不等式易错题剖析

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方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析

方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析一、选择题1．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（） A ．x ＜﹣12B ．x ＞﹣12C ．x ＜12D ．x ＞12 【答案】A【解析】【分析】根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集.【详解】解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13， ∴0m <，0n <，3m n =，∴0m n +<，解不等式()m n x n m >-+， ∴n m x m n-<+，∴3132n m n n x m n n n --<==-++；故选：A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.3．若关于x 的不等式6234x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．15＜a ≤18B ．5＜a ≤6C ．15≤a ＜18D ．15≤a ≤18【答案】A【解析】【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可．【详解】解不等式组得：23x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即2＜x ＜3a ，由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5，∴5＜3a ≤6，解得：15＜a≤18，故选：A ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．4．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．5．若不等式组0,122x a x x -≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1B ．a≥－1C ．a≤1D ．a ＜1 【答案】D【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a 的取值范围是a ＜1．【详解】解：0122x a x x -≥⎧⎨->-⎩①②，由①得：x≥a ，由②得：x ＜1，∵不等式组有解，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．6．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米【答案】D【解析】【分析】设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩，解得：103≤x≤5；故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．7．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1240x x >⎧⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.8．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b>,一定能推出a b >的有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．9．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A【解析】设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．10．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．12．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.13．下列不等式变形正确的是（）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得2ax bc >C ．由a b >，得ac bc <D ．由a b >，得a c b c ->-【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】A ．若a b >，当c ＞0时才能得ac bc >，故错误；B ．若a b >，但2,x c 值不确定，不一定得2ax bc >，故错；C ．若a b >，但c 大小不确定，不一定得ac bc <，故错；D ．若a b >，则a c b c ->-，故正确．故选：D【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．如果关于x 的分式方程有负数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．15．如果不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，m的取值范围为（）A．m＜4 B．m≥4C．m≤4D．无法确定【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x﹣6得：x＞4，由不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，得到m≤4，【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．16．不等式x ﹣2＞的解集是（） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x ﹣8＞6x +2，移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，系数化为1，得：x ＜﹣5．故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．17．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．a≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a≥3 【答案】A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可．【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解， ∴a ﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．44m n >C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n【答案】B【解析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：m n44>，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，故选B．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2D．a≤2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可．【详解】∵不等式组232x ax a+⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a+2≥3a﹣2，解得：a≤2．故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．。

不等式易错点分析

不等式易错点分析易错点一：忽视字母之间的联系性，使字母范围扩大例1.已知函数c ax x f -=2)(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值与最小值．典型错解：由题意得⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤=54141c a a c ，同向不等式相加可得 930≤≤a ，即30≤≤a ，又由41≤-≤a c ，可得71≤≤c ．∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(， ∴)3(f 的最大值是26，最小值是 —7．错因分析：在26)3(7≤≤-f 中，当且仅当1,3==c a 时，右等号成立；当且仅当7,0==c a 时，左等号成立，这两组字值均不满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，因此26)3(7≤≤-f 中的左右等号均不能成立，故26、－7不是要求的最值．究其原因，是将a 、c 的范围扩大了．正确解答：由c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(，可设)2()1()3(nf mf f +=，则c a c a n c a m -=-+-9)4()(，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--=+3835194n m n m n m ，∴)2(38)1(35)3(f f f +-=，而1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ， ∴320)1(3535≤-≤f ，340)2(3838≤≤-f ，∴20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f ，当⎩⎨⎧=--=-544c a c a ，即⎩⎨⎧==73c a 时，右边等号成立；当⎩⎨⎧-=--=-141c a c a ，即⎩⎨⎧==10c a 时，左边等号成立；两组值均满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，故)3(f 的最大值是20，最小值是1-.易错点二：忽视一元二次不等式中二次项系数的符号例 1.已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或典型错解：由题意知，31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，因此由根与系数的关系得a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，即0135322>-+x x ，解得213>-<x x 或，故选D ．错因分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断．根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解答：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ．易错点三：忽视基本不等式中定值的条件例2.已知正数a ，b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值．典型错解：∵)1(211222++≤+b a b a ，等号成立的条件是12+=b a ，122+=b a ，又3222=+b a ，∴342=a ，312=b ，∴12+b a 的最大值为34．错因分析：)1(2122++b a 并不是定植，利用基本不等式求定值时，定值是前提，先有定值后相等，并不是先相等后求值．正确解答：)12(2122122212222++⨯≤+⨯=+b a b a b a 2)13(42=+⨯=，当且仅当122+=b a ，且3222=+b a 时，等号成立．解得12=a ，12=b ，即1==b a 时，12+b a 有最大值2．易错点四：忽视基本不等式中等号成立的一致性例3. 已知0,0x y >>，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．典型错解：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 2422112=⋅⋅≥xy yx ，∴y x 11+的最小值为24．错因分析：错解的原因是连续两次使用基本不等式时，忽视了等号成立的一致性．实际上，第一个取“＝”的条件为yx 11=，即y x =，而第二个取“＝”的条件为y x 2=，这样前后就矛盾了．正确解答：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 22322323+=⋅+≥++=yxx y y x x y ，当且仅当y x x y =2，且12=+y x ，即12-=x ，221-=y 时，等号成立，yx 11+的最小值为223+．易错点五：该分类讨论的不分类讨论，或能分类讨论但不能做到“不重不漏”例4.已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围．典型错解：根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a解得562<<-a ，∴所求的实数a 的取值范围是562<<-a ．错因分析：只把不等式当做x 的一元二次不等式，而忽视其它情形，也就是对2x 的系数该分类的不分类，也就使得解法有漏洞．正确解答：当2=a 时，不等式为014≥-x ，解集非空；当2-=a 时，不等式为01≥-，解集为空集；当2±≠a 时，根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a ，解得562<<-a ．综上可得，所求的实数a 的取值范围是562<≤-a ．不等式问题常见思维误区的归纳与总结：在解决不等式的问题时，易错点还是比较多的，除了上述五个易错点外，易错点还有：不能正确运用不等式的性质；在解不等式或证明不等式时不能对不等式进行等价转化；线性规划中不能正确画图、识图，找不准最优解；利用基本不等式时忽视应用的三个条件缺一不可，等等．了解这些易错点可以帮助我们引以为戒、拨乱反正、健步前冲．。

初一不等式经典易错题解析

初一不等式经典易错题解析初一不等式经典易错题解析初一学生在学习不等式时，难免会遇到一些经典易错题，这在一定程度上也给学习带来了一些困扰。

在本文中，我们将对初一不等式中一些经典易错题进行解析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、乘方不等式易错点在不等式中，乘方往往是初一学生们考试时经常遇到的问题，其中特别容易发生的错误包括：1. 未进行“正负性”分析乘方在不等式中的作用是使变量的取值范围变广，但我们必须检查其“正负性”，否则就会出现错误的答案。

比如，当我们遇到以下不等式时：（1）x^2-6x+5>0（2）x^2+6x+5>0根据情况，我们可以把这两个不等式转化为因式分解的形式。

对于第一个式子，我们可以得到x在0到5之外或者在1到正无穷之间；而对于第二个式子，我们可以得到x在正无穷到-1或者在-5到正无穷之外。

在情况（1）中，我们需要特别注意的是，当x在1到5之间时，式子的取值就会变为负数，因此其“正负性”分析对于解题至关重要。

2. 公因数舍去的问题在乘方问题中，如果变量被约分后就会导致解题出现偏差。

例如：对于以下不等式而言：（3）2x^2+3x-2<0当我们对其进行因式分解，会得到2(x+1)(x-2)<0，但我们需要注意，当x=-1时，x+1=0，此时2(x+1)(x-2)的分子是0，不符合数学逻辑规律，我们需要忽略掉这种情况。

因此，正确的解题思路应该是用区间法将不等式的解空间分为三段，分别为x<-1、-1<x<2、2<x。

二、加减不等式易错点在初一不等式题型中，加减不等式也经常出现。

在处理这类问题中，需要注意以下问题：1. 未进行化简，直接求解很多时候，初一学生在解加减不等式时直接将式子简化，导致解题出现了较大偏差。

事实上，在处理不等式问题时，我们需要把含有常数的项先整合。

例如：对于以下不等式而言：（4）2x+1<3x-4如果我们直接拆方程，化简后得到x>5，但这种做法是错误的，因为我们在拆方程之前必须将常数加起来，然后再消元，即：（5）-x<-5x>5因此，式子的解空间是x>5。

高考不等式易错题解析

不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

简单含参不等式易错问题的成因剖析及反思

简单含参不等式易错问题的成因剖析及反思考试中出现简单含参不等式问题，常常是学生容易出错的。

在数学考试中，简单含参不等式问题是一种常见的考试题型，但是学生在解答这类问题时，经常出现错误。

下面，就简单含参不等式易错问题的原因进行剖析及反思。

首先，简单含参不等式问题的解法非常复杂。

不同的函数有不同的解答方式，学生往往不能够正确的理解和熟悉不等式的解法，从而容易出现错误。

因此，学生在解答简单含参不等式问题时，需要花费更多时间去理解掌握各种不同函数的解法，从而提高正确率。

其次，学生对简单含参不等式问题的概念缺乏理解，不能够正确的运用知识去解答问题，从而出现错误。

在复杂的数学计算过程中，如果不能够正确的理解概念，就会出现很多误差，从而导致计算结果不正确。

此外，如果学生对数学概念不熟悉，为了解决简单含参不等式问题，他们往往把问题化简为简单的内容，从而出现错误。

再次，简单含参不等式易错问题的出现，也与学生学习习惯有关，学生缺乏正确的学习习惯，容易出现问题。

如果学生缺乏对数学问题的深入思考，不能够灵活运用知识，不能够更好的分析数学问题的思路，只能够死记硬背，容易出现错误。

最后，学生在解答简单含参不等式问题时，也容易出现粗心的情况，即使学生已经理解了简单含参不等式问题的解法，但是在计算过程中，仍然容易出现粗心的情况，这些粗心造成的错误也是学生容易出现错误的重要原因。

从以上可以看出，简单含参不等式易错问题的出现与学生学习习惯、知识理解能力以及粗心有关。

针对这个问题，学生有需要做出一定改变。

首先，学生需要加强对相关知识的理解，熟悉每种函数的解法，从而能够更快的解决问题。

其次，学生需要培养正确的学习习惯，多加思考，分析数学问题的思路，从而更好的解决问题。

最后，学生需要重视细节，仔细地思考，在解答问题时要避免因粗心而出现错误。

以上就是本文关于简单含参不等式易错问题的原因剖析及反思，通过对简单含参不等式易错问题的原因剖析，可以更好的帮助学生改进简单含参不等式问题的解题能力，实现更好的学习效果。

基本不等式的错解剖析

基本不等式的错解剖析在应用不等式处理不等式问题时，同学们往往会忽视一些问题，导致解题错误。

下面就结合实例对解决应用不等式的过程中常见的错误进行剖析。

一、忽视正值“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数。

例1 求函数12(0)y x x R x x=+∈≠且的最值。

错解：12y x x =+≥=min y ∴=剖析：令1,3x y =-=-，显然y =关键是忽视了变量为正数的条件。

正解：①当0x >时，则12y x x =+≥②当0x <时，则1(2)()y x x -=-+≥=-y ∴≤-故在整个定义域上无最大值也无最小值。

二、忽视定值“定”是指用均值不等式时和（或积）为定值，这时往往要用拆项、补项、系数平衡等变形方法。

例2 已知0,0x y >>，且45x y +=，求11x y+的最小值。

错解：0,0x y >>11x y ∴+≥ 当且仅当1145x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即当1x y ==时，等号成立。

所以112x y +≥，故所求的最小值为2.剖析：忽视了“定值”而致误，而值问题，应通过配凑法使之为定值。

正解：0,0x y >>11111()(4)51419(5)(5555x y x y x yy x x y ∴+≥++=++≥+= 当且仅当445y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即当55,36x y ==时，等号成立。

所以1195x y +≥，故所求的最小值为95。

三、忽视等号成立的条件利用均值不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件。

例3 求函数4sin (0)sin 2y x x x π=+<≤的最小值。

错解：02x π<≤ ，则4sin 0,0sin x x >>4sin 4sin y x x ∴=+≥ min 4y ∴= 剖析：本题似乎无懈可击，其实令4sin sin x x =，则有2sin 4x =，由于sin 1x ≤，即无实数解，也就是等号取不到，因而取不到最小值4. 正解：由4sin sin y x x=+，令sin (0,1]t x =∈，易证4()(01)y f t t t t==+<≤为减函数 min 4(1)151y f ∴==+=。

初中数学素材解不等式常见错误剖析

解一元一次不等式或一元一次不等式组是本章的学习的一个重点，也是初中数学中一项基本的技能.但在解不等式的过程中,经常会有这样或那样的错误，现一一列举，归纳总结，希望同学们在解题时能引起注意,从而避免类似问题的发生.（一）、忘记变号例1解不等式4-3x <7x.【错解】移项得4 < lx-3x合并得4 v 4x两边同除以4得x < 1.【剖析】解一元一次不等式同解一元一次方程一样，移项时要注意变号，并且一般来说，含有字母（未知数）的项通常移在不等式的左边，常数项移在不等式的右边•这与一元一次方程中的移项是一样的.本题错在移项的时候没有变号.【正解】移项得-3JV -7x < -4合并得-10.Y < -49两边同除以-10得x >丄.5例2解不等式3x + 2v2x + 3.【错解】移项得—3x - 2A- < 3 - 2合并得-5x < 1两边同除以-5得x V ・5【剖析】本题错在最后一步，根据不等式的性质3可知，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.这是我们在解一元一次不等式时尤其要注意的地方.【正解】移项得一3x — 2x < 3 - 2合并得-5.Y < 1两边同除以-5得x > ・5（二）、通分时某一项漏乘1 6 —x例3解不等式< -一- + 1.23【错解】不等式两边同乘以6得3xv2（6 — x） + l・去括号得3.Y <12-2x + 1.移项得3x + 2x <12 + 1合并得5x < 13两边同除以5得x <【剖析】在通分时，不等式两边的每一项都要乘以相同的倍数，本题错在把常数项“广漏乘了公倍数6,造成错解.【正解】不等式两边同乘以6得3x < 2（6— 0 + 6.去括号得3,v v 12-2X + 6.移项得3A- + 2x < 12 + 6合并得5x < 18j o两边同除以5得x < =・5（三）、书写结果不规范例4解不等式组【错解】由①得x^-2.由②得- 2x2-6.即xW3.所以不等式的解集为3>x>-2 •【剖析】本题结果虽正确，但最后结果的书写是不规范的，书写不等式的解集一般是按照由小到大的顺序书写.【正解】由①得心-2.由②得- 2x2 - 6.即xW3.所以不等式的解集为-2WxW3.（四）、课求解集的公共部分r -（-Y + 4）< 3 ①,J2I x +2 > =8 ②. 例5解不等式组 J 2 3【错解】由①得x+4V6・即x<2.由②得3(x+2)>2(x+8)得3x十6>2x+16・即3x-2x>16-6,得x>10,所以不等式的解集为2<x<10.【剖析】一元一次不等式组的解集是指两个不等式解集的公共部分•通常用数轴来确立.本题错在对两个不等式解集的公共部分没有弄淸楚•如果对解集的范围不是很淸楚，可以先在一条数轴上表示出来，标出公共的部分后，再写出最后的结果.【正解】由①得x+4<6.即x<2.由②得3(x+2)>2(x+8)得3x+6>2x+16・即3x-2x>16-6,得x>10,在数轴上表示为2 10所以不等式的解集为空集，即无解.(五)、没有分类讨论例6解不等式($ — b)x < a — b (aHb)・【错解】两边同除以(a-b)得x <——-a - b即x < 1【剖析】本题属含字母系数的不等式，首先应考虑字母系数的符号，若a-b >0.两边同时除以(a-b),不等号的方向不变；若a-bVO,两边同时除以(a-b),不等号的方向要改变：因此需分类讨论.【正解】(1)当a-b >0时，不等式两边同除以(a-b),得x <工二£，所以x < 1; a-ba — A(2)当a-bVO时,不等式两边同除以(a-b),得x >——-，所以x > 1・a-b例7解不等式3x~6<ax.【错解】移项得3x-ax<6即(3-a)x<6所以xV3— a【剖析】本题错在对含字母系数(3-a)没有分类讨论，只是默认了(3-a)是正数，忽略了其它的情况.【正解】移项得3x-ax<6即(3-a)x<6a(1)当3P >0时，不等式两边同除以(3-a),得x < -——:3-a(2)当3-a二0时，即0Xx<6,这时x为任意数：(3)当3-a<0 114,不等式两边同除以(3-a),得x > —^―・3 _ a。

不等式(组)常见错解剖析

不等式（组）常见错解剖析一、易错点分析1 忽视因式为0例1 若，则．错解因为，且，所以，故填＞.剖析上面的解法错在忽视了.当时，.正解因为，且，所以,故应填.2 忽视系数例2 若是关于的一元一次不等式，则的取值是．错解由题意，得，∴. 故填.剖析当时，，此时得到不等式2＞0. 一元一次不等式应满足的条件是：1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③是不等式.一元一次不等式的一般形式是：，在解题时切不可忽视的条件.正解由题意，得，且，即且，∴.故应填.3 忽视移项要变号例3 解不等式．错解移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．剖析移项是解不等式时的常用步骤，可以说它是不等式性质1的直接推论.但要注意移项必须变号，而上面的解法就错在移项时忘记了变号.正解移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．4 忽视括号前的负号例4 解不等式.错解去括号，得，解得.剖析错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号，忽视了括号前的负号.去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.正解去括号，得，解得.5 忽视分数线的括号作用例5 解不等式．错解去分母，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．剖析分数线具有“括号”的作用，故在去分母时，分数线上面的多项式应作为一个整体，加上括号．上面的解法就错在忽视分数线的括号作用.正解去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．6 忽视分类讨论例6 代数式与的值符号相同，则的取值范围________．错解由题意，得，解之，得，故填.剖析上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知，符号相同，两代数式可以均是正数，也可以均是负数，应分大于0和小于0进行探究.正解由题意，得，解之，得，故应填.7 忽视隐含条件例7 关于的不等式组有四个整数解，求的取值范围.错解由（1）得,由（2）得,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故，解得.剖析上面的解法错在忽视隐含条件而致错，当有多个限制条件时，对不等式关系的发掘不全面，会导致未知数范围扩大，因此解决这方面的问题时一定要细心留意隐含条件.正解由（1）得,由（2）得,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故，解得.8 用数轴表示解集时，忽视虚、实点例8 不等式组，并把它的解集在数轴表示出来.错解解不等式（1），得，解不等式（2），得，原不等式组的解集如图剖析本题的解集没有错，错在用数轴表示解集时，忽视了虚、实点.不等式的解集在数轴上表示时，没有等号的要画虚点，有等号的要画实点.正解解不等式（1），得，解不等式（2），得，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图2，原不等式组的解集是：图29忽视题中条件例9 有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住4人,则有20人无法安排住宿；若每间住8 人,则有一间宿舍不满也不空,问宿舍间数是多少?错解设宿舍间数为，学生人数为，由题意，得，解得，∵是正整数 ∴ = 6，7,8……答：至少有6间宿舍.剖析错解的原因在于对题意不够理解，忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件.审清题意是解决这类问题的关键.正解设宿舍间数为，学生人数为，由题意，得，解得，∵是正整数 ∴.答：有6间宿舍.。

高考数学复习不等式易错题精选及解析

高考数学复习不等式易错题精选及解析三、解答题：1．是否存在常数 c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数 x,y 恒成立？错解：证明不等式2222x y x y x y x y x y x y+≤+++++恒成立，故说明c 存在。

正解：令x=y 得2233c ≤≤，故猜想c=23,下证不等式222322x y x y x yx y x y x y +≤≤+++++恒成立。

要证不等式2223x y x y x y +≤++，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y ）(x+2y),也即证222231232(225)x xy y x y xy ++≤++,即2xy ≤22x y +，而此不等式恒成立，同理不等式2322x y x y x y≤+++也成立，故存在c=23使原不等式恒成立。

2．已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，求p 的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。

正解：因为x 的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于24(3)5x x p x -+--≤，即2242x x x p x --≤-+≤+，则22520(1){320(2)x x p x x p -+-≤-++≥，设（1）（2）的根分别为12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或若23x =，则9-15+p-2=0，p=8若43x =，则9-9+p+2=0,p=-2当p =-2时，原方程组无解，则p=83．设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

解：令f mf nf ()()()-=-+211则42a b m a b n a b -=-++()()∴-=+--42a b m n a m n b ()()比较系数有m n m n +=-=⎧⎨⎪⎩⎪42∴==⎧⎨⎪⎩⎪∴-=-+≤-<≤≤∴≤-+≤m n f f f f f f f 312311112214531110()()()()()()() ，即5210≤-≤f ()说明：此题极易由已知二不等式求出a b 、的范围，然后再求42a b -即f ()-2的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

不等式问题易错点分析佘维平

不等式问题易错点分析特级教师佘维平不等式是高中数学的重要内容，是一种主要的运算工具，也是解决生产实践和生活实际应用问题的常见数学方法，所以不等式是高考数学命题的重点，在高考中的直接、间接的考查量很大，不少同学在不等式内容上的高考失分很多！.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程，使你认识到出错的原因，在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象，从而有效地避免出错，提高解题准确率，这应是同学们在学习与复习时不可或缺的一个环节。

举例如下：一．忽视参变量的符号致误这是不等式问题上的最常见错误。

对于不等式xx -+11>0，解是x< -1或x>1吗？我们一些同学在这样很基础的题目上也会出错，错因就在于忽视了未知数x 前的符号！（xx -+11>0的解应为－1<x<1）. 又如不等式xx -+11>2，有同学不考虑分母的符号就去分母，解得x>31,这也是由于明显的符号问题而求解错误的例子（求解分式不等式()()()0≠>a a x g x f ，一般应移项通分，再用曲线标根法得到结果）。

那么，在含有字母参数的问题中，再不小心字母（或式子）中隐含的符号的话，错误会更多。

例1. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.易错点分析：1. 对［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.，未考虑a －1的值可正、可负、可为0三种情况；2.对12--a a ，未与2进行大小比较思维拓展：此题若去掉条件“(a ≠1).”，结果会有什么变化，请同学们思考。

不等式及其基本性质易错点剖析

2a－b＝7， a＝5，字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错 5b－a＝10， b＝3．
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜，得5b－a 10 解 7 ＝， 2a－b 7
2 5
解一元一次不等式组错解示例
一、误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．例 1 解不等式组
x－1＞0，① x＋2＜0．②
错解：由①得 x＞1，由②得 x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．错解分析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分” （即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分” ，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成 1＜x＜－2 或－2＜x＞1 等，这些都是错误的．正解：由①得 x＞1．由②得 x＜－2，所以此不等式组无解．
15 11x , 11x 15 ,
x
15 . 11
错解分析：在第一步的移项中，-4x 移到不等号的右边应注意变为 4x;在第三步
2
的计算中，-11x 与 15 移项后，不等号不应改变方向. 正解： 7x 4x 5 10 ,
3x 15 ,
x 5 .
点拨：在解这类题时，同学们应牢记不等式的基本性质. 五、去分母时，对不含分母的项处理不当例 5.解不等式
a＜0， 3 得b 3 所以 ax＞b 的解集是 x＜． 5 ＝． a 5

剖析不等式解法及应用的易错点

剖析不等式解法及应用的易错点ʏ重庆市第一中学校王军不等式是高中数学代数板块的重要组成部分,与方程,函数等知识联系密切,在高考中也有着举足轻重的地位㊂本文将从不等式的解法与不等式的应用的易错点进行分析,以期提升同学们的复习效率,规避易错,提高解题速度和正确率㊂一㊁不等式的解法不等式的解法的易错点主要有:①系数需化为正数;②重根的处理需采用奇次穿偶次不穿的方式㊂例1 不等式x -2xȡ2的解集为㊂错解1:x -2x ȡ2⇒x -2ȡ2x ⇒x ɤ-2㊂错解2:x -2x ȡ2⇒(x -2)x ȡ2⇒x 2-2x -2ȡ0,解得x ȡ1+3或x ɤ1-3㊂错解3:x -2x ȡ2⇒x -2-2xx ȡ0⇒(-x -2)x ȡ0⇒(x +2)x ɤ0,解得-2ɤx ɤ0㊂错因分析:错解1,当x <0时,左右同乘x 不等号方向会改变;错解2,在将除法改造为乘法时,没注意到不等式右边是2而不是0,当右边为0时才能如此操作;错解1,2,3均没有考虑分母不为0,且答案没有写成集合的形式㊂正解:x -2x ȡ2⇒x -2-2xxȡ0且x ʂ0⇒(-x -2)x ȡ0且x ʂ0⇒(x +2)x ɤ0且x ʂ0,所以-2ɤx <0,故所求不等式的解集为{x |-2ɤx <0}㊂二㊁不等式的应用1.隐藏条件挖掘不足致错例2 若集合A ={x |2|x |ȡ3},B ={x |l o g 2(2-x )<0},则A ɘB =( )㊂A.x x ɤ-32B .x x ȡ32C .x 32ɤx <2D .x 32ɤx ɤ2错解:解得A =x x ɤ-32或x ȡ32,对于集合B ,由l o g 2(2-x )<0=l o g 21,可得2-x <1,即x >1,所以B =(1,+ɕ),所以A ɘB =x x ȡ32㊂故选B ㊂错因分析:忽视了对数函数的定义域,要时刻关注,率先保障每个结构都有意义㊂正解:对于集合B ,真数为正,即2-x >0,所以x <2,由l o g 2(2-x )<0=l o g 21,可得2-x <1,即x >1,所以B ={x |1<x <2},所以A ɘB =x 32ɤx <2㊂故选C ㊂例3 若方程x +b =3-4x -x 2有两个不等的实根,则实数b 的取值范围为( )㊂A.(1-22,1+22)B .(1-22,-1]C .[-1,1+22)D .(1-22,3]错解:由y =3-4x -x 2得(x -2)2+(y -3)2=4,所以直线y =x +b 与圆(x -2)2+(y -3)2=4有2个公共点,即直线与圆相交,则圆心(2,3)到直线y =x +b 的距离d =|2-3+b |12+(-1)2<r =2,解得b ɪ(1-22,1+22)㊂故选A ㊂错因分析: 由y =3-4x -x 2得(x -2)2+(y -3)2=4 这一步并非恒等变形,y的范围发生了改变,需注意这个隐藏条件㊂正解:由y =3-4x -x 2得(x -2)2+(y -3)2=4(y ɤ3),所以直线y =x +b 与半圆(x -2)2+(y -3)2=4(y ɤ3)有2个公共图1点,作出直线与半圆的图形,如图1所示㊂当直线y =x +b 经过点(4,3)时,b =3-4=-1;当直线y =x +b 与圆(x -2)2+(y -3)2=4相切时,有|2-3+b |1+1=2,解得b =1-22或b =1+22(舍去)㊂由图72解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月可知,当直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有2个公共点时,1-22<b ɤ-1㊂故选B ㊂2.取等条件未验证致错例4 设x ,y 为实数,若4x 2+y 2+x y =1,则2x +y 6+6x y的最大值为㊂错解:令2x +y =t ,则4x 2+y 2+x y =(2x +y )2-3x y =t 2-3x y =1,所以6+6x y =2(3x y +1)+4=2t 2+4,所以2x +y 6+6x y=t 2t 2+4=12t +4t ɤ128=28,当且仅当t =2时取等号㊂错因分析:约束条件4x 2+y 2+x y =1对变量t 的范围有所限制,这是一个隐藏极深的条件,在换元时一定要思考新变元的范围是否刻画完整,最后要检验基本不等式的等号能否取到㊂正解:因为4x 2+y 2+x y =1=(2x +y )2-3x y ,所以(2x +y )2-1=3x y =32㊃2x ㊃y ɤ322x +y22,解得2x +y =t ɤ2105<2,所以错解中的等号取不到,利用函数g (t )=12t +4t 在区间0,2105上单调递增,所以2x +y 6+6x ym a x=g (t )m a x =g 2105=1018㊂3.分类讨论考虑不全致错例5 解关于x 的不等式a x2-(a +1)x +1<0㊂错解:a x 2-(a +1)x +1<0⇒a x -1a(x -1)<0⇒x -1a(x -1)<0㊂(1)当1a<1,即a <0或a >1时,易得1a<x <1;(2)当1a>1,即0<a <1时,易得1<x <1a㊂综上可得,所求不等式的解集为x1a <x <1或1<x <1a㊂错因分析:该解法讨论不够充分,首先,二次项系数含参,应讨论a 是否为0;其次,讨论开口方向,再讨论根的大小,上面遗漏了1a=1的情况㊂正解:分以下几类情况讨论:(1)当a =0时,由a x 2-(a +1)x +1<0⇒-x +1<0⇒x >1,即解集为(1,+ɕ)㊂(2)当a >0时,a x 2-(a +1)x +1<0等价于a x -1a (x -1)<0,等价于x -1a(x -1)<0㊂①若1a>1,即0<a <1,则解集为1,1a;②若1a =1,即a =1,则解集为空集;③若1a <1,即a >1,则解集为1a,1㊂(3)当a <0时,a x 2-(a +1)x +1<0等价于a x -1a(x -1)<0,等价于x -1a (x -1)>0,又1a <0<1,所以解集为-ɕ,1a ɣ(1,+ɕ)㊂综上可得,当a <0时,解集为-ɕ,1a ɣ(1,+ɕ);当0<a <1时,解集为1,1a ;当a =0时,解集为(1,+ɕ);当a =1时,解集为空集;当a >1时,解集为1a,1㊂含参不等式分类讨论在高考中常出现在导数压轴题的第一问中,通常按如下程序推进:讨论二次项系数是否为0ң讨论开口方向ң讨论根的个数(判别式Δ)ң讨论根的大小,以及根与定义域端点的关系㊂注:本文系重庆市教育科学十四五规划2023年度立项课题高中数学核心素养的行为表现及案例研究 (课题批准号:K 23Z G 1070110)的阶段性研究成果之一㊂(责任编辑王福华)82 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月。

不等式选讲中的易错题剖析

问题
(
2
0
2
2年四川省成都七中期中)
例 2
-7。
已知函数 f x = x-1 + x-3 。
(
求不等式 f x >4 的解集;
1)
(
若 f x ≥x2 +m 的解集非空,求实
2)
总结:恒成立、能成立、恰成立问题的基
(
本类型及转化方法:
恒成立问题的转化:
1)
a
>f x 在 D 上恒成立 ⇔a>f x 的解集包
向或配凑不合理,
导致题目无法正确解答。
(
正解:
1)因为 2|a +b|+|2
a -3
b|=
|
2
a+2
b|+ |2
a -3
b| ≥ | (
2
a +2
b)(
2
a-3
b)| = 5 | b |, b > 0, 所以
2 a+b + 2
a-3
b
b
≥ 5, 当且仅当
2
a+2
b 2
a-3
b ≤0 时,等号成立,所以
为:
若 x ∈D ,
f x ≥a 在 D 上恰成立 ⇔
fx
mi
n
=a。
易错点三、绝对值三角不等式的使用方
向或系数配凑不合理
例 3
(
中学生标准学术能力诊断性测
试2
0
2
2~2
0
2
3学高三上学期1
1月测试理科

不等式选讲“易错问题”归类剖析

不等式选讲“易错问题”归类剖析作者：***
来源：《中学生数理化·高考使用》2020年第04期
不等式选讲主要考查同学们的转化化归、逻辑推理和运算求解等能力。

而同学们在这一部分新课学习和复习中容易出现误区，本文对不等式选讲问题中的易错问题进行归类分析，希望对同学们在学习和复习时能有所帮助。

易错点一、不能正确认识零点分段法，将去绝对值的方法和三角不等式混淆
错因分析：第（l）问不会去绝对值，从而把解绝对值不等式的方法与三角不等式求最值的方法混为一谈;第（2）问没有看清题目要求，直接出错。

易错点二、恒成立问题与能成立问题区分不清
错解：（2）对a的范围进行分类讨论，加上零点分段去解不等式，无法继续进行。

错因分析：因为对恒成立问题认识不到位，同学们经常以“的范围进行分类讨论造成失误。

错因分析：把存在性（能成立）问题与恒成立问题混为一谈浩成错误.
易错点三、三角不等式的理解不到位
错因分析：三角不等式的使用方向和配凑方式不合理。

易错点四、利用柯西不等式证明三元不等式时找不到对偶式
易错点五，不等式证明方法不当
错解：（2）直接去掉绝对值进行因式分解证明出错。

错因分析：没能掌握证明不等式常用的方法——综合法和分析法。

提醒：证明不等式常用的方法：综合法，分析法。

综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论。

分析法：将待证明的不等式進行恒等变形，从而探寻证明的突破口。

（责任编辑王福华）。

不等式错题解析

3
• 档案9 不能正确列出不等式(组)
• 例9、“中国柑橘城”重庆市忠县有着丰富的柑橘资源，某柑橘加工企业己收购柑橘60 吨，根据市场信息，如果对柑橘进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元，如果进行精加工，每天可加工0.5吨，每吨可获利5000元，由于受设备条件的限制，两种加工方式不能同时进行。为了保鲜的需要，该企业必须在一个月（30天）内将这批柑橘全部加工完毕。精加工的吨数在什么范围内，该企业加工这批柑橘的获利不低于80000元？
• 档案2：忽略“=”的意义
• 例2.用不等式表示下列语句.
•
（1）m的2倍不大于n的
1 10
；
• （2）x的 1 与y的和是非负数.
3
错解:（1）2m

1 10
n
；（2）
1 3
x

y
0
•剖析：忽略“=”致错.“不大于”用不
等号表示为“≤”，“非负数”表示为
•“正≥解0”：. （1）2m
1n 10
例7.解关于x的不等式(a-1)x＞a-1.
• 正解：
• （1）当a＞1，即a-1 ＞0时，x ＞1 ； • （2）当a=1，即a-1=0时，不等式变为 • 0 ＞ 0，显然不成立，故不等式无解（即
空集）； • （3）当a＜1，即a-1 ＜0时，x ＜1.
档案8不能准确求解字母的取值范围
例8 关于x的不等式组
b. 定理2 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；还可以表示为：如果c＜b, 且b＜a, 那么c＜a. 定理 3 如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c. 推论如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d. 定理 4 如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc. 推论1 如果a＞b＞0，且c＞d＞0，那么ac＞bd. 推论2 如果a＞b＞0，那么＞（n，且＞1）. 定理5 如果a＞b＞0，那么＞（n，且＞1）.

不等式(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(解析版)

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性b ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．，b，，若a b>，则下列不等式成立的是（）易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．(2)当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅。