《你能证明它们吗》第一课时参考课件2

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C′
回顾与思考 B
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性质公理: 性质公理: 全等三角形的对应边、 全等三角形的对应边、对 A 应角相等. 应角相等. ∵ △ABC≌△A′B′C′ ABC≌△ ∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′ 全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应边相等）; 全等三角形的对应角相等） （全等三角形的对应角相等）.
轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一 BD=CD,可得三线合一的 轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的 三种不同形式的运用. 三种不同形式的运用.
D
C
推论: 推论: 等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的 底边上的中线、 高线互相重合(三线合一). 高线互相重合(三线合一).
C F B E A D
议一议P 议一议 2 A
你还记得我们探索过的等腰三角形 的性质吗? 的性质吗? 定理: 定理: B1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A 推论: 推论: 等腰三角形顶角的平分线, 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一). 底边上的高互相重合(三线合一). 你能利用已有的公理和定理证明这 些结论吗? 些结论吗?
应用 1.证明:等边三角形的三个角都相等, 1.证明:等边三角形的三个角都相等,并 证明 且每个角都等于60 60° 且每个角都等于60°.
2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点, 2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点, 如图 ABD 上的一点 且AC垂直BD,AC=BC=CD. AC垂直BD,AC=BC=CD. 垂直 求证: ABD是等腰三角形 (1) 求证:△ABD是等腰三角形 (2)求 ABD的度数 (2)求∠ABD的度数
B D
2
C
C
定理: 定理: 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 已知:如图, 已知:如图,在△ABC中, AB=AC. ABC中 求证: 求证: ∠B=∠C.
B
命题的证明
A
证明: 证明: 过点A AD⊥BC,交BC于点 于点D. 过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
A
1 2
B
∵AB=AC, ∠1=∠2 ∴BD=CD,AD⊥BC. (已知 已知). ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（ ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） AD⊥BC(已知 已知). ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
′
推论: 推论:两角及其一角的对边对应相等的 两个三角形全等（AAS） 两个三角形全等（AAS）. B
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命题的证明
证明: 证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知） ∠ ∠ ∠ （已知） ∴∠B=∠ （三角形内角和定理） ∴∠ ∠B′（三角形内角和定理） A′ ABC与 在△ABC与△A′B′C′中 BC中 已知） ∵ ∠A=∠A′ （已知）, ∠ AB=A′B′（已知）, （已知） 已证） ∠B=∠B′ （已证）, ∠ ABC≌△ B C （ ∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）. ）
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C
B′
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C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。 性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
A
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B
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C
B′
′
●
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C′
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议
1.如图 已知在△ABC和△DEF 中 如图:已知在 ABC和 如图 已知在△ AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则 ∠C=∠F=100° ∠C=∠F=100 会全等吗?若能请证明 △ABC和△DEF会全等吗 若能请证明 和 会全等吗 若能请证明; 若不能请说明理由. 若不能请说明理由 其它条件不变若∠B=∠E=70° 其它条件不变若∠B=∠E= °
B C D A
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 将下面证明中每一步的理由写在括号内 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C. 求证:∠A=∠C. 证明:连接BD, 证明:连接BD, BAD和 DCB中 在△BAD和△DCB中, ∵ AB=CD( ) A AD=CB( ) BD=DB( ) ∴ △BAD≌ △DCB( ) B ∴ :∠A=∠C ( )
在Rt△ABD与Rt△ACD中 Rt△ABD与Rt△ACD中 已知） ∵ AB=AC （已知）, AD=AD（公共边） AD=AD（公共边）, ABD≌△ACD（HL） ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
D
C
此时AD还是 此时 还是 什么线? 什么线
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）. ∠ （全等三角形的对应角相等）
定理: 定理: 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角). (等边对等角). 如图, 如图,在△ABC中, ABC中 ∵AB=AC(已知 已知), ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角 等边对等角). ∴∠B=∠C(等边对等角).
ABC源自证明后的结论,以后可以直接运用. 证明后的结论,以后可以直接运用.
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C′
回顾与思考 B
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判断公理: 判断公理: 两角及其夹边对应相等的 两个三角形全等（ASA） 两个三角形全等（ASA）.
′
A
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C B′
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ABC与 在△ABC与△A′B′C′中 BC中 A′ ∵ ∠A=∠A′ ∠ AB=A′B′ ABC≌△ B C （ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（ ∠ ASA）. ）
A
D B C
等腰三角形△ 等腰三角形△ABC,AB=AC, DE⊥AC, ⊥ DF⊥AB, CH⊥AB ⊥ ⊥ 探索DE、 、 的关系? 探索 、DF、 CH的关系 的关系
A
DE+DF=CH
A
H E F
H F
D
E
D
B
C
B
C
等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高
DE+DF=CH 方法1： 上取一点G， 方法 ：在HC上取一点 ，使FD=HG 上取一点
你能用上面的公理证明下面的推论吗？ 你能用上面的公理证明下面的推论吗？ 推论：两角及其中一角的对应边相等的两 推论： 个三角形全等(AAS) 个三角形全等
已知:如图, ABC和 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, BC中 ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′. ∠ ∠ 求证: ABC≌△ B C . 求证:△ABC≌△A′B′C′.
C′
回顾与思考 B
判断公理: 判断公理: 两边及其夹角对应相等的 两个三角形全等（SAS） 两个三角形全等（SAS）.
′
A
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C B′
在△ABC与△A′B′C′中 ABC与 BC中 ∵ AB=A′B′ A′ ∠A=∠A′ ∠ BC=B′C′ ABC≌△ B C （ ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. ）
开拓思维
D
C
2.已知 如图 点B,E,C,F在同一条直线 已知:如图 已知 如图,点 在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求证:∠A=∠D 求证 ∠A=∠D
A D
B E
C
F
等腰三角形△ 等腰三角形△ABC,AB=AC,BD⊥AC ⊥ 探索∠DBC与∠A之间关系 探索∠ 与 之间关系? 之间关系
A
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C
B′
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C′
回顾与思考
推论: 推论: 两角及其一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS） 等的两个三角形全等（AAS）. ABC与 在△ABC与△A′B′C′中 BC中 ∵∠A=∠ ∵∠ ∠A′ ∠C=∠C′ ∠ A′ AB=A′B′ ABC≌△ B C （ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）. ）
你能证明它们吗（ 1.1 你能证明它们吗（一）
回顾与思考 B
判断公理: 判断公理: 三边对应相等的两个三 角形全等（SSS） 角形全等（SSS）.
A B′
C
ABC与 在△ABC与△A′B′C′中 BC中 ∵ AB=A′B′ A′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）. ABC≌△ B C （ ）
A
H F
G
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E
B
D
C
DE+DF=CH 方法2： 点作DG∥ 方法 ：过D点作 ∥HF 点作
A
方法3： 点作DG⊥ 方法 ：过D点作 ⊥HF 点作
还有好方法吗？ 还有好方法吗？
G
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H F
E
B
D
C