (t-4)(t+2)（15）=++342x x (x+1)(x+3) （16）=++1072a a (a+2)(a+5)（17）=+-1272y y (y-3)(y-4) （18）q 2-6q+8=(q-2)(q-4)（19）=-+202x x (x-4)(x+5) （20）=++232x x (x+1)(x+2)（21）18x 2－21x+5=(3x-1)(6x-5) （22）=-+1522x x (x-3)(x+5)（23）2y 2+y －6= (2y-3)(y+2) （24）6x 2－13x+6= (2x-3)(3x-2)（25）3a 2－7a －6= (3a+2)(a-3) （26）6x 2－11x+3= (2x-3)(3x-1)（27）4m 2+8m+3= (2m+3)(2m+1) （28）10x 2－21x+2= (10x-1)(x-2)（29）8m 2－22m+15= (2m-3)(4m-5) （30）4n 2+4n －15= (2n+5)(2n-3)（31）6a 2+a －35= (2a+5)(3a-7) （32）5x 2－8x －13= (5a-13)(a+1)（33）4x 2+15x+9=(4x+3)(x+3) （34）8x 2+6x －35=(4x-7)(2x+5)因式分解中考真题专项练习（一）1、（云南）因式分解：3x 2﹣6x+3= 3（x-1)2 ．2、（宜宾）分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2= 3(m-n)2 ．3、（仙桃天门潜江江汉）分解因式：3a 2b+6ab 2= 3ab(a+b) ．4、（湘潭）因式分解：m 2﹣mn= m(m-n) ．5、（绥化）分解因式：a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3= ab(a-b)2 ．6、（潍坊）分解因式：x 3﹣4x 2﹣12x= x(x-6)(x+2) ．7、（威海）分解因式：3x 2y+12xy 2+12y 3= 3y(x+2y)2 ．8、（沈阳）分解因式：m 2﹣6m+9= (m-3)2 ．9、（黔西南州）分解因式：a 4﹣16a 2= a 2(a+4)(a-4) ．10、（南充）分解因式：x 2﹣4x ﹣12= (x-6)(x+2) ． 11、（六盘水）分解因式：2x 2+4x+2= 2(x+1)2 ． 12、（临沂）分解因式：a ﹣6ab+9ab 2= a(1-3b)2 ．13、（呼伦贝尔）分解因式：27x 2﹣18x+3= 3(3x-1)2 ． 14、（黄石）分解因式：x 2+x ﹣2= (x+2)(x-1) ．15、（哈尔滨）把多项式a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是 a(a-1)2 ．16、（乐山）下列因式分解：①x 3﹣4x=x （x 2﹣4）；②a 2﹣3a+2=（a ﹣2）（a ﹣1）；③a 2﹣2a ﹣2=a （a ﹣2）﹣ 2；④．其中正确的是 ②④ （只填序号）． 17、（江津区）把多项式x 2﹣x ﹣2分解因式得 (x-2)(x+1) ．18、（荆州）分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= (x-2)2 ．19、（莱芜）分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= -x(x-1)2 ．20、（菏泽）将多项式a 3﹣6a 2b+9ab 2分解因式得 a(a-3b)2 ．21、（抚顺）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a(a-2)2 ．22、（巴中）把多项式3x 2+3x ﹣6分解因式的结果是 3(x+2)(x-1) ．23、（鞍山）因式分解：ab 2﹣a= a(b+1)(b-1) ．24、（中山）分解因式：x 2﹣y 2﹣3x ﹣3y= (x+y)(x-y-3) ．25、（安顺）将x ﹣x 2+x 3分解因式的结果为 x(1-0.5x)2 ．26、（湘潭）已知m+n=5，mn=3，则m 2n+mn 2= 15 ．27、（潍坊）分解因式：27x 2+18x+3= 3(3x+1)2 ．28、（威海）分解因式：（x+3）2﹣（x+3）= (x+3)(x+2) ．29、（陕西）分解因式：a 3﹣2a 2b+ab 2= a(a-b)2 ．30、（泉州）因式分解：x 2﹣6x+9= (x-3)2 ．31、（攀枝花）因式分解：ab 2﹣6ab+9a= a(b-3)2 ．32、（内江）分解因式：﹣x 3﹣2x 2﹣x= -x(x+1)2．33、（临沂）分解因式：xy 2﹣2xy+x= x(y-1)2 ．34、（嘉兴）因式分解：（x+y ）2﹣3（x+y ）= (x+y)(x+y-3) ．35、（赤峰）分解因式：3x 3﹣6x 2+3x= 3x(x-1)2 ．36、（泰安）将x+x 3﹣x 2分解因式的结果是 x(x-21)2 ． 37、（绍兴）分解因式：x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3= xy(x-y)2 ．38、（黔东南州）分解因式：x3+4x2+4x= x(x+2)2．39、（聊城）分解因式：ax3y+axy3﹣2ax2y2= axy(x-y)2．40、（莱芜）分解因式：（2a+b）2﹣8ab= (2a-b)2．41、（巴中）把多项式x3﹣4x2y+4xy2分解因式，结果为 x(x-2y)2．42、（潍坊）在实数范围内分解因式：4m2+8m﹣4= 4(m2+2m-1) ．43、（雅安）分解因式：2x2﹣3x+1= (2x-1)(x-1) ．44、（芜湖）因式分解：（x+2）（x+3）+x2﹣4= (2x+1)(x+2) ．45、（深圳）分解因式：﹣y2+2y﹣1= -(y-1)2．46、（广元）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2= 3m(m-3n)2．47、（广东）分解因式：2x2﹣10x= 2x(x-5) ．48、（大庆）分解因式：ab﹣ac+bc﹣b2= (a-b)(b-c) ．49、（广西）分解因式：2xy﹣4x2= 2x(y-2x) ．50、（本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a= a(3a-1)2．51、（北京）分解因式：mn2+6mn+9m= m(n+3)2．52、（珠海）分解因式：ax2﹣4a= a(x+2)(x-2) ．53、（张家界）因式分解：x3y2﹣x5= x3(y+x)(y-x) ．54、（宜宾）分解因式：4x2﹣1= (2x-1)(2x+1) ．55、（岳阳）分解因式：a4﹣1= (a+1)(a-1)(a2+1) ．56、（扬州）因式分解：x3﹣4x2+4x= x(x-2)2．57、（潍坊）分解因式：a3+a2﹣a﹣1= (a+1)2(a-1) ．58、（威海）分解因式：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2= (4-x+y)2．59、（淄博）分解因式：8（a2+1）﹣16a=8（a﹣1）2．60、（遵义）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．因式分解中考真题专项练习（二）1、（泸州）分解因式：3a2﹣3=3（a+1）（a﹣1）．2、（泸州）分解因式：2m2﹣8=2（m+2）（m﹣2）．3、（泸州）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．4、（泸州）分解因式：2m2﹣2=2（m+1）（m﹣1）．5、（泸州）分解因式：3a2+6a+3= 3（a+1）2．6、（泸州）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．7、（泸州）分解因式：x3﹣6x2+9x=x（x﹣3）2．8、（泸州）分解因式：3x 2+6x+3= 3（x+1）2 ．9、（泸州）分解因式：ax ﹣ay= a （x ﹣y ） ．10、（泸州）分解因式：3a 2﹣6a+3= 3（a ﹣1）2 .11、（泸州）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a （x 2﹣4x+4）=a （x ﹣2）2 .12、（南充）分解因式：2a 3﹣8a ＝ 2a （a+2）（a ﹣2） ．13、（德阳）分解因式：2xy 2+4xy+2x ＝ 2x （y+1）2 ．14、（眉山）分解因式：x 3﹣9x ＝ x （x+3）（x ﹣3） ．15、（绵阳）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ y （x ﹣2y ）（x+2y ） ．16、（内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3＝ ab （a+b ）（a ﹣b ） ．17、（攀枝花）分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy ＝ xy （x ﹣1）2 ．18、（遂宁）分解因式3a 2﹣3b 2＝ 3（a+b ）（a ﹣b ） ．19、（宜宾）分解因式：2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3＝ 2ab （a ﹣b ）2 ．20、（自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay 2＝ a （x+y ）2 ．21、（广安）因式分解：3a 4﹣3b 4＝ 3（a 2+b 2）（a+b ）（a ﹣b ） ．22、（广元）分解因式：a 3﹣4a ＝ a （a+2）（a ﹣2） ．23、（眉山）分解因式：3a 3﹣6a 2+3a ＝ 3a （a ﹣1）2 ．24、（绵阳）因式分解：m 2n+2mn 2+n 3＝ n （m+n ）2 ．25、（内江）分解因式：xy 2﹣2xy+x ＝ x （y ﹣1）2 ．26、（攀枝花）分解因式：a 2b ﹣b ＝ b （a+1）（a ﹣1） ．27、（宜宾）分解因式：b 2+c 2+2bc ﹣a 2＝ （b+c+a ）（b+c ﹣a ） ．28、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：2=-m m 83 2m(m+2)(m-2) .（2）分解因式：=-222m ()()112-+m m .（3）分解因式：=+-962x x ()23-x 29、（泸州模拟）（1）分解因式：2a 2﹣2＝ 2（a+1）（a ﹣1） ．（2）分解因式：x 2﹣2x+1＝ ()21-x ． 30、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：3x 3﹣12x ＝ 3x （x ﹣2）（x+2） ．（2）分解因式：2x 2﹣8＝ 2（x+2）（x ﹣2） ．（3）分解因式：3m 2﹣12＝ 3（m+2）（m ﹣2） ．（4）分解因式：2m 2+4m+2＝ 2（m+1）2 ．（5）分解因式：x 2﹣6x+9＝ （x ﹣3）2 ．31、（南充）分解因式：x 2﹣4（x ﹣1）= （x ﹣2）2 ．32、（巴中）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．33、（达州）分解因式：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．34、（乐山）把多项式分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．35、（绵阳）因式分解：x2y4﹣x4y2=x2y2（y﹣x）（y+x）．36、（宜宾）分解因式：am2﹣4an2=a（m+2n）（m﹣2n）．37、（广安）分解因式：my2﹣9m=m（y+3）（y﹣3）．38、（株洲）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=（x﹣3）（4x+3）．39、（眉山）分解因式：xy2﹣25x=x（y+5）（y﹣5）．40、（宜宾）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x-1）．41、（深圳）分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．42、（绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=y（x﹣）（x+）．。
人教版九年级数学中考因式分解专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考因式分解专项练习1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）运用公式法.①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±（3）十字相乘法。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++②首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.（4）分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 3.分解因式的步骤：专题知识回顾(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ） A ．（4x +y ）（4x ﹣y ） B ．4（x +y ）（x ﹣y ） C ．（2x +y ）（2x ﹣y ） D ．2（x +y ）（x ﹣y ） 【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x 2－y 2＝（2x ）2－y 2 =（2x +y ）（2x ﹣y ）．【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x 4﹣16＝ ． 【答案】（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）． 【解析】运用公式法．x 4﹣16＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）． 【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________． 【答案】a （b+1）（b －1）【解析】提公因式法与公式法的综合运用 原式=a （b 2－1）=a （b+1）（b －1）．【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-= ． 【答案】a （a ﹣3b ）2．【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
中考数学《因式分解》专项练习题及答案
中考数学《因式分解》专项练习题及答案一、单选题1．下列多项式中,能用提公因式法因式分解的是()A．x2-y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2-xy+y22．下列式子变形是因式分解的是（）A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)3．下列因式分解正确的是（）A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5）C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）24．把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（）A．ax（x2﹣2x）B．ax2（x﹣2）C．ax（x+1）（x﹣1）D．ax（x﹣1）25．下面从左到右的变形是因式分解的是（）A．6xy=2x⋅3y B．(x+1)(x−1)=x2−1C．x2−3x+2=x(x−3)+2D．2x2−4x=2x(x−2)6．对于①(x+3)(x−1)=x2+2x−3，②x−3xy=x(1−3y)从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是整式的乘法C．①是因式分解，②是整式的乘法D．①是整式的乘法，②是因式分解7．若x2+kx+16=(x−4)2，那么（）A．k=－8，从左到右是乘法运算B．k=8，从左到右是乘法运算C．k=－8，从左到右是因式分解D．k=8，从左到右是因式分解8．把代数式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）A．m（x+3）2B．m（x+3）（x-3）C．m（x-4）2D．m（x-3）29．下列等式中，从左到右的变形是因式分解（）A．2x2y+8xy2+6=2xy(x+4y)+6B．(5x−1)(x+3)=5x2−14x−3C．x2−y2=(x+y)(x−y)D．x3+y2+2x+1=(x+1)2+y210．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．x(x −2)=x 2−2xB ．(x −1)2=x 2−2x −1C ．x 2−4=(x +2)(x −2)D ．x 2+3x +2=x(x +3)+211．若多项式mx 2-1n 可分解因式为（3x+15）（3x-15），则m 、n 的值为（ ）A ．m=3，n=5B ．m=-3，n=5C ．m=9，n=25D ．m=-9，n=-2512．下列因式分解正确的是（ ）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋ 14 ＝（x ﹣ 12 ）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）二、填空题13．分解因式： 2a 2−2= ． 14．分解因式：2 a 3−8a ＝ . 15．因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2= ． 16．已知x+y=6，xy=3，则x 2y+xy 2的值为 . 17．因式分解： 3a 2−6a +3 ＝ ． 18．分解因式：xy 2﹣9x= ．三、综合题19．综合题（1）已知a+b=1,ab= 14 ,利用因式分解求a(a+b)(a-b)-a(a+b)2的值.（2）若x 2+2x=1,试求1-2x 2-4x 的值.20．我们用xyz ̅̅̅̅̅表示一个三位数，其中x 表示百位上的数，y 表示十位上的数，z 表示个位上的数，即xyz̅̅̅̅̅=100x +10y +z . （1）说明abc ̅̅̅̅̅+bca ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅一定是111的倍数； （2）①写出一组a 、b 、c 的取值，使abc ̅̅̅̅̅+bca ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅能被11整除，这组值可以是a= ，b= ，c= ；②若abc ̅̅̅̅̅+bca ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅能被11整除，则a 、b 、c 三个数必须满足的数量关系是 .21．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.如：①用配方法分解因式：a 2+6a+8 解：原式=a 2+6a+8+1-1=a 2+6a+9-1=(a+3)2－12= [(a +3)+1][(a +3)−1]=(a +4)(a +2)②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值.解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2.请根据上述材料解决下列问题：2+2x−3.（1）用配方法．．．因式分解：x（2）若M=2x2−8x，求M的最小值.（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值.22．由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+）（x+）；（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．23．将下列各式分解因式：（1）2x2y−8xy+8y（2）a2(x−y)−9b2(x−y)24．因式分解：（1）−20a−15ax（2）(a−3)2−(2a−6)参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】B13．【答案】2(a+1)(a-1) 14．【答案】2a(a+2)(a-2) 15．【答案】a （a ﹣b ）2 16．【答案】18 17．【答案】3（a -1）2 18．【答案】x （y ﹣3）（y+3）19．【答案】（1）解：原式=a(a+b)(a-b-a-b)=-2ab(a+b).∵a+b=1,ab= 14∴原式=-2× 14 ×1=- 12 .（2）解：∵x 2+2x=1, ∴1-2x 2-4x=1-2(x 2+2x) =1-2×1=-1.20．【答案】（1）解：abc ̅̅̅̅̅+bca ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅ =100a +10b +c +100b +10c +a +100c +10a +b=111a +111b +111c =111(a +b +c)∵a 、b 、c 都是整数 ∴a +b +c 也是整数∴111(a +b +c)是111的倍数∴abc ̅̅̅̅̅+bca ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅一定是111的倍数 （2）2；4；5（答案不唯一）；a +b +c =11或a +b +c =22（1≤a ≤9，1≤b ≤9，1≤c ≤9）21．【答案】（1）解：原式 =x 2+2x −3+4−4=x 2+2x +1−4 =(x +1)2−22 =[(x +1)+2][(x +1)−2]=(x +3)(x −1) ；（2）解： 2x 2−8x =2(x 2−4x)=2(x 2−4x +4−4) =2[(x −2)2−4] =2(x −2)2−8 ∵(x −2)2≥0∴ 当 x =2 时， M 有最小值 −8 ； （3）解： x 2+2y 2+z 2−2xy −2y −4z +5=(x 2−2xy +y 2)+(y 2−2y +1)+(z 2−4z +4)=(x −y)2+(y −1)2+(z −2)2 ∵(x −y)2+(y −1)2+(z −2)2=0∴{x −y =0y −1=0z −2=0解得 {x =1y =1z =2则 x +y +z =1+1+2=4 .22．【答案】（1）2；4（2）解：∵x 2﹣3x ﹣4=0 x 2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1=0 ∴（x ﹣4）（x+1）=0 则x+1=0或x ﹣4=0 解得：x=﹣1或x=4．23．【答案】（1）解：原式＝2y （x 2﹣4x+4）＝2y （x ﹣2）2；（2）解：原式＝（x ﹣y ）（a 2﹣9b 2） ＝（x ﹣y ）（a+3b ）（a ﹣3b ）.24．【答案】（1）解： −20a −15ax= −5a×4−5a⋅3x=−5a(4+3x)；（2）解：(a−3)2−(2a−6) = (a−3)2−2(a−3)= (a−3)(a−3−2)=(a−3)(a−5)。
八年级上册数学 整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]
![八年级上册数学 整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d0c5e208fd0a79563c1e72bc.png)
式．
10．已知三个实数 a,b,c 满足 a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b＜0，b2-ac≥0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得 a+c=2b，然后将 a+c 替换掉可求得 b＜0，将 b2-ac 变形为 a c2 ，可根据平
A． (2a2 5a)cm2 【答案】D
B． (3a 15)cm2
C． (6a 9)cm2
D． (6a 15)cm2
【解析】 【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】 矩形的面积为： （a+4）2-（a+1）2 =（a2+8a+16）-（a2+2a+1） =a2+8a+16-a2-2a-1 =6a+15． 故选 D．
3．把 2a2 8 分解因式，结果正确的是( A． 2(a2 4)
)
B． 2(a 2)2
C． 2(a 2)(a 2)
D． 2(a 2)2
【答案】C 【解析】 【分析】
先提公因式 2，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【详解】
2a2 8
= 2(a2 4)
= 2(a 2)(a 2) ，
6．已知 4y2+my+9 是完全平方式，则 m 为( )
A．6
B．±6
C．±12
【答案】C
【解析】
【分析】
原式利用完全平方公式的结构特征求出 m 的值即可．
【详解】
∵4y2+my+9 是完全平方式，
实数(因式分解问题)备战2023年中考数学考点微专题
考向1.5 实数（因式分解问题）例 1、（2021·内蒙古·中考真题）因式分解：24ax ax a ++=_______．【答案】．2(1)2x a +【分析】首先将公因式a 提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 解：222(1)(1)442ax x x ax a a x a ++=++=+，故填：2(1)2x a +．例 2、（2021·广东·中考真题）若1136x x +=且01x <<，则221x x-=_____． 【答案】6536-【分析】根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案． 解：∵1136x x +=， ∴2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∵01x <<， ∴1x x<， ∴1x x-=56-，∴221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-，故答案为：6536-例 3、（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x ，y 的长方形纸片围成一个大正方形ABCD ，中间是空的小正方形EFGH ．若AB a ，EF b =，判断以下关系式：①x y a +=；②x y b -=；③222a b xy -=；④22x y ab -=；⑤22222a b x y ++=．正确的是_____________（填序号）．．①②④⑤【分析】根据图形可得x y a +=，x y b -=，利用完全平方公式和平方差公式即可判断③和④，小长方形的面积可表示为224a b xy -=，利用完全平方公式即可判断⑤．解：由图形可得x y a +=，x y b -=，故①②正确；∴()()22224a y x y x y b x =+--=-，故③错误；()()22x y ab x y x y =+-=-，故④正确；∵小长方形的面积224a b xy -=，∴()222222222224x a b x y b a a y xy -=-==⨯+-++，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤．1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
中考数学《因式分解》专题复习试卷（含答案）
2018-2019学年初三数学专题复习因式分解一、单选题1.多项式﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2分解因式时，应先提的公因式是（）A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. ﹣3x2y22.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A. a2+（-b）2B. 5m2-20mnC. -x2-y2D. -x2+93.多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为（）A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. 3x2y24.下列四个多项式，哪一个是2X2+5X-3的因式？（）A. 2x－1B. 2x－3C. x－1D. x－35.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A. x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6xB. （x+5）（x-2）=x2+3x-10C. x2-8x+16=（x-4）2D. 6ab=2a.3b6.观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( )A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200D. 962×95+962×5＝91390+4810＝962007.把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（）A. x（y2﹣9）B. x（y+3）2C. x（y+3）（y﹣3）D. x（y+9）（y﹣9）8.计算（﹣2）2002+（﹣2）2001所得的正确结果是（）A. 22001B. ﹣22001C. 1D. 29.下列分解因式错误的是（）A. 15a2+5a=5a（3a+1）B. ﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C. ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x210.下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（）A. x2﹣yB. x2+2xC. x2+y2D. x2﹣xy+y211.下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（）A. ab+ac+d=a（b+c）+dB. a2﹣1=（a+1）（a﹣1）C. 12ab2c=3ab•4bcD. （a+1）（a﹣1）=a2﹣112.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A. （a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B. （a2﹣2a+1）2C. （a﹣1）4D. （a+1）2（a﹣1）213.把x2﹣xy2分解因式，结果正确的是（）A. （x+xy）（x﹣xy）B. x（x2﹣y2）C. x（x﹣y2）D. x（x﹣y）（x+y）14.下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（）A. x2﹣2=（x+1）（x﹣1）﹣1B. （x﹣3）（x+2）=x2﹣x+6C. a2﹣4=（a+2）（a﹣2）D. ma+mb+mc=m（a+b）+mc15.下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A. x2+y2B. x2-y2C. x2+2x+1D. x2+2x16.若a ，b ，c是三角形的三边之长，则代数式a-2ac+c-b的值（）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能二、填空题17.分解因式：a2+ab=________．18.分解因式：a2﹣9=________．19.将多项式x2y－2xy2＋y3分解因式的结果是________．20.因式分解：2x2﹣18=________．21.已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2017=________．三、计算题22.因式分解：（1）；（2）23.先将代数式因式分解，再求值：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．24.因式分解：3ab2+6ab+3a．25.把下列各式分解因式（1）3ax2+6axy+3ay2（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）26.把下列各式分解因式：（1）；（2）.四、解答题27.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．28.﹣x2+7x﹣10．五、综合题29.把下列各式因式分解（1）﹣36aby+12abx﹣6ab（2）9x2﹣12x+4；（3）4x2﹣9y2（4）3x3﹣12x2y+12xy2．30.因式分解：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2=﹣3x2y（2xy+1﹣4y）故选：B．【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最大公约数，②字母取公共的字母③指数取最小的，可得到答案；2.【答案】D【解析】【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】A、a2+（-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；B、5m2-20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故错误；C、-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；D、-x2+9能用平方差公式分解因式，故正确．故选D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．3.【答案】D【解析】【解答】解：6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为3x2y2．故选：D．【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．4.【答案】A【解析】【分析】利用十字相乘法将2x2+5x-3分解为（2x-1)（x+3)，即可得出符合要求的答案．【解答】∵2x2+5x-3=（2x-1)（x+3)，2x-1与x+3是多项式的因式，故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】【解答】解：A. 的右边不是积的形式，不是因式分解；故选项错误；B. 是多项式乘法，不是因式分解；故选项错误；C. 运用平方差公式因式分解，故选项正确；D. 不是把多项式化成整式积的形式，故选项错误.故选C.6.【答案】A【解析】【解答】解：计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，故答案为：A.【分析】通过观察式子，两个加数项中分别存在一个962，所以采取的简便方法为提取公因式法，将962提出公因式，进行接下来的计算即可。
中考数学《因式分解》专题训练(附带答案)
中考数学《因式分解》专题训练（附带答案）一、单选题1．下列分解因式中，完全正确的是（）A．x3-x=x（x2-1）B．4a2-4a+1=4a（a-1）+1C．x2+y2=（x+y）2D．6a-9-a2=-（a-3）22．下列等式正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．9a2﹣b2+6ab=（3a﹣b）2C．3a2+2ab﹣b2=（3a﹣b）（a+b）D．3．把多项式x2+3x−54分解因式，其结果是（）A． （x+6 ） （x−9 ）B． （x−6 ） （x+9 ）C． （x+6 ） （x+9 ）D． （x−6 ） （x−9 ）4．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（）A．x2+xy B．x2+2xy+y2C．﹣x2+y2D．14x2﹣xy+y25．下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+16．边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为( ) A．35B．70C．140D．2807．把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（）A．3B．4C．﹣3D．﹣48．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（）A．ab+ac+d=a（b+c）+d B．a2﹣1=（a+1）（a﹣1）C．12ab2c=3ab•4bc D．（a+1）（a﹣1）=a2﹣19．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2B．x2y﹣xy2﹣1=xy（x﹣y）﹣1C．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2D．ax+ay+a=a（x+y）10．下列因式分解错误的是（）A．x2+xy=x(x+y)B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2+6x+9=(x+3)2D．x2+y2=(x+y)211．把代数式ax2-4ax+4a因式分解，下列结果中正确的是（）A．a(x-2)2B．a(x+2)2C．a(x-4)2D．a(x+2)(x-2)12．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2+9=（x+3）2B ．a 2+2a+4=（a+2）2C ．a 3-4a 2=a 2（a-4）D ．1-4x 2=（1+4x ）（1-4x ）二、填空题13．分解因式：x 2﹣3x ﹣4= ；（a+1）（a ﹣1）﹣（a+1）= ． 14．因式分解：x 2−8x −9= .15．把多项式a 3-4a 分解因式的结果是 。
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。
【2年中考】中考数专题(3)因式分解试题含解析
专题03 因式分解☞解读考点知 识 点名师点晴因式分解的概念就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．因式分解与整式乘法是互逆运算． 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底． 因式分解的方法1.提取公因式法:ma ＋mb －mc =m （a +b -c ） 确定好公因式是解题的关键2.公式法:（1）平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a -b ）；（2）完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2=（a ±b ）2.要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式进考虑完全平方公式化.3.十字相乘法：x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ） 这个是课后的内容，不做硬性的要求，熟练运用在高中学习就会轻松许多.一定要熟记公式的特点.因式分解的步骤一“提”（取公因式），二“用”（公式）．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要分解到不能在分解为止.☞2年中考【题组】1．（北海）下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)(4)x x x -=+- B ．221(2)1x x x x ++=++ C ．363(6)mx my m x y -=- D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 2．（贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x --B ．2(2)x x y --C ．22(44)x xy y x --D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x - 【答案】D ． 【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（毕节）下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=- C ．2224(2)x x x -+=- D ．224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确； C ．224x x -+不能分解，错误； D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误； 故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 5．（临沂）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ） A ．1x - B ．1x + C ．21x - D ．()21x - 【答案】A ．考点：公因式．6．（枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：a +b =14÷2=7，ab =10，∴22a b ab +=ab （a +b ）=10×7=70；故选B ． 考点：因式分解的应用．7．（烟台）下列等式不一定成立的是（ ） A 0)a a b b b=≠ B ．3521a a a -•=C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -=【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂． 8．（杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ） A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11xx x x --=C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x÷+=+ 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x--=，错误；C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误； 故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法． 9．（南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是．【答案】2(2)a b -． 【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -． 考点：因式分解-运用公式法．10．（巴中）分解因式：2242a a -+=． 【答案】22(1)a -． 【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ． 【答案】)3)(3(-+x x y ． 【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式．12．（内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|= ． 【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题． 13．（北京市）分解因式：325105x x x -+=．【答案】25(1)x x -． 【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ．【答案】． 【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=，故答案为：．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题． 15．（株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ． 【答案】(2)(4)(4)x x x -+-． 【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．（东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-=．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（菏泽）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n = ． 【答案】4． 【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n =4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【题组】1．（常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A 、x 2+2x +1=x （x +2）+1，不是因式分解，故错误；B 、（x 2﹣4）x =x 3﹣4x ，不是因式分解，故错误；C 、ax +bx =（a +b ）x ，是因式分解，故正确；D 、m 2﹣2mn +n 2=（m ﹣n ）2，故错误．故选C ． 考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法． 2.（海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．()2a 4a 21a a 421+-=+-B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+- 【答案】B ．考点：因式分解的意义．3.（无锡中考）分解因式：x 3﹣4x = ． 【答案】()()x x 2x 2+-． 【解析】试题分析：()()()32x 4x x x 4x x 2x 2-=-=+-． 考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（株洲中考）分解因式：x 2+3x （x ﹣3）﹣9= 【答案】（x ﹣3）（4x +3）． 【解析】试题分析： x 2+3x （x ﹣3）﹣9=x 2﹣9+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x +3）+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x +3+3x ） =（x ﹣3）（4x +3）． 考点：因式分解．5.（徐州中考）若ab =2，a ﹣b =﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于 ． 【答案】﹣2． 【解析】试题分析：∵ab =2，a ﹣b =﹣1，∴a 2b ﹣ab 2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2． 考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用． 6.（眉山中考）分解因式：225xy x -=__________________． 【答案】x （y +5）（y ﹣5）． 【解析】试题分析：原式=x （y 2﹣25）=x （y +5）（y ﹣5）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 7.（绍兴中考）分解因式：2a a - = ． 【答案】()a a 1-． 【解析】试题分析：()2a a a a 1-=-． 考点：提公因式法因式分解．8.（台州中考）因式分解3a 4a -的结果是 ． 【答案】()()a a 2a 2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．9.（泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+． 【解析】试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+． 考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 10.（北海中考）因式分解：x 2y ﹣2xy 2= ． 【答案】()xy x 2y -． 【解析】试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念 基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算． 注意问题归纳：1.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式．2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．()2a 4a 21a a 421+-=+-B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+- 【答案】B ．考点：因式分解的有关概念． 归纳 2：提取公因式法分解因式 基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．提取公因式法：ma ＋mb －mc =m （a +b -c ） 注意问题归纳： 1.提公因式要注意系数； 2.要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab =2，a ﹣b =﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于 ． 【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a 3ab += ． 【答案】()a a 3+．【解析】()2a 3ab a a 3+=+． 考点：因式分解-提公因式法．归纳 3：运用公式法分解因式 基础知识归纳：运用平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a -b ）； 运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2=（a ±b ）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x 2y －27y = ； 【答案】3y （x +3）（x -3）．【解析】原式=3y （x 2-9）=3y （x +3）（x -3）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m 2n －2mn ＋n 因式分解的结果是 ． 【答案】n （m -1）2．【解析】m 2n -2mn +n ，=n （m 2-2m +1），=n （m -1）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳 4：综合运用多种方法分解因式 基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4） B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2） D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ）A ．1.1111111×1016B ．1.1111111×1027C ．1.111111×1056D ．1.1111111×1017【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数．4．（-山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x 2﹣12x +32= ． 【答案】2（x ﹣8）（x +2）． 【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x 2﹣6x +16）=2（x ﹣8）（x +2）．故答案为：2（x ﹣8）（x +2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab 2分解因式的结果是 ． 【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）． 【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．6．（北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ． 【答案】(3)(3)a x x -+． 【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a 2-3a +1=0，则3a 3-8a 2+a +231a += ． 【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x 2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2． 【解析】试题分析：原式=﹣3（x 2﹣x +41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a 3b -2a 2b 2+ab 3= ． 【答案】ab （a -b ）2． 【解析】试题解析：a 3b -2a 2b 2+ab 3=ab （a 2-2ab +b 2）=ab （a -b ）2．故答案为：ab （a -b ）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax 2-3ay 2= ． 【答案】3a （x +y ）（x -y ）． 【解析】试题分析：3ax 2-3ay 2=3a （x 2-y 2）=3a （x +y ）（x -y ）．故答案为：3a （x +y ）（x -y ）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a 3-12a 2+9a = ． 【答案】a （2a -3）2． 【解析】试题分析：4a 3-12a 2+9a =a （4a 2-12a +9）=a （2a -3）2．故答案为：a （2a -3）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．（河北省中考模拟二）若M=（-1985）2，O=（-1985）×（-1986），N=（-1986）2，则M+N-2O的值为．16．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（-1985）2，O=（-1985）×（-1986），N=（-1986）2，∴M+N-2O=（-1985）2-2（-1985）×（-1986）+（-1986）2=[（-1985）-（-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。
中考专题训练(因式分解)—解析版
【详解】试题分析： = = ．
19.（2020•青海）分解因式：﹣2ax2+2ay2＝﹣2a（x﹣y）（x+y）或2a（y+x）（y﹣x）；
【解答】解：﹣2ax2+2ay2＝﹣2a（x2﹣y2）
＝﹣2a（x﹣y）（x+y）；
【详解】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
12.(2020年天水市)分解因式： _________．
【详解】解：
=
= ．
13.(2020年贵州省黔东南州)在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．
【解答】解：xy2﹣4x
＝x（y2﹣4）
＝x（y+2）（y﹣2）．
14.(2020年湖南省怀化市)若因式分解： __________．
【详解】
9.(2020年江苏省盐城市)因式分解： ____．
【解析】直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
三、先提公因式，再使用平方差公式
10.（2020•宁波）分解因式：2a2﹣18＝2（a+3）（a﹣3）．
解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
11.(2020年安徽省)分解因式： =______．
＝a（x﹣y）2．
30.（2020•宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2．
【解答】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．
五、先使用十字相乘法，再使用平方差公式
31.（2020•内江）分解因式：b4﹣b2﹣12＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）．
中考数学复习之因式分解专题
中考数学复习之因式分解专题1．分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．2．（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．3．（8分）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|（2）因式分解：3a2﹣484．（8分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）5．（8分）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？6．（8分）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．7．（8分）（1）计算：（）﹣2+（﹣）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|（2）分解因式：6（a﹣b）2+3（a﹣b）8．（8分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．9．（8分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．10．（8分）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2＝a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．11．（8分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．（8分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．13．（8分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．14．（8分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．15．（8分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若+＝45，则x＝；②若﹣＝26，则y＝；③若+＝，则t＝；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被整除，﹣一定能被整除，•﹣mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．。
因式分解 难题
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
中考因式分解专题(难)
中考因式分解专题一(1)a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4)a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．（1）33xy y x -（2）x x x 2718323+-（3）()112---x x（4）()()3224x y y x ---【例2】分解因式：（1）22103y xy x --（2）32231222xy y x y x -+（3）()222164x x -+【例3】分解因式：（1）22244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2322-+-（3）322222--++-y x y xy x【例4】在实数范围内分解因式：（1）44-x ； （ 2）1322-+x x【例5】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足ac bc ab c b a ++=++222，求证：△ABC为等边三角形。
跟踪训练： 一、填空题： 1、()229=n ；()222=a ；c a b a m m ++1＝ 。
2、分解因式：222y xy x -+-＝ ；1872--xy x ＝ ；()()25102++-+y x y x ＝ 。
4、若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ 。
5、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ 。
6、m 、n 满足042=-++n m ，分解因式()()n mxy y x +-+22＝ 。
二、选择题：1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是（ ）A 、()()11++b aB 、()()11--b aC 、()()11-+b aD 、()()11+-b a 2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为（ ）A 、－1B 、1C 、－2D 、2 3、若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A 、24B 、12C 、±12D 、±24 4、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A 、61、63B 、61、65C 、61、67D 、63、65 三、解答题：1、因式分解：（1）118146-++-n n n x x x （2）()()8323222-+-+x x x x（3）122222++--+a b ab b a （4）()()()()14321+++++x x x x（5）()()ab b a 41122--- (6)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(7)a 2+b 2+c 2-2bc+2ca -2ab ；一、填空题：1、n 3±，a 2±，()c ab a m+；2、()2y x --，()()29+-x x ，()25-+y x4、0；5、10或4；6、()()22-+++y x y x 二、选择题：DADD 三、解答题1、（1）()()43121---x x xn ； （2）()()()()1421-+++x x x x（3）()21+-b a ； （4）()2255++x x （5）()()b a ab b a ab ---++-11(6)原式=-2xn-1y n(x 4n -2x 2ny 2+y 4)=-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2] =-2x n-1y n (x 2n -y 2)2 =-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2．(7)原式=(a 2-2ab+b 2)+(-2bc+2ca)+c 2＝(a -b)2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c)2．参考答案例子1、分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
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中考因式分解专题一
1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4)a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2
)．
【例1】分解因式：
（1）33xy y x -（2）x x x 2718323+-（3）()112---x x
（4）()()3
224x y y x --- 【例2】分解因式：
（1）22103y xy x --（2）32231222xy y x y x -+（3）()222164
x x -+
【例3】分解因式：
（1）22244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2322-+-（3）322222--++-y x y xy x
【例4】在实数范围内分解因式：
（1）44-x ； （ 2）1322
-+x x
【例5】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足ac bc ab c b a ++=++222，求证：△ABC
为等边三角形。
跟踪训练：
一、填空题：
1、()229=n ；(
)222=a ；c a b a m m ++1＝ 。
2、分解因式：222y xy x -+-＝ ；
1872--xy x ＝ ；
()()25102++-+y x y x ＝ 。
4、若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ 。
5、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ 。
6、m 、n 满足042=-++n m ，分解因式()()n mxy y
x +-+22＝ 。
二、选择题：
1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是（ ）
A 、()()11++b a
B 、()()11--b a
C 、()()11-+b a
D 、()()11+-b a
2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为（ ） A 、－1 B 、1 C 、－2 D 、2
3、若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A 、24
B 、12
C 、±12
D 、±24
4、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A 、61、63
B 、61、65
C 、61、67
D 、63、65
三、解答题：
1、因式分解：
（1）118146-++-n n n x x x
（2）()()
8323222-+-+x x x x
（3）122222++--+a b ab b a （4）()()()()14321+++++x x x x
（5）()()ab b a 41122--- (6)-2x
5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4
； (7)a 2+b 2+c 2-2bc+2ca -2ab ；
一、填空题：
1、n 3±，a 2±，()c ab a m +；
2、()2y x --，()()29+-x x ，()25-+y x
4、0；
5、10或4；
6、()()22-+++y x y x
二、选择题：DADD
三、解答题
1、（1）()()43121---x x x n ； （2）()()()()1421-+++x x x x
（3）()21+-b a ； （4）()2
255++x x
（5）()()b a ab b a ab ---++-11(6)原式=-2x n-1y n (x 4n -2x 2ny 2+y 4) =-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2]
=-2x n-1y n (x 2n -y 2)2
=-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2．
(7)原式=(a 2-2ab+b 2)+(-2bc+2ca)+c 2
＝(a -b)2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c)2．
参考答案
例子1、分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意()()n n a b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
答案：（1）()()y x y x xy -+；（2）()
233-x x ； （3）()()21--x x ；
（4）()()y x y x -+-222 例子2、分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。
首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。
（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。
答案：（1）()()y x y x 52-+；（2）()()y x y x xy 232-+；（3）()()2
222+-x x 例3、分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。
四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
答案：（1）()()z y x z y x --+-22（三、一分组后再用平方差）
（2）()()()112-+-a a b a （三、二分组后再提取公因式）
（3）()()13--+-y x y x （三、二、一分组后再用十字相乘法）
例4、答案：（1）()()()
2222-++x x x （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--417341732x x 例子5、分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证c b a ==，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()0222=-+-+-a c c b b a ，即可得证，将原式两边同乘以2即可。
略证：0222=---++ac bc ab c b a
02222222
22=---++ac bc ab c b a
()()()0222=-+-+-a c c b b a ∴c b a == 即△ABC 为等边三角形。