盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷5
江苏省盐城市2014届高三第三次模拟考试数学试卷(带解析)
江苏省盐城市2014届高三第三次模拟考试数学试卷（带解析）1．已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则A B = .【答案】}{02， 【解析】试题分析：由题意易得：{}{}{}1,0,1,20,2,40,2A B =-=．考点：集合的运算2．已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= . 【答案】5 【解析】试题分析：由2z i =-可得：2z i =+，则(2)(2)5z z i i ⋅=+-=． 考点：复数的运算3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率 为 . 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算4．函数()f x =的定义域为 . 【答案】[]3,1- 【解析】试题分析：根据题意可得：2320x x --≥，化简得：2230x x +-≤，解得：31x -≤≤，则函数的定义域为：[]31-，． 考点：函数的定义域5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，90件，60 件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量 为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则=n ． 【答案】18 【解析】试题分析：根据分层抽样的特征：按比例抽样，可得：460270n =，可解得：18n =． 考点：分层抽样6．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ．【答案】127 【解析】试题分析：根据题意可得：输入2x =，由7x >不成立，运行第一次：2231;123x x =-==+=; 由7x >不成立，运行第二次：3235;527x x =-==+=; 由7x >不成立，运行第三次：723125;1252127x x =-==+=; 由7x >成立，即输出127． 考点：算法的循环结构7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则α2sin = . 【答案】1516【解析】试题分析：由已知化简得：22cos sin )22αααα+=-，整理得：(cos sin )sin )(cos sin )2αααααα+=-+，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c o s s i n αα+>所以1cos sin 4αα-=，平方可得：112sin cos 16αα+=，则15sin 216α=-． 考点：三角化简求值8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】试题分析：由扇形的面积公式可得：2142l ππ⨯⨯=，可解得：l =;又由圆锥的底面周长等于扇形的弧长，得：1222r ππ=⨯⨯，解得：r =h ==2133V π=⨯⨯=．考点：圆锥的基本量计算9．设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 . 【答案】-1 【解析】试题分析：根据题意平移后所得图象与原图象重合，则可得：平移了周期的整数倍，即：23nT π=，又已知：04ω<<，则23T π=，即：223ππω=，可解得：3ω=;又图象向左平移12π后所得图象关于y 轴对称，即sin(3)4y x πϕ=++关于y 轴对称，有42k ππϕπ+=+，即4k πϕπ=+，则33tan()tan(3)tan 144k ππωϕπ=+==-． 考点：三角函数的图象和性质10．若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 .【答案】2 【解析】试题分析：由圆过双曲线的右焦点，可得：r c =，又由四边形OAFB 为菱形，且OA OF c ==，则可得：()2c A ，又双曲线的渐近线方程为：b y x a =，则有2b c a ⨯=，即b ，故2e =． 考点：双曲线的离心率11．在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为． 【答案】6 【解析】试题分析：根据题意可得：1,2AC AB AD BE BC CE AD AB =+=+=-，则220111()()||||cos 60222AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+-=-++，化简得：2||2||240AB AB --=，解得：||6AB =． 考点：向量的运算12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ．【答案】0k =或1k =【解析】试题分析：由2n S kn n =+，利用数列中n S 与n a 的关系可求得：21n a kn k =+-，则有：21m a km k =+-，241m a km k =+-，481m a km k =+-，又由224m m m a a a =⨯，即：2(41)(21)(81)km k km k km k +-=+-+-，化简整理得：(1)0k k m -=对任意m N *∈恒成立，则有：0k =或1k =．考点：1.数列的基本运算;2.等比中项;3.恒成立问题13．若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ． 【答案】(]9ln3-∞-， 【解析】试题分析：根据题意，得关于b 的函数：2()(9ln )f b xb x x c =+-+，这是一个一次函数，要使()0f b ≤对任意的(0,3),(0,)b x ∈∈+∞恒成立，则：(3)0f ≤，即有：239ln 0x x x c +-+≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则有：239ln c x x x ≤--+，可令函数2()39ln g x x x x =--+，求导可得：29239(23)(3)'()32x x x x g x x x x x--+-=--+==，发现有：min ()(3)99ln399ln3g x g ==--+=-，故有：9ln 3c ≤-．考点：1.恒成立问题;2.一次函数的性质;3.函数与导数的运用14．若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 .【答案】2⎡⎢⎣⎦【解析】试题分析：由题意可令：112,2,(,)22x ym n m n ==≥≥，则有：22m n m n +=+，化简得：22111()()222m n -+-=，又由所求可化简得：2233222()()()()()()()n m m n m n m n mn m n m n mn m n m n m n m n m n mn mn mn mn mn+++-++-+++====-+=-++，可令：122122m n αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入化简得：cos )1αα++，观察特点可设：sin cos ,(1t t αα=+≤≤，则原式为：1y =+，此函数单调减，即可求出：[2,1]2+． 考点：1.不等式的性质;2.三角换元;3.函数的性质15．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若10AB =，3ED =，求BC 的长.【答案】BC =【解析】试题分析：由题中所给AB 是圆O 的直径且BC CD =，根据等腰三角形的性质可得： 10AB AD ==， 再由直线EC 为圆O 的切线，易得EC CO ⊥，可引入辅助线使得：//EC BH ，运用三角形知识即可求出： 4AH =，进而得到：BC =AB 是圆O 的直径且BC CD =，∴ 10AB AD ==， 连CO ，EC 为圆O 的切线，∴EC CO ⊥，记H 是AD 圆O 的交点，连BH ，∴ //EC BH ，∴ 3HE ED ==，∴4AH =，222264BD AB ∴-=-，BC ∴=分考点：1.圆的几何性质;2.三角形的知识16．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ； （2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .【答案】(1)详见解析; （2）详见解析 【解析】试题分析：(1) 要证证//PA 平面BDF ，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，在本题中可取,AC BD 的交点为O ，转化为证明//PA OF ，且PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，即可得证//PA 平面BDF ;（2）要证平面BDF ⊥平面PBC ，联想到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥平面PAC ，进而得到PC ⊥平面BDF ，再加之PC ⊂平面BACDEOPBC ，即可证得平面BDF ⊥平面PBC ．(1) 证：（1）设,AC BD 的交点为O ，连OF底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点，又PF FC =，∴//PA OF ， 5分 且PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，∴//PA 平面BDF . 7分（2）底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，∴BD PA ⊥，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥，BF PC ⊥，∴PC ⊥平面BDF ，又PC ⊂平面PBC ，∴平面BDF ⊥平面PBC . 14分 考点：1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定和性质;3.面面垂直的判定 17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积. 【答案】（1）详见解析；（2【解析】试题分析：（1）根据题意要证明2B π≤，结合在三角形中可想到运用余弦定理来证明：具体的由222c o s 2a c b B ac+-=，结合已知条件和不等式知识可得：2221()22a c a c ac +-+21()202a c ac-=≥，即可得证;（2）根据向量的数量积运算可得：2AB BC ⋅=-，可转化为边角关系：cos 2ac B =，再由余弦定理代入得：2222cos 12b a c ac B =+-=，即2216a c +=，又由已知条件a c +==求出：sin B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==，最后由面积公式即可求解．（1）222cos 2a c b B ac +-=2221()22a c a c ac +-+=21()202a c ac-=≥，∴090B ≤（当且仅当a c =时取得等号）. 7分（2）2AB BC ⋅=-，∴cos 2ac B =，2222cos 12b a c ac B =+-=，∴2216a c +=， 11分又a c +==∴4ac =，∴1cos 2B =，∴sin 2B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==分考点：1.余弦定理;2.面积公式;3.不等式知识18．图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答解读
南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区．．．．．．域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．． A．选修 4—1：几何证明选讲解：因为 P 为 AB 中点，所以 OP⊥AB．所以 PB＝ r2－OP2＝ 9 因为 PC·PD＝PA·PB＝PB2，PC＝，8 2 所以 PD＝． 3 B．选修 4—2：矩阵与变换解：设曲线 C 上一点(x′，y′对应于曲线C′上一点(x，y．………………10 分 3 ．2 ………………5 分 22 由 2 2 － x′ x＝ ，得2x′－2y′＝x，2x′＋2y′＝y． 2 2 2 2 y′ y 2 2 2 2 …………………5 分所以x′＝ 2 2 (x＋y，y′＝ (y－x． 2 2 因为x′y′＝1，所以 y2－x2＝2．所以曲线C′的方程为 y2－x2＝2． C．选修 4—4：坐标系与参数方程解：直线 l 的普通方程为 4x－3y－2＝0，圆 C 的直角坐标方程为(x－a2＋y2＝a2．………………5 分由题意，得 |4a－2| 2 …………………10 分 4 ＋(－3 2＝|a|，解得 2 a＝－2 或a＝．9 ………………10 分 D．选修 4—5：不等式选讲证：因为 x1，x2，x3 为正实数，2 2 2 x2 x3 x1 所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2 x1 x2 x3 2 x2 ·x ＋2 x1 1 2 x3 ·x ＋2 x2 2 2 x1 ·x ＝2(x1＋x2＋x3＝2． x3 32 2 2 x2 x3 x1 即＋＋≥1．x1 x2 x3 …………………10 分 22．（本小题满分 10 分）解：（1）由点 A(1，2在抛物线 M∶y2＝2px 上，得 p＝2．所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x． 2 2 y1 y2 设 B( ，y1，C( ，y2． 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 －1 －－1 4 4 4 y1＋2 y2＋y1 y2＋2 1 1 1 4 所以－＋＝－＋＝－＋＝1． k1 k2 k3 y1－2 y2－y1 y2－2 4 4 4 …………………3 分…………………7 分 2 y3 1 1 1 1 y1＋2 y2＋y1 y3＋y2 y3＋2 （2）设 D( ，y3．则－＋－＝－＋－＝0．………………10 分 4 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，…，a2m中，ai＝2 或－2(1≤i≤2m． a2k－1 （1）求满足“对任意的1≤k≤m，都有＝－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m 的个数 A； a2k 2l （2）若对任意的1≤k≤l≤m，都有| ∑ ai|≤4 成立，求满足“存在1≤k≤m，使得 i=2k－1 a2k－1 ≠－1”的有 a2k 序数组(a1，a2，a3，…，a2m的个数B． a2k－1 解：（1）因为对任意的1≤k≤m，都有 a2k ＝－1，所以(a2k－1，a2k ＝(2，－2或(a2k－1，a2k＝(－2，2．共有 2 种情况． m 由乘法原理，得序数组(a1，a2，a3，…，a2m的个数 A＝2 ． 1 （2）当存在一个 k 时，那么这一组有 2Cm 种，其余的由（1）知有 2m －1 …………………5 分 1 m 种，所有共有 2Cm 2 －1 种． 2 当存在二个 k 时，因为对任意的1≤k≤l≤m，都有| ∑ ai|≤4 成立，所以这两组共有 2Cm 种， 2l i=2k－1 其余的由（1）知有2m … －2 2 m 种，所有共有 2Cm 2 －2 种． 1 m 1 2 m 2 m 依次类推得：B＝2Cm 2 ＋2Cm 2 ＋…＋2Cm ＝2(3m－2m．－－…………………10 分。
2.江苏省南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学试题(WORD版)
南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题 2014.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{－3，－1，1，2}，集合B ＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．5．若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的 方差s 2＝ ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x =12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝ ▲ ． 8．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 ▲ ．9．设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )为奇函数”是“φ＝π2”的 ▲ 条件． (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”其中之一)第8题PA BCD 第4题210．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1，2)成中心对称，则直线AB 的方程为 ▲ ．11．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为 ▲ ．12．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足 f (ln t )＋f (ln 1t )≤2f (1)，那么t 的取值范围是 ▲ ．13．若关于x 的不等式(ax －20)lg2ax≤0对任意的x ＞0恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3．（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值； （2）若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．高三数学试卷第3页（共4页）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点． （1）求证：BF ∥平面A 1EC ；（2）求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1．17．(本小题满分14分)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m ．（1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？AB CA 1B 1C 1FE 第16题A BCD 草地花坛花坛花坛岛口 岛口岛口 岛口第17题花坛4在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(1，32)的椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为(85，335)，试求直线P A 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )．（1）当a ≠0时，则a ，b 满足什么条件，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线？ （2）当a ＝1时，求函数h (x )＝g (x )f (x )的单调减区间；（3）当a ＝0时，若f (x )≥g (x )对任意的x ∈R 恒成立，求b 的取值的集合．第18题设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，S6＝22．（1）求S n；}，其中k1＝1，（2）若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{a kn且k1＜k2＜…＜k n＜…，k n∈N*．①当q取最小值时，求{ k n}的通项公式；②若关于n(n∈N*)的不等式6S n＞k n＋1有解，试求q的值．高三数学试卷第5页（共4页）6南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.高三数学试卷第7页（共4页）22．（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )． （1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．8南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案（I ）卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． (14)16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ． 因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ．高三数学试卷第9页（共4页）所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． ………………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ………………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．……2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分10所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………4分 （2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． ………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． ……………10分（3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． ……………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数． （Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． ………………16分 20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ……………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1．要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n ＞1的解，适合题意． ……………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数，所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98，所以PD ＝23． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤xy ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2．………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． …………10分D ．选修4—5：不等式选讲 证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2． 即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． ……………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)．所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． ………………7分（2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． …………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；（2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ． 解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m－1种，所有共有2C 1m 2m－1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种，其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m－2种．…依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C mm ＝2(3m －2m )． …………………10分。
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案)
南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B = ▲ .(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . ()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .x 的不等式2(20)lg 0aax x -≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． ……………14分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分（2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n ＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数，所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2． 即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。
盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷4
a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）江苏省盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷4数学Ⅰ一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 答案：22． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）. 答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲.O BCF 1F 2Dxy(第13题)答案：()1124，10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ . 答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为D 1C 1 B 1A 1▲ .答案： {}58 37，二、解答题 15．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b =．从而2s i n c o s s i nA CB =可化为2c o s a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=． 整理得a c =，即1a c=. …………………………………………………………………7分 （2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4s i nc o s 2c o s A C A C =-， ………………………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠， 所以t a n 1ta n 2A C =-．………………………………………………………………………14分 16．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以B D A M⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ， 所以1AA B D⊥.…………………………………………………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD平面111D DCC DD =，……………………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A组活动所需时间2150605()f x x x⨯==；……………………………………………2分 B 组活动所需时间12001002()5252g x x x⨯==--．……………………………………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：（第18题）xyO1C 2CC1l2l22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线被圆2C 截得的弦长为 65，求直线的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-． 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得31223 222x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，；或31223 2 2.2x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．………………………16分19．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ………………………………6分（2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………………………………8分当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos 00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数． 所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g 'x a -+≤≤．……………………………………………………………12分 （i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为. …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α；AE BCDO ·（第21－A 题）2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是()(32)1133211k k k a a a αα----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a αααα------====，()1313233339111k k k k k a a a t a a αααα----====，所以()131n n a a α-=，故{na }为等比数列．……………………………………………16分数学Ⅱ附加题21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲 满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1． 又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠= ．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠ ．而60ABD ∠= ，故30C BDC ∠==∠ ． 所以3DB BC ==． 在△O B D中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分代入直线y kx =，得x ky ''=． 将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 满分10分．在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为20x y --=． ……………………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．…………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 满分10分．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥ 327abc =⋅ 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ． （1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． （1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………4分②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x'=．所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，．由①②消去y，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M Nx x =，即MN⊥x轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+．所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+． 故直线AB过定点(1 0)-，．………………………………………………………………10分。
数学2014盐城一模试卷
盐城市2014年普通高校单独招生第一次调研考试试卷数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填充题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）注意事项：将第Ⅰ卷每小题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．如果U ={a ,b ,c ,d ,e }，A ={a ,c ,d }，B ={b ,d ,e }，其中U 是全集，那C U A ∩C U B =( )A ．φB ．{d }C ．{a ,c }D ．{b ,e }2．已知a 、b 、c ∈R ，那么一定有( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．cbc a 〉⇒a ＞b C ．a 3＞b 3⇒3311ba 〈 D ．a 3＞b 3 ⇒ a ＞b3．已知复数z 1=1+2i ，z 2=1－2i ，则z 1·z 2的共轭复数是( )A ．2－4iB ．2+4iC ．5D ．－54．下列函数中，在区间(0,+∞)内为增函数的是( )A ．y =x 1()2B ．y =1xC ．y =12xD ．y =1log x5． G 2=ab 是三数a 、G 、b 成等比数列的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6． 已知α是第四象限角，且53)sin(=+απ，则)22cos(πα-=（ ） A ．54B ．54- C ．257 D ．257-7．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数y =sin 2x 的图象 ( )A ．向右平移12π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位8． 若双曲线)0,0(12222〉〉=-b a by a x 的一条渐近线的倾斜角为600，则其离心率为（ ）A ．2B ．332 C ．32或 D ．3322或 9． 设F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，当△F 1PF 2面积为1时，1PF ·2PF的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．21 10．已知奇函数f (x )（x ∈R ，且x ≠0）在区间(0，＋∞)上是增函数，且f (－3)＝0，则f (x )＞0的解集是（ ） A ．(-3，0) B ．(-∞，-3)∪（3，+∞） C ． (-3，0)∪（3，+∞） D ．（3，+∞）第Ⅰ卷的答题纸第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上） 11．已知＝(1，k )，＝(－1，k －2)，若∥，则k ＝____ ____． 12．251()x x-展开式中x 4的系数是____ ____(用数字作答)． 13．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 下，目标函数y x z 25+=的最小值为__ ____．14．已知正四棱柱的全面积为40cm 2,高为4cm ，则它的侧面积是____ ____ cm 2． 15．以点（3，1）为焦点、直线x =-1为准线的抛物线的方程为____ ____． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分，要求写出必要的解题步骤和推理过程） 16．（本题满分6分）解不等式：（13）52+x ＞3xx72-．17．（本题满分10分）在△ABC 中，b 2=ac ，且a 2－c 2=ac －bc ，求(1) 求角A 的大小；(2) 求sin b Bc的值． 18．（本题满分10分）已知在等差数列}{n a 中，21,952==a a ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）令2n a n b =，求数列}{n b 的前n 项和T n ．19．（本题满分10分）已知函数f (x )=)34(log 22a x ax +-（1）当a =1时，求该函数的定义域；（2）如果f (x )＞1恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）为了了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x 、y 的含量（单位：毫克）。
2014江苏省盐城市高三三模数学试卷(WORD版,含答案)
盐城市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程. 1．已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则AB = ▲ .2．已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= ▲ . 3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 ▲ .4．函数()f x =的定义域为 ▲ .5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，9060件. 个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则n 6．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ▲ ．7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则α2sin = ▲ .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象 重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ . 10．若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ . 11．在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为 ▲ ．12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13．若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．14．若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 .第6题二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .PABCF D第16题图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进 行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直， 通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案
南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a76．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．a (第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图) P NC PB C DE A (第15题图)18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程； （3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋bxex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n ∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列， a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n ∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ab ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n ∈N*，f(n)∈Z ；②任意m ，n ∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．A EBC F D第21题A 图（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ． 因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． …………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． …………………………………………2分所以x2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………………6分（2）S1＝12sin αcos α＝－14sin2α．因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S2＝－12sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．…………………………………………8分因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (10)分所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以t anα＝2． …………………………………………14分17．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α． 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos ∠MAN ， 即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x2＋4－y22×2×x ＝x2＋(x2－xy)4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos ∠AMP ，即AP2＝x2＋4－2×2×x×x －2y4＝x2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x2＋y2－xy ＝4，4＋xy ＝x2＋y2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2， 解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为x22＋y2＝1． …………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 因为QF2的中点为(－16，－16)，QF2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x2＋y2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P →＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P →＝λQF1→，所以⎩⎨⎧x1＋1＝λ(－1－x2)，y1＝－λy2，即⎩⎨⎧x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy 22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x)＝(x ＋1)(2x －1)x2ex ． …………………………………………2分令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1，f (x)的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)ex －f (x)＝(ax －bx －2a)ex ，当a ＝1时，g (x)＝(x －bx－2)ex ．因为g (x)≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x －xex 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h(x)＝x2－2x －xex （x ＞0），则h ′(x)＝(x －1)(2ex ＋1)ex．当0＜x ＜1时，h ′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 ② 因为g (x)＝(ax －b x －2a)ex ，所以g ′(x)＝(b x2＋ax －bx －a)ex ．由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax －b x －2a)ex ＋(b x2＋ax －bx－a)ex ＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x3－3x22x －1．设u(x)＝2x3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x)＝8x[(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d ，则a3＝3－2d ，a4＝3－d ．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a 23a4＝(3－2d)23－d ． …………………………………………3分因为a2＝1，所以(3－2d)2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为an ＞0，所以d ＝34．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝12．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列， 所以2a2n ＝a2n －1＋a2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a2na2n ＋2．② 所以a 2 2n －1＝a2n －2a2n ，n ≥2．③所以a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ．因为an ＞0，所以a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ． …………………………………………7分 即数列{a2n }是等差数列．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a1，a2及a2n －1，a2n ，a2n ＋1是等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2是等比数列，可得a4＝(2a2－a1)2a2．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．所以a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．所以a2n ＋2＝[(a2－a1)(n ＋1)＋a1]2a2． (10)分从而a2n ＋1＝a2na2n ＋2＝[(a2－a1)n ＋a1][(a2－a1)(n ＋1)＋a1]a2．所以a2n －1＝[(a2－a1)(n －1)＋a1][(a2－a1)n ＋a1]a2．①当n ＝2m ，m ∈N*时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1][(a2－a1)(m ＋1)＋a1]a2[(a2－a1)m ＋a1]2a2－a2a1＝(a2－a1)(m ＋1)＋a1(a2－a1)m ＋a1－a2a1＝－m(a1－a2)2a1[(a2－a1)m ＋a1]＜0． …………………………………………14分②当n ＝2m －1，m ∈N*，m ≥2时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1]2a2[(a2－a1)(m －1)＋a1][(a2－a1)m ＋a1]a2－a2a1＝(a2－a1)m ＋a1(a2－a1)(m －1)＋a1－a2a1＝－(m －1)(a1－a2)2a1[(a2－a1)(m －1)＋a1]＜0．综上，对一切n ∈N*，n ≥2，有an ＋1an ＜a2a1． …………………………………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则an ，an ＋1，an ＋2成等差数列．因为an ＋2an ＋1－an ＋1an ＝an ＋2an －a2n ＋1an ＋1an ＝(2an ＋1－an)an －a2n ＋1an ＋1an ＝－(an ＋1－an)2an ＋1an ≤0，所以an ＋2an ＋1≤an ＋1an ．②若n 为偶数且n ≥2时，则an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，所以an ＋2an ＋1＝an ＋1an ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N*，an ＋2an ＋1≤an ＋1an ≤…≤a3a2．又因为a3a2－a2a1＝2a2－a1a2－a2a1＝2a2a1－a12－a22a2a1＝－(a1－a2)2a2a1，因为a1＜a2，所以－(a1－a2)2a2a1＜0，即a3a2＜a2a1．综上，an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎡⎦⎤1 a －1 b ⎣⎡⎦⎤21＝2⎣⎡⎦⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，即⎣⎡⎦⎤1 2－1 4 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤24， 所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1．………………………………………10分 解法二：因为A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，所以⎣⎡⎦⎤x y ＝A －1⎣⎡⎦⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16 ⎣⎡⎦⎤24＝⎣⎡⎦⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ， 因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρR)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 解法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ． ………………………………………6分 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sinθ． 所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1． 即|x ＋5y|≤1． ………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分 （2）X 的所有可能值为1，2，3．P(X ＝1)＝334＝127， P(X ＝2)＝C43×A32＋3×A3234＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C42×A3334＝3681＝49． X所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z ，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n ＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分。
江苏省盐城中学2014届高三数学周末练习5 新人教A版
江苏省盐城中学2014届高三数学周末练习5 新人教A 版一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1．函数()2sin(3π1)f x x =-(x ∈R)的最小正周期为 ．2． 命题“若b a >，则b a 22>”的否命题为________________ ．3．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 . 4．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 5．直线01=++y x 被圆0152622=---+y x y x 截得的弦长等于 ．6．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是______．7.已知圆锥的母线长为cm 5，侧面积为215cm π，则此圆锥的体积为____ _______3cm ．8. 已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩满足29()8f c =，则不等式()2f x <的解集 ． 9. 等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为 ．10．已知：M={a |函数2sin y ax =在[4,3ππ-]上是增函数}，N={b|方程013|1|=+---b x 有实数解}，设D=N M ，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是 ．11．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，l O ∉，向量OC OB OA ,,满足()()[]x f x f OA 12'+=－x ⋅ln ，则函数y=f （x ）的表达式为 ．12.已知x x f 2log )(=，正实数n m ,满足,n m <且),()(n f m f =若)(x f 在区间],[2n m 上的最大值为2，则=+n m .13.对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号{}x 表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①{}1a a =；②11(0)0(0)n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎨⎬⎪=⎨⎩⎭⎪=⎩．当13a>时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ．14．已知函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= ，20134321)(2013432x x x x x x g --+-+-= , 设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内,则-b a 的最小值为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分.） 15．已知()sin ,1a α=，()cos ,2b α=，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ⑴若a ∥b ，求tan α的值；⑵若a ⊥b 178=，求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．16. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (1)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (2)求证:PAB PCD ⊥平面平面.17.现有一张长为80cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。
数学试题江苏省盐城市2014届高三第三次模拟1
盐城市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题第Ⅰ卷(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:椎体体积公式：1S 3V h =（其中S 为底面积，h 为高）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则AB = ▲.2.已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= ▲ .3.从长度为2、3、5、6为 ▲ .4.函数()f x =的定义域为 ▲ .5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件. 为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则n6.如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ▲ ．7.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则α2sin = ▲ . 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 9.设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ .10.若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ . 11.在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为第6题▲ ．12.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13.若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．14.若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .17．(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的PABCF D第16题结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
江苏省淮安、南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试数学试题(纯WORD版)
江苏省南京、盐城、淮安市2014届高三第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ．(第7题图)PBCDEA(第15题图)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．(第16题图) APMNBC(第17题图)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ； （2）若A⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．A EBC F D第21题A 图23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)． （1）求f (1)，f (2)，f (3)的值； （2）求f (n )的表达式．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17、解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．A PMNBC第17题图D当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18、（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c＝2，a 2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分APMNBCF E因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案范文
南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. ） 1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析， 随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根 据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则 成绩在[300，350)内的学生人数共有 ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回， 再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少 有一个为偶数的概率为 ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7则a 1d的值为 ． 6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．a(第3题图)(第6题图)(第7题图)2二、解答题（本大题共6小题，计90分.） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．(第16题图) PBCDEA(第15题图)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．APMNBC(第17题图)4已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题： 15．省略16．解：（1）x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． ……………6分（2）tan α＝2． …………………………………………14分 17．解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60︒时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分（3）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．6因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x)e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x． …………………………………………2分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －bx－2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x．当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分② 因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x22x －1．设u (x )＝2x 3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2． 因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则a 3＝3－2d ，a 4＝3－d ．因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝(3－2d )23－d ． …………………………………………3分因为a 2＝1，所以(3－2d )2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34． 因为a n ＞0，所以d ＝34．因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d )＝12．…………………………………5分 （2）证：①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝(2a n ＋1－a n )a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝－(a n ＋1－a n )2a n ＋1a n ≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n．②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *，a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n≤…≤a 3a 2．又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－(a 1－a 2)2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1．综上，a n ＋1a n ＜a 2a 1．。
江苏省南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)
江苏省南京市、盐城市2022届高三第一次模拟考试数学试题〔含答案〕【备课大师网】-在线备课，全站免费！无需注册，天天更新！南京市、盐城市2022届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.集合A?{?3,?1,1,2}，集合B?[0,??)，那么AB? .2.假设复数z?(1?i)(3?ai)〔i为虚数单位〕为纯虚数，那么实数a? .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，那么甲被选中的概率为 .4.根据如下图的伪代码，最后输出的S的值为 . S?0ForIFrom1To10S?S?I EndForPrintS5.假设一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，那么该组数据的方差s2? .6.在平面直角坐标系xOy中，假设中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为x?点与抛物线y2??4x的焦点重合，那么该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy中，假设点P(m,1)到直线4x?3y?1?0的距离为4，且点P在不等式2x?y?3表示的平面区域内，那么m? .8.在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60，侧棱PA?底面ABCD，PA?2，E为AB的中点，那么四面体PBCE的体积为 . 9.设函数f(x)?cos(2x??)，那么“f(x)为奇函数〞是“??1，且它的一个顶2?2〞的条件. 〔选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞〕 10.在平面直角坐标系xOy中，假设圆x2?(y?1)2?4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，那么直线AB的方程为 .11.在?ABC中，BC?2，A?1f(lnt)?f(ln?)t时，那么t的取值范围是 . 2f(1)13.假设关于x的不等式(ax?20)lg?是 .14.等比数列{an}的首项为2ax对0任意的正实数x恒成立，那么实数a的取值范围【备课大师网】-在线备课，全站免费！无需注册，天天更新！立，那么B?A的最小值为 . 二、解答题15.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c?2，C?〔1〕假设?ABC 的面积等于3，求a，b；〔2〕假设sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积.16.如图，在正三棱锥ABC?A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点. 〔1〕求证：BF//平面A1EC；〔2〕求证：平面A1EC?平面ACC1A1.?3.17.如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛〞.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm〔x不小于9〕的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m. 〔1〕求x的取值范围；〔运算中2取1.4〕〔2〕假设中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为区域的造价为154ax元/m2，其余3312a元/m2，当x取何值时，可使“环岛〞的整体造价最低？ 11x2y2318.在平面直角坐标系xOy中，过点(1,)的椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，ab2过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点.【备课大师网】-在线备课，全站免费！无需注册，天天更新！〔1〕求椭圆C的标准方程；833)，试求直线PA的方程；〔2〕假设点B的坐标为(,55〔3〕记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM?yN是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由.19.函数f(x)?ex，g(x)?ax2?bx?1(a,b?R).〔1〕假设a?0，那么a，b满足什么条件时，曲线y?f(x)与y?g(x)在x?0处总有相同的切线？〔2〕当a?1时，求函数h(x)?g(x)的单调减区间； f(x)〔3〕当a?0时，假设f(x)?g(x)对任意的x?R恒成立，求b的取值的集合.20.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?2，S6?22. 〔1〕求Sn；〔2〕假设从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k1?1，且k1?k2①当q取最小值时，求{kn}的通项公式；②假设关于n(n?N*)的不等式6Sn?kn?1有解，试求q的值.?kn?，kn?N*.【备课大师网】-在线备课，全站免费！无需注册，天天更新！数学附加题21.〔选做题〕〔在A、B、C、D四小题中只能选做2题〕A．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，假设PC?求PD的长.91，OP?，82??B．曲线C：xy?1，假设矩阵M?????方程.【备课大师网】-在线备课，全站免费！无需注册，天天更新！C．在极坐标系中，圆C的方程为??2acos?，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面?x?3t?2直角坐标系，直线l的参数方程为?〔t为参数〕，假设直线l与圆C 相切，求实数a的值.y?4t?2?22x3x2x12??1. D．x1，x2，x3为正实数，假设x1?x2?x3?1，求证：?x1x2x3 〔必做题〕22.点A(1,2)在抛物线?：y2?2px上.〔1〕假设?ABC的三个顶点都在抛物线?上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，求111??的值； k1k2k3〔2〕假设四边形ABCD的四个顶点都在抛物线?上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求1111???的值. k1k2k3k4。
江苏省南京盐城市届高三年级第一次模拟考试数学
江苏省南京盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160分 考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14题）⒈已知集合}2,1,2,3{--=A ，集合),0[+∞=B ，则=⋂B A 。
⒉若复数)3)(1(ai i z -+=（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a ＝ 。
⒊现从甲乙丙三人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 。
⒋根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 。
⒌若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差=2s 。
⒍在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为21=x ，且它的一个顶点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 。
⒎在平面直角坐标系xOy 中，若点P )1,(m 到直线0134=--y x 的距离为4，且点P 在不等式32≥+y x 表示的平面区域内，则=m 。
⒏ 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD 060=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 。
⒐设函数)2cos()(ϕ+=x x f ，则“)(x f 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。
⒑在平面直角坐标系xOy 中，若圆4)1(22=-+y x 上存在A ，B 两点关于点)2,1(P 成中心对称，则直线AB 的方程为 。
⒒在ABC ∆中，BC ＝2，32π=A ，则AC AB ⋅的最小值为 。
⒓若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上是单调增函数。
如果实数t 满足)1(2)1(ln )(ln f tf t f ≤+时，那么t 的取值范围是 。
⒔若关于x 的不等式02lg )20(≤-xaax 对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 。
江苏省盐城中学2014届高三数学练习5 新人教A版
江苏省盐城中学2014届高三数学练习5 新人教A版一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1．已知集合{}{}{}20,2,,1,,0,1,2,4A aB a A B==⋃=若，则实数a的值为 .2．若复数iia213++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为．3．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是偶数的概率为．4．在等比数列{}na中，若12a=，98a=，则5a=____.5．若变量,x y满足条件30380x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y=+的最大值为_____．6．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是．7．执行下边的程序框图,若15p=，则输出的n=．8．数列{}na满足*1111(),22n na a n N a++=∈=-，nS是{}na的前n项和，则2011S= _ ．9．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为．10．在直角坐标系xoy中，已知点A (0, 1)和点B (–3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||OC= 2，则OC= ．11．当钝角ABC∆的三边,,a b c是三个连续整数时，则ABC∆外接圆的半径为____．12．已知a b c，，均为正实数，记11maxaM b bc cac a b⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M的最小值为．13．关于x的方程3210ax x x-++=在(0,)+∞上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为_ ．第6题14．设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a ,满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根,则数列}{n a 的通项公式为 ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且C B A ,,成等差数列． （1）若AB BC ⋅＝32-，,3=b 求a ＋c 的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．16．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，D 是AB 的中点． （1）求证：AC ⊥B 1C ； （2）求证：AC 1∥平面B 1CD ； （3）求三棱锥CD B B 1-的体积．17．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.第7题AA 1BC DB 1C 118．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。
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江苏省盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷5
一．填空题
1.已知集合}|{},,02|{2
a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =⋃,则实数a 的取值范围是_______________ 2.已知
i b i
i
a -=+3，其中R
b a ∈,，为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________
4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下
：
则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________
5.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值
范围是_________
6.已知双曲线12
22=-y a
x 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该双曲线
的离心率e=_______
7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线
x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________
8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若
3163=S S ,则=7
6S S
_____________ 9.已知函数)2
||,0,0)(sin(π
ϕωϕω<
>>+=A x A y 的部分图像如图所示，则ω
的值为___
10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______ 11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm .
12.下列四个命题：
（1）“01,2
≤+-∈∃x x R x ”的否定; (2)“若2,062
>≥-+x x x 则”的否命题； (3)在ABC ∆中，“o A 30>”是“2
1
sin >
A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)
13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2
BC PB PC +⋅的最小值是______________
14.已知关于x 的方程03)2(log 22
2
22
=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 二、解答题
15．（本题满分14分）
设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角 （1）若a ·b =
6
13
,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+
3
π
)的值．
16. （本题满分14分）
如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.
（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BE
BF
的值。
17．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中， 椭圆C ：
2222
1(0)x y a b a b
+=>>的离心率为23
，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T 。
求证：点T 在椭圆C 上。
18．（本小题满分16分）
某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求A ∠和C ∠互补，且AB=BC,
(1) 设AB=x 米，cosA=()f x ,求()f x 的解析式，并指出x 的取值范围．
(2) 求四边形ABCD 面积的最大值。
．
19．（本小题满分16分）
已知函数|,|)(bx e x f x
-=其中e 为自然对数的底.
（1）当1=b 时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；
（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及
相应实数b 的取值范围. 20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }满足：),0(2 (21)
2
3
2
1*-∈>+=+
++
+
N n n n a a a a n n
λλλλ
其中常数
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得t s r a a a ,,成等比数列？若存在，给出r,s,t 满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S 为数列{a n }的前n 项和，若对任意*∈N n ，都有n n n a S λλλ2)1(≥+-恒成立，求实数λ的取值范围。
数学附加题
1.设矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=3421M （1）求矩阵M 的逆矩阵1
-M ；
（2）求矩阵M 的特征值.
2.在平面直角坐标系xoy 中，判断曲线C:为参数）
θθθ(sin cos 2⎩⎨
⎧==y x 与直线⎩
⎨⎧-=+=t y t
x l 121:（t 为参数）是否有公共点，并证明你的结论
3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是
32，乙班三名同学答对的概率分别是2
1
,32,32，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.
(1)用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望；
(2)记“两班得分之和是30分”为事件A ，“甲班得分大于乙班得分”为事件B ，求事件A,B 同时发生的概率. 4.记)2
1()21)(21(2n x
x x +⋅⋅⋅++的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*N n ∈ (1)求n a
（2）是否存在常数p,q(p<q),使)2
1)(21(31n n n q
p b ++=，对*N n ∈，2≥n 恒成立？证明你的结论.
参考答案。