向量专题word版

向量加减专题训练
闫会林
学生在学习向量这一章节时，经常会遇到用已知向量表示某些相关向量的问题，对于这类问题，一度让学生们头疼，通过这次专题训练，让学生再也不害怕向量，彻底摆脱对向量的恐惧。

首先我们来复习一下，向量加减法基本涉及到的一些知识点：
1．向量加法的概念：已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，AB b =，则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b OA AB OB +=+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．
①规定：0a a +=，()()0a a a a +-=-+=，即0AB BA +=；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量。

如图所示： a
b
a b +
特别的，已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做求和的多边形法则。

、 11223341n n n A A A A A A A A A A -=++++（注意首尾相连）
注意：当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有：
1122334110n n n n A A A A A A A A A A A A -=+++++=
2．向量加法的运算律：交换律：a b b a +=+；结合律：()()
a b c a b c ++=++． 3．向量减法的有关概念:若b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
4．向量减法的作图方法:在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-，即a b -表示从向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量．向量减法必须共起点。

如图：
a b
b a - 5．向量共线定理：一般地，对于两个向量a （0a ≠），b ，如果有一个实数λ，使得(0)b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量，反之，如果b 与a （0a ≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．
6．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a
=1λ1e +2λ2e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
7.坐标平面内的三点A 、B 、C 共线的充要条件是存在三个均不为零的实数l m n 、、，使
0lOA mOB nOC ++=，且0l m n ++=。

例题讲解：
例题1,.已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：2EF AB DC =+。

证明：如图所示，在四边形CDEF 中，0EF FC CD DE +++=，所以EF FC CD DE CF DC ED =---=++。

在四边形ABFE 中，0EF FB BA AE +++=，所以，EF BF AB EA =++。

所以EF EF CF DC ED BF AB EA +=+++++
()()()CF BF ED EA AB DC =+++++
因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以0ED EA += ，0CF BF +=。

所以2EF AB DC =+。

本题考查向量的加法运算，主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识点。

练习：1，如图: 已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点。

求证：()
12EF AB DC =+
2，如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、 AB 的中点，已知AB a =，
B
AD b =，试用a 、b 分别表示DC ，BC ，MN 。

的中点，∴ 12AE AD =。

∵ F 是BC 的中点
∴1()2
AF AB AC =+ 又∵AC AD DC =+
∴1()2
AF AB AD DC =
++ 11()22
AB DC AD =++。

∴111()222
EF AF AE AB DC AD AD =-=++- 1()2
AB DC =+ 2，1DC=2a ，12
BC b a =-，14MN a b =- 例题2，如图，在OAB 中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交与点M ，OA a = ，OB b =，试以 {}
,a b 为基底表示OM 。

解析：设OM=m (,)
a n
b m n R +∈A
则AM OM OA =-(1)m a nb =-+
AD OD OA =-12
b a =- ,,A M D 三点共线
111
2
m n -∴=-即21(1)m n += 而CM OM OC =-1()4
m a nb =-+ 14
CB OB OC a b =-=-+ M B C 、、三点共线1414
m n -∴=-即41(2)m n += 由（1）（2）联立方程组得173
7m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴1377OM a b =+ 注：此题用的方法，正是共线定理。

找出所求向量与基底的系数关系。

此题找共线方法不唯一，学生可自己尝试。

练习3：已知P 是ABC 内一点，且3450AP BP CP ++=，延长AP 交BC 于点D ，若AB a =，AC b =用a ，b 表示向量AP 、AD 。

答案：
15312
AP a b =+ 4599
AD a b =+ 例题三. 在三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC +等于（ ）
A ．49-
B ．43-
C ．43
D ．49
解析：由2PB PC PM +=得22(180)PA PM PA PM COS =-22(1)33=
-49=-，所以答案为B 。

注：此题跟数量积公式有关，需想到，直接求乘积不得时，考虑将向量通过加减运算，转化为可求积的向量，再求解，
练习：1 设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A ．0PA P
B += B ．0PA P
C += C ．0PC PB +=
D ．0PA PB PC ++= 答案 B
2 已知P 、A 、B 、C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=，那么一定有（ ）
A ．2P
B CP = B ．2CP PB =
C ．2AP PB =
D ．2PB AP =
答案D
3 如图，在三角形ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD =
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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A
B D C。