2020届高考数学一轮复习人教A版 坐标系与参数方程作业Word版含答案
2020高考数学(理)专项复习《坐标系与参数方程》含答案解析
坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示． 在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xy θ 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f xb t a ≤≤……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数)；(3)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ 为参数)；(4)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点)35π,23(-是否在曲线2cos θρ=上． (2)点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π) (3)点P 的极坐标为)4π,3(-，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为2365πcos2cos-==θ，所以点)35π,23(-是在曲线2cos θρ=上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，)0(tan =/=x xy θ， 得ρ ＝2，3tan -=θ，又点P 在第四象限，2π23π≤<θ，所以35π=θ， 所以点P 的极坐标为).3π5,2( (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得223,223-==y x ， 所以点P 的直角坐标为).223,223(- 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．(2)直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为2．(2)将直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由3π=θ得xy=3πtan ，即x y 3=，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为21311=+=d ， 所以.3)21(12||2=-=AB评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ．⑤若O (0，0)，A (2a ，2π)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4 (1)曲线的参数方程是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由t x 11-=得x t -=11，带入y ＝1－t 2，得,)1()2()11(122--=--=x x x x y 注意到111=/-=t x ，所以已知参数的普通方程为⋅--=2)1()2(x x x y (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离.222|620|=-+=d 评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为).1()1()2(2<--=x x x x y 例5 求椭圆12222=+by a x 的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为)2π,0(∈θ，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x (α 为参数)，两式平方相加得x2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且53cos -=α的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标． 解：(1)由已知53cos -=α得,54sin =α所以已知直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x …………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得.095542=+-t t …………………②②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数527221=+=t t t ，代入参数方程， 得,2533,2544==y x 所以M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值221t t t M +=，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标)34π(2,的直角坐标为 (A)(1，3)(B)(－3，－1) (C)(－1，－3) (D)(－1，3)2．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x (θ 为参数)的焦距等于( )(A)21 (B)221 (C)29 (D)2923．已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若)3π,2(--P 是极坐标系中的一点，则、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N)(Z ∈k 四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是)4π5,2()4π,2(B A 、，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A))4π3,4( (B))43π,32( (C))π,32((D)(3，π)二、选择题 6．过极点，倾斜角是6π的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________．8．直线⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3(t 为参数)过定点____________．9．曲线⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x (θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点)4π,3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆14922=+y x 上求一点，使点M 到直线021032=-+y x 的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．)(6πR ∈=ρθ； 7．)47π,23(； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11．⋅=223cos θρ12．解：由题设知椭圆参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x (θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd即d 的最小值为26134，此时4π=θ．所以M 的坐标为).2,223(13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ． 14．解：设AB 的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．。
2020版高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时作业68课件文新人教A版选修4_4
4．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系。曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－3π＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点。
(1)求 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。
2．在极坐标系中，已知圆
C
经过点
P
2，π4，圆心为直线 ρsinθ－π3
＝－ 23与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程。
解 在 ρsinθ－π3＝－ 23中， 令 θ＝0，得 ρ＝1，
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)。
因为圆
C
经过点
P
2，π4，
所以圆 C 的半径
ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0， (2)由θ＝3π，
得 ρ2－(2 3＋2)ρ＋7＝0， 设 A，B 对应的极径分别为 ρ1，ρ2， 则 ρ1＋ρ2＝2 3＋2，ρ1ρ2＝7， 所以|O1A|＋|O1B|＝|O|OAA|＋|·|O|OBB| |＝ρ1ρ＋1ρ2ρ2＝2 37＋2。
解 (1)由 ρcosθ－π3＝1，得 ρ21cosθ＋ 23sinθ＝1。 从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2。 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)。
当 θ＝π2时，ρ＝23 3，
所以
N2
3
3，π2。
(2)由(1)知
M
课时作业(六十八) 坐标系
基础过关组
1．在极坐标系中，求直线 ρcosθ＋π6＝1 与圆 ρ＝4sinθ 的交点的极坐
标。
解 ρcosθ＋π6＝1 化为直角坐标方程为 3x－y＝2， 即 y＝ 3x－2。 ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y2＝4y， 把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2＝4y， 得 4x2－8 3x＋12＝0， 即(x－ 3)2＝0， 所以 x＝ 3，y＝1。 所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐标为2，π6。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1课时 极坐标方程与参数方程
= + sin.
= cos,
2
2
(3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为
(θ 为参数)
= sin.
2
=
2
,
2
(4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数)
= 2.
2
2
2
微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,
= -1 + 2sin (α为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
π
= 2cos,
(2)由(1)得曲线 C 的参数方程为
为参数, 且 ≠
2
= sin
∴点 A( 2cos θ,sin θ)到直线 l 的距离
| 2cos -sin -1|
d=
2
=
,
2
,
2
整理得 2cos θ=sin θ 或 2cos θ-sin θ= 3cos(θ+α)=2 其中 tan =
(3)取相同的长度单位
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = x ( ≠ 0)
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数
倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
4.直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)
由已知tan θ=2,可得
16cos2θ-8sin θcos θ=0,
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案
第2讲 参数方程)1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈．参数方程的应用(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ.从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．极坐标方程与参数方程的综合问题(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.(2)设z ＝3x ＋y ，圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又因为直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径为2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是．涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1， 即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所以所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a ＞－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值． (1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.因为曲线C 与直线l 仅有唯一公共点， 所以Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)当斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α消去参数α，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355＜2，故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0x 2＋y 2－4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，所以曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 的中点为P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，所以代入曲线C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得 ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简， 得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0， 所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。
2020届高考数学一轮复习训练：选考部分 考点规范练56 坐标系与参数方程 文 新人教A版.doc
考点规范练56 坐标系与参数方程基础巩固1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.2.在平面直角坐标系xOy中,将曲线C1:x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线C2;以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程;(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离d最大,并求出此最大值.3.(2017安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsin.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos.(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.能力提升6.(2017山西临汾三模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).(1)当α=时,求C1被C2截得的线段的长;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=a cos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.答案：1.解:椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程(t为参数)代入x2+=1,得=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.2.解:(1)由题意知,曲线C2方程为=1,故曲线C2的参数方程为(φ为参数).直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.(2)设P(cos φ,2sin φ),则点P到直线l的距离为d=,故当sin(60°-φ)=-1时,d取到最大值2,此时取φ=150°,点P坐标是.3.解:(1)由⇒x2+(y-1)2=1,由ρsinρsin θ-ρcos θ=⇒y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,故圆心到直线的距离d=,∴|AB|=2.4.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.5.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),联立可得x2-6x+1=0.∴x1+x2=6,x1x2=1,∴∴AB中垂线的参数方程为(t为参数).①y2=4x.②将①代入②中,得t2+8t-16=0,∴t1·t2=-16.∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.6.解:(1)曲线C1的参数方程为消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2),由ρsin m,得ρsin θ-ρcos θ=m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)由可得x2-x-m=0,∵曲线C1与曲线C2有公共点,∴m=x2-x=.∵-2≤x≤2,∴-≤m≤6.7.解:(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与.故C1被C2截得的线段的长为=1.(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2t cos α=0,设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2, 则A点对应的参数t==-cos α,故A点坐标为(sin2α,-cos αsin α).故当α变化时,点A轨迹的参数方程为(α为参数).因此,点A轨迹的普通方程为+y2=.故点A的轨迹是以为圆心,半径为的圆.8.解:(1)∵ρsin2θ=a cos θ(a>0),∴ρ2sin2θ=aρcos θ(a>0),即y2=ax(a>0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得t2-(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=(a+8),t1·t2=4(a+8).∵|PA|·|PB|=|AB|2,∴t1·t2=(t1-t2)2.∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,即[(8+a)]2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),∴a的值为2.。
2020届高三理数一轮讲义：13.1.1-坐标系(含答案)
第1节 坐标系与参数方程第1课时 坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)， 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ<π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝α＋π(ρ∈R ) 过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0<θ<π)[微点提醒] 关于极坐标系1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线． 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.答案 A3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)解析 法一 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.答案 B4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________.解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝15.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 将2ρcos 2 θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ①，C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1②，联立①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案 (1，2)6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________.解析 将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3，1)．极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1转化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，则点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|1＋（－3）2＝1.答案 1考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解 伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线. (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆. 规律方法 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．易错警示 应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x ，y )与变换后的点坐标(x ′，y ′)．【训练1】 在同一坐标系中，求将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.解 将曲线y ＝12sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ，即y ′＝sin x ′②， 设伸缩变换公式是⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy(λ>0，μ>0)，把伸缩变换关系式代入②式得：μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到⎩⎨⎧μ＝2，λ＝3，所以，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .考点二 极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长.解 (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，∴直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，|OQ |＝12×22＋22＝23， 故线段PQ 的长为22－23＝523.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程. (2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考点三 曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2019·太原二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中点，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积.解 (1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π3＝3， |AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－cos π3＝2(3－1)， 所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α， 于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.规律方法 求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中0<α<π2.(ⅰ)求曲线C 的极坐标方程； (ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y2＝1.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ.(ⅱ)根据题意：射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2， 所以|OA |＝21＋sin 2 α，|OB |＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝21＋cos 2 α，所以|OA |·|OB |＝21＋sin 2 α·21＋cos 2 α＝4(1＋sin 2 α)(1＋cos 2 α)≥21＋sin 2 α＋1＋cos 2 α2＝43.当且仅当sin 2 α＝cos 2 α，即α＝π4时，|OA |·|OB |取得最小值为43.[思维升华]1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)． [易错防范]1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标. 解 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1， 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求.2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin(θ0＋π)， 解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，直线l ：x ＋3y ＝53，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，即为直线l 的极坐标方程. 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，即为圆C 的直角坐标方程.(2)由题意得ρA ＝4sin π6＝2，ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5， 所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ).(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ； ∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ22＝4sin 2 α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2 α＝21＋sin 2 α＋4(1＋sin 2α)－4， ∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2，∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， ∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ，B 两点，若∠AOB ＝π3，求△AOB 的面积的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－23x －2y ＝0，所以，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (2)不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.则ρ1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3， △AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3＝12ρ1ρ2sin π3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3 ＝23cos 2θ＋3≤3 3.所以，当θ＝0时，△AOB 的面积取最大值3 3.8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B (A ，B 异于原点)，当斜率k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由ρcos 2 θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，结合⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)设射线l ：y ＝kx (x ≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k ＝tan φ∈(1，3].联立⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝φ，得|OA |＝ρA ＝2cos φ， 联立⎩⎨⎧ρcos 2 θ＝sin θ，θ＝φ，得|OB |＝ρB ＝sin φcos 2 φ， 所以|OA |·|OB |＝ρA ·ρB ＝2cos φ·sin φcos 2 φ＝2tan φ＝2k ∈(2，23]，即|OA |·|OB |的取值范围是(2，23].。
坐标系与参数方程一轮复习专题练习(一)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为 A 、1 B 、2C 、3D 、4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．在平面直角坐标系xoy 中，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点(1,3)-化为极坐标为_______________．3．极坐标方程为cos 3sin 0ρθθ-+=表示的圆的半径为___________【..1 】二 解答题 评卷人得分三、解答题4． （本小题满分14分） 若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cossinx y a θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a 的值．5．在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案与解析】【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．6．在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．7．已知圆C ：4)3()1(22=-+-y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程.8．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）。
2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案
姓名，年级：时间：选考部分选修4－4 坐标系与参数方程第一节错误!知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝3sin2x.解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。
知识点二极坐标系1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。
有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!.解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为错误!.3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A )A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误!D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误!解析：∵y＝1－x(0≤x≤1），∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）；∴ρ＝错误!错误!.知识点三常见曲线的极坐标方程4．（选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( B )A。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 Word版含答案
第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． (2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0.(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2017·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)因为C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含答案
选修4－4 坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0). 易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y .知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________． 解析：椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－114＝154.答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2．(2016·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|P A |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t为参数)该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0. 法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2016·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2 θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α，(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2 α＋cos 2 α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2 α＋cos 2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2015·高考湖南卷)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．。
2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案
第二节 参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：Error!①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为Error!(t→为参数)，则参数t的几何意义是有向线段的数量。
P0P3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为Error!(α为参数)α∈[0,2π)。
4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的参数x 2a 2y 2b 2方程为Error!(θ为参数)θ∈[0,2π)。
1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围。
2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离。
一、走进教材1．(选修4－4P 26T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：Error!(t 为参数)的普通方程为________。
解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0。
答案 x －y －1＝02．(选修4－4P 37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值。
解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为＋＝1，x 29y 24所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，所以a ＝3。
2020届高考数学一轮复习人教A版极坐标与参数方程作业Word版含答案(2)
1、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩， （t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．2、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(其中α为参数) ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θβ=和3θβπ=-02βπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭与圆C 分别交于异于极点O 的A 、B 两点．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求OB OA +的最大值．3、在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数，且0t ≥，2π0<<α）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为θρcos 2r =，常数0>r ，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若||||OB OA +的最大值为6，求r 的值．4、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．5、在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．（参考答案）1、【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 2、【解析】(1)依题意得，圆C 的普通方程为()2224x y -+=，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）依题意4cos OA β=，4cos 3OB βπ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以OB OA +4cos 4cos 3ββπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()4cos 2cos βββ=++3βπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为02βπ<<，所以当6πβ=时，OB OA +取得最大值 3、【解析】（1）由cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩得1)1(22=-+y x ，即0222=-+y y x ，所以0sin 22=-θρρ， 所以曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=．曲线2C 的极坐标方程为αθ=．（2）由条件，有αsin 2||=OA ，αcos 2||r OB =， 所以||||OB OA+2sin 2cos )r αααβ=+=+，其中tan 0r β=>，π(0,)2β∈．因为)2,0(πα∈，所以π(,)2αβββ+∈+， 所以当π2αβ+=时，2m a x 12|)||(|r OB OA +=+．因为||||OB OA +的最大值为6，所以6122=+r ，又0>r ，所以22=r ．4、【解析】（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知 cos OP OM =ρρθ14=，=，由OM OP =16得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ， 因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为(,)(0)B B ραρ>,由题设知cos =2，=4B ραOA ,于是OAB ∆面积1sin 4cos sin(23B S OA AOB πραα=∠=-2sin(2)23πα=-≤+当12πα=-时，S取得最大值2，所以OAB ∆面积的最大值为2．5、【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得2l 的普通方程()212l :y x k=+ 设(,)P x y 由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠（2）直线3l的直角坐标方程是0x y +-=，将其与曲线C联立，解得(22M -， 所以交点M6、【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，43k =-．。
备战2020年高考数学一轮复习 第16单元 坐标系与参数方程单元训练(A卷,理,含解析)(4-4)
1单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线113x ty t=+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．3D 2．点A 的极坐标为5π2,6⎛⎫⎪⎝⎭,则A 的直角坐标为（ ） A ．()1,3- B ．()1,3- C ．()3,1- D ．(3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ )只装订不密封准考证号 考场号 座位号2A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ) A ．221y x -= B ．221xy -=C．(221y x x -=≤D．(221xy x -=≤5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为( ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7．点P的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭， D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭，8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ）A ．cos ρα=-B ．sin ρα=C ．2cos ρα=-D ．2sin ρα=9．若曲线21x ty t=-=-+⎧⎨⎩（t为参数）与曲线ρ=相交于B ，C 两点,则BC 的值为（ ） ABCD10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ） AB ．34CD ．1211．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点,则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ )3A．4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12．在平面直角坐标系中以原点为极点,以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ） A ．k ∈RBCD ．k ∈R 但0k ≠第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x t l y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________． 16．点P,求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．三、解答题:本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C：(sin )42ρθπ-＝． （1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．18．（12分）已知曲线1C的极坐标方程是1ρ=，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中,将曲线1C所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C．(1）求曲线2C的参数方程；(2)直线l过点()1,0M与曲线2C交于A、B 两点，求4519．（12分)在平面直角坐标系中，曲线1C的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=．（1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设点P 在曲线1C 上,点Q 在曲线2C 上,求PQ的最大值．620．（12分)在平面直角坐标系xoy 中,已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩(θ为参数)， 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1)求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ,Q 两点，求线段PQ 的长．721．（12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程;(2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点,求MON△的面积．822．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-,圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN △的面积．1单元训练金卷▪高三▪数学卷(A ） 第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程 答 案 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由11x t y =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =-，斜率k C ． 2．【答案】D【解析】 设点(),A x y ,根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A 的坐标为()，故选D ．3．【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22xy y+=．整理得2211y 24x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=,且y ⎡⎣,据此可得普通方程为(221y x x -=．故选C ．5．【答案】C 【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos xρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,故选C ．26．【答案】B 【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点(),所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．【答案】C 【解析】2ρ==,tan θ=，因为点在第二象限,故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为:()2211x y ++=,即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=,整理可得:2cos ρα=-．故选C ． 9．【答案】C【解析】曲线21x t y t=-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=的直角坐标方程为228x y +=，圆心O到直线的距离为d ==,又r =BC =C ．10．【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=,所以曲线C 是椭圆,4a =,c =所以椭圆的离心率为e ==．故选A ．11．【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=,直线的直角坐标方程y x =．由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=，即2222xy x y+=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．【答案】C 【解析】()2222:2cos 211C xy x x y ρθ=⇒+=⇒-+=,所以223141k k k +<⇒<-+,故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=,利用点到直线距离公式122d -==2．14．【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=,则直角坐标方程是10x y +-=． 15．【答案】12【解析】圆2cos ρθ=,转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=,sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=,把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=,由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径,则1=，解得1a =,0a >，则负值舍去,故1a =1+ 16．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P到直线3424x y -=的时，d 取得三、解答题:本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1C ：220xy x y +--＝，2C :10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O :cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝，曲线1C 的直角坐标方程为22xy x y++＝，即220x y xy --＋＝,曲线2C ：sin 4ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭即sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝．（2)由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1, 则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】(1)曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，(θ为参数)．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程化简得19．【答案】（1)1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数）,2C ：()2241x y +-=；(2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数)，2C 的直角坐标方程为228150xy y +-+=，即()2241x y +-=．（2)由(1)知,曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆． 设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==当1sin 2ϕ=-时，2PC又因为21PQ PC ≤+,当且仅当P ，Q ，2C 三点共线,且2C 在线段PQ上时，等号成立．所以max1PQ=．20．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】(1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数）,可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=,即曲线1C 的普通方程:()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=，即y +=因为直线l 与1C 交P ,Q 两点,曲线1C 的圆心()10，,半径2r =， 圆心到直线l的距d ==所以线段PQ的长2==．21．【答案】（1）2213y x +=；(2）34．【解析】(1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+，所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．(2）将直线l的参数方程221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程,得250t+=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ,2t，则122t t +=，125t t⋅=，于是MN ==直线l 的普通方程为10x y +-=,则原点O 到直线l的距离d =，所以1324MONSMN d =⋅=△．22．【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】(1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2)将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=,解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．。
2020届高考数学一轮第十二篇坐标系与参数方程第节参数方程理新人教A版
x＝2＋ C________．
(t 为参数)的普通
解析：直接化简，两式相减消去参数 t，得 x－y＝1，整理得普通方程 为 x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
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10
4．在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为xy＝＝145＋t 35t
因此，S＝x＋y＝ 3cos φ＋sin φ
＝2·
3 2 cos
φ＋12sin
φ＝2sinφ＋π3，
所以当 φ＝π6时，S 取得最大值 2.
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25
【反思归纳】 一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最 值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三 角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了．
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2
1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都
是某个变数 t 的函数xy＝ ＝fgtt，， 并且对于 t 的每一个允许值，上式所确定的点 M(x，y)都在这条曲线
上，则称上式为这条曲线的参__数___方__程__，其中变数 t 称为参变数，简称_参__数__．
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7
2．若直线 l：xy＝ ＝21t－，4t (t 为参数)与曲线 C：xy＝ ＝m5＋cos5θs，in θ (θ 为
参数)相切，则实数 m 为( )
(A)－4 或 6
(B)－6 或 4
(C)－1 或 9
(D)－9 或 1
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8
A
解
析
：
由
x＝2t， y＝1－4t
x＝1＋t， y＝－2＋t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2 θ＝2cos θ，直线 l 和曲线 C 的交点
2020届高考数学一轮复习第十五章坐标系与参数方程教师用书文(PDF,含解析)
ｔａｎ
θ＝
ｙ ｘ
（ ｘ≠０） ．
３．简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在 极 点， 半 径 为 ｒ 的圆
ρ＝ｒ （０≤θ＜２π）
圆心 为 （ ｒ， ０）， 半 径为 ｒ 的圆
ρ ＝ ２ｒｃｏｓ θ
( ) －
π ２
≤θ＜
π ２
( )π
圆 心 为 ｒ， ２ ， 半径为 ｒ 的圆
ρ ＝ ２ｒｓｉｎ θ （０≤θ＜π）
叫做这条曲线的参数方程，联系变数 ｘ，ｙ 的变数 ｔ 叫做参变数，
简称参数．
注意 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的
方程叫做普通方程．
２．直线、圆、椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
过 点 Ｍ （ ｘ０， ｙ０ ）， 倾 斜 角 为
( )π
α α≠ ２ 的 直线
ｙ－ｙ０ ＝ ｔａｎ α（ ｘ－ｘ０ ）
过极 点， 倾 斜 角 为 α 的直线
（１）θ ＝ α 和 θ ＝ π＋α （２） θ ＝ α（ ρ∈Ｒ） 或 θ ＝ π＋α（ ρ∈Ｒ）
曲线
过点 （ ａ， ０ ） （ ａ ＞ ０） ，与极 轴 垂 直 的 直线
图形
对应学生用书起始页码 Ｐ２６９ 续表
极坐标方程
ρｃｏｓ θ ＝ ａ
( ) －
π ２
＜θ＜
０２ 命题特点 一是方程的互化；二是极坐标方程与参数 方程的简单应用． 考查直线与圆、直线与椭 圆的位置关系较多，重点考查数形结合的 思想和转化与化归的思想．
０３ 解题方法 求解的一般思路为将极坐标方程、参数方 程转化为直角坐标方程，然后借助解析几 何的知识与方法处理． 有些题目还需借助 参数方程中参数的几何意义，利用数形结 合方法来解题．
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 坐标系与参数方程试题 理(含解析)新人教A版选修4
课时作业71 坐标系与参数方程解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，求|PA |的最大值．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数，φ∈[0,2π))．若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．4．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4t ，y ＝－1－2t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，求圆心C 到直线l的距离．5.在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ与ρcos θ＝4的交点为A ，点M 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，求线段AM 的长．6．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，求切线的极坐标方程． 7．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧»AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．参考答案解答题1．解：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.2．解：点A (1，π)在直角坐标系下的点坐标为(cos π，sin π)，即A (－1,0)，曲线ρ＝2sin θ在直角坐标系下的普通方程为x 2＋y 2＝2y ，即C ：x 2＋(y －1)2＝1，由|AC |＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2，可得|PA |的最大值为|AC |＋1＝2＋1.3．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ可得该曲线的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y＝0，将其化为极坐标方程可得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ＝0，得ρ2－2ρsin θ＝0，即得ρ＝2sin θ.4．解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4t ，y ＝－1－2t 可化为普通方程为x ＋2y ＋6＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4可化为直角坐标系下的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该圆的圆心(1，－1)到直线x ＋2y ＋6＝0的距离为d ＝|1－2＋6|5＝ 5.5．解：由曲线ρ＝4cos θ与ρcos θ＝4可得直角坐标系下的两个方程分别为x 2＋y 2＝4x 与x ＝4，此直线与圆的交点坐标为A (4,0)，极坐标系下点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，转化为直角坐标系下的点坐标为M (1，3)，∴|AM |＝(4－1)2＋(3)2＝2 3.6．解：据题意圆的直角坐标方程为(y －2)2＋x 2＝4，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于点A 在圆上，结合图形可得切线方程为x ＝2，故极坐标方程为ρcos θ＝2.7．解：(1)由已知，得M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t .(t 为参数)8．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，∴l ：x ＋y －4＝0.由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ得C ：x 23＋y 2＝1.(2)在C ：x 23＋y 2＝1上任取一点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为 d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－42≤3 2.∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－1，即θ＝76π时，d max ＝3 2.。
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2020届一轮复习人教A 版 坐标系与参数方程 作业
1.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．
[解] (1)由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ
(φ为参数)，
可得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.
由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，
圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π3，ρ－2cos θ＝0得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33得Q ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3， 结合图可得|P Q|＝|O Q|－|OP |＝|ρQ |－|ρP |＝3－1＝2.
[解题方略] 极径的几何意义及其应用
(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M 到极点O 的距离．
(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．
2.．(2019届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2
＝1，
由ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，
则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－22， 当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)， α＝－5π6
＋2k π(k ∈Z)时，所求距离最大，最大值为22， 此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
，－12. 3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R)，θ2＝2π3
(ρ2∈R)，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．
解：(1)由参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2
－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R)与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6
＝2. 由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R)与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3
＝2 3. 易知∠MON ＝π2
， 所以S △OMN ＝12
|OM |×|ON | ＝12
×2×23＝2 3.。