国家教师资格考试高中数学学科知识与教学能力

1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点 .
例4
讨论函数
f
(
x
)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
sec4 t
3a sin t
近似公式
由以上分析我们可知，当|△x |很小时，△y≈dy，
即
y f (x0 )x
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
令 x0 x x x x x0
得 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 当x0 0时 f (x) f (0) f (0)x
例14 求 3 1.02的近似值
解 3 1.02＝3 1＋0.02 1 1 0.02 1.0067 3
例15 求 ln1.01的近似值 解 ln1.01 ln(1 0.01) 0.01
例16 求3 8.02的近似值 解 3 8.02 3 81.0025 2 3 1.0025 2 3 1+0.0025 2 (1 0.0025) 2.00167 3
国家教师资格考试 数学学科知识与教学能力
温州大学 黄友初
大纲要求
• 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与 中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连 续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等 内容及概率与数理统计的基础知识。
( 0 )
解
取对数得
1
(cot x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
,
11
1 lim ln(cot x)
x0 ln x
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x
1,
x0 cos x sin x
x 原式 e1.
导数与微分
复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求 导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的 极（最）值、凹凸性、曲率
方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,
以分出无穷小,然后再求极限.
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim
n
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点 . 这种情况称为无穷间 断点.
o
x
1
例8 求 lim x1x .
( 1 )
x1
1
解
原式
1 ln
lim e1 x
x
ln x lim
e x11 x
lim x
e x11
e1.
x1
1
例9 求 lim (cot x)ln x . x0
n lim n2 1 n
1 1,
1 1 n2
由准则1得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例3 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
解：令 F (x) f (x) x(x 1) f (x) 显然F(x)满足
罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点 使得 F( ) 0 f ( ) ( 1) f ( ) 0
f ( ) ( 1) f ( ) f ( ) ( 1) f ( ) 0 2 f ( ) ( 1) f ( ) 0 2 f ( ) ( 1) f ( ) 0
f
(
x)
1,
x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点 .
例6
讨论函数
f (x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
• 初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学 课程中与中学数学密切相关的内容。
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
kx) nx
f
(x0 )
k n
f (x0 )
lim y lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
分段函数的导数大多需要用定义来求。
例10 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
xn是有界的 ;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
lim sin x 1 x0 x
lim(1 1 ) x e
x
x
x3
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
sin x lim
x0 x
1 cos x
lim x0
x2
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
例6
1
lim
x
3x 9x
1 x
lim x
9x
1 x
1 3x
1 x
1
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F( x)
在 闭 区 间[a, b]上 连 续 , 在 开 区 间(a, b) 内 可 导, 且
F ' ( x)在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b)内
至少有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点 x0为函数 f ( x)的可去间断点 .
例5 讨论函数
2 x, 0 x 1,
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
例7 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
2
3
y
1 2
1 x2 12x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
Fra Baidu biblioteky x sin x .
ln(1 x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
例18：设f（x）在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明
存在 (0,1) 使得 2 f ( ) ( 1) f ( ) 0.
即 f '() 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
lim(1 a )bxc eab
x
x
lim(1
b c
ax) x
eab
x0
例4
lim
x
x x
1 1
x
解
lim
x
x x
1 1
x
lim
1
1 x
x
x 1
1 x
e1
e
1 e2
例5 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
tan x sin x
lim x0
dt
例13
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
x 3) x 3)
lim
7x
lim
1
x7 (x2 49)(2 x 3) x7 (x 7)(2 x 3)
1 56
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x x
m1 n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
例12 已知函数 y xx , 求y.
解 等式两边取对数得
ln y x ln x
两边求导得
1 y ln x x 1 ln x 1
y
x
y y(ln x 1) xx (ln x 1)
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
dy dy dt dx dx
f (a) F (a)
f '( ) 成立. F '( )
例17 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x 在(a, b) 内时, f ( x)可以表示为( x x0 ) 的一个
n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
数学分析
函数与极限
求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价 替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有 理化； 判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。
例1
求
lim
x7
2
x2
x3 49
.
解
lim
x7
2 x2
x3 49
lim
x7
(2 (x2
x 3)(2 49)(2
2
2
解 y ( x a 2 x 2 ) (a 2 arcsin x )
a (a 0)
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11
求函数
y
ln
3
x2 1 (x
x2
2) 的导数.
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),