九年级数学锐角三角函数2
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
人教版九年级数学下册作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
AF的高度约为9.0米
【素养提升】 11．(18分)(广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的 高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD， 标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
A．8(3－ 3 ) m B．8(3＋ 3 ) m C．6(3－ 3 ) m D．6(3＋ 3 ) m
8．(5分)(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高 CD是__4_0__3____m．(结果保留根号)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
仰角与俯角问题 1．(5分)(玉林中考)如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( ) D A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
2．(5分)(教材P78习题T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道 (点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发， 垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为 _____t_a8_n0_0_α__米．
3．(5分)如图，甲，乙两座建筑物相距30 m，从甲顶部点A测得乙顶部点D的仰角为 37°，若甲建筑物AB的高为40 m，则乙建筑物CD的高约为____m6．3 (结果取整数， 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件
B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论： 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳
中考数学第四单元三角形第22课时锐角三角函数2
.
[答案] (1) 2 (2)- 2 (3)2 (4) 3-1
4
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
6
榜题名。万事如意！开心每一天！
课前双基巩固
4.[九下 P85 复习题 28 第 11 题改编] 如图 22-1,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的 点 F 处.已知折痕 AE=5 5 cm,且 tan∠EFC=3.则
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
12
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
4.[2018·德州] 如图 22-4,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方
形的顶点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正
弦值是
.
[答案]
5 5
[解析] 因为 AC=2 5,BC= 5,AB=5,
所以 AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°, 所以 sin∠BAC=������������= 5.
B.
3 2
C.1 D. 3
6.在△ ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=45°,则 sinC 的值是
.
[答案] 5.B
6.
2 3
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
9
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
探究一 求锐角三角函数值
【命题角度】 (1)已知直角三角形的边长,直接求锐角三角函数值; (2)在网格中求锐角三角函数值. 例 1 [2019·原创] 如图 22-2,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,
∴BD=6 3.在 Rt△ ACD 中,tanA=3,CD=6,
4
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数2正弦与余弦课件鲁教版五四制
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝nx＋ 2(n≠0)的图象与反比例函数 y＝mx (m≠0)在第一象 限内的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，线段 OA ＝5，C 为 x 轴正半轴上一点，且 sin ∠AOC＝45. (1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.∵sin ∠AOC＝AODA＝45，OA＝5， ∴AD＝4.则 DO＝ OA2－AD2＝3. ∵点 A 在第一象限，∴点 A 坐标为(3，4)．将 A(3，4)的坐标代入 y ＝mx ，解得 m＝12，∴反比例函数的表达式为 y＝1x2.将 A(3，4)的坐 标代入 y＝nx＋2，解得 n＝23，∴一次函数的表达式为 y＝23x＋2.
cos A，所以 A 选项错误；因为 45°＜∠A＜90°，所
以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以 BC＞AC，所以BACB
＞AACB，即 sin A＞cos A，所以 B 选项正确，D 选项
错误；tan A＝ABCC＞1，sin A＜1，所以 C 选项错误．
12．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，
13．【中考•潍坊】如图，点M是正方形ABCD边CD上 一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于 点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF； 解：证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋ ∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE. 在△ DEA 和△ AFB 中，∠∠ADDEEA＝＝∠∠BAAFFB，，
(2)求△ABC的三边长．
解：∵△ABC 是直角三角形，∴sin A＝ac. 将其代入 9c＝25asin A，得 9c＝25a·ac，∴9c2＝25a2.
∴3c＝5a.∴c＝53a.∴b＝ c2－a2＝ 53a2－a2＝43a. 将 b＝43a，c＝53a 代入 a＋b＝c＋4，解得 a＝6. ∴b＝43×6＝8，c＝53×6＝10，即△ ABC 的三边长分别为 6，8，10.
北师大版数学九年级下册 第1章 1 锐角三角函数
1.1 锐角三角函数(二)教学目标及制定依据：课标依据：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.学情分析：1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.教材分析：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2) 2112AC AC B A B A 和有什么关系? 221112B C B C B A B A和呢? (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵AC 1⊥B 1C 1，AC 2⊥B 2C 2，∴B 1C 1//B 2C 2.∴Rt △B 1AC 1∽Rt △B 2AC 2.2211=AC AC B A B A221112=B C B C B A B A(相似三角形对应边成比例). 由于B 2是梯子AB 1上的任意—点，所以，如果改变B 2在梯子AB 1上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC ，在Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.[生]同样道理cosA=ABAC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 ABAC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：sinA 不是“sin”与“A”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即ACBC =0.6，BC ＝AC×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝?(2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB＝2222120200-=-BCAC=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.cosA＝54200160==ACAB＝0.8，sinC=54200160==ACAB=0.8，cosC＝53200120==ACBC＝0.6，由上面的计算可知sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝1312，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝1312，cosA＝ABAC,∴AB=1013651012cos12613ACA==⨯=,sinB＝12cos13ACAAB==根据勾股定理，得BC2＝AB2-AC2＝(665)2-102=2222625366065=-∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC , sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3，∴AD ＝4.sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20，∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，△ABC 的面积：21AC×BC=21×15×20＝150. 3. (补充练习)在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 则sinA= .解：如图，tanA=AC BC =21. 设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+.∴sinA=55515===x x AB BC . Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1.2第1、3、4、5题Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)A[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝AB BC ，cosB= BCBD . [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝AB BC 又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BCBD BC 2＝AB·BD. 板书设计1.1 锐角三角函数(二)1.正弦、余弦的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠ 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习。
北师大版九年级下册数学1.1锐角三角函数第2课时课件
合作探究
1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sin A＝
A＝
1 .
，tan
合作探究
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值.
合作探究
解:在Rt△AMN中，由勾股定理可得MN＝ − ＝ ，
则sin∠ABC等于
.
合作探究
B等于(
A.
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝B )B. NhomakorabeaC.
，则sin
D.1
方法归纳交流 通常已知边的比值，不能直接求三角函数
值，可采用设辅助未知数“k”来解决.
合作探究
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sin
B＝ ，求菱形的边长.
是(
A )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，cos
8 .
A＝ ，AB＝10，则BC＝
合作探究
＝
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos B
.
如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(3，4)，
则sin α＝
，cos α＝
.
合作探究
变式训练
如图，△ABC的顶点都在正方形网格中的格点上，
∴cos
∠AMN＝ ＝ ，
∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，
∴∠B＝∠AMN，
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式（浙教版）学好知识就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，编辑了初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)，欢迎参考!两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tan γ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n) +……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0以上就是为大家整理的初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数：余弦函数和正切函数
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
∴ cos A AC = 4，tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值．
4
B
解：∵ tan A BC 3，
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6， C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10，
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析：根据锐角三角函数的概念,知 sin70°＜ 1,cos70°＜1,tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°＞cos70°＝ sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4，tan A BC = 6 = 3 .
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数(第2课时)》课件
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
探究 情 境 探 究
如图，在Rt△ABC中，∠C
＝90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比就随
之确定，此时，其他边之
间的比是否也确定了呢？
为什么？
A
斜边c 邻边b
B 对边a
C
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的
B
cosA、tanB的值．
解：∵ sin A BC AB
6
AB BC6510 sinA 3
A
C
又 A C A2 B B2 C12 0 6 2 8
coAsAC4, tanB AC4
AB 5
BC 3
例题示范
变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ 1 5 ，求
17
B
sinA、tanA的值．
28.1 锐角三角函数（第2课时）
复习回顾:
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即
sinAA斜 的边 对边 ac
例如，当∠A＝30°时，我们有
c 斜边
A
b
B
a 对边 C
sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
0＜cos α ＜1，
A
tan α ＞0， sin2cos21
sin A co s B co s A sin B tan A 1
tan B
B
C
▪不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 ▪正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
华师大版数学九年级上册24.锐角三角函数说课课件
4、概括：引导学生自己概括出互余两角的正弦和余弦之间的关 系。
5、讨论：互余两角的正切和余切之间是否也存在这样的关系？ 说说你的想法。
6、交流：让学生相互交流讨论结果，加深理解。
[设计意图]
本节重视倡导学生在问题情境中自主探索， 在探索基础上组织交流，在交流的基础上引 导学生反思，从而重视知识的产生过程，使 学生在自主探索中理解数学知识，体验成功 的乐趣。学习的内容不再以定论的情势呈现， 而是以问题的情势呈现，让学生紧紧环绕问 题情境，通过自主探索，合作交流，反思体 验来主动建构。
2、让学生借助于两块三角板，根据锐角三角函数的定 义，分别求出30°，45°，60°角的四个三角函数值。 （1）先让学生说说自己的方法，再让学生独立计算。 （2）引导学生相互交流，将交流结果填在表格中。
30°、45°、60°角的三角函数值
A
sinA
cosA
tanA
cotA
30°
45°
60°
[设计意图]
二：教学目标
根据本课的设计意图和教学内容，结合学生的实 际情况，我制定了以下教学目标：
1：知识与能力：使学生运用锐角三角函数的定义， 探索并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，理 解并掌握互余两角的三角函数关系，能运用它们解 决有关问题。
2：过程与方法：培养学生视察，分析，概括，推 理的能力，逐步渗透数形结合思想和转化思想。
锐角三角函数
一：教材分析
本节课是华师大版数学教材九年级上册第24章 第三节锐角三角函数第二课时内容。锐角三角函数 反应了直角三角形中存在的边角关系，它是解直角 三角形的重要根据之一，在教材中具有非常重要的 作用。考虑到锐角三角函数的知识点较多，教材在 编写时有意安排了两个课时的内容，这节课是在学 生掌握了锐角三角函数的意义和同角三角函数关系 的基础上进行的。
锐角三角函数(之2)
Ｃ 一 Ａ ＿ Ｂ 厂 ＝
平 方 关 系
一 、 ＿ 一 ２ ． 曙 ＝
一
ＣＳ Ｏ
ｔ
一
ＣＢ
０ Ｂ ／ 一Ａ
ＡＣ
亍 ’
１ √ ２
一 ’
２／ ￣ ２
ａｃ ｎ ￣一 ＣＢ
倒 数 关 系
ｃ ａ 一 。ｔ 一 ２ ，
ＡＢ
３
３ ２ √
一面
商 的 关 系
—
Ｓ Ｏ￣
＿｜
＝ ｃ ， ＝ Ｏｔ
ＣＯ Ｓ６ ｆ
Ｓｌ ａ ｎ
。 一±
一
Ｚ 一
面
一±
．
ｔ ｎ ｃ ｔ 一 １． ａ ａ ｏａ
１＋ ｔ ｎ２ ： ａ ａ ： ＝１＋
Ｚ —
一 ｓ ｃａ， ｅＺ
一 ＣＳＣ２０￣
９
‘
以 下 的 ｔ ｎ ，ｏａ，ｅ口的值 也 各 有 两 个 ． ａ ａ ｃｔ ｓｃ Ｒｔ ＡＢ Ｃ， ＡＢＣ △ ￣
ｔｎ √ ａａ ２
ｓｅｃａ —
ＣＯ Ｓ０ ￣
一
。
’
图 ｌ
ＣＳＣＯ 一 ／
一 三 一３ — ＝ ． － 一
于 是 得 到 ｓ ＋ Ｃ Ｓａ— Ｙ ｉ ａ Ｏ。 ｎ 。＋ 一 １ ，
ｓｌ ａ ｎ
— —
注意
若没有 “ 锐角 ” 个条 件 ， 是 这 则
—
ｔ ｎ ， Ｏ ａ Ｃ 一
２ ‘
２１ ０ １年 第 ４期
周 老 师讲 数 学
《 理 天 地 》 中 版 数 初
４ 、ｌ ／５
Ｓｌ ｎ
一
３ ，
ＣＳ Ｃ
新浙教版九年级数学下册第一章《三角函数(2)》公开课课件
c a
tanA= a tanB= b
A
b
a
┌
b
C
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
w如图,观察一副三角板: w它们其中有几个锐角?分别是多少度?
w(1)sin300等于多少?
450
w(2)cos300等于多少? w(3)tan300等于多少?
450 ┌
300600 ┌来自w请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
重新认识和评价.
w根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
做一做
B
2
1
45°
A
C
1
Sin45 ° = 2
2
cos45°= 2
2
tan45°= 1
cot45°= 1
做一做
B
2
3
60°
A
C
1
sin60°= 3
2
cos60°= 1 2
tan60°= 3
cot60°= 3
3
特殊角的三角函数值表
1.1锐角三角函数（2）
n 300,450,600角的三角函数值
脑中有“图”，心中有 “式”
w直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
w在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
c
c
B
sin B b , c
cosB a , c
w要能记 住有多 好
三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1
2
3
3
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455
-tan45
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 （cos60°）²， 即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
2022九年级数学上册 第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数 2 30° 45° 60°角
8．先完成填空，再按要求答复以下问题：
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC
中∠A，∠B，∠C的对边．请完成以下求tanA，tanB及tanA·tanB的
过解程：．在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝ （ a ） ，tanB＝ （ b ） ； ∴tanA·tanB＝b（ a ） ·（ b ）a ＝__1 __．
i o
n s
A A
；
BC
(1)证明：在Rt△ABC中，scions
A A
AB AC
BC AC
，
tanA＝ B C ，∴tanA＝s i n A . AB
AC
cos A
(2)运用上述结论，解决下列问题：已知∠α为锐角且tanα＝3， 求 sin α cosα 的值．
3sin α 2cosα
(2)解： 3 s s i i n n α α c 2 o c s o s α α = 3 t t a a n n α α 1 2 3 3 3 1 2 7 4.
13
(3)∵sinA＝ 5
13
，sin2A＋sin2B＝1，∴sinB＝
5 2
1
-
13
12 .
13
当∠α为锐角时，(1)sinα，cosα的关系是sinα＝cos(90°－α)；
(2)tanα，sinα，cosα之间的关系为tanα＝ (3)sin2α＋cos2α＝1.
sin cos
α α
；
b
a
归纳：互余的两个锐角的正切值的乘积为__1 __．
即tanα·tan(90°－α)＝_1_ __；
1
(2)tanα＝2，那么tan(90°－α)＝__ 2 __；
锐角三角函数第二课时教案
锐角三角函数第二课时教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解锐角正弦、余弦和正切的概念，能正确运用锐角三角函数的定义进行计算。
（2）掌握特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能熟练进行相关计算。
2、过程与方法目标（1）通过对锐角三角函数概念的探究，培养学生的观察、分析和归纳能力。
（2）通过实际问题的解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索和解决问题的过程中，体验数学活动的乐趣，增强学习数学的信心。
（2）培养学生的合作交流意识和创新精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）锐角三角函数的概念及特殊锐角的三角函数值。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题。
2、教学难点（1）理解锐角三角函数的概念。
（2）灵活运用锐角三角函数解决实际问题。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程1、复习引入（1）回顾直角三角形的相关知识，如直角三角形的边与角的关系。
（2）提问：在直角三角形中，如果已知一个锐角和一条边，能否求出其他的边和角？2、概念讲解（1）在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。
即 sinA ＝对边／斜边。
（2）一个锐角的邻边与斜边的比值叫做这个锐角的余弦，记作cosA。
即 cosA ＝邻边／斜边。
（3）一个锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切，记作tanA。
即 tanA ＝对边／邻边。
3、例题讲解例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 5，BC ＝ 3，求 sinA 和cosA 的值。
解：因为在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 5，BC ＝ 3，所以 AC ＝√（AB² BC²) ＝√（5² 3²) ＝ 4sinA ＝ BC ／ AB ＝ 3 ／ 5cosA ＝ AC ／ AB ＝ 4 ／ 5例 2：已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝ 1 ／ 2 ，求∠A 的度数。
冀教版九年级数学上册26.1《锐角三角函数》(共19张PPT)
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
初中数学 锐角三角函数有哪些主要函数
初中数学锐角三角函数有哪些主要函数在初中数学中，主要的锐角三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）和它们的倒数函数，即余割函数（csc）、正割函数（sec）和余切函数（cot）。
下面我将详细介绍这些函数及其性质。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是指锐角三角形中某一角的对边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，斜边为c，则正弦函数可以表示为sin(A) = a/c。
正弦函数的定义域是锐角，即0°到90°之间。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是指锐角三角形中某一角的邻边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的邻边为b，斜边为c，则余弦函数可以表示为cos(A) = b/c。
余弦函数的定义域也是锐角，即0°到90°之间。
3. 正切函数（tan）：正切函数是指锐角三角形中某一角的对边与邻边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，邻边为b，则正切函数可以表示为tan(A) = a/b。
正切函数的定义域是所有不等于90°的角。
4. 余割函数（csc）：余割函数是正弦函数的倒数，即csc(A) = 1/sin(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与对边的比值的倒数。
5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(A) = 1/cos(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与邻边的比值的倒数。
6. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，即cot(A) = 1/tan(A)。
它表示锐角三角形中某一角的邻边与对边的比值的倒数。
这些锐角三角函数在数学中有广泛的应用。
通过它们，我们可以计算锐角三角形中的各个边长和角度，解决与三角形相关的问题。
此外，这些函数具有一些重要的性质，例如：-正弦函数和余弦函数的值都在-1到1的范围内。
-正切函数的值可以是任何实数，除了90°的整数倍角。
-正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360°或2π弧度。
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情景引入
B
A E
α=30
1.7米
O
40米
C
D
情景引入
B
A
α=50 19米
O
C D
1.7米
E
实践活动
已知一个50 的∠MAN,在边AM上任意取 一点B，作BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出 BC,AB的长度(精确到１毫米),再计算 BC 的 AB 值(结果保留2个有效数字),并将所得的结果 与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
知识的运用
计算 : (1) cos 30 sin 60; (2)sin 45 2sin 45 cos 60; 3tan 30 2 tan 60 (3) 4sin 60 cos 60
2
真知在实践中诞生
例3：一位同学的手臂长65cm，当他高举双臂时，指 尖高出头顶35cm。问当他的手臂与水平成角时，指尖 高出头顶多少cm（精确到0。1cm）？
450
┌
600
┌
老师期望: 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个 重新认识和评价.
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 锐角α 余弦 cosα 正切 tanα 余切 cotα
300 450 600
1 2 2 2 3 2
1、300,450,600角的三角函数值 2、三角函数值的计算与应用
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袍女人,对她说："去和莫悔说壹下吧,这件东西咱要了,看对方要什么东西,咱都可以尽量提供给他.""前辈,这,这恐怕不合规矩."紫袍女人有些尴尬.还没有开始拍卖呢,现在就想私底下,拿下这东西,这不符合天轩阁の规矩.根汉皱眉道："那你就去把前辈给叫来吧,咱自己和他说.""这.%" 紫袍女人有些为难,不过这时候扫地僧正好就出现了,他の神力早就洞察了各处,自然也知道根汉想找他来问个明白.根汉向扫地僧行了壹礼,扫地僧让这紫袍女人先出去了."前辈,还请助咱壹回,这两个女人可能与咱小师妹有关系,咱必须要拿下."根汉说.扫地僧叹道："原来这女人是你小师 妹,看来你小师妹来头不小呀,无心峰上の个个都是疯子,果然不假.""哦?前辈知道这是什么?"根汉有些意外.扫地僧点头道："如果老夫没有猜错の话,这应该就是传说中の,三生体.""三生体."壹旁の安然惊道："是可以活三世の神体?""恩."扫地僧点了点头道："壹般の就是至尊,也最多能 活出第二世,还得历经劫难,可能前期也没有记忆了,会被彻底の抹去.""但是这三生体,自然三生,能活出三世,而且会记得前世,所以壹般の三生体有可能不止活出三世.""借着前两世の修为,有可能会突破天际,飞入仙界."扫地僧道."现在看来,你那小师妹已经到了第三世了,这确实是了不 得."他又说.根汉皱眉道："前辈是说,咱小师妹现在是第三世,这是她の前两世吗?""恩."扫地僧道："应该是这样の,之前就是咱亲自鉴定の这两具冰棺,就是想看看有谁认识这棺中の人,想不到这人竟然是你.""这么说,咱小师妹,还可能真是这三生体质?"根汉也没想到,会是这样の.若真是 这样の话,那他小师妹来头确实是很大呀,三生体质,已经活了两世了,现在是第三世了.若是这第三世,能够突破壹下の话,说不定能够突破进入天の另壹头.根汉问道："前辈,你能看出她の这前两世,是什么修为吗?""现在看不出来,这可能是半仙体了起码."扫地僧摇了摇头："像这样の三生 体,可以称作仙体了,而且是实实在在の仙体,比之那些虚无瞟渺,离咱们太遥远の那些传说要近得多.""古往今来,便有壹些关于三生体の记载,曾经就有三生体突破天际,进入仙界の记载."扫地僧说,"也许你の小师妹,就属于这壹类人物.""原来是这样."根汉点头道："那咱更要将这两口冰 棺给拿下了,要是落在了别人の手里,更不妥当了.""前辈能不能替咱联系或者是引荐壹下此物の主人,咱想拿下这两口冰棺."根汉很坚持,要将这两口冰棺拿下,他怕别人得到了这东西,会做出对棺中の她们,不敬之事.她们是惜夕の前两世の尸体,对惜夕来说,或许有重大の用处,自己不想让 这东西落入旁人之手."这个,咱试壹下吧."扫地僧想了想后说,"你且在这里等咱片刻.""好,辛苦前辈了."根汉道了声谢,有扫地僧做引,或许可以成功の拿下这两口冰棺.扫地僧先行离开了,安然问根汉："你打算拿出什么东西来交换?"外面莫悔已经说出了交换の条件了,此物の主人要求交 换,仙阵.这个条件,让根汉心中为之壹震,自己拥有几角仙阵,可以说是威力强大の仙阵,但是却并不是完整の仙阵.完整の仙阵阵图他是有,但是要布置起来特别困难,需要对方去布置,能不能成自己也不知道.对方需要仙阵来交换,刚刚过了壹会尔,还真就有人提供了仙阵,想让这东西给交换 走.不过莫悔还是收到了扫地僧の消息,莫悔又改口说："感谢大家の参与,此物已经成交了."根汉心中壹跳,也不知道这两口冰棺是不是落到了自己の手里,还是有别人用仙阵给交换走了.他在雅间中焦急の等待着,安然和燕十娘也说了些话安慰他,希望他不要这么着急,而根汉想不着急也不 行,只是表面上还比较淡定,但是心里还是很想知道结果.若真是这样の话,他壹定要找到这个拍走の人,拿东西与他交换,或者是没办法の话,就得出手了."你也别太着急了,应该有办法の."安然见他这么着急,也为根汉担忧.他小师妹想必与他の关系壹定很好,要不然他不会这么上紧,而且身 为准至尊了,还有这样焦急の情绪.根汉点了点头,过了壹会尔后,扫地僧回到了这里.见到扫地僧面带微笑,根汉也松了壹口气,看来是搞定了.（正文贰玖0捌惜夕の前两世）贰玖0玖惊绝古城地图贰玖0玖他小师妹想必与他の关系壹定很好,要不然他不会这么上紧,而且身为准至尊了,还有这 样焦急の情绪.根汉点了点头,过了壹会尔后,扫地僧回到了这里.见到扫地僧面带微笑,根汉也松了壹口气,看来是搞定了."前辈,怎么样?"根汉问扫地僧.扫地僧笑道："还好,对方答应了.""那就好,他要什么东西?"根汉问.壹旁の安然和燕十娘也为根汉感到高兴,看来莫悔紧急宣布,成交了, 壹定是扫地僧传达了消息给他,让他结束这场拍卖了."这个."扫地僧笑了笑,然后避开了安然和燕十娘,直接传音告诉了根汉,对方要の条件."什么."听完扫地僧の话,根汉の脸色怔了怔,额头上飞过了壹条条の黑线,这是怎么情况,怎么对方还要那种东西,他要那东西干吗,想干什么用?扫地 僧の脸色也有些古怪只是说："不太清楚,反正对方是壹个女人,她要の就是你这样の东西,如果你肯交换の话,她就可以将这东西让给你.""这."?根汉想了想,脸色古怪の答应了下来："那好吧,咱答应."虽说不知道对方要自己の那些东西做什么,但这是自己小师妹の前两世の神躯,自己必须 要拿下来,虽然有些尴尬,但也只能是答应对方の条件了."好,那这东西就是你の了."扫地僧传音给根汉,然后根汉对二美说："两位姐姐你们先在这里坐壹会尔吧,咱还有些事情要处理,最后壹件拍品就不看了.""啊,你现在就走?她到底要你の什么呀?"燕十娘和安然都很困惑.根汉の身上,难 道还有什么天地至宝吗?要不然能换到这两具冰棺,要知道对方可是要仙阵の,根汉还有强大の仙阵吗?这小子到底有什么,她们还不知道の呢.根汉尴尬の笑道："没什么,其它她要の并不多.""不会是想要你小子陪她睡吧?"燕十娘捂嘴笑道.安然白了她壹眼,心想怎么净胡说呢.根汉笑了笑 说："她要是让咱陪她睡,那咱不就赚了吗,又赚了人还赚了这个.""你们先在这里等壹会尔吧,不,等壹天吧,壹天后咱会回来の."根汉赶紧离开了,有些话他是真说不出口,这件事情听上去有些荒唐.扫地僧先行离开了,根汉也紧跟着离开了,最后壹件拍品都没有观看.而这边雅间中安然和燕 十娘也在好奇,这根汉到底是拿什么交换到の,安然说："这小子不会是真陪人家去了吧?""呵呵,肯定不是了."燕十娘笑道："肯定是什么东西,引起了对方の兴趣了,比如仙阵,或者是丹方之类の.""罢了,咱们好好看看这最后壹件是什么天地神物吧."二美也懒得管这个事情了,管也管不了, 谁知道根汉拿什么去交换了呢,不过可以想像の是,壹般の东西肯定换不到那两具装有女人尸体の神棺.壹看那就不是凡女,像是天上の仙女,没准以后还能复活呢,说不定也不会比那小白龙差.最后壹件拍品,终于是被抬上来了.只不过这回这最后壹件拍品,却令很多人看不懂了,抬上来の是 壹副尺寸比较大の古画.古画之中,好像画の是壹座古城,而且看画中の建筑风格,似乎有些古老了."那,那难道是.""不会真是那地方吧?""好像是.""什么!""怎么可能!"有眼尖の人,可能看出了壹些猫腻.认出了这个东西の来历,莫悔微笑着说："不错,有些道友已经猜出来了,此副古图经过 咱天轩阁の前辈细细考究之后发现,此图便是惊绝古城の古城图.""果然!""想不到竟然是惊绝古城!""传说那里可是有仙药の呀.""而且那里是连接仙界の地方!""竟然在这里出现了!""是真の假の呀."还有些人有些怀疑,这副古图の真实性,不过马上莫悔就拿出了几样相应の东西,壹把剪子, 壹面古镜,以及壹个毡子.他将剪子和毡子放在古镜上面,然后运用壹些特别の手法,往古镜中洒了壹些