机械工程控制基础之系统的数学模型.pptx

3. 消除中间变量 f、q，并整理：
r
f m k2
..
.
(J mr2)x(B B r2)xk r2x rT
12
2
J B1
x
B2
例4：图示电网络，列写微分方程。
1. 明确系统的输入与输出：
R1
输入u1，输出u2
2. 列写微分方程： 1
u1
i1R1 C1 (i1 i2 )dt u1
i2R2
已略去高阶小量
例6 液压伺服机构
my '' cy ' Ap
q Ay '
q f ( p, ) cd xx p /
3. 非线性函数线性化：
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机
1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
2. 列写原始微分方程：
2.实验法： 根据实验数据整理拟合数模
连续系统的微分方程的一般形式：
an
x (n) o
(t
)
a n1
x ( n1) o
(t
)
...
a1
x o
(t
)
a0
xo
(t
)
bm
x
( i
m
)
(
t
)
bm1
x
( i
m
1 )
(
t
)
...
b1 x i
(t )
b0
xi (t)
xo (t)、xi (t) 分别为系统输出和输入; ai (i 0,1,2,..., n)、 bj ( j 0,1,2,..., m) 为微分方程系数
(t
)
b1xi (t) b0xi (t)
一）机械系统
质量 阻尼 弹簧
F v2
F v2
k v2
两端相对速度v21
m
v1 F m dv21 v21dt
二）电网络 电路元件两端电位差v21
电感
v
2
Li v1
v21
L
di dt
电阻
v 2
Ri v1
v21 Ri
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。 对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t)3xo(t)7xo(t) 4xi(t)5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
TaTm () '' Tm () ' Cdua CmTa (M L ) ' CmM L 增量化
1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmM L 设平衡点 (ua0,M L0, ) 即有 Cdua0 CmM L0
当偏离平衡点时，有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
L
dia dt
ia R
ed
ua
ed kd
d
J dt M M L
M kmia
3.消除中间变量，并整理：
电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M
电磁力矩常数km
令 Ta
L R , Tm
RJ kdkm
,
Cd
1 kd
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d 2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
xo( n
)
(t
)
an1
x ( n1) o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
xi(
m
)
(t
)
b x(m1) m1 i
电容
v 2
i C v1
v21
1 C
idt
例1：图示机械系统 m-c-k，列写微分方程。
1. 明确：
系统输入 f (t) 系统输出 x(t)
2. 牛顿第二定律 列写原始微分方程：
kx f m
cx
f kx cx mx
3. 整理： mxcxkx f
f
k
m
c
x
例2：图示电网络，列写微分方程。 1. 明确系统的输入与输出：
非线性方程的线性化
线性化的条件： 1. 非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。 2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动 线性化的方法：
1. 确定预定工作点。 2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。 3. 忽略高阶小项。 4. 表示成增量化方程的形式。
例6 液压伺服机构
1. 明确 输入 x，输出y
x (t)3x x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t) 非线性系统
o
oo
o
i
i
线性系统的叠加原理
二、系统微分方程
列写微分方程的一般方法： 1. 确定系统的输入量和输出量。 2. 注意：输入量包括给定输入量和扰动量
2. 按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。
机械工程控制基础
第二章 系统的数学模型
一、引言
数学模型:描述系统动态特性的数学表达式 时域数学模型： 微分方程(连续系统)
差分方程(离散系统) 状态方程 复域数学模型： 传递函数(连续系统) Z传递函数(离散系统) 频域数学模型： 频率特性
数学建模的一般方法： 1.分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模
输入u(t)，输出电量q
2. 列写原始微分方程：
u
L
di dt
iR
C1
idt
i dq dt
3. 消除中间变量，并整理
.. Lq
Rq. C1
q
u
例3：列写微分方程
1. 明确：输入T，输出x(t)
2. 微分方程：
T k1( )
T k1
.. . f mx B xk x
0
2
2
k1(
)
J
B 1
rf
x r
2. 列写原始微分方程
设 p p1 p2
my '' cy ' Ap
q Ay '
液压油流量
q f ( p, ) cd xx p /
3. 非线性函数线性化：
滑阀特性
(1) 确定系统预定工作点 q0 q(x0 , p0 )
(2) 二元泰勒公式展开
q
q
q( x, p) q( x0 , p0 ) x x0, p0 x p x0, p0 p