第五章多自由度系统振动的近似解法

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多自由度系统振动

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义

多自由度系统的振动

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

《多自由度系统振动》课件

多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的特性，包括固有频率、模态振型等。
掌握多自由度系统振动的基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的分析方法，包括直接法、模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用，因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系统的刚度、阻尼和/或质量分布来减小系统的振动。被动控制技术不需要外部能源，而是利用自然现象或物理效应来减小系统的振动。

多自由度系统振动

系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如的同步运动。
也可能出现形如的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵求得相应的主振型。
根据逆矩阵定义：
两边左乘：
当时：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端.
当不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端。若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程非奇次方程组

多自由度系统近似计算方法

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。

本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式。

自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与个别人难以相处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不良。因此 ,常会影响情绪 ,如鲠在喉。
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任务一了解自己与人交往的现状

3. 与他人交往平淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任务一了解自己与人交往的现状
2
任务二调整不良交际心态
任务一了解自己与人交往的现状

任务提出 :了解自己与人交往的现状。
任务目标 :了解自己与人交往的现状 ,激发学习热情 ,明确努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉妒心理。部分大学生不能正确对待别人的长处和优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽刺、挖苦、打击、嘲笑等不当方式 ,给别人造成伤害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页

5多自由度系统振动解析

X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定对于非零列向量 φ ：令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统

多自由度体系自由振动讲解

代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12

K22 m2 2

K1n
K2n
0

Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )

FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记

1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时，完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重点：频率、振型难点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1

第五章-多自由度系统的振动

代入上式，代入上式，有：
0 M P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = 1 = M .......... .......... . M 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn M k nj 0
k11 = k1 + k 2
k12 = −k 2
k13 = 0
k 21 = − k 2
k 31 = 0
k 22 = k 2 + k 3 + k 5 + k 6
k 32 = −k 3
k 23 = −k 3
k 33 = k 3 + k 4
− k3 k3 &刚度矩阵：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
确定后，系统动力方程即可完全确定。当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。那么M、K 该如何确定？讨论刚度阵K 加速度为零。 && 假设外力是以准静态方式施加于系统，加速度为零。X 假设外力是以准静态方式施加于系统， KX = P (t ) 则：
振动理论与声学原理
——刚度矩阵和质量矩阵一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 M P (t) k11...k1 j ...k1n k1 j 1 P (t) k ...k ...k 0 k 2 = 21 2 j 2n 1 = 2 j P(t) = M ..................... M 0 n P (t) kn1...knj ...knn M knj 0

第五章(第3节)多自由度系统的振动讲解

0
0 m
x

y

3 i 1
ki
sincosi 2cosi i
sin i
sin
cos
2 i
i

x y

Qx Qy

5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定
理
1.固有振型的正交性——例题：正交性验证（例：5.3-1）
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cosi
sini cosi
sin 2 i

k
1 0
0 0

k

1
4 3
4
3 34
4

k

34 34
3 4 1 4

k
2 0
0 1
或
Cr u(r)T Mw
单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角
矩阵，即
1

Mr

uT Mu

I

1

(5.3-17)

1
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定理
2.模态矩阵
12
Kr

uT Ku

Λ

22

(5.3-18)
n2

●由于振型向量只表示系统作固有振动时各坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后，才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使 Mr和Kr具有确定的值。

第五章多自由自由度系统的数值解法

1 1 1 1 即： =
n1 11 22
nn
(8)
例：质量为 m1 ，长为的均质悬臂梁，其端部有集中质量 m ，试确定 n1 。假设梁的弯曲刚度为EI。 EI 1 解：对于端部带有质量m，而 m 略去梁本身质量的悬臂梁，其固频为： 2 3EI 11 3 m 均质悬臂梁的第一阶固频为：
1 9 1.00 设 V 1 1 进行迭代： V 2 G V 1 15 9 1.67 9 1.00 1
[M ]{u} [K ]{u}

2 n
将上式两端前乘柔度矩阵[D]得：
[D][M]{u}={u}
或写成： ([D][M]1
(1) (2)

2 n
[I]){u}={0}
以两个自由度系统为例来说明二个自由度系统，其特征值问题方程为：
d11 d12 m11 d 21 d 22 0
n 1 的求法四、
而 n1 j 的解不可能由 n n1求得。由(11)知，要求得 n 1 ，关键是求得 n1 j ( j 1.2n)
除{u}1 外振型矩阵[u]中的其它列向量仍是未知的。
为了得到n1 j (j=1,2,,n),利用特征向量的正交关系：
u M u M 1 T M u M u I
q1 n11 q2 0 q 0 3 n12 1 0 n3 0 1
1
0 0 0 q1 0 1 0 q 2 q 0 0 1 3
或{q} [n]1{q}
n11 [n]1 0 0
2 1 s 1
由方程(7)知：当S足够大时，级数(6)的第一项是决定性的，级数将收敛于 c1u1 ，即vs 和vs 1 都可认为是 u1 1 满足方程(2)。vs 和vs 1 相互成比例，比例常数为，由 1 u1 和1 此得：

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解；

多自由度系统振动

I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

05-第五章-多自由度系统振动的近似解法

1
X r1 l X r l
l 1,2,, n 向量中的任一元素
每次迭代后，将迭代向量归一化。即向量的最后一个元素为 1 。
迭代步骤：求一阶固有频率和一阶主振型
1、选取初始迭代向量{X}1，使其最后一个元素为 1 。
2、对{X}1作矩阵迭代， Y 1 AX 1 归一化：X 2
Y 1 Y 1 n
3、重复步骤2、，直到第 r 次迭代：Y r AX r 4、若收敛精度允许：X r1 X r
§5.4 矩阵迭代法（利用位移方程求解）
1、第一阶固有频率和主振型
A A F M K1M Ai ii
设：X 1 为初始迭代向量（各阶主振型的线性组合）
X 1 a11 a22 ann 第一次迭代：X 2 AX 1 即： X 2 AX 1 a111 a222 annn
1T M X 1 M p1 a1
a1
1 M p1
T 1
M
X
1
一次迭代后：取：X 2 AX 1 a111
A
1
M p1
1
T 1
M
X
1
X 2 b111 b222 bnnn 有误差，仍含有 1
同样由正交性得到：b1
1 M p1
T 1
迭代后取： X 3 AX 2 b111
M
X 2
EJ ml 3
邓克莱解精确解误差为 2.6%
第五章多自由度系统振动的近似解法
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§5.2 瑞利法（能量法）
设：主振动 x X sinnt 系统的动能：T 1 xT M x
2
Tm a x
1 2
n2X T
M
X
系统的势能：U 1 xT Kx

第五章多自由度系统振动的近似解法

第五章多自由度系统振动的近似解法
多自由度系统的固有振动分析归结为示解矩阵特征值的问题，当自由度数较大时，上一章介绍的对特征多项式求根的方法手算不再有实际意义。本章重点介绍：邓柯莱法迭代法
邓柯莱法——求基频
• 记n阶方阵A为系统的动力矩阵，它定义为 • A=FM=K-1M
•式:
Kφ = 1
λ
Mφ
邓柯莱法——求基频邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭Байду номын сангаас法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率

机械振动-第五章多自由度系统的振动

x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动完全类似的性质。

2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1

k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An

y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn

多自由度系统振动的研究

多自由度系统振动的研究涂前进( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011)指导教师：吴磊摘要：多自由度振动系统在工程技术领域有着广泛的应用，对其研究也日渐完善。

本文首先通过分析力学的方法建立多自由度振动系统动力学方程并介绍其解法，其次介绍了多自由度系统求解的几种近似方法(邓克利法和瑞利法)及其应用，最后介绍了利用Matlab程序求解多自由度振动系统的数值解的方法。

关键词：多自由度，振动，方程1引言人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。

人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯（Pythagoras）的工作，他通过实验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和张力的关系。

在我国，早在战国时期成书的《庄子》就已明确记载了共振现象。

现代物理科学的奠基人伽利略（Galileo Galilei）对振动问题进行了开创性的研究，他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。

胡可（R.Hooke）于1678年发表的弹性定律和牛顿（I.Newton）于1687年发表的运动定律分别为振动力学的发展奠定了物性和物理的基础。

欧拉（L.Euler）于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程。

1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动，从理论上解释了共振现象。

1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。

1762年拉格朗日（grange）建立了离散系统振动的一般理论。

在许多机械系统，根据其工作状况，简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求。

事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布参数系统）。

根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质量，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质量、弹簧和阻尼去形成一个离散的、有限多的集中参数系统，这样就得到一个简化的模型。