贵州专用2017秋九年级数学上册2.1第2课时一元二次方程的解及其估算课件
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秋九年级数学上册北师大版(贵州)教学课件：2.4 用因式分解求解一元二次方程(共19张PPT)
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 2.04 49
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 2:10:17 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
解： 10x-4.9x2=0.
49
x214090x5 40 9205 40 92，∴∵
a=4.9,b=-10,c=0. b2－4ac
x
50
2
49
54092
，
x 50 50， 49 49
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14
九年级数学人教版(上册)21.1一元二次方程课件
练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.
北师大版2020年数学九年级上册第二章《2.1认识一元二次方程(第2课时)》课件(共21张PPT)
2．学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为__x_2＋__8_2_＝__1_0_2_． 整理，得___x_2_－__3_6_＝__0___． 列表：
1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b＋c)的 5－2x＞0，即x＜2.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
值． 4．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈_______．(精确到0.
1．会进行简单的一元二次方程的试解．
北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程 第2课时
学习目标
1．会进行简单的一元二次方程的试解． 2．根据题意判定一个数是否是一元二次方 程的根及利用试解方法解决一些具体问题． 3．理解方程的解的概念，培养有条理的思 考与表达的能力．
回顾旧知
1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程 的解 ． 2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般 形式是 2x2－x－7＝0 ． 3．近似数2.36≈ 2.4 (精确到十分位)．
理解 问题2中还有x＝－12的解．
(2)x的取值范围是0＜x＜2.
设苗圃的宽为xm，则长为________m.
解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1， (8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，
根据题意，可得方程为____________．
A．1
B．2
C．3
D．4
故2016(a＋b＋c)＝2016. 若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x］米2，依题意，可
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
北师大版九年级数学上册 第二章 2.1.2 《一元二次方程的解及其估算》课件(共28张PPT)(共28张PPT)
x x2 +2x – 120
…
8 9 10
… -40 -21 0
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
11 … 23 …
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值. 解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0， 化简，得9+4a=0. 即4a=-9. a 9. 4
随堂即练
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
x
0
1
2
3
…
x2 - 2x - 1 -1
-2
-1
2
…
由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2.
随堂即练
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
新课讲解
例3 在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程x2 +12 x - 15 = 0.
1m 10m
8m
xm
你能猜出滑动距离 x的大致范围吗？
新课讲解
下面是小亮的求解过程：
x
0
0.5
1
1.5 2 …
x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
可知x取值的大致范围是1<x<1.5. 进一步计算：
怎么样,你还敢挑战吗? 你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗?
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 (第2课时)
素养目标
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实 际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学 问题的过程，提高数学应用意识．
1. 能正确列出关于增长率问题的一元二 次方程.
探究新知
知识点 有关增长/下降率的问题
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药 品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种 药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪 种药品成本的年平均下降率较大?
答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本 下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比 较降前及降后的价格.
探究新知
【归纳】
类似地这种增长率的问题在实际生活普 遍存在,有一定的模式.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降 低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为
【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间 有何数量关系？
探究新知
【分析】甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元). 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元). 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年 平均下降率.
链接中考
1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜
产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜
产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ A ）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
链接中考
2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业． 据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元 ．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此 估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平 均增长率约为（C ） A．2% B．4.4% C．20% D．44%
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》PPT课件
面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第2课时)
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件人教版
3、已知关于x的方程
（ m 1 )xm 1mx m 210
是一元二次方程，求m的值。
v 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
v 解之得，m=1或m=－1， v 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， v 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
§26.1 二次函数y=ax2的 图象和性质
猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
y ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
人教版数学九上2《解一元二次方程》(第2课时)课件
4．练习巩固公式法
回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
+ 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程：
（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部 应是多少？4 m 呢？
（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？
5．归纳小结
问题5：请大家思考并回答以下问题： （1）本节课学了哪些内容？ （2）我们是用什么方法推导求根公式的？ （3）你认为判别式有哪些作用？ （4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
• 学习难点： 推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）的形 式； （5）用直接开平方法求得方程的解．
九年级 上册
21.2 解一元二次方程（第2课时）
课件说明
• 通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一 元二次方程，一元二次方程根的判别式．
课件说明
• 学习目标： 1．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况； 2．经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了 解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律．
6．布置作业
教科书习题 21.2 第 4，5 题．
3．归纳公式法解方程的步骤
例1 用公式法解下列方程： （1） x2 - 4x - 7 = 0； （2）2x2 2 2x 1 0； （3）5x2 - 3x = x + 1； （4）x2 + 17 = 8x．
3．归纳公式法解方程的步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
人教版九年级数学上册 《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
第九页，共二十页。
例题练习
例1、解下列方程
（1）x2-Hale Waihona Puke .21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得
1
x2=
∵x是
1 4
的平方根
4
∴x= 1
2
即x1= 1 ，x2= 1
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说
明.
第十五页，共二十页。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）D
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= 7
1
;x2=
4
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
第二页，共二十页。
练一练
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
(4)3x2 1 2 0 ×
x
(5) x2 1 3
×
第三页，共二十页。
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=5 ，x2=7
4
4
第十三页，共二十页。
例题练习
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2）
例题练习
例1、解下列方程
（1）x2-Hale Waihona Puke .21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得
1
x2=
∵x是
1 4
的平方根
4
∴x= 1
2
即x1= 1 ，x2= 1
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说
明.
第十五页，共二十页。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）D
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= 7
1
;x2=
4
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
第二页，共二十页。
练一练
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
(4)3x2 1 2 0 ×
x
(5) x2 1 3
×
第三页，共二十页。
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=5 ，x2=7
4
4
第十三页，共二十页。
例题练习
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2）
九年级数学上册 2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算教案2 北师大版(2021年最新整理)
（贵州专用）2017秋九年级数学上册2.1 第2课时一元二次方程的解及其估算教案2 （新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（贵州专用）2017秋九年级数学上册2.1 第2课时一元二次方程的解及其估算教案2 （新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第2课时 一元二次方程的解及其估算 教 学 目 标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点:探索一元二次方程的解或近似解难点：培养学生的估算意识和能力【教学过程】 一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1）2x 2―x+1=0 (2）―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 二、问题探究： 探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 （8―2x)（5―2x）=18 也就是：2x 2―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗? （1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_________________。
（2）x 可能大于4吗?可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表 (4）你知道地毯花边的宽x （m ）是多少吗？还有其他求解方法吗?与同伴交流。
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2—13x+11备注备注探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程（x+6)2+72=102,也就是x2+12x―15=0（1)你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？（2）x的整数部分是_____？十分位是_______？x0x2+12x-15所以 ___<x<___进一步计算xx2+12x—15所以 ___〈x〈___因此x 的整数部分是___，十分位是___.三、当堂训练：完成课本34页随堂练习四、学习体会：五、课后作业。
九年级数学上册21.1一元二次方程(第2课时)课件(新版)新人教版
使方程左右两边相等的未知数的值就是 (jiùshì)这个一元二次方程的解,一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的根.
(2)方程(fāngchéng)x2+2x-
48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?
x=6;x=0或x=
2. 3
第三页，共12页。
练习(liànxí)巩固 (1)下面(xià mian)哪些数是方程x2+x-12=0的根?
解析:把x=-a代入方程(fāngchéng)可得(-a)2ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为 a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常数.故选D.
第十二页，共12页。
解析:根据(gēnjù)已知条件,当x=a,x=b时a23a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x23x+1=0的解.故选D.
第十一页，共12页。
5.已知方程(fāngchéng)x2+bx+a=0有一个根是-
a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的D是 ( )a
A.ab
B.b C.a+b D.a-b
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一
个(yī ɡè)解,则m的A值是 ( )
A.-3
B.3
C.0
D.0或3
解析(jiě xī):把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得 m=-3.故选A.
第九页，共12页。
3.已知m是方程(fāngchéng)x2-x-2=0的一个 根,则代数式m2-mD的值等于 ( )
第七页，共12页。
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a 12 b 1 c 0
即a b c 0
思考：
（1）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 一个根吗?
a b c 0 即a 12 b 1 c 0
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. （2）若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
当堂练习
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,… x x2 - 2x - 1 0 -1 1 -2 2 -1 3 2 … …
由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,… x x2 - 2x - 1 2.2 -0.79 2.3 -0.31 2.4 -0.04 2.5 0.25 … …
由表可发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 - 2x - 1 ＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45,
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2
课堂小结
确定其解的大致范围
列表、计算
解一元二次方程 （“两边夹”方法）
进行两边“夹逼” ……
求得近似解
例2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方
程2x2 - 13x + 11 = 0，你能求出这个宽度吗？
对于方程2x2 - 13x + 11 = 0. （1）x可能小于0吗?说说你的理由． （2）x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由. （3）完成下表：
x
2x2 - 13x + 11
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解及其估算
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解方程的解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3.会估算一元二次方程的解.（难点）
导入新课
一元二次方程有哪些特点？一元二次方程的一般形式是什么？
即a2 2a 2
2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，
有时需运用到整体思想，求解时，将所求数式的一部分看作一个整
体，再用整体思想代入求值．
二 一元二次方程解的估算
0
11
0.5
5
1
0
1.5
-4
2
-7
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流．
例3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - 15 = 0.
1m 10m 8m xm 你能猜出滑动距离
x的大致范围吗？
下面是小亮的求解过程： x x2+12x - 15 0 -15 0.5 - 8.75 1 -2 1.5 5.25 2 13 … …
一元二次方程的特点： ① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2;
③整式方程．
一元二次方程的一般形式：
ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
一 一元二次方程的根
概念学习
一元二次方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
∴x≈2.4.
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽
(x+2)m 120m2 xm
多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m ,根据题意得： x (x + 2) = 120.
即
x2 + 2x - 120 = 0.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11.解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近): x x2 +2x – 120 … … 8 9 10 11 … …
-40
-21
0
23
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a
的值. 解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
拓广探索 4.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求 a+b+c的值. 解：由题意得
练一练
下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程 可能不止一个根.
例1：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a
+2017的值. 解：由题意得 a2 2a 2 0
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5. 进一步计算： x x2 + 12x - 15 1.1 - 0.59 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4 3.76
所以1.1＜x＜1.2,由此他猜测x整数部分是1 ,十分位部分是1．
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：