2018年天津市部分区高考数学一模试卷(理科)

2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集＝，集合＝，集合＝，则集合＝（）

A. B. C. D.

【答案】

B

【考点】

交、并、补集的混合运算

【解析】

先分别求出集合，集合，从而求出，进而求出集合．

【解答】

∵全集＝，集合＝＝，

集合＝＝，

∴＝，

∴集合＝．

2. 设变量、满足约束条件，则目标函数＝的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】

C

【考点】

简单线性规划

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

【解答】

作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由＝得＝，

平移直线＝，

由图象可知当直线＝经过点时，直线＝的截距最大，

此时最大．

由，解得，即，

代入目标函数＝得＝＝（4）

即目标函数＝的最大值为（4）

3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）

A. B. C. D.

【答案】

B

【考点】

程序框图

【解析】

由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量＝的值，进而即可计算得解．

【解答】

模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出＝的值，

可得＝

4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线＝的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）

A.＝

B.＝

C.＝

D.＝

【答案】

C

【考点】

圆锥曲线的综合问题

【解析】

利用抛物线的焦点坐标，得到的方程，求解即可．

【解答】

双曲线的一个焦点与抛物线＝的焦点相同，

可得，解得＝，

则双曲线的渐近线方程为：＝．

5. 设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】

A

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

则“”是“”的充要条件，

6. 在平面四边形中，＝，，＝，＝，则＝（）

A. B. C. D.

【答案】

D

【考点】

余弦定理

【解析】

过点作交于点，再作交于点，在中，可将各边用含

和的代数式表达出来，根据＝列出三角函数式代入求解．

【解答】

如图，过点作交于点，再作交于点，

设＝，＝，

在中，∵，

∴＝＝，

可得＝，，

故＝，

∵四边形为矩形，

∴＝，

∴＝，

在中，

∵，即，

∴＝，

∴

7. 已知点是内一点，满足，若，?，则的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】

C

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算

数量积表示两个向量的夹角

【解析】

用，表示出，利用基本不等式得出的最小值即可．

【解答】

∵点是内一点，满足，∴是的重心，

∴，

∴，

∵ ?＝，∴＝，

∴＝，

∴．

∴．

8. 已知函数，若关于的函数＝有个不同的零点，则实数的取值范围是（）

D

【考点】

函数的零点与方程根的关系

【解析】

令＝，利用导数研究其单调性可得其图象．＝（2）由关于的函数＝有个不同的零点，可得，且，直线，分别与＝的图象交点有四个．可得，，解出即可得出．

【解答】

令＝，

＝，可得函数在内单调递减，在上单调递增．

画出函数的图象，＝（2）

由关于的函数＝有个不同的零点，

则＝，且，

直线，分别与＝的图象交点有四个．

∴，，

解得：．

的取值范围是．

二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.

若复数（________为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数________的取值范围为________．

【答案】

,,

【考点】

复数的代数表示法及其几何意义

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部大于且虚部小于联立不等式组求解．【解答】

，

且其对应的点在第四象限，

∴，解得

∴实数的取值范围为．

二项式（2）的展开式中常数项是________（用数字作答）．

【答案】

【考点】

二项式定理及相关概念

【解析】

利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．

【解答】

因为＝

所以展开式中常数项是

曲线________＝________与________＝________所围成的封闭图形的面积为

【考点】

微积分基本定理

定积分

【解析】

由题意画出图形，联立方程组求出两曲线交点的横坐标，然后求定积分得答案．

【解答】

如图，

联立，解得＝，＝（1）

∴曲线＝与＝所围成的封闭图形的面积为：

．

故答案为：．

在直角坐标系中，曲线________的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线________的极坐标方程为＝，则曲线________上的点与曲线________上的点的最小距离为________．

【答案】

,,,,,

【考点】

圆的极坐标方程

参数方程与普通方程的互化

【解析】

曲线的直角坐标方程为＝，是圆心为，半径＝的圆，曲线的直角坐标方程为＝，求出圆心为到曲线的距离，曲线上的点与曲线上的点的最小距离＝．

【解答】

∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的直角坐标方程为＝，是圆心为，半径＝的圆，

∵曲线的极坐标方程为＝，即＝，

∴曲线的直角坐标方程为＝，

圆心为到曲线的距离，

∴曲线上的点与曲线上的点的最小距离＝．

在三棱锥________-________中，________平面________，________________，

,,,,,,,,,,,

【考点】

球的体积和表面积

球内接多面体

【解析】

由题意，三棱锥扩充为长方体，其对角线长为，可得三棱锥外接球的半径为，

即可求出三棱锥外接球的表面积．

【解答】

由题意，三棱锥扩充为长方体，其对角线长为，

∴三棱锥外接球的半径为：，

∴三棱锥外接球的表面积为．

函数________________在________内满足________________＝-

________________，当________时，________________＝-

________________________，记________＝________，________），________＝________________，则________，________，________从小到大依次为

________．

【答案】

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,、、

【考点】

奇偶性与单调性的综合

【解析】

由根据题意，由奇函数的性质分析可得＝，可得值，进而得到函数的解析式，

令＝，则为偶函数且在时为减函数，又由＝＝＝，＝（）＝（)，＝＝，进而得到答案．

【解答】

根据题意，函数为内的奇函数，且当时，＝，

则有＝＝，即＝，

则＝，，

令＝，

有＝＝＝，为偶函数，

当时，＝＝，＝，函数为减函数，

则为偶函数且在时为减函数，

＝＝＝，＝（）＝（)，＝＝，

又由，则；

则，，从小到大依次为、、；

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

已知函数＝．

Ⅰ求函数的最小正周期；

Ⅱ把函数＝的图象向下平移个单位长度，得到＝的图象，求函数＝

在的值域．

故函数的最小正周期为．

（2）把函数＝的图象向下平移个单位长度，得到的图象，，，

故当时，函数取得最小值为?（）；

当时，函数取得最大值为，故函数＝在的值域为．

【考点】

三角函数的周期性

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】

Ⅰ利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

Ⅱ根据函数＝的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的定

义域和值域，求得函数＝在的值域．

【解答】

（1）函数＝

，

故函数的最小正周期为．

（2）把函数＝的图象向下平移个单位长度，得到的图象，，，

故当时，函数取得最小值为?（）；

当时，函数取得最大值为，故函数＝在的值域为．

甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，

当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每

轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．

Ⅰ求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；

Ⅱ记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】

（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，

每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．

甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．∴甲过关的概率，

乙过关的概率，

丙过关的概率，

∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：

（）．

（2）记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则的可能取值为，，，，＝＝（），

＝＝，

＝＝，

＝＝，

∴随机变量的分布列为：

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量的期望与方差

【解析】

Ⅰ甲过关的概率，乙过关的概率，丙过关的概率，由此能求出甲、乙、

丙三名大学生都不过关的概率．

Ⅱ记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则的可能取值为，，，，分别

求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望．

【解答】

（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，

每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．

甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．∴甲过关的概率，

乙过关的概率，

丙过关的概率，

∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：

（）．

（2）记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则的可能取值为，，，，＝＝（），

＝＝，

＝＝，

＝＝，

∴随机变量的分布列为：

数学期望．

如图，在四棱锥中，底面为菱形，对角线与的交点为，平面，，分别为，的中点，＝，，＝．

Ⅰ求证：直线平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【答案】

证明：Ⅰ取的中点，连接、，

∵是的中位线，

∴且，

在菱形中，且＝，又为的中点，

∴，

又面，面，

∴面．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

∵底面为菱形，对角线与的交点为，

平面，

，分别为，的中点，＝，，＝．

∴,，,，,，，

(）,,，

设平面的法向量，

则，取＝，得,,，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则．

∴二面角的余弦值为．

Ⅲ∵点在棱上，设＝，，∴,，

∵,,，∴,，

平面的法向量,,，

∵直线与平面所成角的正弦值为，

∴，

解得．

∴线段的长为．

【考点】

直线与平面平行

直线与平面所成的角

二面角的平面角及求法

【解析】

Ⅰ取的中点，连接、，由是的中位线，可得且；由公理可得且＝，可得四边形是平行四边形，从而有，进而由线面平行的判定得到结论．

Ⅱ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

Ⅲ由直线与平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出线段的长．

【解答】

证明：Ⅰ取的中点，连接、，

在菱形中，且＝，又为的中点，

∴且＝

∴四边形是平行四边形，

∴，

又面，面，

∴面．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

∵底面为菱形，对角线与的交点为，

平面，

，分别为，的中点，＝，，＝．

∴,，,，,，，

(）,,，

设平面的法向量，

则，取＝，得,,，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则．

∴二面角的余弦值为．

Ⅲ∵点在棱上，设＝，，∴,，

∵,,，∴,，

平面的法向量,,，

∵直线与平面所成角的正弦值为，

∴，

解得．

∴线段的长为．

已知数列满足＝，为数列的前项和，且＝，＝．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ设＝（），求数列的前项和．

【答案】

（1）数列满足＝，

则：为等差数列．

设数列的首项为，公差为，

由于：且＝，＝

所以：＝

（2）根据＝（），

＝（），

则：，

设：①，

②，

①-②得：．

所以：当为偶数时，，

当为奇数时，．

故：．

【考点】

数列的求和

数列递推式

【解析】

Ⅰ直接利用已知条件求出数列的通项公式．

Ⅱ根据数列的通项公式，进一步进一步利用分组求和和乘公比错位相减法求和．

【解答】

（1）数列满足＝，

则：为等差数列．

设数列的首项为，公差为，

由于：且＝，＝

则：，

解得：＝，＝（2）

所以：＝

（2）根据＝（），

＝（），

则：，

设：①，

②，

①-②得：．

所以：当为偶数时，，

当为奇数时，．

故：．

已知椭圆：与抛物线：交于、两点，点在第一象限，为坐标原点，，为椭圆的左、右焦点，＝，?．

Ⅰ求椭圆的标准方程；

Ⅱ若、为椭圆上的点，以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的斜率为，直

线的斜率为，且，,，求的取值范围．

【答案】

（1）由椭圆和抛物线的对称性，可得，关于轴对称，

＝，可设,，

代入抛物线的方程可得，解得，

将,代入椭圆方程，可得

，

由?，可得,＝，

解得＝，＝，

则椭圆方程为＝；

（2）设，，

由直线＝，代入＝，得＝，

＝，即为

，，

＝＝

＝（），

∵以为直径的圆过椭圆的左顶点，

因此?，

即＝，

展开得＝，

，

解得＝或，且满足，

当＝时，＝，直线过定点，与已知矛盾；

当，＝，直线过定点,．

由直线＝代入＝，

得＝，

可得，

解得，＝，

则，

即有,，

化为，

解得,,．

【考点】

圆锥曲线的综合问题

【解析】

Ⅰ运用椭圆、抛物线的对称性可得,，代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，可得，的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；

Ⅱ设，，直线＝，代入＝，运用韦达定理和判别式

大于，结合直径所对圆周角为直角，转化为向量数量积为，化简可得直线恒过定点,，由直线＝代入＝，求得的坐标，再由直线的斜率公式，化简

整理可得，由条件解不等式即可得到所求范围．

【解答】

（1）由椭圆和抛物线的对称性，可得，关于轴对称，

＝，可设,，

代入抛物线的方程可得，解得，

将,代入椭圆方程，可得

，

由?，可得,＝，

解得，

即＝，

解得＝，＝，

则椭圆方程为＝；

（2）设，，

由直线＝，代入＝，得＝，

＝＝

＝（），

∵以为直径的圆过椭圆的左顶点，

因此?，

即＝，

展开得＝，

，

解得＝或，且满足，

当＝时，＝，直线过定点，与已知矛盾；当，＝，直线过定点,．

由直线＝代入＝，

得＝，

可得，

解得，＝，

则，

即有,，

化为，

解得,,．

已知函数＝，．

Ⅰ讨论函数的单调性；

Ⅱ若＝时，．

求在上的最大值；

求证：，．

【答案】

（1）由＝，得

，

当＝时，，

∴在上单调递增；

当，，

若，即或，

那么，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当＝时，，在上单调递减；

若，则，

∴在,上单调递增，在,上单调递减，

综上，当时，在上单调递减；

当时，在,上单调递增，在,上单调递减；

当时，在上单调递增．

（2）若＝时，．

，

令，则，

∴在上为减函数，

又∵＝，∴＝是＝的唯一解，

当时，，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减．

当时，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为．∴；

证明：，．

设＝，

∴时，＝，则在上为增函数，

∴＝，即，

∴当时，；

设＝，＝，

时，，当时，＝．

∴．

即，．

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的最值

【解析】

Ⅰ求出原函数的导函数，当＝时，，在上单调递增；当时，，然后对分类讨论可得的单调性．

Ⅱ若＝时，．，构造函数，利用导数研究其单调性，分类求得最值；

，．设＝，利用导数证明当时，；设＝，＝，证明．则结论得证．【解答】

（1）由＝，得

，

当＝时，，

∴在上单调递增；

当，，

若，即或，

那么，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当＝时，，在上单调递减；

若，则，

∴在,上单调递增，在,上单调递减，

综上，当时，在上单调递减；

当时，在,上单调递增，在,上单调递减；

当时，在上单调递增．

（2）若＝时，．

，

令，则，

∴在上为减函数，

又∵＝，∴＝是＝的唯一解，

当时，，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，在上单调递增，的最大值为；

当时，在上单调递减，的最大值为；

当时，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为．

设＝，

∴时，＝，则在上为增函数，

∴＝，即，

∴当时，；

设＝，＝，

时，，当时，＝．∴．

即，．