4.2提公因式法1
新北师大版八年级数学下册4.2提公因式法
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。
=x(3x-6y+1)
正确解：原式=3x· x-6y· x+1· x
注意：某项x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
下列从左到右的变形，是因式分 解的有哪几个？
(1) x 3x x( x 3)
2
(2) x 2 x 1 x( x 2) 1
2
(3) x y y y( x y)
2 2 2
(4)( x 2)( x 2) x 4
2
(6) 2a+1=a(2+1/a)
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
(2)已知a+b=6,ab=7,求a2b+ab2的值
.
解: a2b+ab2
=ab(a+b)=7 × 6=42
1、计算（-2）101+（-2）100 2、已知, 2 x y 4 xy 3 , 求代数式 2 x 2 y xy2 的值。
分解因式
例题：1、 7x3y2-21x2y3
公因式：7x2y2 解：7x3y2-21x2y =7x2y2· x+ 7x2y2 · 3y = 7x2y2 (x + 3y)
注 意
提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式．
4.2提公因式法(1)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a3b2 –12ab3c + ab = ab· 8a2b - ab· 12b2 c +ab· 1 = ab(8a2b - 12b2c)
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因 式后剩余的项是1。
错误
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
思考题 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
判断下列分解因式正确吗
2.3a²c-6a³c=3a²(c-2ac)
=2ab(4a²-6b²c+1)
我做得 对吗？
1.2x²+3x³+x=x(2x+3x²) X(2X+3X²+1) 3a²c(1-2a) 注意: 提取公因式后, (1)另一个因式不能再 含有公因式;(2)另一个因式的项数与原多项 式的项数一致.
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
4.2 提取公因式法
要点小结
1．运用提取公因式法分解因式应注意不要犯以下错误： ①提取不尽；②漏项(尤其要注意当某项恰好为公因式 时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏掉)；③疏忽 变号；④只提取部分公因式，而最后整个式子未变成 乘积的形式．
2．公因式既可以是单项式，也可以是多项式． 3．添括号法则和去括号法则正好相反，因此可以用去括
是
．
【答案】 (b＋c)(2a－3)
4．分解因式： (1)4x3－6x2．
【解】 原式＝2x2(2x－3)．
(2)a3b3＋a2b2－ab．
【解】 原式＝ab(a2b2＋ab－1)． (3)6a(b－a)2－2(a－b)3．
【解】 原式＝6a(a－b)2－2(a－b)3 ＝2(a－b)23a－(a－b) ＝2(a－b)2(2a＋b)． (4)x(x－y)2－y(x－y)．
【点拨】 添括号时，所添括号前面是“－”号，括到括 号里的各项都要改变符号，这是易错点． 【解析】 (1)前一个小括号前为“＋”号，故小括号内 各项符号不变；后一个小括号前为“－”号，故小括号 内各项都要变号． (2)两个小括号前都没有符号，即都为“＋”号，小括号 内各项符号不变．
【答案】 (1)b＋c b＋c (2)x－3 x－3
【答案】 (1)3a (2)2x2y2 (3)(p－q)
【典例 2】 把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c． (2)8m2n＋2mn2． (3)2a(b＋c)－3(b＋c)． (4)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
【点拨】 (1)提取公因式时，对数字系数和字母应分别 进行考虑：如果是整数系数，就应取最大公因数；字母取 各项都含有的相同字母的最低次幂的积． (2)提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因 式．
提公因式法(1)教案和教学反思
4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。
教学难点：确定多项式的公因式。
教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。
学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。
四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。
培养学生的初步归纳能力。
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。
学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。
简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。
（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。
4.2提公因式法
小游戏
• 一位师傅说出一个单项式，第二组 师傅说出另一个与它有公因式的单 项式，并由第二组学友找出公因式 ，第一组的学友判断正误，如有错 误改正并说明原因。
合作探究（2）
你能把下列多项式因式分解吗？
公因式是:7x² 7x³-21x² 3 = 7x²·__ x -7x²·__ = 7x²( x-3 )
自主学习
合作探究（1）
1.多项式中的公因式是什么？ 2.多项式中的公因式该如何确定？
1.ma+mb m a² 2. a² +a² b 3. 6xy-5y y 4. 6x-9xy 3x 5.12xy³ +18y² 6y²
合作探究（1）
4. 6x - 9xy
3 x
公因式是：3x
合作探究（1）
5. 12xy³ +18y²
y
公因式是：6y²
6
2
归 纳 总 结
找多项式各项公因式的方法：
一 定系数（取各项系数的最大公约数）
二 定字母（取各项都含有的相同字母） 三 定指数 （取各项相同字母的最低次幂，即相 同字母的最小指数）
巩固提升（1）
找出下列多项式各项的公因式
2x² 1. 6x³+2x² y 2. x²y-3xy²+y³ 3. 8a³b²-12ab³c+ab ab
“提出-号时，没有变号” 3.-ab³-a=-a(b³-1)
4.a²-a-2=a(a-1)-2“各项都有”
注意：
1、用提公因式法因式分解时一定要确保 每一项都有公因式。 2、公因式要提尽，提出公因式后的多项 式不能再含有公因式。 3、当多项式第一项系数是负数，通常 先提出“-”号，使括号内第一项系数 变为正数，注意括号内各项都要变号。 4、当多项式的某一项和公因式相同时， 提公因式后剩余的项是1，不要漏项。
4.2 提公因式法 第1课时 北师大版数学八年级下册教案
4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。
八年级数学下册《4.2提公因式法》课件1(新版)北师大版
灿若寒星
（4）x(x-y)2-y(x-y) =(x-y)[x(x-y)-y] =(x-y)(x2-xy-y)
回忆：n为偶数(x-y)n=(y-x)n n为奇数(x-y)n=-(y-x)n
（5）(x-y)3-(y-x)2 =(x-y)3-(x-y)2 =(x-y)2(x-y-1)
灿若寒星
探索：a2-bc+ac-ab能分解因式吗？
灿若寒星
法1：(a2+ac)+(-bc-ab) =a(a+c)-b(a+c)
=(a-b)(a+c)
法2：（a2-ab）+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b)
=(a+c)(a-b)
法3：（a2+ac-ab）-bc
灿若寒星
不能分解．
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
灿若寒星
因式分解：
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式．
灿若寒星
请你举例 a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-b2=(a+b)(a-b)
思考：
整式的乘法与因式分解有什么关系吗？
1、 和差
整式的乘法
积
因式分解
2、利用整式乘法检验因式分解的正
确性．
灿若寒星
近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青 年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林 活动．每队都种树37行，其中一队种树102 列，二队种树93列，三队种树105列，完成 这次植树活动共需要多少棵树苗？
灿若寒星
提公因式法：
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就分解 成m和a+b+c的乘积，这种因式分解方法叫 做提公因式法．
4.2-提取公因式法公开课(1)
第六章第2节《提取公因式法》【教学背景】“提取公因式法”是“浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。
（老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。
它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。
例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。
利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。
（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。
）能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)3.7 =3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。
4.2提公因式法 1
4、利用分解因式计算 7 (1)求xz-yz的值，其中x=17.8, y=28.8, z= 11
(3)(2)2009 (2)2010 _______
2 x 4 x m 可分解为( x 2)(x n) ， 6、已知多项式 n 的值。 求 m、
小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
3.你能尝试找出下列多项 式的公因式吗？ (1)ab bc (2)3x 2 x
b
x
(3)mb2 nb b
b
4.请将3问中的多因式分解因式。
说一说 8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
4 公因式 最大公约数 相同字母 步骤： 一看系数 a
2 b b
最低指数
二看字母
三看指数
确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽；
（2）提公因式后某一项剩下因式“１”不能漏写 （3）多项式的首项取正号
a a
3
完成知识 典例“讲”解 运 例2 把下列各式分解因式。
2 2
（ 1 ） 9a b 12ab 3ab
(2)3x 6 xy x
“用” A.2. 2
(3) 4m 16m 26m
3 2
(4) 2a
n 1
4a
n 1
(1)已知ab=7,a+b=6 求a² b+ab² 的值。
若将上述问题一般化， 即三个矩形的长分别为
ma mb mc a, b, c, 宽都是m, 则这块场地的面积为
北师大版八年级数学下册4.2提公因式法(1)
(2) a 2 x2 y axy2
(3) 4 x 2 2 x 2 x 3
(4) 6a b 4a b 2ab
2 3 3
精讲精练
用提公因式法分解因式
基础达标
用提公因式法分解因式：
1
8 x 2 xy
A组:(2) (3) (4)
2
4m 3 6m 2 2m
B组:(1) (2) (4)
（7）
x 2 y 2 1 x 2 y 2
学习目标
1.理解并掌握公因式； 2.会找多项式的公因式； 3.会用提公因式法分解因式。
猜一猜
1.合作猜想下列各多项式的公因式？
（1） a c+ b c
（2）3 x2 +9xy
（3）4xy2-6xy+8x3y 我们把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。 2.小组合作讨论多项式中的公因式如何找？
找公因式的方法（或步骤）
1.定系数。 所有系数的最大公约数。
2.定字母。 各项中都含有的相同的字母。
3.定字母的指数。 各项中相同字母指数最 低的指数。
例: 找 2 x2+ 6 x3
的公因式。
定系数
2
定字母
x
2 定指数
所以，公因式是 2 x2
练一练
找出下列多项式各项的公因式： (1) 8 x 72
3.若ab＝2，a－b＝-1，则代数式a2b－ab2的值等于 ____。
课堂小结
1.什么是公因式 2.找公因式的方法。 3.用提公因式法分解因式的步骤。 4.用提公因式法分解因式应注意的问题。
第四章
因式分解
4.2 提公因式法（1）
初中数学八年级4.2提公因式法(一)
4.2提公因式法（一）一、问题引入：1．把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的.2．多项式2x2+6x3中各项的公因式是，找多项式各项的公因式要考虑和.3．如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.二、基础训练：1．在题目后的括号内写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （）（2）4kx－8ky （）新课标第一网（3）5y3+20y2（）（4）a2b－2ab2+ab （）2．把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（）A．2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b2c3．用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)三、例题展示：例1：将下列各式分解因式：（1）3x+ x3；（2）7x3－21x2；（3）8a3b2－12ab3c+ab；（4）－24x3－12x2+28x.新- 课-标-第-一 -网四、课堂检测：1．－6xyz ＋3xy 2－9x 2y 的公因式是（ ）A.－3x B ．3xz C ．3yz D ．－3xy2．如果多项式－51abc +51ab 2－a 2bc 的一个因式是－51ab ,那么另一个因式是（ ）A.c －b +5acB.c +b －5acC.c －b +51acD.c +b －51ac （1）48mn –24m 2n 3 （ ） （2）a 2b –2ab 2+ab （ ）4．将下列多项式进行分解因式：（1）8x –72 （2）a 2b –5ab （3）a 2b –2ab 2+ab （4）–48mn –24m 2n 35．利用分解因式法计算： 12x 3+12x 2y +3xy 2，其中x=1，y=26．已知ab=7，a+b=6，求多项式a 2b+ab 2的值.。
4.2提公因式法(1)1
1) a c+ b c
c
2)3 x2 +9xy
3x
3) a2 b – 2a b2 + ab
ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
2xy
（2）多项式中的公因式是如何确定的？ (交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。
定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
2x4 31x2 22x84x(6x23x7)
(1) 用提公因式法分解因式后，括号里的多项式中有没有公因式？ ( 不能再有公因式 )
(2) 用提公因式法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相 比，有没有什么变化？ ( 项数相等，常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错
(3)误以上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的 变形过程是 单项式乘多项式 ，所以它们之间的关系是 互逆的 ； 因式的结果是否正确，我们可以采用什么方法呢？ ( 利用单项式乘多项式的法则乘回去，进行验证 )
思考
☞
把下列各式分解因式
(1)x(x+y)-y(x+y) (2)am+an+bm+bn
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、某建筑工地需绕制半径分别为0.24米， 0.37米，0.39米的三个钢筋环，问需钢筋多长？
3、已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
3、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆 柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪 一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到一根短绳， 他们量得长方体底面的长正好是3个绳长，宽是2个绳 长，圆柱体的底面周长是10个绳长。你知道哪一个体 积较大吗？大多少？（提示：可设绳长为a厘米，长 方体和圆柱体的高均为h厘米）如果给你一架天平， 你有办法知道哪一个体积较大吗？
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结论：（1）各项系数是整数，系数的最大 公约数是公因式的系数； （2）各项都含有的字母的最低次幂的积 是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的 积是这个多项式的公因式．
2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例: 找 2 x 2 + 6 x 3 的公因式。
定系数
2
定字母
x
2 定指数
所以，公因式是 2 x 2 2X +6x =2X 2 X2 (1 +3 X)
2 3
2
×1+
2 X2 ×3 x=
写出下列多项式各项的公因式：
(1) (2)
a x y axy
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因 式后剩余的项是1。
错误
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要变号。
课堂小结:
通过本节课的 学习你学到了 什么?
2 2
2
8x 72
2
3
axy
2x
2ab
8
(3) 4 x 2 x 2 x 2 3 3 (4) 6a b 4a b 2ab
2 x 6 x 中各项的公因式是什么？ 2 3 ②你能尝试将多项式 2 x 6 x 因式分解吗？
①多项式
2 3
③ 多项式 2 x y 6 x y 中各项的公因式是什么？ 你认为怎样确定一个多项式的公因式？
3x - 3x· 2y + 3x· z = 3x·
= 3x (3x-2y+z)
例3（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式. 2 3 解：原式= ( 24 x 12 x 28x ) 2 ( 4 x 6 x 4 x 3 x 4 x 7 ) = 4 x( 6 x 2 3x 7)
2
3
2
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
温馨提示
3a 3a a
2
9ab 3a 3b
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
例2 把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.
解： 9x2 – 6 x y + 3x z
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为 两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
1、 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 、当多项式的某一项和公因式相同时提 公因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要变号。
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
(1) 12 xyz 9 x y 3 xy ( 4 z 3xy)
2 2
(2) 3a y 3ay 6 y 3 y( a a 2 )
2
2
(3) 35 x yz 14 x y z 21xy z
3 2 2
2 2
7 xyz(5x 2xy 3 yz )
2
3. 辨别正误并指明错因：
(1)8a 3b 2
12ab 4ab
4 2 3
4ab(2a b 3b 1)
(2)
4 x 2 x y 2 x (2 x 2 y )
4 3 3
1、习题4.2 1,2,3题 2. 思考： 公因式可能是多项式吗？如果 可能，那又当如何分解因式呢？举 例并尝试。 小小数学家
今年是2006年，这儿有一道与 2005有关的计算题。已知x3+x2+x+1=0，求 1+x+x2+x3+…+x2006
把下列各式分解因式： ③ ④
3x+6y 2 3 24xm -16xm 3 2 3x -9x +3x
-4a b +6a b-2ab
a
3 3
2
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？
提公因式法与单项式乘多项是 互为逆运算关系
小结与反思
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 1)定系数 2)定字母 3)定指数 3、提公因式法分解因式：
一、创设情境 导入新课 如图：两个长和宽分别为a和m，b 和m的长方形，合并成一个较大的 长方形，求这个新长方形面积？
ma mb m a b
认真观察等式两边各有什么特点？
二、自主探究、获取新知
ma mb m a b
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？ 多项式mb +nb–b呢？
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使 括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab· 8a2b - ab· 12b2 c +ab· 1 = ab(8a2b - 12b2c)