背包公钥密码系统

MH背包公钥算法是由超递增序列进行变换 背包公钥算法是由超递增序列进行变换 得到得： 得到得：
（1）设序列b1 ,b2 ,...,bn是超递增序列： bi > ∑ b j (i = 2,3,..., n)
i− i−1 j =1
（2）选取m > 2bn作为模数
（3）ω和m互素，满足ωω＝1(mod m) ω
Merkle－Hellman背包公钥算法 － 背包公钥算法
(5)假设已知： a1 m1 + a 2 m 2 + a3 m 3 + ... + a n m n = c c为m = m1m2 ...mn的密文，其中m1 , m2 ,..., mn是 n位0， 1符号串，则：
ωc = ωa1m1 + ωa 2 m 2 + ωa3 m 3 + ... + ωa n m n
≡ b1m1 + b2 m 2 + b3 m 3 + ... + bn m n
这是超递增序列的背包问题。
Merkle－Hellman背包公钥算法 － 背包公钥算法
例如： 1，3，7，13，26，65，119，267 是超递增序列 取：m=523, ω =467, ω = 28
ωω = 13076 = 1mod 523
明文： m1＝10110110，m 2＝11001001
分别加密得到密文： c1＝28+11+8+51+43＝141 c2＝28+32+71+47=198
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问题： 问题：
如何解密？ 如何解密？
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接收方： 得到密文732后，乘以ω＝28 mod 523得： cω＝732 × 28＝20496＝99 mod 523 解超递增序列背包问题：
m1 + 3m2 + 7 m3 + 13m4 + 26m5 + 65m6 +119m7 + 267 m8 = cω＝99 ∴ m1 = m3 = m5 = m6 = 1 m2 = m4 = m6 = m7 = 0 即得明文： 10101100
信息安全基础理论体系
Introduction of Information Security Fundamental Theory Architecture
电子科技大学计算机科学与工程学院 School of Computer Science And Technology, UESTC 2010
背包公钥密码系统
(4)做变换（Merkle − Hellman变化）： ak = ωbk (mod m), k = 1, 2,..., n
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MH背包公钥算法的公钥和私钥 背包公钥算法的公钥和私钥
（1）得到的新序列{ai } 作为公钥
（2）满足ωω＝1(mod m)的ω作为私钥
j =1 i −1
背包问题有多项式解法
超递增序列背包问题求解方法
例: 已知序列a1 ,a 2 ,...,a n是超递增序列：1,2,4,8,...,2n 求 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 + 16 x5 + 32 x6 = 43 背包问题的解
思路： 取值只可能为0或者 或者1；如果为0， 思路：xi取值只可能为 或者 ；如果为 ，表示不 能装入对应的物体，否则可以装入。 能装入对应的物体，否则可以装入。
超递增序列背包问题求解方法
(1)对于体积为32的物体，因为43<32，所以x6 =（可以选） 1
（2）带入x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 + 16 x5 + 32 x6 = 43： x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 + 16 x5 = 11
（3）因为11 < 16, 所以有x5 = （不能选） 0
背包问题数学描述
求x i＝0或1，i = 1, 2,..., n, 使其满足：
n
∑a x
i =1
i i
= b,
其中a1 , a2 ,..., an和b都是整数
背包问题求解
背包问题属于NP完备类（NP问题中难度最大的一类） 对这一问题没有有效算法
但是，如果序列a1 ,a 2 ,...,a n是超递增序列： ai > ∑ a j (i = 2,3,..., n)
背包问题
背包问题： 背包问题：
已知一长度为B的背包，及长度分别为 已知一长度为 的背包，及长度分别为a1,a2,...,an 的背包 个物品。 的n个物品。假定这些物品的半径和背包相同，若 个物品 假定这些物品的半径和背包相同， 从这n个物品中选出若干个正好装满这个背包 个物品中选出若干个正好装满这个背包。 从这 个物品中选出若干个正好装满这个背包。现 在反过来问：究竟是哪些物品？ 在反过来问：究竟是哪些物品？
（2）利用公钥加密如下： c＝a1m1Байду номын сангаас+ a2 m2 + ... + an mn
（3）从密文c求明文m1m2 ...mn等价于背包问题
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例如： 已知: a1＝28，a2＝32，a3＝11，a4＝08 a5＝71，a6＝51，a7＝43，a8＝67
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a1 = 467 ×1 = 467 mod 523 a2 = 467 × 3 = 355 mod 523 a3 = 467 × 7 = 131mod 523 a4 = 437 ×13 = 318 mod 523 a5 = 467 × 26 = 113mod 523 a6 = 467 × 65 = 21mod 523 a7 = 467 ×119 = 135 mod 523 a8 = 467 × 267 = 215 mod 523
（4）带入x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 + 16 x5 = 11： x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 = 11
（5）继续上述过程，可得： x1＝x2＝x4＝x6＝1 x1＝x2＝0
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（1）选取一组正整数a1 , a2 ,..., an , 作为公钥予以公布 m = m1m2 ...mn是n位0，1明文符号串。
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变换后得到的序列 (467,355,131,318,113, 21,135, 215) 作为公钥予以公布
ω＝28作为私钥保密
Merkle－Hellman背包公钥算法 － 背包公钥算法
发送方： 对于明文m=10101100 加密得到密文： c＝a1 + a3 + a5 + a6 = 732