八年级数学一次函数与二元一次方程
1一次函数与二元一次方程PPT课件(沪科版)
如图，两条直线平行，所 以方程组无解
8
7
6
5
3x+2y = -2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 o
-1
-2
-3
-4
-5
123 4 x
6x+4y = 4
思考：
• 以上几个方程组可以写成如下标准情势，
你能说出在什么情况下，方程有唯一的解，
在什么情况下方程有无数个解，在什么情
况下，方程无解吗？
ax by c ①
1、若方程组mx
ny
中两个二元一次方程的
p②
图像如图所示，则此方程组的解是？
答：此方程组的解是
x 2
y
1
2 -1
2、用图像法解下列二元一次方程组：
解：
x x
y y
5 1
画出x+y=5的图像
画出x-y=1的图像
如图两直线的交 点坐标是（3，2）
所以此方程组
的解是：xy
函数y=
-
3 2
x+3的图象。它
是一条直线
3x+2y=6
8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o
-1 -2 -3 -4 -5
123 4 x
二元一次方程kx-y+b=0的解与一次函数y=kx+b图
象上的点有什么关系？ 你认为应如何表述?
一般地，一次函数y=kx＋b的图象上
任意一点的坐标都是二元一次方程kxy+b=0 的一个解;
2
那么,其它各组的两条直线的位置关系是 相.交
移项 2x-y-3=0
八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》教案、教学设计
3.学生的逻辑思维能力逐渐增强，但部分学生的运算能力和建模能力仍有待提高。
4.学生在学习过程中，对合作交流、讨论分享的学习方式较为感兴趣，有利于培养他们的团队意识和沟通能力。
5.部分学生对数学学习仍存在恐惧心理，需要教师关注个体差异，给予鼓励和指导，提高他们的自信心。
3.教师针对学生的困惑进行解答，强调重点知识，总结解题方法。
4.教师布置课后作业，要求学生复习本节课的知识，并预习下一节课的内容。
五、作业布置
为了巩固学生对二元一次方程与一次函数的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第chapter页的习题，包括以下题型：
a.选择题：旨在检验学生对二元一次方程和一次函数基础知识的掌握；
（3）单元测试：在单元结束后，进行测试，全面评估学生的学习效果。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，关注学生个体差异，提高学生的自信心；
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力；
（3）关注学生的情感需求，营造轻松、和谐的学习氛围，降低学生的学习压力。
5.教学拓展：
（1）引入实际案例，让学生了解二元一次方程和一次函数在实际生活中的应用；
c.应用题：已知某商品的价格为x元，购买数量为y个，总共花费为20元。请列出相应的二元一次方程并求解。
2.教师对学生的练习情况进行检查，及时解答学生的疑问。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课的主要内容，包括二元一次方程的定义、解法以及与一次函数的关系。
2.学生分享他们在学习过程中的收获和困惑。
（二）过程与方法
人教版八年级下册数学教案9.2.3一次函数与二元一次方程(组)
关于实践活动，我认为让学生动手操作一次函数图象与二元一次方程的实验很有帮助，他们通过实际操作对知识有了更深的理解。不过，我也注意到有些学生在操作过程中对图象的解读不够准确，可能需要在操作前给出更详细的指导。
还有一个值得注意的地方是，在总结回顾环节，有些学生对一次函数与二元一次方程在实际生活中的应用还不够自信。我觉得在今后的教学中，应该多设计一些与实际相结合的练习题，让学生有更多机会将所学知识应用于解决实际问题。
-难点二：从图象中识别二元一次方程组的解。学生可能不熟悉如何从两条直线的交点中找到方程组的解。
举例：指导学生观察两条直线图象的交点，并通过实际操作，如使用直尺和量角器，来精确找出交点的坐标。
-难点三：在实际问题中建立一次函数模型。学生可能不知道如何将现实生活中的问题转化为数学模型。
举例：提供多个实际问题，如成本与销售量关系，让学生练习如何提取关键信息，建立一次函数模型，并通过图象分析解决问题。
2.二元一次方程组的图象表示方法；
3.通过一次函数图象求解二元一次方程（组）；
4.实际问题中一次函数与二元一次方程（组）的应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，特别是在解决实际问题时，能够将问题抽象为一次函数与二元一次方程（组）模型；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与二元一次方程的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，它描述了两个变量之间的线性关系。而二元一次方程则是包含两个未知数的方程，如kx-y+b=0。它们在解决实际问题中起着重要作用。
北师大版八年级上册数学第23讲《二元一次方程(组)与一次函数》知识点梳理
⎩ ⎨ 北师大版八年级上册数学第 23 讲《二元一次方程（组）与一次函数》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程与一次函数的关系；2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3. 能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1. 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程 ax + by = c (a 、b ≠ 0, c 为常数) 都 可 以 变 形 为y = - a x + c b b(a 、b ≠ 0, c 为常数) 即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. ⎧x = 0,2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程 x + y = 5 我们列举出它的几组整数解有⎨ y = 5; ⎧x = 5, ⎨ y = ⎧x = 2, ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数 y ＝ - x + 5 ⎩ 0; ⎩ y = 3的图像上，反过来，在一次函数 y = 5 - x 的图像上任取一点，它的坐标也适合方程 x + y = 5 . 要点诠释：1. 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2. 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3. 以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1. 两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定y = 5 -x y = 2x -1 ⎧x = 2⎨y = 3是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则⎩⎧x +y = 5⎨2x -y = 1就是二元一次方程组⎩ 的解.2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数y = 3x - 5 与y = 3x +1 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2.图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A x﹣3y=3B ．．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为 1 得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知x = 3 ，y =-2 和x = 0 ，y = 1是二元一次方程ax +by + 3 = 0 的两个解，则一次函数y =ax +b 的解析式为（）A.、y =-2x - 3B、y =x C.、y =-x + 3D、y =-3x - 3【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y 的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1 同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015 春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6 过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y 的方程组的解是．【答案与解析】解：∵x=﹣4 时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y= x 上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1 和y=﹣2x+1 的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2 倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b 求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0（1）请确定y 与x 的函数关系式？（2）现有一把高39cm 的椅子和一张高为78.2 的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39 时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。
一次函数与二元一次方程
一次函数与二元一次方程
一次函数是指形如y = ax + b 的函数，其中a 和b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
这种函数的特点是图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
在坐标系中，一次函数的图像可以用一条直线来表示。
二元一次方程是指形如ax + by = c 的方程，其中a、b 和c 是已知常数，x 和y 是未知数。
这种方程的特点是其中包含两个未知数，并且未知数的次数均为1。
在坐标系中，二元一次方程的图像可以用一条直线来表示。
一次函数和二元一次方程之间存在着密切的联系。
二元一次方程的通解形式为y = mx + n，其中m 和n 都可以表示为a、b、c 和x、y 的线性组合。
因此，二元一次方程的解也可以表示为一次函数的形式。
反之，一次函数也可以表示为二元一次方程的形式，即y - ax = b，其中a 和b 是常数，x 和y 是未知数。
总之，一次函数和二元一次方程都是数学中非常基础的概念，二者之间存在着密切的联系。
了解它们的定义和特点，对于学习更高级的数学概念非常重要。
八年级数学上册《一次函数与二元一次方程组的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的图像特点及其性质。
2.学会运用一次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.掌握二元一次方程组的解法，理解一次函数与二元一次方程组之间的关系。
4.能够运用一次函数与二元一次方程组的知识，解决一些简单的实际问题。
2.对于习题，要求同学们独立思考，尽量不依赖他人；
3.对于拓展题，同学们可以查阅资料、讨论交流，提高自己的解题能力；
4.提交作业时，请附上解题思路和心得体会，以便教师了解同学们的学习情况。
4.关注学生的情感态度，激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神，从而提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一次函数与二元一次方程组的关系，以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解一次函数图像与二元一次方程组解的对应关系；
（2）灵活运用一次函数与二元一次方程组解决实际问题。
3.强调本章节的重点和难点，提醒学生课后加强巩固。
4.激发学生学习兴趣，鼓励学生在日常生活中发现数学、运用数学。
5.布置课后作业，让学生在课后继续巩固所学知识，提高解题能力。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，培养学生的数学应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第chapter页的习题，包括以下题目：
-第1题：根据给定的二元一次方程组，绘制相应的一次函数图像，并分析其解；
-第2题：已知一次函数的图像，求解对应的二元一次方程组；
-第3题：运用一次函数与二元一次方程组解决实际问题，并总结解题步骤。
北师版八年级上册数学第5章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
第五章二元一次方程组
5.3二元一次方程与 一次函数
学习目标
1 课时讲解 二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程组与一次函数的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
x+y=5这是什么？ 二元一次方
程
一次函数
这是怎么回 事？
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二元一次方程与一次函数的关系
两条直线有交点(相交)
无交点(平行)
合)
方程组只有一个解；两条直线 方程组无解；两条直线是同一直线(重 方程组有无数个解．
感悟新知
知2－练
例用3图象法解方程组
x y 2,
导引：先把两个方程化成一次2x函数y 的1形. 式，再在同一直
角坐标系中画出它们的图象，两个图象交点的坐
标就是方程组的解．
而
x 2, 就是方程组 x y 5, 的解.
y3
2x y 1
感悟新知
1．二元一次方程组与一次函数的对应关系： (1)一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，知2－讲
相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次
方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
(2)二元一次方程组与一次函数的对应关系：
总结
知2－讲
本题运用图象法可以直观地获得问题的结果， 但常常不是很准确，因此，画图时坐标轴上的单 位长度要一致．
感悟新知
如图，观察图象，确定方
例4
程组的解． x y 1,
导引：两个方程x 变y形即2 可得到两个一次
函数，根据两直线的位置关系，
知2－练
即可得到方程组的解．
八年级下册数学-一次函数与二元一次方程组、不等式
第17讲 一次函数与二元一次方程组、不等式知识导航二元一次方程组的解实质是求组成方程组的两个方程的公共解，也可以看作是求两条直线的交点坐标. 1.一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，因而也对应两条直线；从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.2.二元一次方程组的解法有代入法，加减消元法和图象法，图象法只是直观地反映了二元一次方程组的解在相应的一次函数图象上的点的坐标之间的关系.3.解一元一次不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0（a ≠0），相当于是某个一次函数y ＝ax ＋b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围.【板块一】一次函数与一元一次方程方法技巧由于任何一元一次方程都可转化为kx ＋b ＝0（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值；从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx ＋b 确定它与x 轴交点的横坐标的值.题型一 直线与坐标轴的交点【例1】(1)直线y ＝kx ＋b 过点A （0,－3）和点B （2，0），则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是（ ) A .x ＝2 B .x ＝－2 C .x ＝3 D .x ＝－3 (2)直线y ＝k 1x ＋1和直线y ＝k 2x －3的交点在x 轴上，则12k k ＝（ ） A . 13 B .－3 C .13D .3【例2】(1)关于x 的方程x ＋b ＝－2的解为x ＝1，则函数y ＝x ＋b ＋2与x 轴交点坐标为______________； (2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A （2，1），则直线y ＝kx ＋b －1与x 轴交点B 的坐标是______________.针对练习11.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是_____________，关于x 的方程kxx2.不论m为何值，直线y=（m－1）x＋m一定经过一个定点，则这个定点的坐标为______________.3.如图，在口ABCD中，点A（-1，0），B（3，0），D（0，3），AC，BD交于点'O.(1)求点'O的坐标；(2)若直线y＝kx－1，将口ABCD的面积分成两等份，求k的值.x板块二一次函数与二元一次方程组题型二求两条直线的交点【例1】用作图象的方法解方程组27 38 x yx y【例2】已知函数y＝1(1)1(10)1(00)1(1)x xx xx xx x的图象为“W”型，直线y＝kx－k＋1与函数y的图象有三个公共点，则k的值是（）A.1或12B.0或12C.12D.12或－12题型三直线与直线的交点坐标位置与字母的取值范围【例3】已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b（k≠0）交于点M，且直线l2与x轴的交点为A（－2，0）．（1）如图，若点M在第一象限，求k的取值范围；（2）若点M在第二象限，直接写出k的取值范围．针对练习21．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b），不解关于x，y的方程组1,, y xy mx n=+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解．2．无论m为何实数，直线y＝x＋2m与直线y＝－x＋4的交点一定不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若直线y＝kx＋3经过直线y＝4－3x与y＝2x－1的交点，求k的值．4．在夹击直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m＋1，m－1）．（1）试判断点P是否在一次函数y＝x－2的图象上，并说明理由；（2）如图，一次函数y＝132x-+的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，若点P在△AOB的内部，求m的取值范围．【板块三】一次函数与一元一次不等式（组）方法技巧 一元一次不等式求解：从数的角度看，求ax ＋b ＞0（a ≠0）的解即求x 为何值时，y ＝ax ＋b 的值大于0；从形的角度看，求ax ＋b ＞0（a ≠0）的解即确定直线y ＝ax ＋b 在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围，数形结合是解一次不等式（组）的重要方法． 题型四 观察图象求不等式的解．【例1】如图，函数y 1＝1x -和，y 2＝12x ＋1的图象相交于（0，1），（4，3）两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围＿＿＿＿＿＿．题型五 利用图象求不等式组的解【例2】（1）如图1，直线y ＝kx ＋b 经过点A （－1，3），与x 轴交于点B0），则关于x 的不等式组0≤kx ＋b ＜－3x 的解集为＿＿＿＿＿＿＿．图1 图2 图3 图4（2）如图2，直线y ＝kx ＋b 经过点A （－1，0）和B （3，－1）两点，则不等式组x －4＜kx ＋b ≤0的解集为＿＿＿＿＿．（3）如图3，直线y ＝kx ＋b 交x 轴于（－3，0），且过P （2，－3），则不等式组kx ＋b ≤－1，5x ＜0的解集为＿＿＿＿＿．（4）如图4，直线y ＝kx ＋b 经过A （2，0）和P （3，1）两点，则关于x 的不等式组1,3,x b kx kx b ⎧-≤⎪⎨⎪>-⎩ 的解集为＿＿＿＿． 【例3】如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A （0，2），且与直线y 2＝mx 交于点P （1，m ），求不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集．题型六隐藏的交点的运用【例4】（1）如图1，直线y＝kx＋b过A（2，1），B，0），则不等式组0≤kx＋b＜12x的解集为＿＿＿＿＿．（2）如图2，直线y＝kx＋b经过A（2，1），B（－1，－2）两点，求不等式组12x＞kx＋b＞－2的解集．图1 图2 题型七由不等的解集求交点坐标【例5】不等式kx＋b＞2x＋3的解集为x＞1，则方程组,23y kx by x=+⎧⎨=+⎩的解为＿＿＿．针对练习31．在平面直角坐标系中，直线y＝kx向下平移6个单位后刚好过点（－2，0），求不等式kx－6＞3x的解集．2．在平面直角坐标系中，将直线y＝kx＋2沿y轴翻折后刚好经过点（2，1），求不等式kx＋2＞x＋1的解集．3．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，m），（3，m＋2），直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿（用含m的式子表示）．4．如图，已知直线y＝kx＋b过（－2，3）和（－1，0），则x＋5＞kx＋b≥0的解集为＿＿＿＿＿．5．如图，A（2，1）为直线y＝kx＋b上一点，则不等式kx＋b＞x－1＞0的解集为＿＿＿＿．6．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与函数24,(3),2,(33),28,(3)x xy xx x+<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩的图象恰好有三个不同的交点，则k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．7．已知关于x的不等式kx＋b＞0的解集为x＞1，下列关于直线y＝kx＋b与x轴交点坐标与k的符号正确的是（）A．（1，0），k＞0 B．（1，0），k＜0 C．（－1，0），k＞0 D．（－1，0），k＜0 8．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4（n≠0）的交点的横坐标为－2，求关于x的不等式组－x＋m＞nx＋4n＞0的整数解集．。
冀教版八年级下册数学第21章 一次函数 一次函数与二元一次方程的关系
感悟新知
[例中1考·呼和浩特]如图所示的四条直线，其中直线上每 个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是
() C
知1－讲
感悟新知
知1－讲
导引：对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时， y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与 两坐标轴的交点坐标是(0，－1)，(2，0)．对 照四个选项中的直线，可知选C.
(2)求a，b的值.
y+x=b
解：(1) x=1，
(2)将y代=入2. 可得 所以a＝x－=13，，b＝3. ax y= 5，
y=2.
y+x=b
a 2= 5， 2+1=b
感悟新知
知2－练
2. 解方程组并由2x此指y=出2，在同一直角坐标系内，一次函 y+2x=6，
数y=2x-2与y=-2x+6图像交点的坐标.
b 1，
b 1. 1
2
感悟新知
归纳
知2－讲
“交点”是解决问题的关键，从“形”的角度讲， 它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值 也相等的点；从“数”的角度讲，它是两个函数表达 式的公共解，即二元一次方程组的解．
感悟新知
1. 已知关于x，y的方程组的x解+为y=1，
x= 1， 知2－练
(1)写出一次函数y=-x+1和的a图x+像3y交=8点P的坐标y.=2.
感悟新知
解：因为方程组的y解＝为ax＋2， 所以交点A的坐y＝标k为x＋(2b，，1)，
x=2， y=1.
知2－讲
所以2a＋2＝1，解得a＝－.
又因为函数y＝kx＋b的图像1过交点A(2，1)和点B
(0，－1)，所以解得
北师版八年级数学 5.6 二元一次方程与一次函数(学习、上课课件)
确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程
组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的.
感悟新知
知2－练
例2 [中考·济宁] [母题教材P124习题T3]数形结合是解决数 学问题常用的思想方法. 如图5-6-1，直线y＝x＋5和直 线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程组
ቊyy＝＝axx＋＋5b， 的解中x的值是(
第五章 二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
学习目标
1 课时讲解 二元一次方程与一次函数
二元一次方程组与一次函数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二元一次方程与一次函数
知1－讲
1. 二元一次方程与一次函数的联系 一般地，以二元一次方程 kx－y+b=0 的解为坐标的
图象 ( 即直线 ) 上有无 数个点
联系
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的 点组成的图象与相应的一次函数的图象相同， 是一条直线
感悟新知
知1－讲
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
例1 下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都 是二元一次方程x－2y＝2 的解的是( )
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据两点确定一条直线，对于方程x－ 2y＝2 ，令x=0，求出 y 的值，再令 y=0，求出 x 的值，即可得出与之相对 应的一次函数图象与坐标轴的交点， 即可得出图象 .
ቊxy＝＝12，，点B为直线y＝kx＋b与y轴的 交点，点B的坐标为(0，－1)，请你 确定这两个一次函数的表达式.
感悟新知
知2－练
解题秘方：把点 A 的坐标代入 y=ax+2，把 点 A， B 的坐标代 入 y=kx+b，运 用待定系数 法即可求出两个一次函数的表达式 .
沪科版数学八年级上册12.3《一次函数与二元一次方程》教学设计1
沪科版数学八年级上册12.3《一次函数与二元一次方程》教学设计1一. 教材分析《一次函数与二元一次方程》是沪科版数学八年级上册第12.3节的内容。
本节内容主要介绍了二元一次方程的定义、性质以及解法，并通过一次函数与二元一次方程之间的关系，让学生理解并掌握二元一次方程的解法。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初一、初二的相关知识，包括一元一次方程、一次函数等。
但部分学生对这些知识的掌握程度不一，因此教师在教学过程中要注意因材施教，既要照顾到基础差的学生，也要激发基础好的学生的学习兴趣。
此外，学生对于实际问题与数学知识的结合还有一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的解法，能够运用一次函数与二元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：二元一次方程的定义、性质和解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元一次方程，并运用一次函数与二元一次方程解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元一次方程，让学生感受到数学与生活的联系。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.引导发现法：教师引导学生发现二元一次方程的解法，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元一次方程的定义、性质和解法。
2.练习题：准备一些有关二元一次方程的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二元一次方程，激发学生的学习兴趣。
人教版数学八年级下册第十九章一次函数与二元一次方程课件
拔25 m的高度.
我们也可以用一次函数的图 象解释上述问题 的解答.如图,在 同一直角坐标系中，画出一次函 数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象. 这两条直线的交点坐标为(20, 25)， 这也说明当上升20 min时，两个 气球都位于海拔25 m的高度.
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程， 都可以改写为y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的形式，所以每 个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
人教版数学八年级下册
二元一次方程组有无数个解⇔一次函数的图象重合
1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度
队友所跑的路程s(米)和所用时间t(秒)的函数图象．
函数，于是也对应两条直线.
方程组成的每个二元一 次方程组，都对应两个一次
(2)方程组
的解．
(2)根据图象可知方程组
第十九章
一次函数与二元一次方程（组） 志这次二队个一解(性(一(((由【时次A如22122．)))))不也方元友这个这质次图中，方图方 方 求 在 在分立 说 程 一 所 样 人 类 求 函 象 考 解 程 所程程方同某类，明y次跑的如题出数知·法y示2组程一时黔＝＝讨x如当方的方果，A与：如，组直刻－南kk论′，xx无上程路程胸常二两下是的角两2州＋＋与＝B舵升与程都无运元条：某解坐个】bb′转的x这一对大用一直先次2s中中看标气＋王(0化坐米舟次应志数次线是1，，两系球3杰m0思标)的，函一，形方交建当当0和直中能i同n想米分解无数个既结程点立时yx所线画否学＝＝训别；衔的一使合的平(，用的出位在组00练为的之联次再思坐面两时时时交两于解)的赛解马系函有想标直个xy间点函同决的的关中．，数壮．为角t，数一问(值值系飞秒漂，丽坐(的高x题1；．人＝)，荡于的标的图度“博横1奔是举系函象？已)尔坐，逸也动(数；如知如特标，对也图果A图与终应称，象能)，亦一不B．，两何条上这点所直是的底线伟坐乎人. 标。。为A(3，－2)，B(6，－5)，求直线AB关于x轴的对称直线A′B′的解析式”
一次函数与二元一次方程组公开课课件
详细描述
二元一次方程组通常由两个一次方程组成，每个方程都包含 两个未知数，并且最高次项为一次。例如，方程组 `{2x + 3y = 7, x - y = 1}` 就是一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解法
总结词
解二元一次方程组的方法主要有消元法和代入法两种。
详细描述
消元法是通过加减消元或代入消元的方式，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。代入法则是通过将一 个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后将其代入另一个方程来求解。
一次函数的图像
总结词
一次函数的图像是一条直线，其形状由斜率k决定。
详细描述
当k>0时，图像为上坡，即y随x的增大而增大；当k<0时，图像为下坡，即y随x 的增大而减小。b决定了图像在y轴上的截距，当b>0时，图像与y轴交于正半轴 ；当b<0时，图像与y轴交于负半轴。
一次函数的性质
总结词
一次函数具有一些基本的性质，如单调性、奇偶性等。
代入法
将一个变量用另一个变量表示，代入 方程中消元，转化为一次函数形式。
消元法
通过加减消元或代入消元，将二元一 次方程组转化为一个一元一次方程， 再求解。
一次函数与二元一次方程组在实际问题中的应用
物理问题
在物理中，速度、时间和距离的关系可以用一次函数表示，而力的合成与分解可以用二 元一次方程组表示。
经济问题
在经济学中，成本、收益和利润的关系可以用一次函数表示，而供需关系可以用二元一 次方程组表示。
04 习题与解答
习题
一次函数的性质和图像
01
画出给定一次函数的图像，并描述其性质 。
03
02
判断给定函数是否是一次函数，并说明理由 。
最新-八年级数学上册 一次函数与二元一次方程组 课件 人教新课标版 精品
感恩节到了，小明想给妈妈买件礼物，A、B两个商场为 了感恩顾客特推出了优惠活动， A商场所有货品按八折出售； B商场购买10元的优惠卡后，所有商品按七折出售； 小明如何选择商场购物更经济？
一次函数 与 二元一次方程组
作业
必做题：
1、课本129页第6题和第8题。
2、上海世博会以“城市，让生活更美好”为主题。为了 响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲 班每小时植树20棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原 因，甲班植完8棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵 树多？
即: 二元一次方程 (数)
对相应应的一次函数的图象一条直线
(形)
一元函数与二元一次方程组
探究学习 活动二:探究一次函数与二元一次方程组的关系 (1)在同一直角坐标系中画出方程 y+x=1对 应的直线
（2）自变量为何值时，这两个一次函数的值相等 ？ 函数值是什么？
（3）是否任意两个一次函数的交点坐标都 是它们所对应的二元一次方程组的解？
若按方式 2 则收 y2=0.05x+20 元。
在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像
y1=0.1x
y2=0.05x+20
y/元
当 x＞400 时,
y1 ＞ y2
40
30
当 x = 400 时,
20
y1 = y2
当 0≤x＜400 时,
o
200
400
x /分
y1 ＜ y2
一次函数 与 二元一次方程组
且交点坐标是 (6，2)。
八年级 数学
一元函数与二元一次方程组
活动三: 巩固练习
3、根据下列图象，你能说出它表示哪个方 程组的解？这个解是什么？
北师大版八年级数学上册 二元一次方程与一次函数 课件
6. 二元一次方程与一次函数
情境导入
x+y=5
用含x的代数式表示y
y=-x+5
x+y=5 y=-x+5
y
5
4
3
(2,3)
2
1
0 12345x
-1
-2
y x 5
探究活动一 ——知识生成
想一想： 1.方程x+y=5的解有多少个?写出其中几个.
x 2x 4x 1
y
3 y
理？出示句子：“看到了吧，孩子。好多事情并不像我们想象的那么糟。只要肯动脑筋，坏事往往能变成好事。”（板书：坏事 好事）如果要在这个箭头上写四个字，你会写哪四个
若两条直线平行，则二元一次方程组无解 字？（肯动脑筋）玲玲刚才动了脑筋吗？从哪看出来的？（想了想）除了玲玲动了脑筋，还有谁也动了脑筋？从哪看出来的？（爸爸，仔细地看了看，爸爸在看的过程中动了脑筋
-1
3.懂得生活中只要肯动脑筋，坏事也能变成好事的道理。
6、嗯，这是相同的地方。不同的地方呢?
-2
y x 5
3.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的 图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
二元一次方程与一次函数的图象关系：
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的 点组成的图象与相应的一次函数图象相同， 是一条直线。
把P（-1，2）代入y 3x b中得： 2 - 3（-1） b；解得b 5
=14（人）
25．解：（1）∠1＝180°﹣15°﹣25°＝140°
参考答案与试题解析
60000立方厘米＝60升
已知一次函数y=2x+m与y=-x+n的图象都过点A （-2,0）且与y轴分别交于B,C两点，求∆ABC 的面积。
二元一次方程和一次函数的区别
二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。
2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。
二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。
2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。
三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。
2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。
3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。
四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。
通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。
个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。
在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。
以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。
数学沪科版八年级(上册)12.3一次函数与二元一次方程(共25张PPT)
新知探究
直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当 y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一 次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合．
新知探究
1.方程
x
–
y
=
1
有一个解是
x
y
2 1
，则一次函数
y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 (2,1) .
2.一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为(3,2) ，
x 3,
则方程 2x – y = 4 必有一个解是____y__2__.
新知探究
1.解方程组
x y 5, 2x y 1.
解：利用消元法，解方程组得
x
2,
y
3.
2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程 的解有什么联系．
新知探究
解：
x
… 0 5…
y
y=-x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 … y=2x-1 … -1 0 …
y 2x 1
(2,3)
思考：方程组的解和这 两个函数图象的交点坐 标有什么关系？
0
1 2 3 4 5x
方程组
2xxyy5，1的解
x y
2， 3是
对应两直线的交点坐标(2,3).
y x 5
得l1，l2的交点为P（2，2）.
所以原方程组的解是 xy
2, 2.
1
-2 -1 0 1 2 3
x
-1
-2
新知探究
1 .若二元一次方程组
的解为
x
y
3 2
，则函
12.3 一次函数与二元一次方程 沪科版八年级数学上册
图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
感悟新知
知2－讲
3. 两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系
两条直线有交点(相交)֞方程组只有一组解；
两条直线无交点(平行)֞方程组无解；
两条直线是同一直线(重合)֞方程组有无数组解.
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知2－讲
感悟新知
－－＝，
(2)方程，直线 y＝3x－1 与 y＝2x 交点的坐标为
3x－y－1＝0，
(1，2)，则方程组
2x－y＝0，
y＝3x－1，
x＝1，
即
的解为
y＝2x
y＝2.
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知2－练
(3)不等式3x－1>2x的解集.
2-1. 在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线的方
法，画出一次函数y＝3x－1和y＝2x的图象，利用图象
求：
解：列表：
图象如图所示．
x
0
1
y＝3x－1
－1
2
y＝2x
0
2
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知2－练
(1)方程3x－1＝2x的解；
解：由图象可知，直线y＝3x－1与y＝2x交点的横坐标
为1，
则方程3x－1＝2x的解为x＝1.
即
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知1－讲
(1)二元一次方程
转化
一次函数
(2) 二元一次方程的解
上的点的坐标.
转化
转化
一条直线；
一次函数两变量的值
转化
直线
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知1－讲
2. 二元一次方程与一次函数的区别
(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
5.6 二元一次方程与一次函数 北师大版八年级数学上册课件
x+y=5这是什么？
二元一次方 程
一次函 数
这是怎么 回事？
(1)方程X+Y=5的解有 无数多个解 , (0,5) 、(5,0) 、
(1,4) …..
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函 数Y=5-X上吗?
(0,5) 、(5,0) 、(1,4) .都在函数y=5-x的图象上.
(3)在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点,它的坐标适合方程 X+Y=5吗? 在一次函数y=5-x的图象上任取一个点(0,5),它的坐标适合方 程x+y=5. (4)以方程X+Y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函 数Y=5-X的图象相同吗 ?
过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函数y=5-x的图象相同.
优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想.
不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用 代 数方法,进行细致计算.
从函数角度解释：
1、方程组
x y 3 x y -2
2、方程组
x y 2 3x 3y 6
3、方程组
x y 3 2x y 5
有 0 个解； 有 无数 个解； 有 一 个解；
两个一次函数 图的交点坐标
两个一次函数
(2)图象法解方程组的步骤： ①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解．
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点(2,3),
则方程组
x y 5 2x y 1
的解为
.
x 2y 2
x 2
2、若二元一次方程组 2x y 2 的解为y 2
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八年级数学一次函数与二元一次方程（组）的关系的练习题
一次函数与二元一次方程（组）的关系：
1、已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩
的解是________．
2、已知方程组y ax c
y kx b -=⎧⎨-=⎩
（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨
=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．
3、已知2
4
x y =⎧⎨=⎩是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是________．
4、一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论 ①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5、若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，
，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
6、已知：b 为整数值，当b=_____时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限.
7、把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解
B.有唯一解
C.有无数个解
D.以上都有可能
8、如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，则方程组kx b y
mx n y +=⎧⎨+=⎩
的解是________．
9、直线l 1:b x k y +=1与直线l 2:x k y 2=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则方程组
x
k y b
x k y 21{
=+=的解为________
1、一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，以二元一次方程
y b k 0kx =+≠（）
的解为坐标的点都在一次函数y b k 0kx =+≠（）的图像上。
2、一次函数y b k 0kx =+≠（）图像上每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（）。
10．已知直线y 1＝－x ＋１与y 2＝ax ＋b ，当x ＞－2时，y 1＞y 2，当
x ＜－2时，y 1＜y 2，则直线y 1＝－x ＋１与y 2＝ax ＋b 的交点坐标为______
11、一次函数y=4x-3与y= - 4x-3的图象的交点坐标是
12、函数3y ax =-的图象与4y bx =+的图象交于x 轴上一点，那么a ∶b 等于 。
13、若直线31y x =-与y x k =-的交点在第四象限，则k 的取值范围是___________ 14、已知直线y=-2x+1与y=kx 交于点（-2,a ）,则a= ,k=
15、如图 ，在同一平面直角坐标系中作出一次函数 1y 、2y 的图象 l 1、，l 2；设111b kx y +=，
222b kx y +=则两条直线的交点坐标为________，方程组2
211{
b x k y b x k y +=+=的解为________
16、如图 ，已知函数 y ＝ax ＋b 和 y ＝kx 的图象交于点 P ，则根据图象可得，
关于 x 、y 的二元一次方程组kx
y b ax y =+={的解是_______
17、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的 两个一次函数的图象l 1、，l 2； 如图 ，他解的这个方程组是( ）
18．已知二元一次方程 x ＋y ＝3 与 3x －y ＝5 有一组公共解1
2
{==y x ,
那么一次函数 y ＝3－x 与 y ＝3x －5 的图象的交点坐标为______。
19、已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．
20、、求直线y=2x+4和y=-3x+9与x 轴所围成的面积.
21、小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去，同时小明从 B 地出发以另一速度向A 地而行，如图 3，图中的线段 y1、y2分别表示小东、小明离 B 地的距离 y(千米)与所用时间 x(小时)的关系． (1)试用文字说明：交点 P 所表示的实际意义；
(2)试求出 A 、B 两地之间的距离
22．某单位准备和一个个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶 x 千米， 应付给个体车主的月费用是 y1元，应付给国有出租车公司的月费用是 y2元，y1、y2分别与 x 之间的函数关系图象(两条射线)如图 5，观察图象回答下列问题：
(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
23、如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．
写出点P 的坐标．
24、如图，直线L ：22
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一 点C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
l 1 l 2
x
y
D O
3
B C
A 32
-（4，0）。