2020版高中数学(浙江专用)大一轮精练：21_§ 4_6 函数的图象及简单应用夯基作业Word版含解析

合集下载

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质含答案

第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6 B ．－6 C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D. 2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π.答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1B ．52C ．32D ．2 解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a 2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值； ③当a 2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C. 2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第四节函数的图象含答案

第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)． (2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．(4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． [小题体验]1．(2018·湖州模拟)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象．2．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y ＝f (|x |)的图象属于自身对称，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)．(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数________的图象．答案：y ＝f (－x ＋1)3．把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位得到函数y ＝f (2x －3)的图象．答案：32考点一作函数的图象(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.[谨记通法]画图的3种常用方法考点二识图与辨图(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )解析：选B 由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0＜a ＜1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪1x ＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.2．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2,3)，故选D.[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．(2018·浙江名校联考信息卷三)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－21＋e x sin x (其中e 为自然对数的底数)在[－2π，2π]上图象的大致形状是( )解析：选A 因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－21＋e x sin x ＝e x－1e x ＋1sin x ，f (－x )＝e －x－1e －x ＋1sin(－x )＝1－ex1＋e x(－sin x )＝e x －1e x ＋1sin x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 、D ，由f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，可排除选项B.故选A.2．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.考点三函数图象的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)求参数的值或取值范围； (3)求不等式的解集．[题点全练]角度一：研究函数的性质1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝错误!画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．角度二：求参数的值或取值范围2．若不等式(x －1)2＜log a x (a ＞0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解析：选A 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a ＞1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围为(1,2]．角度三：求不等式的解集3．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．[通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a ≠b )，则ab 的值为( ) A ．2 B ．e C.1eD ．1解析：选D 作出函数f (x )的图象如图，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，设a ＜b ，则0＜a ＜1，b ＞1，即|ln a |＝|ln b |，则－ln a ＝ln b ，则ln a ＋ln b ＝ln ab ＝0，即ab ＝1，故选D.2．(2018·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减， ∵f (3－a 2)＜f (2a )，∴3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1. 答案：(－3,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·金华期末)若函数y ＝f (x )定义域为实数集R ，则函数y ＝f (1－x )与y ＝f (x －1)的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析：选D 假设f (x )＝x 2，则f (x －1)＝(x －1)2，f (1－x )＝(1－x )2＝(x －1)2，它们是同一个函数，此函数图象关于直线x ＝1对称． 2．函数f (x )＝x e－|x |的图象可能是( )解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x ，因为e －x ＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.3．(2019·台州三校适考)函数f (x )＝x33x－1的大致图象是( )解析：选C 由函数f (x )的解析式可知，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除选项A ；当x ＜0时，x 3＜0,3x －1＜0，所以f (x )＞0，排除选项B ；当x →＋∞时，f (x )→0，排除选项D.故选C.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．答案：(2,8]5．(2018·金华名校模拟)已知函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c的部分图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象知2,4是y ＝ax 2＋bx ＋c 的两根，又由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称性和图象知顶点为(3,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，c ＝－8.则a ＋b ＋c ＝－3.答案：－3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·绍兴模拟)已知f (x )＝x 2cos x ，则f (x )的部分图象大致是( )解析：选B 因为函数f (x )＝x 2cos x ，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A 、C ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )＞0，排除D ，故选B. 2．下列函数f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.3．(2018·宁波模拟)在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )解析：选D 当a ＞1时，y ＝sin ax 的周期小于2π，排除A 、C ，当0＜a ＜1时，y ＝sin ax 的周期大于2π，故选D.4．(2017·台州期中)函数y ＝xx 2＋a的大致图象如图所示，则( )A ．a ∈(－1,0)B ．a ∈(0,1)C ．a ∈(－∞，1)D ．a ∈(1，＋∞)解析：选B 当x ＝0时，y ＝0，故a ≠0，当x ＞0 时，y ＝xx 2＋a ＞0恒成立，即a ＞－x 2恒成立，所以a ＞0，所以y ＝x x 2＋a＝1x ＋a x≤12a ，当且仅当x ＝a 时取等号，由图知，当x ＞0时，函数取得最大值时相应的x 的值小于1，所以0＜a ＜1，所以0＜a ＜1.5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)．6．(2018·稽阳联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1337．(2018·金华名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(1－x )|，x ＜1，－(x －3)2＋5，x ≥1，若直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象交于四点，且四点的横坐标从左至右分别是x 1，x 2，x 3，x 4，则z ＝(x 1－1)(x 2－1)(x 3－1)(x 4－1)的取值范围是________．解析：作出直线y ＝m 和函数f (x )的图象如图所示，由题意知x 1＜1，x 2＜1，且|log 2(1－x 1)|＝|log 2(1－x 2)|，即log 2(1－x 1)＝－log 2(1－x 2)，得0＝log 2(1－x 1)＋log 2(1－x 2)＝log 2(1－x 1)(1－x 2)，∴(x 1－1)(x 2－1)＝1.易知x 3，x 4＞1，结合f (x )＝－(x －3)2＋5(1≤x ≤5)的图象关于直线x ＝3对称，得x 3＋x 42＝3，x 3∈[1,3)，则(x 3－1)(x 4－1)＝(x 3－1)(6－x 3－1)＝－x 23＋6x 3－5＝－(x 3－3)2＋4∈[0,4)，故z ＝(x 1－1)(x 2－1)(x 3－1)(x 4－1)∈[0,4)．答案：[0,4)8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)9．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥0，－x (x －a )，x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a2，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2. (3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a 2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.10．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州二中联考)如图，P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 设正方体的棱长为1，连接AC 交BD 于O ，连接PO ，则PO 是等腰△PBD 的高，故△PBD 的面积为f (x )＝12BD ×PO .在三角形PAO 中，PO ＝PA 2＋AO 2－2PA ×AO cos ∠PAO ＝x 2＋12－2x ×22×63，∴f (x )＝12×2×x 2＋12－2x ×22×63＝22x 2－23x ＋12，画出其图象，可知A 正确．2．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2， ∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．命题点一函数的概念及其表示1．(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：选D 取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．综上可知，本题选D.2．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝x －1，若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析：由f (a )＝a －1＝3，得a ＝10. 答案：103．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝_________，b ＝________.解析：∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1， ∴f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ] 命题点二函数的基本性质1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：选C ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.故选A.3．(2014·浙江高考)设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i 99，i ＝0,1,2，…，99.记I k ＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1,2,3.则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 2＜I 1＜I 3C ．I 1＜I 3＜I 2D ．I 3＜I 2＜I 1解析：选B 显然f 1(x )＝x 2在[0,1]上单调递增，可得f 1(a 1)－f 1(a 0)＞0，f 1(a 2)－f 1(a 1)＞0，…，f 1(a 99)－f 1(a 98)＞0，所以I 1＝|f 1(a 1)－f 1(a 0)|＋|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋…＋|f 1(a 99)－f 1(a 98)|＝f 1(a 1)－f 1(a 0)＋f 1(a 2)－f 1(a 1)＋…＋f 1(a 99)－f 1(a 98)＝f 1(a 99)－f 1(a 0)＝⎝⎛⎭⎫99992－0＝1.f 2(x )＝2(x －x 2)在⎣⎡⎦⎤0，4999上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5099，1上单调递减，可得f 2(a 1)－f 2(a 0)＞0，…，f 2(a 49)－f 2(a 48)＞0，f 2(a 50)－f 2(a 49)＝0，f 2(a 51)－f 2(a 50)＜0，…，f 2(a 99)－f 2(a 98)＜0，所以I 2＝|f 2(a 1)－f 2(a 0)|＋|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋…＋|f 2(a 99)－f 2(a 98)|＝f 2(a 1)－f 2(a 0)＋…＋f 2(a 49)－f 2(a 48)－[f 2(a 51)－f 2(a 50)＋…＋f 2(a 99)－f 2(a 98)]＝f 2(a 49)－f 2(a 0)－[f 2(a 99)－f 2(a 50)]＝2f 2(a 50)－f 2(a 0)－f 2(a 99)＝4×5099×⎝⎛⎭⎫1－5099＝9 8009 801＜1.f 3(x )＝13|sin 2πx |在⎣⎡⎦⎤0，2499，⎣⎡⎦⎤5099，7499上单调递增，在⎣⎡⎦⎤2599，4999，⎣⎡⎦⎤7599，1上单调递减，可得f 3(a 1)－f 3(a 0)＞0，…，f 3(a 24)－f 3(a 23)＞0, f 3(a 25)－f 3(a 24)＞0，f 3(a 26)－f 3(a 25)＜0，…，f 3(a 49)－f 3(a 48)＜0，f 3(a 50)－f 3(a 49)＝0，f 3(a 51)－f 3(a 50)＞0，…，f 3(a 74)－f 3(a 73)＞0，f 3(a 75)－f 3(a 74)＜0，f 3(a 76)－f 3(a 75)＜0，…，f 3(a 99)－f 3(a 98)＜0，所以I 3＝|f 3(a 1)－f 3(a 0)|＋|f 3(a 2)－f 3(a 1)|＋…＋|f 3(a 99)－f 3(a 98)|＝f 3(a 25)－f 3(a 0)－[f 3(a 49)－f 3(a 25)]＋f 3(a 74)－f 3(a 50)－[f 3(a 99)－f 3(a 74)]＝2f 3(a 25)－2f 3(a 49)＋2f 3(a 74)＝23⎝⎛⎭⎫2sin 49π99－sin π99＞23⎝⎛⎭⎫2sin 5π12－sin π12＝23⎝⎛⎭⎪⎫26＋224－6－24＝6＋326＞1.因此I 2＜I 1＜I 3. 4．(2018·北京高考)能说明“若f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )＞f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)5．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝06．(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. 答案：22命题点三函数的图象1．(2018·浙江高考)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.2．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：选D 当a ＞1时，函数f (x )＝x a (x ＞0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0＜a ＜1时，函数f (x )＝x a (x ＞0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错，因此选D.3．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D. 4．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2，则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22，f (x )单调递增；f ′(x )＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．故选D.5．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析：选B ∵y ＝e x －e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e＞0，排除D 选项．又e ＞2，∴1e ＜12，∴e －1e＞1，排除C 选项．故选B.6．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.。

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.2函数的单调性与最值课件

由 f'(x)<0 得 1- 2 <0,即 x2<a,解得 0<x< .
所以 f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数.
-20-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.函数单调性的判断可以根据根本函数的单调性和复
合函数单调性判断方法(同增异减)判断.
2.用定义法证明函数的单调性根本步骤:①取值(任取x1,x2∈D,
2 2-3.
关闭
2 2-3
解析
答案
-11知识梳理
双击自测
自测点评
1.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如
1
函数y= 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整
个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写或用“和〞连
接,不能用“∪〞连接,也不能用“或〞连接.
,
-1 在区间(-2,2)上单调递减,函数 y=ln x 是定义域内的
+2
2-
单调递增函数,由复合函数的单调性可知函数 f(x)=ln2+ 单调递减,
符合题意.故选 D.
-18-
考点一
考点二
考点三
(2)讨论函数f(x)=x+

(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
解:(方法一:定义法)
设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2,
递减区间是(
)
A.(-∞,-3)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)
关闭
当x=2时,y=loga5>0,∴a>1.

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习-第7讲函数的图象练习(含解析)

第7讲函数的图象[基础达标]1．(2019·台州市高考模拟)函数f (x )＝(x 3－3x )sin x 的大致图象是( )解析：选C.函数f (x )＝(x 3－3x )sin x 是偶函数，排除A ，D ；当x ＝π4时，f (π4)＝[(π4)3－3×π4]×22＜0，排除B ，故选C.2. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于 ( ) A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )解析：选B.当a ＝0时，函数为y 1＝－x 与y 2＝x ，排除D.当a ≠0时，y 1＝ax 2－x ＋a2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2－14a ＋a 2，而y 2＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′2＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′2＝0，解得x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以x 1＝13a 与x 2＝1a 是函数y 2的两个极值点．当a ＞0时，13a ＜12a ＜1a；当a ＜0时，13a ＞12a ＞1a，即二次函数y 1的对称轴在函数y 2的两个极值点之间，所以选项B 不合要求，故选B.4．已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝－12D ．x ＝12解析：选D.因为函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (2x )的图象是将函数y ＝f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位，所以对称轴也向右平移12个单位，所以函数y ＝f (2x )的图象的对称轴为x ＝12.5．(2019·绍兴一中模拟)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是 ( )解析：选A.因为y ＝x 33x 4－1，所以函数y ＝x 33x 4－1是奇函数，图象关于原点对称，故排除C ；当x ＜－1时，恒有y ＜0，故排除D ；－1＜x ＜0时，y ＞0，故可排除B ；故选A.6．设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )C ．若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x )D ．若x ∈[－4，4]时，|f (x －2)|≥f (x )解析：选D.在同一坐标系中画出f (x )的图象如图所示．f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数，故A 正确．由图可知x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )，故B 成立．从图象上看，当x ∈[0，＋∞)时，有0≤f (x )≤x 成立，令t ＝f (x )，则t ≥0，故f (f (x ))≤f (x )，故C 成立．取x ＝32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12，|f (x －2)|<f (x )，故D 不成立．综上，选D.7．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)8. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.答案：29．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1，0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1，由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14（x －2）2－1，x ∈（0，＋∞）. 答案：f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14（x －2）2－1，x ∈（0，＋∞） 10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于点(0，a )，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，所以1＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在x ∈(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在x ∈(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．[能力提升]1．(2019·金华市东阳二中高三调研)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象为( )解析：选B.因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1. 所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5 ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )的最小值为1. 所以a ＝2，b ＝1，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|，关于直线x ＝－1对称，故选B. 2．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－8⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32，1≤x ≤2，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x >2，则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2nC ．34(2n－1) D ．32(2n－1) 解析：选D.由g (x )＝xf (x )－6＝0得f (x )＝6x，故函数g (x )的零点即为函数y ＝f (x )和函数y ＝6x图象交点的横坐标．由f (x )＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2可得，函数y ＝f (x )是以区间(2n －1，2n)为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖直方向上缩短为原来的12，从而先作出函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的图象，再依次作出其在[2，4]，[4，8]，…，[2n －1，2n]上的图象(如图)．然后再作出函数y ＝6x的图象，结合图象可得两图象的交点在函数y ＝f (x )的极大值点的位置，由此可得函数g (x )在区间(2n －1，2n)上的零点为x n ＝2n －1＋2n2＝34·2n，故所有零点之和为S n ＝34·2（1－2n）1－2＝3（2n－1）2.故选D.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2，x <0x 2－x ，x ≥0，若f (a )＝－14，则a ＝________，若方程f (x )－b ＝0有三个不同的实根，则实数b 的取值范围是________．解析：若－4a 2＝－14，解得a ＝－14，若a 2－a ＝－14，解得a ＝12，故a ＝－14或12；当x ＜0时，f (x )＜0，当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，f (x )的最小值是－14，若方程f (x )－b ＝0有三个不同的实根，则b ＝f (x )有3个交点，故b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.故答案为：－14或12；⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 答案：－14或12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 4．(2019·学军中学模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．解析：设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧ln （－x ），x <0，－x ，x ≥0，作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示．因为f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，所以y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，所以－a ≤－e ，即a ≥e.答案：[e ，＋∞)5．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．6．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)．设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)．由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上．所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又因为a ≠0，所以2a －1＝0，得a ＝12.。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第二章第7讲函数的图象

2．(2019·金华名校高三第二次统练)已知函数 f(x)＝ax2＋1bx＋c 的部分图象如图所示，则 a＋b＋c＝( )
A．－6 C．－3
B．6 D．3
解析：选 C.由直线 x＝2，x＝4，知 ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－ 4)，又由二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的对称性和图象知顶点为(3， 1)，则 a＝－1，故 b＝6，c＝－8，则 a＋b＋c＝－3.
角度二知图选式 (2019·温州高三质检)已知函数 f(x)的图象如图所示，则
f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝lnx|x| C．f(x)＝x12－1
B．f(x)＝exx D．f(x)＝x－1x
【解析】由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B， C.若函数为 f(x)＝x－1x，则 x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D，故选 A. 【答案】 A
()
(2)(2019·宁波九校模拟)已知函数 f(x)＝x－ln1x－1，则 y＝f(x) 的图象大致为( )
【解析】 (1)设 f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又 f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以 y＝f(x)是奇函数，故排除选项 A，B；令 f(x)＝0，所以 sin 2x＝0，所以 2x＝kπ(k∈Z)，所以 x＝k2π(k∈Z)，故排除选项 C.故选 D. (2)由于 f(e)＝e－1 2＞0，排除 D.由于 f(1e)＝e＞0，排除 B.由于 f(e2)＝e2－1 3＜f(e)，故函数在(1，＋∞)为减函数，排除 C，所以选 A. 【答案】 (1)D (2)A
第二章函数概念与基本初等函数
第7讲函数的图象
1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.1函数的概念及其表示课件

关闭
由映射f的对应法则,知f(4)=1,故f[g(1)]=1.
A
关闭
解析
答案
-13知识梳理
双击自测
2 + 1, ≥ 0,
5.已知函数 f(x)=
且 f(x0)=3,则实数 x0 的值为(
2
3 , < 0,
1
A.-1
B.1
C.-1 或 1 D.-1 或-
)
3
关闭
由条件可知,当 x0≥0 时,f(x0)=2x0+1=3,所以 x0=1;当 x0<0
C.f(x2+1)=|x+1|
D.f(x2+2x)=|x+1|
)
关闭
∵|x+1|= ( + 1)2 = 2 + 2 + 1,
∴存在函数 f(x)= + 1,使 f(x2+2x)=|x+1|对∀x∈R 成立.故选 D.
关闭
D
解析
-19答案
考点一
考点二
考点三
考点四
函数的定义域和值域(考点难度★)
(3)换元法:形如 y=ax+b± + (a,b,c,d 均为常数,且 ac≠0)的函
数常用换元法求值域,形如 y=ax+ - 2 的函数用三角函数代换求
值域.
(4)分离常数法:形如 y=
+
+
(a≠0)的函数可用分离常数法求值域.
(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函
值域为N,那么f(x)的图象可以是(
)
关闭
A项,定义域为[-2,0],D项,值域不是[0,2],C项,当x=0时有两个y值与之对应.

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习课件：4.2 三角函数的图象与性质 .pdf

4

代入f(x)
=4sin(2x+φ)中,得sin 23 φ=1,所以 23π+φ=2kπ+ 2 (k∈Z),则φ=2kπ- 6 (k
∈Z),因为|φ|< 2 ,所以φ=- 6 ,故A正确;f(x)=4sin 2x

6

,则f 23
=4sin
T=2 ω 叫做周期 , f=T 1 = 2ω 叫做频率 ,ωx+φ叫做相位 ,x=0
时的相位φ称为初相 .
考向突破考向一三角函数图象的变换
例1 (2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴
向左平移 6 个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为
答案 D
考向二单调性、最值
例2 已知函数f(x)=4cos
ωxsin ωx

6

(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)在区间x∈(0,π)上的单调递增区间;
(2)求f(x)在 8 ,
3 8

上的最大值和最小值.
解析 (1)f(x)=4cos
ωxsin ωx

6

=4cos ωx

3 2
sin
ωx

1 2
cos
ωx

=2 3 sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1-1
= 3 sin 2ωx-cos 2ωx-1
=2sin 2ωx

6

-1,
且f(x)的最小正周期是 2 =π,所以ω=1,
2ω
从而f(x)=2sin 2x

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数单元质检

),
综上 a=59.
4
2e??- 1, ?? < 2, 13. (2017 浙江温州模拟 ) 设 f ( x) ={ log 3( ??2- 1), ?? ≥ 2, 则 f ( f (1)) =
, 不等式 f ( x) >2 的
解集为
.
答案 1 (1,2) ∪ ( √10, +∞ ) 解析因为 f (1) =2e0=2, 所以 f ( f (1)) =f (2) =log 3(4 - 1) =1; 当 x<2 时 ,2e x- 1>2? ex- 1>1? x>1, 则 1<x<2; 当 x≥２时 , 则 log 3( x2- 1) >2? x2- 1>9, 即 x2>10? x>√10; 综上不等式的解集是 (1,2) ∪( √10, +∞) . 故应
)
答案 C
4. (2018
嘉兴一模
) 已知
a 为实数 , 设函数
??- 2??, ?? < f ( x) ={ log 2( ??- 2),
2, ??
≥ 2,
则
f
(2
a+2)
的值为
(
)
1
A.2 a
B. a
C.2
D. a 或 2
答案 B 解析因为 2a+2>2, 所以 f (2 a+2) =log 2(2 a+2- 2) =a, 故选 B.
时, f ( x) =
; 方程 [5 f ( x) - 1][ f ( x) +5] =0 的实根个数为
.
答案 -x (1 +x) 6 个
解析设 x<0, 则 -x>0,

2020年浙江高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质••＞必过数材美1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y = sin x, x € ［0,2 n ］图象上，五个关键点是：（0,0）,住，1 , n 0），芒— 1 , （2 n 0）.余弦函数y = cosx ,x € ［0,2 n 的图象上，五个关键点是：（0,1）,寸，0 , （ n — 1）,竽 0 , （2 n 1）.函数 y = sin xy = cosxy = tan xt/ y\ J ； j ； J ；3^图象、2 屯 L ,八一-n*定义域 R R 错误！值域 [—1,1] [—1,1] R周期性 2n2n n奇偶性奇函数偶函数奇函数2k n — n ，2k n+[2 k n — n , 2k n 」单调性亍为增；［2k n 盗—1为增；[2k n , 2k n 賈n —n , k n +f 为增+ n ］为减+ n, 2k n+备为减对称中心 (k n , 0) [k n+n ，0/t 0)对称轴i i n x = k n+ _x = k n2［小题体验］21.①y = cosx;②y = sin 2x;③y = tan 2x;④y = |sin x|四个函数中，最小正周期为 n 的奇函数是 _________ .答案：②2.（教材习题改编）函数y =— tan x ++ 2的定义域为n答案：tf x x ^ k n+ - , k € Z••>必过易措美1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数 y = Asin@x +妨的单调区间时 3的符号，尽量化成 «>0时的情况. 3•三角函数存在多个单调区间时易错用“U”联结.［小题纠偏］答案:圉詢瓠醪圃因0金伺的図囹圍考点一三角函数的定义域基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1 —1》0 , 1 Sin x所以有 o V sin x < 11.函数 y= 4sin(— x), x € [— n, n ］的单调性是（ A .在[—n , 0］上是增函数，在［0 ,n !上是减函数 B .在是增函数，在7t n 壬口 n—n,一 2 和 2,是减函数C .在[0 , n!上是增函数，在［—n, 0］上是减函数是减函数1.函数y = lOg2 ~1 — — 1的定义域为 sin xlOg 2 解析：由题可得$ Si增函数，在和一 n, 7t的最小值为一n ，3f ， D .在 n，的最小值为一f(x)= sin[2x — 4n 在区间 0,2sin x > 0,解得2k nV x W 2k n+n或2k n+ 好 x V 2k n+ n k€ Z,6 6答案：ix 2k n< x < 2k n+£或 2k n+x < 2k n+ n, k€ ~Z*L66.2.函数 y = lg(sin 2x) + 9 — x 2的定义域为 ________________ - k n< x < k n+n k € Z ,得丫 2••— 3W x < ——^或 0<2函数y = lg(sin 2x) +9—x 2的定义域为［谨记通法］三角函数定义域的求法［典例引领］sin 2x > 0, 解析：由[9— x 2>0,—3 W x W3.答案:—3,—求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数图象来求解.考点二三角函数的值域或最值重点保分型考点师生共研1.0W x w 9）的最大值与最小值之和为（B . 0解析：选A V 0W x w 9」-詐未-詐76n ,• sinI 3, 1•-y € [ — 3, 2], …y max + y min =2—3.22. (2018浙北联考)函数f(x) = 2cosx + 5sin x — 4的最小值为,最大值为5 2「9 …x —~ i - + 8.因为一1w sin x w 1，所以当sin x =— 1时，f(x)有最小值一9;当sin x = 1时，f(x)有最大值1.答案：—913.函数 y = sin x — cosx + sin x cosx , x € [0 , n]的值域为 ___________________ . 解析：设 t = sin x — cosx ,解析：f(x) = 2cos 2x + 5sin x — 4 =— 2sin 2x + 5sin x — 2=— 2 sin—3,—，n .函数y = 2sin即 sin xcosx =号，且一t w 2.y — £+1+1 — 2(i )2+!.当 t = 1 时，y max = 1；当 t =— 1 时，y min =— 1. •••函数的值域为［—1,1］. 答案：［—1,1］为［—5,1］，贝U a + b = _____ .解析：因为x € 0,于，所以2x +f€才，所以Sing + n 」* — *， 1L 因为a < 0, 所以f(x) € ［3 a + b , b ］ •因为函数的值域为［—5,1］，所以3a + b = — 5, b = 1，所以a =— 2, 所以 a + b =— 1.答案：—1［由题悟法］三角函数最值或值域的 3种求法(1)直接法：直接利用 sin x 和cosx 的值域求解. ⑵化一法：把所给三角函数化为 y = Asin(»+妨+ k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把 sin x 、cosx 、sin xcosx 或 sin xicosx 换成 t , 转化为二次函数.［即时应用］求函数y = cos 2x + sin x |x|w 4的最大值与最小值. 解：令 t = sin x ,v |x|w n ，• t € • y =—12+t +1=— (t —1)+ 4, •••当 t = £时，y max = 5,2 4••函数y = cos ?x + sin x ||x|< 的最大值为；，最小值为1 考点三三角函数的性质题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多4. (2019平阳模拟)已知函数f(x)= 2asin2x + 6 +a + b(a v 0)的定义域为当与奇偶性、周期性结合.常见的命题角度有:⑴三角函数的周期性；（2）三角函数的对称性；（3）三角函数的单调性. ［题点全练］角度一：三角函数的周期性（n n •、6—^x 的最小正周期为（2nT11 n 5 n T••盲—= 4(2m + 1), m € N••• f(x)的最小正周期大于 2n, • T = 3n, •w=严 3，•f(x)=2sin 3x + °.由 2sin 2x 5;+ 0 = 2，得 2k n+ —, k € 乙0 8 丿 12 又I 训＜ n, •取 k = 0，得 0= £. 角度二：三角函数的对称性3. (2018嘉兴期末)函数f(x) = sin 2x + ；的图象的对称轴方程可以是 ()n5 nA . x = 12 B. x = 121.解析：选A 函数的最小正周期为 T =J 6.2. （2017天津高考）设函数f （x ）= 2sin （g +妨，x € R,其中 3> 0, | $|V n 若/= 2，0,且f （x ）的最小正周期大于 2n,则（B.n12C.w=3，A - 124nA 7nf0,解析：选 A T f 58?= 2, fn nC. x= 3D. x= 6解析：选A 由题可得，令2x+n= k n+n，k € Z,得x=字+三，k€乙所以当k = 03 2 2 12时，函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=；n.4. 函数y= cos(3x + 0)的图象关于原点成中心对称图形，则$= _________ .解析：由题意，得y= cos(3x+妨是奇函数，n故0= k n+ 2(k€ Z).n答案：k n+ n(k € Z)角度三：三角函数的单调性5. (2019浦江模拟)已知函数f(x)= 2sin cox+ 0+ \w>°，丨0<\的最小正周期为n且是偶函数，则()A. f(x)在0, 2内单调递减B. f(x)在f,于内单调递减C . f(x)在°, n内单调递增D. f(x)在g 芋内单调递增解析：选A 因为函数f(x)的最小正周期为n所以3= 2.因为函数f(x)是偶函数，且|0，所以0=；.所以2 4f(x)= ?2sin 2x +寸=2cos 2x，所以函数f(x)在0,扌内单调递减.［通法在握］1. 函数f(x) = Asin(3x+ 0的奇偶性、周期性和对称性(1) 若f(x) = Asin@x+ 0为偶函数，则当x= 0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)= Asin(3x+ 0为奇函数，则当x= 0时，f(x)= 0.(2) 对于函数y= Asin(3x+ 0,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x= X o或点(X o,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x o)的值进行判断.2. 求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.⑵图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.［演练冲关］1. （2019舟山模拟）若函数f（x）= sing—x）是奇函数，则$的值可能是（)nC. 2D. n解析：选D 因为函数f（x）是奇函数，所以片k n k€ Z）•对比选项可知，$的值可能是n故选D.2.若函数f（x）= sin 3x+ 3 + sin ®x（3>0）相邻两对称轴之间的距离为解析：n . 1 3 3 3 f(x) = sin 3x+ 3 十sin 3x= ‘sin 3x+牙cos 3x+ sin 3x=~sin ax+^cos 3x=1.下列函数中，周期为n的奇函数为（）A. y= sin xcosxB. y= sin2xC. y= tan 2xD. y= sin 2x + cos 2xn解析：选A y= sin2x为偶函数；y= tan 2x的周期为2 ；y= sin 2x+ cos 2为非奇非偶函数，B、C、D都不正确，选 A.2.函数y= sin 3x +才在x= 2处取得最大值，则正数3的最小值为（）A. B.C. D. 3一抓基础，多练小题做到眼疾手快C•3D• 2解析：选 D 由题意得，2 3 + n=n+ 2k n k € Z ),解得 w= n+ k n k € Z ),T 3>0,「6 2 6• 2k n —x W 2k n+ n , k € 乙6 6当k = 0时,3min = 6，故选 D. 3•函数 y =、/cosx —^3的定义域为()A.n 6,k n+ i (k € Z )n c. 2k n — 6,2 k n+解析：选C• cosx 一于>0,得 cog 于,4 • (2018浙江六校联考 )函数 y = 3sin x + 3cos x |x € 0,詡的单调递增区间是解析：化简可得 y = 2 3sin xx + n ,由 2k n — n x + n 2k n+ j (k € Z ),得一严+n‘2k nW x + 2k n k € Z )，又 x € 0,:•••函数的单调递增区间是n 0，3答案:n 0, 3解析:n 4_n 2x +3 = y ,即乂二寸时，f(X )min =n 4n3, 3，•当 2x +^，即 x =时，f(X )max = 1•当23，： f(x) €-3 1 2 ,'的值域是5.函数 f(x) = sin 2x + 3答案：1. (2019诸暨模拟)若函数f(x) = sin ox(w>0)在区间0,—保咼考，全练题型做到咼考达标单调递增，在区间上单调递减，则3=( )C•3 D• 2B .— 2 或 2解析：选B 因为函数f(x)= 2sin (3x+妨对任意x 都有f 冒+ x = f图象关于直线 x = f 对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4.已知函数f(x)= 2sin (3x+妨，x € R,其中w> 0,— nV 皆n 若f(x)的最小正周期为n6 n 且当x =n 时，f(x)取得最大值，则()A. f(x)在区间［—2 n, 0］上是增函数B. f(x)在区间［—3n,— n 上是增函数 C . f(x)在区间［3 n, 5冗吐是减函数 D . f(x)在区间［4 n, 6冗吐是减函数1解析：选AT f(x)的最小正周期为 6n, 3=亍.n•••当x =n 时，f(x)有最大值， •-+ ^=n+ 2k n k € Z ), 0=n+ 2k n k € Z ),解析：选C 因为函数f(x)在区间0, 单调递增，在区间 f(X )max = fn1= sin 晋=1.又因为2n >2X 扌，所以0VsW 2，所以 ¥=扌解得3 = 3. 33 3 2 3 2 22.关于函数y = tan 2x — 3，下列说法正确的是( A .是奇函数B .在区间0, n 上单调递减C. 6，0为其图象的一个对称中心 D .最小正周期为 n解析：选C 函数y = tan 2x —扌是非奇非偶函数, A 错；函数y = tann 在区间［0, n ：上单调递增，B 错；最小正周期为n , D 错；由n k nk n n .2x — - = —, k € Z ,得 x = -4 + 6, k€乙当k = 0时，x = 所以它的图象关于焙0/寸称.3.函数f(x)= 2sin (3x+妨(3>0)对任意x 都有fn 的值为()x ，所以该函数单调递减，所以n3,，则f n+3 2 2 3 'T—nV QW n, •• ©= 土•••f (x )=2sinx +n,令—n +2k n- 3+n n + 2k n ，k € z ，5 nn得—〒+ 6k n < x < 2 + 6k n k € Z ，令k = 0,得x €6•若函数f(x)= 2tan kx +扌的最小正周期T 满足1< T < 2,则自然数k 的值为解析：由题意知，1<n< 2,即卩k < n< 2k.又k € N,所以k = 2或k = 3. k 答案：2或37.已知函数f(x)= sin] + ：]其中x € —才,a 〔，若f(x)的值域是一J , 1〔，则实数a 的取值范围是 ___________________ .解析：•/ x € — J a x +器—才,a + f],•••当x +n € — n 才时,f(x)的值域为—1 , i , •结合函数的图象知 a +n - 7n , • a -n.2 6 6 3答案：訂故f(x)的单调增区间为 7t —~z~ + 6k n, ;+6k n', k € 乙 •••[ — 2n, 0]?故A 正确.5.已知 3>0，函数 f(x)= sinS+f 在in, n 上单调递减，则3的取值范围是()D . (0,2]解析：选 A 由nco+ n ,4由题意知n n 2w+ 4，■ n n 、 n n 3+n n n••• J - 4,故选A.B .nw + n 3 n~2 ,，求函数f(x)的最大值和最小值.8.若函数f(x) = sin ox+ n (o>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 n ,且该函数图象关于点(x °,0)成中心对称，x °€解析：由题意得舟拆,T =n, o= 2.又 2xo + n = k n( Z ),答案：存9.已知函数f(x)= sin (3x+妨0v (f )< 23n 的最小正周期为(1)求当f(x)为偶函数时0的值；n, -2 ,求f(x)的单调递增区间.2 n解：T f(x)的最小正周期为 n ,则T = — = n, • 3= 2.co••• f(x)= sin(2x + 0).n(1)当f(x)为偶函数时，o= 2 + k n k € Z , • cos 0= 0 ,••• 0< 0<•3即sin2 n n n八 0v0< § , • 3<n+0<令 2k n —n W 2x +n W 2k n+n , k € Z ,2 3 2 得 k n — W X W k n+12 , k € 乙7t no, 2所以X 0= 5nk n n十厂x °="2 —匸化Z ),而 X Q €⑵若f(x)的图象过点(2)f(x)的图象过点 n ,妬 2 } 助2江+0=于,• 7+ 0=宁，0 n 3 3 3. 0= ；••• f(x )= sin 2x +n .• f(x)的单调递增区间为,k €乙10.已知函数 f(x) = . 2sin 2x +n .(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;⑵求函数f(x)的单调递增区间;, n(3)当 x € 4 ,解：⑴令2x + n= k n+才，k€乙得x= ¥+ n, k€乙所以函数f(x)图象的对称轴方程是x= k n+n k€乙2 8n n n⑵令2k n- 2x+-< 2k n+-, k€ Z,2 4 2得k n- 3n^ x< k n+n，k€ Z.8 8故函数f(x)的单调递增区间为_k n- 3n，k n+n，k€乙- 8 8-n 3兀工」 3 n’a 兀‘ 7 nr一⑶当x€才3nf,玄三2x+n n7T，所以一1< sin 2x + n w ，所以一2 < f(x) < 1,所以当x€ n，节时函数f(x)的最大值为1,最小值为->/2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.若存在实数a，使函数y= sin'x + acosx+器—|在闭区间0,寸上取到最大值1,则实数a等于()3C. 3cosx—解析：选C y=冗当0 w x< 2时，O w cosx w 1,令t= cosx,贝y 0 w t w 1,/ x. 2所以y=—[t —^a 2 +冷+|a- ~, 0w t w 1①当0w |w 1,即0w a w 2 时，则当t= 2，即cosx=学时,y max=a + 5a-1= 1,解得a =扌或a =- 4(舍去)，故a= 2 ；②当；v °，即a v 0时，则当t= 0, 即卩cosx= 0时，y max= 5a-2= 1,解得a = ¥，由于a v 0,故这种情况不存在满足条件的a值；8 2 5③当；> 1, 即卩a> 2时，则当t= 1, 即卩cosx= 1时，y max= a+ ：a —；= 1，解得a=鴛由于2,故这种情况下不存在满足条件的a值.22< sin x + 才W 1，依题意知a 丰0.综上知，存在a =号符合题意•故选 C.2.设函数f(x) = sin(»+妨3>0, | <n ，给出以下四个论断: ①它的最小正周期为 n②它的图象关于直线 x =右成轴对称图形;以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(用序号表示即可).解析：若①②成立，则 3= 2n= 2.令2xf+ o= k n+ n, k €乙且wi <n,故k =0,则12 2 2(1)当 a =— 1 时，f(x)=— .2sin x +n . i n 3 n由 2k n+ 2W x + 4< 2k n+ y(k € Z ),n5 n得 2M +n < x <2k n + ；n (k 《Z )，n - n - 5 n③它的图象关于点 3, 0成中心对称图形;④在区间6, 0上是增函数.7t0= j .此时 f(x)= sin 2x + 3 •当 x = n == sin = 0,所以f(x)的图象关于n3,中心对称；又f(x)在是增函数，则f(x)在 — 6 0，上也是增函数，因此①② ？③④.用类似的分析可求得①③ ？②④.答案：①②？③④或①③？②④3. (2019武汉调研)已知函数f(x)= a 28誇+ sin x + b. (1)若a =- 1，求函数f(x)的单调递增区间;⑵当x € ［0 , n ：时，函数f(x)的值域是［5,8］，求a , b 的值.解：已知函数 f(x) = a(1 + cosx + sin x) + b 2asin xn+ a + b.••• f(x)的单调递增区间为2k n+：, 2k 冗+ 亍仆 € Z ).，sin⑵••• 0< x< n •- x+n W T，22<sin x + 才W 1，依题意知a丰0.avo^+ a + b H ~F 5〉「b n ®° 员0好俞“ .au3——3pr j ^w + a + b H 5 -II5II00。

(浙江专用)2020届高考数学一轮复习第二章函数2.6函数的图象教师用书(PDF,含解析)

( ) ( ) ６＞０，ｇ′
－６５
＝
２ｅ－
６５
－
４５
＜０，所以存在
ｘ０ ∈
－６，０５
使得
ｇ′（ｘ０）＝０，亦即２ｅｘ０＋４ｘ０＋４＝０，所以函数ｇ（ｘ）在（－∞ ，ｘ０）上单
调递减，（ｘ０，０）上单调递增，因为
ｇ（ｘ０）＝
２
ｅ
ｘ
０
＋
２
ｘ
２０
( ) ( ) 后得到的，且函数ｆ（ｘ）在
０，－１ａ
上为正，在
－
１ａ
，＋∞
上为
负，此时选项Ａ，Ｃ均有可能．故选Ｄ．
二、函数图象应用的解题策略
��
，
ìïａ＝ ïï
１３
，
ｆ（
１）
＝
０，即
íï８＝
ｃａ
，
îïａ＋ｂ＋ｃ＝
解得１，
íｂ ï îïｃ
＝＝
－２，８
，３
因此
ａ－ｂ＋ｃ
＝
５，故选
Ｄ．
答案Ｄ
２－１（２０１８浙江稽阳联谊学校高三联考（４月），７）函数
{ｆ（ｘ）＝
２ｘ２＋４ｘ＋１，ｘ＜０，
２ｅｘ，ｘ≥０

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：2.2 函数的基本性质 Word版含解析

2.2函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题(例:2014浙江15题),也有难题(例:2015浙江18题).2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查(例:2018浙江5题).3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等(例:2015浙江11题).4.预计2020年高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一函数的单调性与最值1.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),3)已知实数x,y满足<,则下列关系式中恒成立的是()A.tan x>tan yB.ln(x2+2)>ln(y2+1)C. <D.x3>y3答案D2.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记min{x,y}=设f(x)=min{x2,x3},则()A.存在t>0,|f(t)+f(-t)|>f(t)-f(-t)B.存在t>0,|f(t)-f(-t)|>f(t)-f(-t)C.存在t>0,|f(1+t)+f(1-t)|>f(1+t)+f(1-t)D.存在t>0,|f(1+t)-f(1-t)|>f(1+t)-f(1-t)答案C考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,6)已知h(x)=f(x)+x2+x是奇函数,且f(1)=2,若g(x)=f(x)+1,则g(-1)=()A.3B.4C.-3D.-4答案C2.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f + f(1)=.答案-2炼技法【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.(2018陕西汉中第一次检测,3)下列函数中,在(0,2)上为增函数的是()A.y=B.y=lo(2-x)C.y=D.y=答案B2.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),5)已知 f(x)=log a(x2-ax+3)(a>0,且a≠1)满足:对任意x1,x2∈,且x1≠x2,不等式<0恒成立,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)答案B方法2 判断函数奇偶性的方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=-2,函数g(x)=x3-sin x-1,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象相交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P n(x n,y n)(n∈N*),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x n+y n)=()A.-2n+2B.-2nC.-n+1D.-n答案D2.(2017浙江宁波二模(5月),9)已知函数f(x)=sin xcos 2x,则下列关于函数f(x)的结论中,错误的是()A.最大值为1B.图象关于直线x=-对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点中心对称答案D方法3 函数周期性的解题方法1.(2017浙江台州一模,3)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)=()A.-2 017B.0C.1D.2 017答案B2.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x∈[-3,3)时,f(x)=则f(4)=;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f(2017)=.答案0;337方法4 函数性质的综合应用1.(2017河南洛阳期中,8)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)且在[5,6]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,则()A.f(sin α)>f(cos β)B.f(sin α)>f(sin β)C.f(sin α)<f(cos β)D.f(cos α)>f(cos β)答案C2.(2017江西吉安一中期中,16)已知a>0且a≠1,函数f(x)=+4log a,其中-≤x≤,则函数f(x)的最大值与最小值之和为.答案8过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值1.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案A2.(2018北京理,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)3.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.答案考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标全国Ⅱ理,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案C2.(2017天津理,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则f(919)=.答案 66.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是.答案-教师专用题组考点一函数的单调性与最值(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x答案D考点二函数的奇偶性与周期性1.(2017课标全国Ⅰ理,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x答案D3.(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案C4.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x) +sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=()A. B. C.0 D.-答案A5.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C6.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为()A. B.C. D.7.(2018课标全国Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)=.答案-28.(2017课标全国Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案129.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.答案 110.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.答案(-1,3)11.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=.答案 1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,4)已知函数y=f(x)+cos x是奇函数,且f=1,则f=()A.-2B.-1C.1D.2答案A2.(2019届台州中学第一次模拟,5)下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是()A.y=B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x3.(2018浙江诸暨高三期末,7)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B4.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,8)已知函数f(x)=是偶函数,则α,β的可能取值是()A.α=π,β=B.α=β=C.α=,β=D.α=,β=答案C5.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,8)已知a∈R,函数f(x)满足:存在x0>0,对任意的x>0,恒有|f(x)-a|≤|f(x0)-a|,则f(x)可以为()A.f(x)=lg xB.f(x)=-x2+2xC.f(x)=2xD.f(x)=sin x答案D6.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),6)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x),若该函数在定义域上单调递减,则不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集为()A.(-2,1)B.(-2,)C.(1,)D.(0,1)二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)7.(2018浙江台州第一次调考(4月),13)若函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则a=,函数f(x)的值域为.答案-1;(-∞,-1)∪(1,+∞)8.(2019届浙江金丽衢十二校2018学年高三第一次联考,12)已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时, f(x)=x,则f=.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是.答案;三、解答题(共15分)9.(2017浙江杭州二模(4月),20)设函数f(x)=+.(1)求函数f(x)的值域;(2)当实数x∈[0,1]时,证明: f(x)≤2-x2.解析解法一:(1)由已知得函数f(x)的定义域是[-1,1],因为f '(x)=,令f '(x)=0时,解得x=0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=f(-1)=, f(x)max=f(0)=2,所以函数f(x)的值域为[,2].(2)证明:设h(x)=++ x2-2,x∈[0,1],则h(0)=0,h'(x)=-++ x,=x.因为(+)=·≤2,所以h'(x)≤0.所以h(x)在[0,1]上单调递减,又h(0)=0,所以f(x)≤2-x2.解法二:(1)设t=+,两边平方知t2=2+2,因为-1≤x≤1,所以2≤t2≤4,所以≤t≤2,即函数f(x)的值域为[,2].(2)证明:由(1)知x2=1-=t2-,所以要证f(x)≤2-x2,只需证t≤2-.2--t=[t4-4t2-16(t-2)]=(t-2)(t3+2t2-16),因为y1=t-2和y2=t3+2t2-16在区间[,2]上均单调递增,所以当t∈[,2]时,t-2≤0且t3+2t2-16≤0. 所以(t-2)(t3+2t2-16)≥0,即t≤2-成立,所以f(x)≤2-x2成立.解法三:设x=sin 2t,-≤t≤,则(1)f(t)=|sin t-cos t|+|sin t+cos t|=2cos t∈[,2].(2)证明:令y3=2-x2-f(x),则y3=2- (2sin t·cos t)2-2cos t=2-cos2t(1-cos2t)-2cos t=(cost-1)(cos3t+cos2t-2).因为cos t∈,所以y3≥0,即f(x)≤2-x2.。

【数学】浙江专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I21函数及其表示教师用书

【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．2．函数图象的特征：与x轴笔直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ×)(3)映射是特殊的函数．( ×)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)1．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )答案 B解析A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.2．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝答案 D解析函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.3．已知f()＝x2＋5x，则f(x)＝________.答案(x≠0)解析令＝t(t≠0)，则f(t)＝＋5＝，∴f(x)＝(x≠0)．4．(2016·诸暨期末)已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝________；若f[f(x0)]＝2，则x0＝________.答案 6 2或－2解析由题意知f(0)＝4，f(4)＝6，设f(x0)＝t，则f(t)＝2，当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，当t<0时，t2＋4＝2，无解，当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，当x0≤0时，由x＋4＝8，得x0＝－2，所以x0＝2或－2.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.其中正确判断的序号是________．答案 ②③解析对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f(x)定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f(x)的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f(x)的图象只有一个交点，即y ＝f(x)的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f ＝－＝0，所以f ＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列所给图象中函数图象的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2答案 (1)B (2)D解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D.题型二函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域例2 (2016·临安中学一模)(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________．答案 (1)A (2)[0,1)解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.所以函数f (x )的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为________________．答案 [12，1)∪(1，32]解析由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]，得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32]．命题点2 已知函数的定义域求参数范围例3 (1)若函数f (x )2221x ax a+--R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以22210x ax a+--≥对x ∈R 恒成立，即22022x ax a+-≥，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝12(2)log (2)f x x -的定义域为( ) A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)(2)若函数y ＝的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)答案 (1)B (2)D 解析 (1)要使函数y ＝12(2)log (2)f x x -有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log (2)0x ->⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4m 2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 4m －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 4m －3<0.解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34，故选D.题型三求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x)·x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )·1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )·x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ，即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1， ∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，可得f (x )＝－x ＋14.2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)－34(2)C1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C解析 A 项中两函数的定义域不同；B 项、D 项中两函数的对应关系不同，故选C. 2．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使函数f (x )有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x >1，x ≠2，解得1<x <2或2<x ≤10，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法) 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，故选B.4．(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32答案 C解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 5．(2016·余杭六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2答案 B解析当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2，故选B.*6.(2016·嘉兴期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是[－1，12)．7．(2016·济南模拟)已知函数f (1－x1＋x )＝x ，则f (2)＝________.答案－13解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x ，∴f (2)＝1－21＋2＝－13.8．(2017·金华十校调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (2))＝________，值域为______．答案 2 (－1,2]解析 ∵f (2)＝f (1)＝2，∴f [f (2)]＝f (2)＝2. 又x >1时，f (x )＝f (x －1)，∴f (x )的值域即为x ≤1时函数值的范围．又x ≤1时，－1<3x－1≤2，故f (x )的值域为(－1,2]． 9．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3 解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋1，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32，当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)．综上所述，a ＝32或a ＝ 5. 12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1. (1)求f 2f 12的值；(2)求f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)的值．解 (1)∵f (2)＝35，f (12)＝－35， ∴f 2f 12＝－1.(2)∵f (1x )＝1x 2－11x 2＋1＝1－x 2x 2＋1＝－f (x )， ∴f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…，f (2 017)＋f (12 017)＝0，故f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝0. 13．(2016·嘉兴期末)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n 且f (0)＝f (1)，∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n .∵方程x ＝f (x )有两个相等的实数根，∴方程x ＝x 2－x ＋n 有两个相等的实数根，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0，∴n ＝1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)，知f (x )＝x 2－x ＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为直线x ＝12的抛物线，∴当x ＝12时，f (x )有最小值f (12)． ∴f (12)＝(12)2－12＋1＝34， ∵f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是[34，7]．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2020年浙江高三数学总复习：函数的图象(二)

第六节函数的图象(二)变换作图.3.周期变换:∀x ∈A,都有f(x+T)=f(x).1.与图象变换相关的结论(1)y=f(x)的图象变换到y=f(ax+b)的方法有两种:一是先伸缩后平移,其程序为y=f(x)y=f(ax)y=f(ax+b).二是先平移后伸缩,其程序为y=f(x)y=f(x+b)y=f(ax+b).(2)进行图象变换时,要合理选择变换的顺序,并进行适当的转化变形,无论哪种顺序,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则.2.与图象应用相关联的知识用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( C )解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故选C.2.(2017·杭州一模)函数y=(x3-x)2|x|的图象大致是( B )解析:由于函数y=(x3-x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称.当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0.排除选项A,C,D,故选B.3.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)的部分图象如图所示,则a,b所满足的关系为( B )(A)0<b-1<a<1(B)0<a-1<b<1(C)0<b<a-1<1(D)0<a-1<b-1<1解析:由函数f(x)单调递增得a>1,又f(0)=log a b ∈(-1,0),所以0<a -1<b<1,故选B.4.若函数f(x)=()22m xx m-+的图象如图所示,则m 的范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,2) (C)(1,2) (D)(0,2)解析:根据题意,由于函数f(x)=()22m x x m-+, 根据奇偶函数的性质可知,该函数是奇函数,又f(1)>0,21m m-+>0, 所以-1<m<2.排除A. 又当x>0时,f(x)=2m mx x-+, 由,得到m>1,故可知参数m 的范围是(1,2),选C.5.若函数f(x)=21ax bx c++(a,b,c ∈R)的部分图象如图所示,则b= .解析:由图象可知ax2+bx+c=0的两个根为1和3,由韦达定理可得-ba=4,c a =3,则b=-4a,c=3a,函数f(x)=()2143a x x-+满足f(2)=-1,所以a=1,b=-4.答案:-4考点一函数图象的画法【例1】作出下列函数的图象:(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=a|x|(0<a<1).解:(1)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-12)2-94;当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-12)2+94.所以y=2219,2,2419, 2.24x xx x⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫--+<⎪⎪⎝⎭⎩这是分段函数,每段的图象可根据二次函数图象作出(如图(1)).解:(2)将函数y=log 2x 的图象向左平移一个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y=|log 2(x+1)|的图象,如图(2)所示.解:(3)因为y=,0,1,0x xa x x a ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩(0<a<1), 所以只需作出0<a<1时函数y=a x(x ≥0)和y=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x<0)的图象,合起来即得函数y=a |x|(0<a<1)的图象.如图(3)所示.(1)①熟练掌握几种基本函数的图象;②必要时需对所给函数先进行变形化简(一定注意定义域).(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序;(3)特别注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.1.函数y=log 2(|x|+1)的图象大致是( B )解析:显然函数的定义域为R,故排除C,D,又当x>0时,y=log 2(x+1),故选B. 2.函数f(x)=133,1,log ,1,x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ 则y=f(x+1)的图象大致是( B )解析:作出f(x)=133,1,log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩的大致图象,如图所示,再把f(x)的图象向左平移一个单位,可得到y=f(x+1)的图象,故选B. 考点二函数图象的识别【例2】 (1)函数f(x)=(12)x -x 2的大致图象是( )(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )解析:(1)特殊值法:f(0)=(12)0-02=1>0,所以排除B, f(-4)=(12)-4-(-4)2=0,排除A,f(-10)=(12)-10-(-10)2>0,排除C.故选D.解析:(2)法一f′(x)=-4x3+2x,则f′(x)>0的解集为(-∞)∪),即f(x)单调递增区间为(-∞);f′(x)<0的解集为,0)∪,+∞),即f(x)单调递减区间为,+∞).故选D.法二当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=12时,y=-116+14+2=2316>2,所以排除C选项.故选D. 知图选式或选性质的策略①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域.②从图象的变化趋势,观察函数的单调性.③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性.④从图象的循环往复,观察函数的周期性.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=12log f(x)的图象大致是( C )解析:由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以log f(x)12≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=log f(x)12在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,结合各选项知,选C.2.函数y=xsin x(x∈[-π,π])的图象可能是( D )解析:通过判断奇偶性知该函数f(x)=xsin x为偶函数,故排除B,D, 当x∈(0,π)时,x>0,sin x>0,xsin x>0,故选D.考点三函数图象的应用【例3】 [x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论中正确的有.①函数f(x)的值域为[0,1]②方程f(x)=1有无数个解2③函数f(x)的图象是一条直线④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数解析:因为f(x)=x-[x],所以f(x)的图象如图所示.所以由图可知,①错误,值域应为[0,1);有无数个解,正确;②方程f(x)=12③错误;④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数,正确.答案:②④函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.提醒:利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,因此作出的函数图象一定要准确.1.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( C )(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:令g(x)=e x-1,h k(x)=(x-1)k(k=1,2)如图,因为f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),f(1)=0;当k=1时,0<x<1时,g(x)>0,h1(x)<0,g(x)·h1(x)<0,x>1时,g(x)>0,h1(x)>0,g(x)·h1(x)>0,所以此时x=1既不是函数的极大值点,也不是函数的极小值点;当k=2时,0<x<1时,g(x)>0,h2(x)>0,g(x)·h2(x)>0,x>1时,g(x)>0,h2(x)>0,g(x)·h2(x)>0,所以此时x=1是函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2)的极小值点.故选C.2.(2018·台州模拟)已知函数f(x)=21,0,3,0,x x x x x ⎧+>⎪⎨⎪-+≤⎩若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是( A )(A)[1,3) (B)(1,3] (C)[2,3) (D)(3,+∞)解析:函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]恰有两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象恰有两个不同的交点,画出函数f(x)=21,0,3,0x x x x x ⎧+>⎪⎨⎪-+≤⎩的大致图象,如图,y=k(x+1)的图象是过定点(-1,0)斜率为k 的直线,当直线y=k(x+1)经过点(1,2)时,直线与y=f(x)的图象恰有两个交点,此时, k=1,当直线经过点(0,3)时直线与y=f(x)的图象恰有三个交点,直线在旋转过程中与y=f(x)的图象恰有两个交点,斜率在[1,3)内变化,所以实数k 的取值范围是[1,3).故选A. 考点四易错辨析【例4】已知函数f(x)=()22,0,ln 1,0.x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )(A)(-∞,0] (B)(-∞,1] (C)[-2,1](D)[-2,0]解析:作出y=|f(x)|的大致图象如图所示.当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立,若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|=x2-2x相切为界限,此时a=f′(0)=-2,所以a的取值范围是[-2,0].故选D.(1)搞不清不等式与两函数图象的对应关系,无法求解.(2)当a≤0时,不会确定其上边界,导致无法求解,直线与二次曲线的关系,常以切线为其上、下边界.类型一函数图象的画法1.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( C )解析:作出f(x)=2x-2的图象,再将x轴下方的图象关于x轴对称即可得函数y=|f(x)|的图象.2.已知函数f(x)=|x+1|-|x|,则f(x)( D )(A)是奇函数(B)有最小值1对称(C)图象关于直线x=-12(D)在[-1,0]上是增函数解析:当x≤-1时,f(x)=-x-1+x=-1;当-1<x≤0时,f(x)=x+1+x=2x+1;当x>0时,f(x)=x+1-x=1.作出其函数图象如图所示,由图象可知只有D正确,故选D.3.函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致为( A )解析:画出f(x)=log a x+1(x>0)的图象,然后作出关于y轴对称的图象,故选A.类型二函数图象的识别4.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<f(x)≤1,则函数y=log a|1|x 的图象大致为( B )解析:因为f(x)=a |x|,0<f(x)≤1,所以0<a |x|≤1, 因为对所有的x ∈R 恒成立,所以0<a<1,对函数y=log a |1x |,当x>0时,y=log a 1x 为增函数,又函数y=log a |1x|为偶函数,故选B.5.(2018·金华十校高三上期末)函数y=2ln xxx的图象大致是( D )解析:该函数为偶函数,故排除B, 当x>0时,y=2ln x x x=2ln x x x=xln x,y ′=1+ln x,当x ∈(0,1e )时,y ′<0,函数递减,x ∈(1e,+∞)时,y ′>0,函数递增,故选D.6.(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)函数f(x)=(x-1x )cos x(-π≤x ≤π,且x ≠0)的图象可能为( D )解析:f(-x)=(-x+1x )cos(-x)=-(x-1x )cos x=-f(x)(-π≤x ≤π,且x ≠0),所以该函数为奇函数,故排除A 和B, 当x>0且x →0时,f(x)→-∞.故选D.7.定义在R 上的函数f(x)=lg ,0,1,0,x x x ⎧≠⎪⎨=⎪⎩若关于x 的方程f(x)=c(c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3= . 解析:函数f(x)的大致图象如图所示,由图象知c=1,又f(0)=1,从而x 1+x 2+x 3=0. 答案:0类型三函数图象的应用8.已知t 为常数,函数y=|x 2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t= . 解析:y=|x2-2x-t|=22222,20,2,20,x x t x x t x x t x x t ⎧----≥⎪⎨-++--<⎪⎩ 如图,x ∈[0,3]时,y=f(x)=|x 2-2x-t|, f(x)max =max{f(0),f(1),f(3)} =max{|t|,|1+t|,|3-t|} =2,所以2,12,32t t t ⎧=⎪+≤⎨⎪-≤⎩或2,12,32t t t ⎧≤⎪+=⎨⎪-≤⎩或2,12,32,t t t ⎧≤⎪+≤⎨⎪-=⎩解得t=1.答案:19.已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所示,给出下列4个命题,正确的是.①f[g(x)]=0有且仅有6个根;②g[f(x)]=0有且仅有3个根;③f[f(x)]=0有且仅有5个根;④g[g(x)]=0有且仅有4个根.解析:f(t)=0三根t1,t2,t3满足-2<t1<-1,t2=0,1<t3<2,g(x)=t i(i=1,2,3)分别有2个根,所以f[g(x)]=0有且仅有6个根,故①对;f(x)=t1有1根,f(x)=t2有3个根,f(x)=t3有1个根,所以f[f(x)]=0有且仅有5个根,故③对;g(s)=0两根s1,s2满足-2<s1<-1,0<s2<1,f(x)=s1有1根,f(x)=s2有3个根,所以g[f(x)]=0有且仅有4个根,故②错;g(x)=s1有2根,g(x)=s2有2个根,所以g[g(x)]=0有且仅有4个根,故④对.答案:①③④。

2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：函数的图象

课时跟踪检测(十一)函数的图象一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018金华期末)若函数y = f(x)定义域为实数集 R ,则函数y = f(1 — x)与y = f(x — 1) 的图象关于()A .直线y = 0对称C .直线y = 1对称解析：选D 假设f(x) = x 2,贝Uf(x — 1) = (x — 1)2, f(1 — x)= (1 — x)2= (x —1)2,它们是同一个函数，此函数图象关于直线x = 1对称.f( — x)=— f(x),所以函数f(x)为奇函数，排A 、B ;当 x € (0 ,+s )时，f(x) = xe —x ，因为 e —x > 0，除所以 f(x)> 0,即卩 f(x)在 x € (0, + 8)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.3x3. (2019台州三校适考)函数f(x)= 3^的大致图象是( )解析：选C 由函数f(x)的解析式可知，0时，x 3v 0,3x— 1V 0，所以f(x)> 0,排除选项B ;当X T + R 时，f(x)0,排除选项 D.故选C.由函数f(x)的图象知满足f(x) > 0时，x € (2,8].答案：(2,8]15. (2018金华名校模拟)已知函数f(x) = ax ?+ bx + c 的部分图象如图所示，贝a + b + cB .直线x = 0对称 D .直线x = 1对称解析：选C 因为函数f(x)的定义域为 R , —xf(x)的定义域为｛X |X M 0｝，排除选项 A ;当x V域是4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)= log 2f(x)的定义解析：当f(x)>0时，函数g(x)= log 2f(x)有意义,2.函数 f(x) = xe解析：选D 因为f 4 > f(3) > f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除 A , B.在C 中,V f(0) = 1, f(3) >f(0)，即 f 4 V f(3)，排除 c ,选 D.3. (2018宁波模拟)在同一个坐标系中画出函数 y = a x , y = sin ax 的部分图象，其中a >0且a ^ 1,则下列所给图象中可能正确的是( )解析：由图象知2,4是y = ax 2 + bx + c 的两根，又由二次函数 y = ax 2 + bx + c 的对称性4a + 2b + c = 0, 和图象知顶点为（3,1），故16a + 4b + c = 0, .9a + 3b + c = 1.t a =— 1，解得 b = 6, 贝U a + b + c =— 3.c = — 8.答案：—3二保咼考，全练题型做到咼考达标21. (2019绍兴模拟)已知f(x) = x cosx ,则f(x)的部分图象大致是(解析：选B 因为函数f(x)= x 2cosx ,所以f(— x)= f(x), 所以f(x)为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除 A 、C ,当x € 0, n 时，f(x)>0,排除D ，故选B.2•下列函数f(x)图象中，满足f ； > f (3) > f(2)的只可能是()u/1V 4 ypi匸[1 x解析：选D 当a > 1时，y = sin ax 的周期小于2n,排除A 、C ,当0v a v 1时,y = sin ax 的周期大于2 n,故选D.a € (— s, 1) D . a € (1 ,+s )解析：选B 当x = 0时，y = 0,故a ^ 0, 当x>0时，戸命>0恒成立，即a>- x 2恒成立,所以a> 0,所以y=命=*三爲，当且仅当x=W 时取等号，由图知，当x> 0x + x 时，函数取得最大值时相应的x 的值小于1，所以0v a v 1,所以0v a v 1.2—x — 1, x w 0,5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=若方程f(x)= x + a 有两个不f(x — 1 , x > 0,同实根，贝U a 的取值范围为()B . ( — s, 1]C . (0,1)解析：选 A x < 0 时，f(x)= 2—X — 1,0v x < 1 时，一1 v x — 1< 0, f(x)= f(x — 1) = 2)— 1.故x > 0时，f(x)是周期函数，如图所示.若方程f(x)= x + a 有两个不同的实数根，贝U 函数f(x)的图象与直线 y = x + a 有两个不同交占故a v 1,即a 的取值范围是(一s, 1).4.a € (—1,0) A . ( — s, 1) D . ( — s,+s )(2017 •州期中)函数y = ( )ax + b, x < 0,6. (2018稽阳联考)函数f(x)=1的图象如图所示，贝V a + b + c =j log c [x+ 9 , X > 0解析：由图象可求得直线的方程为 y = 2x + 2,又函数y = log c x + 9的图象过点(0,2), 将其坐标代入可得c =3, 1 13 所以 a + b + c = 2 + 2 + 3=匚.3 3 答案：33|log2(1 — x 1, x v 1,7. (2018金华名校联考)已知函数f(x)=*. 右直线y = m 与函数y—(x — 3)+ 5, X 》1,=f(x)的图象交于四点，且四点的横坐标从左至右分别是 X 1, X 2, X 3, X 4,则z =(X 1— 1)(X 2—1)(x 3— 1)(x 4— 1)的取值范围是 _______ .解析：作出直线y = m 和函数f(x)的图象如图所示，由题意知 X 1< 1, X 2< 1，且 |log 2(1 — X 1)|=|log 2(1 — X 2)| ,即 log 2(1 — X 1)=— log 2(1 — X 2),得 0 = log 2(1 — X 1)+ log 2(1 — X 2) =log 2(1 — X 1)(1 — X 2),•- (X 1— 1)(X 2— 1) = 1.=3, X 3€ [1,3),则(X 3 — 1)(X 4- 1) = (X 3— 1)(6 — X 3— 1)=— x 3 + 6X 3 — 5 =— (X 3 — 3)2+ 4 € [0,4), 故 z = (X 1— 1)(X 2— 1)(X 3— 1)(X 4— 1) € [0,4). 答案：[0,4)8.设函数f(x)= |x + a|, g(x) = x — 1,对于任意的 x € R,不等式f(x)>g(x)恒成立，则实数a 的易知X 3, X 4> 1,结合f(x)=— (x — 3)2+ 5(1 < X W 5)的图象关于直线X 3 + X 4x = 3对称，得 2取值范围是__________________ .取值范围.解：不等式4a x —1< 3x — 4等价于a x —1< 3x — 1.4令 f(x) = a x —1, g(x)=3x — 1,当a > 1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图 (1)所示，由图知不满足条件；当0< a < 1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图 (2)所示，当x > 2时,f(2) w g(2),即 a 2—1w 3x 2— 1, 4解得a w £所以a 的取值范围是0, 2 .解析：如图，作出函数f(x)= |x + a|与g(x)= x — 1的图象，观察图象可知：当且仅当一 a w 1,即卩a > — 1时，不等式f(x)>g(x) 恒成立，因此a 的取值范围是［—1,+).答案：［—1,+^ )9.已知函数 f(x)=|x|(x — a), a >0. (1)作出函数f(x)的图象; ⑵写出函数f(x)的单调区间;⑶当x € ［0,1］时，由图象写出f(x)的最小值.r 「解：(1)f(x)= P x — a , x >0,一 x (x — a )x < 0, 其图象如图所示.⑵由图知，f(x)的单调递增区间是(一8,0),减区间是0,2.a (3)由图象知，当 a> 1,即卩 a > 2 时，f(x)min = f(1) = 1 — a ; 当 0 V 1,即即 0< a w 2 时，f(x)min = f a=— 4综上，f(x)min =-名<1— a ,0v a w 2,a > 2.10 .若关于x 的不等式4a x —1< 3x — 4(a > 0,且a 丰1)对于任意的x >2恒成立，求a 的号，+ 8,单调递三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二中联考)如图，P 是正方体 ABCD-A i B i C i D i 对角线 AC i 上一动点，设 AP 的长度为x ，若△ PBD 的面积为f(x),贝U f(x)的图象大致是()解析：选A 设止方体的棱长为i ，连接AC 交BD 于O ,连接64LPO ,贝U PO是等腰△ PBD 的高，故△ PBD 的面积为 f(x)= 2BD X PO.n在三角形PAO 中，liPO = PA 2+ AO 2— 2PA X AOcos/ PAO=”x 2+ i — 2x 送哼••• f(x)= [Vi x 寸X 2+ 2-2x X 乎 X 当222 i =*「孑+2，画出其图象，可知 A 正确.i2.已知函数f(x)的图象与函数 h(x)= x + x + 2的图象关于点 A(0,i)对称. (i)求f(x)的解析式；⑵若g(x)= f(x)+ a，且ax)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围.解：⑴设f(x)图象上任一点 P(x , y),则点P 关于(0,i)点的对称点P ' (— x,2— y)在h(x) 的图象上，i即 2 — y =— x — + 2,x、1••• y= f(x)= x + 一(x丰 0).a a+1(2)g(x) = f(x) + x= x+ =，, a+1g (x) = —•••g(x)在(0,2］上为减函数,a +1•-1 —一匸< 0在(0,2］上恒成立，即a + 1> x2在(0,2］上恒成立，•- a+ 1》4, 即卩a》3,故实数a的取值范围是［3, + ).。

浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时214.6函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用夯基提能作业(含答案)

4.6　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用A 组　基础题组1.(2017浙江名校协作体)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin 的图象( )(2x +π6)(2x +π3)A.向左平移个单位长度π6B.向右平移个单位长度π6C.向左平移个单位长度π12D.向右平移个单位长度π12答案　C 因为y=sin=sin ,所以仅需将函数y=sin 的图象向左平移个(2x +π3)[2(x +π12)+π6](2x +π6)π12单位长度,即可得到函数y=sin的图象,故选C.(2x +π3)2.(2017浙江嘉兴基础测试)若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移个单位3π6长度得到,则g(x)的解析式是( ) A.g(x)=2sin 2xB.g(x)=2sin(2x +π6)C.g(x)=2sinD.g(x)=2sin (2x +π2)(2x +2π3)答案　A ∵f(x)=2sin,∴g(x)=2sin =2sin 2x.(2x +π3)[2(x -π6)+π3]3.(2018温州十校联合体期初)函数y=f(x)在区间上的简图如图所示,则函数y=f(x)的解析式可以[-π2,π]是( )A.f(x)=sinB.f(x)=sin(2x +π3)(2x -2π3)C.f(x)=sinD.f(x)=sin (x +π3)(x -2π3)答案　B 由题中图象知A=1,因为=-=,T 2π3(-π6)π2所以T=π,所以ω=2,所以函数的解析式是f(x)=sin(2x+φ),因为函数的图象过点,(π3,0)所以0=sin ,(2×π3+φ)所以φ=kπ-,k∈Z,2π3所以当k=0时,φ=-,2π3所以函数的一个解析式是f(x)=sin ,故选B.(2x -2π3) 4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的可能取值是( )A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-π3π3C.ω=,φ=D.ω=,φ=-12π612π6答案　C 由题图知函数f(x)的最小正周期T==4×=4π,2πω[2π3-(-π3)]解得ω=,所以f(x)=sin,12(x 2+φ)又由题图得·+φ=2kπ+,k∈Z,122π3π2取k=0,则φ=.故选C.π65.(2017温州中学月考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于3,若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为( )π2π6A. B. C. D.(-π3,0)(-π4,π4)(0,π3)(π4,π3)答案　D f(x)=2sin ,由题意得=,得ω=2,∴f(x)=2sin .从而g(x)=2sin 2-(ωx -π3)T 2π2(2x -π3)(x +π6)=2sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,故选D.π3π232π4346.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是( )A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2πB.函数y=f(x)·g(x)的最大值为2C.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象π2D.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后得到y=g(x)的图象π2答案　C ∵f(x)=sin(x-π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos x,∴f(x)·g(x)=-sin x·(-cos x)=.sin2x2最小正周期为π,最大值为,故A,B 错误;12将f(x)的图象向左平移个单位后得到y=-sin =-cos x=g(x)的图象,故C 正确;π2(x +π2)将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=-sin=cos x 的图象,故D 错误,故选C.π2(x -π2)7.(2018宁波十校联考模拟)将函数y=sin 的图象向左平移个单位长度,所得函数图象的一条对称(2x -π3)π4轴方程是( )A.x=πB.x=-π23112C.x=π D.x=π13512答案　A 将函数y=sin 的图象向左平移个单位长度,可得y=sin=sin 的(2x -π3)π4(2x +π2-π3)(2x +π6)图象,令2x+=kπ+,k∈Z,求得x=+,k∈Z,可得所得函数图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,令k=1,可π6π2k π2π6k π2π6得所得函数图象的一条对称轴方程为x=,故选A.2π38.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则ω= ,φ= .(ω>0,|φ|<π2)答案　2;π6解析　由题图知,最小正周期T=π,又ω>0,故ω==2,当x=0时,2sin φ=1,即sin φ=,因为|φ|<,所2πT 12π2以φ=.π69.(2018宁波模拟)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为 ,振幅的最小值为 .答案　π;22解析　函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,化简可得:f(x)=sin(2x+θ)a 2+(a +1)2=sin(2x+θ),其tan θ=.2(a +12)2+121+aa 函数f(x)的最小正周期T==π.2π2振幅为,2(a +12)2+12当a=-时,可得振幅的最小值.122210.(2018温州中学高三模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2.x 3x33x 3(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标;(2)如果△ABC 的三边a,b,c 满足b 2=ac,且边b 所对的角为B,求f(B)的取值范围.解析　(1)f(x)=sin +122x332(1+cos 2x 3)=sin +cos +=sin +,122x 3322x 332(2x3+π3)32由sin=0,得+=kπ(k∈Z),得x=π,k∈Z,(2x 3+π3)2x 3π33k -12即对称中心坐标为,k∈Z.(3k -12,0)(2)已知b 2=ac,则cos B==≥=,所以≤cos B<1,0<B≤,<+≤,a 2+c 2-b 22ac a 2+c 2-ac 2ac 2ac -ac 2ac 1212π3π32B 3π35π9因为>,|π3-π2||5π9-π2|所以sin <sin ≤1,所以<sin+≤1+,π3(2B 3+π3)3(2B 3+π3)3232即f(B)的范围是.(3,1+32]11.(2017浙江湖州、衢州、丽水联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,(ω>0,0<φ<π2)M 为最高点,该图象与y 轴交于点F(0,),与x 轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f=,求cos 2α的值.(α-π4)255解析　(1)因为S△MBC =×2×BC=π,12所以T=2π=,所以ω=1,2πω由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,222因为0<φ<,所以φ=,π2π4所以f(x)=2sin.(x +π4)(2)由f=2sin α=,得sin α=,(α-π4)25555所以cos 2α=1-2sin 2α=.3512.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)=sin (x∈R,ω>0)的图象如图,P 是图象的(ωx +π3)最高点,Q 是图象的最低点,且|PQ|=.13(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.解析　(1)过P 作x 轴的垂线,过Q 作y 轴的垂线两垂线交于点M,则由已知得|PM|=2,又|PQ|=,由勾股13定理得|QM|=3,所以T=6,又T=,所以ω=,2πωπ3所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin .(π3x +π3)(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,所以g(x)=sin x.π3函数h(x)=f(x)·g(x)=sinsin x(π3x +π3)π3=sin 2x+sin xcos x12π332π3π3=+sin x14(1-cos2π3x )342π3=sin +.12(2π3x-π6)14当x∈[0,2]时,x-∈,2π3π6[-π6,7π6]所以当x-=,即x=1时,h(x)max =.2π3π6π234B 组　提升题组1.函数y=sin的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点中心对称( )(2x +π3)(-π12,0) A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度π12π12C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度π6π6答案　B 假设将函数y=sin 的图象向左平移ρ个单位长度得到y=sin 的图象关(2x +π3)(2x +2ρ+π3)于点中心对称,(-π12,0)所以将x=-代入得到sin=sin =0,π12(-π6+2ρ+π3)(π6+2ρ)所以+2ρ=kπ,k∈Z,π6所以ρ=-+,k∈Z,π12k π2当k=0时,ρ=-.π122.(2018杭州高三期末检测)设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min =2π,则正实数ω=( )A. B.1 C. D.21232答案　B 函数f(x)=sin |ωx|=ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示:{sin ωx ,x ≥0,-sin ωx ,x <0,设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,且|AB|min =T==2π,解得ω=1.故选B.2πω3.(2018杭州高级中学高三月考)将函数y=2sin (ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位后,(ωx -π4)π4所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为( )A. B.1 C.2 D.412答案　C 把函数y=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为(ωx -π4)π4y 1=2sin=2sin ,[ω(x +π4)-π4](ωx +ω-14π)向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y 2=2sin=2sin .π4[ω(x -π4)-π4](ωx -ω+14π)因为所得的两个图象对称轴重合,所以ωx+π=ωx-π①,或ωx+π=ωx-π+kπ,k∈Z②.ω-14ω+14ω-14ω+14解①得ω=0,不合题意;解②得ω=2k,k∈Z.所以ω的最小值为2.故选C.4.(2018杭州七校联考)已知函数y=4sin,x∈的图象与直线y=m 有三个交点,其交点的横坐(2x +π6)[0,7π6]标分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),那么x 1+2x 2+x 3的值是( )A. B. C. D.3π44π35π33π2答案　C 由函数y=4sin 的图象可得,当x=和x=时,函数分别取得最大值和最(2x +π6)(x ∈[0,7π6])π62π3小值,由正弦函数图象的对称性可得x 1+x 2=2×=,x 2+x 3=2×=.π6π32π34π3故x 1+2x 2+x 3=+=,故选C.π34π35π35.已知函数f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2ωx(ω>0)的图象关于点对称.(π12,1)(1)若m=4,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)的最小正周期是一个三角形的最大内角的值,又f(x)≤f 对任意实数x 成立,求函数f(x)(π4)的解析式,并写出函数f(x)的单调递增区间.解析　(1)f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2ωx=sin(2ωx)+=+m 2n[1-cos(2ωx )]2msin(2ωx )-ncos(2ωx )2n2=sin(2ωx+θ)+.m 2+n 22n2其中cos θ=,sin θ=-.m m 2+n 2n m 2+n 2∵f(x)的图象关于点对称,(π12,1)∴=1,即n=2,∵m=4,∴f(x)=sin(2ωx+θ)+1,n25∴f(x)min =1-.5(2)由f(x)≤f对任意实数x 成立,(π4)得-=+k·,k∈Z,π4π12T 4T2其中T 为函数f(x)的最小正周期,且≤T<π,π3得k=0,T=.2π3∴2ω==3.2πT ∴f(x)=sin 3x-cos 3x+1,m2由f=sin -cos +1=1,得m=2.(π12)m 2π4π4f(x)=sin 3x-cos 3x+1=sin +1.2(3x -π4)由-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,π2π4π2得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.π1223π423∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.[-π12+23kπ,π4+23kπ]。

浙江专用2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第5节根式指数对数习题含解析

第 5 节根式、指数、对数考试要求 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知识梳理1.根式与指数幂的运算(1)根式n①概念：式子 a 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.nnnn②性质：( a )n ＝a (a 使 a 有意义)；当 n 为奇数时， a n ＝a ，当 n 为偶数时， a n ＝|a |＝a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)分数指数幂m n①规定：正数的正分数指数幂的意义是 a ＝ a m (a >0，m ，n ∈N *，且 n >1)；正数的负分数指n数幂的意义是 a －＝n1(a >0，m ，n ∈N *，且 n >1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指 na m数幂没有意义.②有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中 a >0，b >0，r ，s ∈Q. 2.对数与对数的运算(1)对数的概念如果 a x ＝N (a >0，且 a ≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝log N ，其中 a 叫做对a数的底数，N 叫做真数.(2)对数的性质①log 1＝0；②log a ＝1；③a log N ＝N ；④log a b ＝b (a >0，且 a ≠1).aaaa(3)对数的运算法则如果 a >0 且 a ≠1，M >0，N >0，那么①log (MN )＝log M ＋log N ；aaaM②log ＝log M －log N ；a N a am③log M n＝n log M(n∈R)；a a(4)换底公式log Nlog N＝(a，b均大于零且不等于1).log ba[常用结论与易错提醒]已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：n(1)log M n＝log M(m，n∈R，且m≠0).am m a1(2)log b＝，推广log b·log c·log d＝log d.log ab基础自测1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()2A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)－1＝8－1＝7.2答案B2.若log2<log2<0，则()a bA.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1lg 2lg2解析log2<log2<0⇔<<0⇔lg b<lg a<0，故0<b<a<1.故选B.a b答案B3 3.21 1－0×－＋8×2－623－3＝________.2解析原式＝3答案21 3 1×1＋2×2－31＝2.4.(2015·浙江卷)计算：log222＝________；2log3＋log3＝________.2 4解析log22211＝log2－log2＝－1＝－；22aba abc a11lg a lg b743422 3 4 432221答案－ 3 325.设 α ，β 是方程 5x ＋10x ＋1＝0 的两个根，则 2α ·2β ＝________，(2α )β ＝________.1解析由一元二次方程根与系数的关系，得 α ＋β ＝－2，α β ＝，则 2α ·2β ＝52α ＋β 1 1 ＝2－2＝，(2α )β ＝2α β ＝2 .4 5答案1 42 56.(2019·温州适应性考试)已知 2a ＝3，3b ＝2，则a ，b 的大小关系是________，ab ＝________.ln 3 ln 2解析由 2a ＝3，3b ＝2，得 a ln 2＝ln 3，b ln 3＝ln 2，即 a ＝，b ＝，又因为 ln 3>lnln 2 ln 3 ln 3 ln 22>0，所以 a >b ，且 a ·b ＝ × ＝1.ln 2 ln 3答案 a >b 1考点一指数幂的运算3a 3b 2 ab 2【例 1】化简：(1) (a >0，b >0)；1 1 1 1（a b ）4a － b 4 23 327 (2)－82 1－－＋(0.002) －10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.1 21（a 3b 2a b ）3 32 解 (1)原式＝＝a ＋－1＋ b 1＋－2－＝ab －1.2 63332 － a3 321－－(2)原式＝－＋8 500210－＋15－28 ＝－273＋500 －10( 5＋2)＋1 24 167 ＝＋10 5－10 5－20＋1＝－ .9 9规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.2 1323 1 1 111 1 ab b 27 13 213【训练 1】化简求值：0 －(1)2＋2－2×25 412 －(0.01)0.5；2（a ×b －1 3(2)）－ 21×a － ×b 3.6a ×b 5111421解 (1)原式＝1＋ ×－4 9 1001 2 1 1 1 16 ＝1＋ × －＝1＋－＝ .4 3 10 6 10 1521 11 1 a － b ×a － b3 2 2 3(2)原式＝1 5a b6 61 1 1 1 1 51＝a －－－ ×b ＋－＝ .3 2 6 2 3 6 a考点二对数的运算1 1【例 2】 (1)设 2a ＝5b ＝m ，且＋＝2，则 m 等于()a b A. 10C.20B.10D.1001(2)计算：lg －lg 25÷100－＝________.4 2解析 (1)由已知，得 a ＝log m ，b ＝log m ，251 1 1 1 则＋＝＋＝log 2＋log 5＝log 10＝2.m m m25解得 m ＝ 10.11 (2)原式＝(lg2 －lg 5 )×100 ＝lg2 2×5×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 (1)A (2)－20规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a ＝N b ＝log N (a >0，且 a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注3 111 21a b log m log m－222 2【训练2】(1)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()4A.2x <3y <5zC.3y <5z <2xB.5z <2x <3yD.3y <2x <5z5 b 2(2)若实数 a ＞b ＞1，且 log b ＋log a ＝，则 log b ＝__________，＝__________. 2 ax ln 3 3解析 (1)取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，＝ > (由 ln 32>ln 23 y ln 2 2可得)，又 x ，y 为正x ln 5 5数，∴2x >3y .x ln 2＝z ln 5，则＝ < (由 ln 52＜ln 25 可得)，又 x ，z 为正数，∴2x <5z ，z ln 2 2∴3y <2x <5z ，故选 D.1 5 1(2)由 a ＞b ＞1，得 0<log b ＜1，又因为 log b ＋log a ＝log b ＋＝，解得 log b ＝， log b 2 2a所以 a ＝b ，即 b 2 2＝a ，b 2 所以＝1.1答案 (1)D (2) 12一、选择题41.化简 16x 8y 4(x <0，y <0)得( )A.2x 2yC.4x 2y基础巩固题组B.2xyD.－2x 2y4解析 ∵x <0，y <0，∴ 16x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y . 答案 D2.(log 9)×(log 4)＝()231 A.4C.21 B.2D.4解析 (log 9)×(log 4)＝2log 3×2log 2＝4. 2323答案 D93.已知 log 3＝a ，log 5＝b ，则 log 等于( )5A.a 2－bB.2a －ba b a a a b a a 1a 2 2 2a2 C.2aD.9解析∵log3＝a，log5＝b，∴log＝log9－log5＝2log3－log5＝2a－b.5答案B4.已知x，y为正实数，则()A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg(x＋y)＝2lg x＋2lg yC.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg yD.2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析∵x，y∈R，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，A不成立，D成立；对于B，C，不妨取＋x＝y＝1，代入B，C易知不成立，故选D.答案D85.已知2x＝3，log＝y，则x＋2y的值为()3A.3 C.4B.8D.log84 8解析由2x＝3得x＝log3，又log＝y，38∴x＋2y＝log3＋2log38＝log3＋log＝log3＋log8－log3＝3.3答案A116.已知2＝5＝10，则＋＝()1 A.2 C.2B.1D.211111解析∵2a＝5b＝10，∴a lg 2＝b lg 5＝，∴＝2lg2，＝2lg 5，故＋＝2 a b a b 2(lg 2＋lg5)＝2.答案D7.若x lg 4＝1，则4x＋4－x的值为()A.11 C.10102 B.59 D.910b b22222224242422222a b a b1 1 1解析 ∵x lg 4＝1，∴4x ＝10，4－x ＝，∴4x ＋4－x ＝10＋＝10 .10 10 10答案 C8.下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中 x ，y ，z >0)( )A.lg(x 2y z )＝(lg x )2＋lg y ＋ lg zB.lg(x 2y z )＝2lg x ＋2lg y ＋2lg zC.lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y －2lg z1D.lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y ＋ lg z2 解析 ∵x ，y ，z ∈R .＋∴lg(x 2y z )＝lg x 2＋lg y ＋lgz1＝2lg x ＋lg y ＋ lg z .2 答案 D9.已知 m >0 且 m ≠1，则 log n >0 是(1－m )(1－n )>0 的()mA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件m >1， 0<m <1，解析 ∵m >0 且 m ≠1，由 log n >0 得或 ∴(1－m )(1－n )>0， n >1， 0<n <1，1反过来，当(1－m )(1－n )>0 时，不妨取 m ＝，n ＝－1，此时 log n 无意义，故选 A.2 答案 A 二、填空题10.若 log x ＝log 3，则 x ＝________.241解析由等式可得 log x ＝ log 3，解得 x ＝ 3.2 答案 311.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.解析 (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2(lg 2＋lg 5)＝2.m m 2 2答案212.若x＝log3，则(2x－2－x)2＝________.41解析∵x＝log3，∴4x＝3，4－x＝，314∴(2－2－)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.33答案4 313.已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________，a2＋a－2＝________.22解析∵a＋a－＝3，22∴两边平方得a＋a－1＋2＝9，∴a＋a－1＝7，对上式两边平方得a2＋2＋a－2＝49，∴a2＋a－2＝47.答案7473 27314.已知a>0且a≠1，若a＝，则a＝________；log a＝________.2 8223 27273解析∵a>0且a≠1，∴由a＝得a ＝＝2 8829＝；log3a＝log394224＝2.答案942能力提升题组15.(2019·衢州二中二模)已知a>0，b>0，则下列等式不正确的是()A.a lg b·b lg a＝1B.a lg b＋b lg a＝2a lg bC.a lg b·b lg a＝(a lg b)2D.a lg b·b lg a＝b lg a解析由于a>0，b>0，故当a＝b时，有a lg b b lg a＝(a lg b)2，a lg b＋b lg a＝a lg b＋a lg b＝2a lg b，a lg b·b lg a＝(b lg a)答案A2＝b2lg a＝b lg a2，故选A.2 16.函数f(x)＝x ＋21x2＋－2x2的图象为()4x x1 11 13221－log2x82解析 f (x )＝x ＋21x 2＋－2x 2x ，0<x <1，＝1故选 D. ，x ≥1， x答案 D17.(2018·全国Ⅲ卷)设 a ＝log 0.3，b ＝log 0.3，则()0.22A.a ＋b <ab <0C.a ＋b <0<abB.ab <a ＋b <0D.ab <0<a ＋b1 1 1 1解析由 a ＝log 0.3 得＝log 0.2，由 b ＝log 0.3 得＝log 2，所以＋＝log 0.2＋0.2 a 0.3 2 b 0.3 a b 0.3 1 1 a ＋blog 2＝log 0.4，所以 0< ＋ <1，得 0< <1.又 a >0，b <0，所以 ab <0，所以 ab <a ＋b <0. 0.3 0.3 a b ab答案 B18.已知 x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则 xy 的最大值是________.解析由题意得 lg 2x ＋lg 8y ＝lg(2x ×23y )＝lg 2x ＋3y ＝lg 2(x >0，y >0)，所以 x ＋3y ＝1，1 1x ＋3y 则 xy ＝ x ×3y ≤3 321 1 1 ＝，当且仅当 x ＝3y ＝时，等号成立，所以xy 的最大值为 . 12 2 12答案1121919.(2019·湖州适应性考试)若实数 a >b >1，且 log b ＋log a 2＝，则 log a ＝________，3a b 3＝________. 1 19解析因为 a >b >1，所以 log a >1，则由 log b ＋log a 2＝＋2log a ＝，解得 loglog a 3baa ＝3，即b 3＝a ，则＝1.b 3答案 3 11 －log2 x2 a b bb a b b b920.已知a＝2x，b＝4，则l og b＝________，满足log b≤1的实数x的取值范围是__________.2 a2 4 4 4解析b＝4＝2，所以log b＝log2＝；3 3 3 34 43x－44由log b≤1，得log2＝≤1，即≥0，解得x≥或x＜0，即x的取值范围为(－∞，2x 2x 3 3x3x 340)∪，＋∞3.答案434(－∞，0)∪，＋∞310 2322。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§ 4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
A组基础题组
1.(2017浙江名校协作体)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数
y=sin的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 C 因为y=sin =sin,所以仅需将函数
y=sin的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象,故选C.
2.(2017浙江嘉兴基础测试)若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位长度得到,则g(x)的解析式是( )
A.g(x)=2sin 2x
B.g(x)=2sin
C.g(x)=2sin
D.g(x)=2sin
答案 A ∵f(x)=2sin ,∴g(x)=2sin-=2sin 2x.
3.(2018温州十校联合体期初)函数y=f(x)在区间-,上的简图如图所示,则函数y=f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin-
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin-
答案 B 由题中图象知A=1,
因为=--=,
所以T=π,所以ω=2,
所以函数的解析式是f(x)=sin(2x+φ),
因为函数的图象过点,,
所以0=sin,
所以φ=kπ-,k∈Z,
所以当k=0时,φ=-,
所以函数的一个解析式是f(x)=sin-,故选B.
4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的可能取值是( )
A.ω=1,φ=
B.ω=1,φ=-
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=-
答案 C 由题图知函数f(x)的最小正周期T==4×--=4π,
解得ω=,所以f(x)=sin,
又由题图得·+φ=2kπ+,k∈Z,
取k=0,则φ=.故选C.
5.(2017温州中学月考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为( )
A.-,
B.-,
C.,
D.,
答案 D f(x)=2sin-,由题意得=,得ω=2,∴f(x)=2sin-.从而g(x)=2sin2-=2sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得
+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,故选D.
6.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是( )
A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为2
C.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象
D.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后得到y=g(x)的图象
答案 C ∵f(x)=sin(x-π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos
x,∴f(x)·g(x)=-sin x·(-cos x)=.
最小正周期为π,最大值为,故A,B错误;
将f(x)的图象向左平移个单位后得到y=-sin=-cos x=g(x)的图象,故C正确;
将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=-sin-=cos x的图象,故D错误,故选C.。