高中数学选修4-5：41数学归纳法原理 学案
新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法教案
数学归纳法一、教学目标：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，会用归纳、猜想、证明这种探索思想解决一些数学问题．二、教学重点：数学归纳法及其原理的理解，归纳、猜想、证明这一探索思想的应用．三、教学过程：（一）主要知识：数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1．归纳法及其分类2．数学归纳法及其原理3．数学归纳法的基本步骤4．归纳、猜想、证明的探索思想（二）知识点详析1．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
2．数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
3．数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.4．数学归纳法的应用：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、整除性问题、几何中计算问题，数列的通项与和等等。
数学归纳法 教案
数学归纳法 （教案）【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是选修4-5第四讲的内容，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
本书该节共2课时，这是第一课时2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如122+n （n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。
人教版高中数学选修4-5《4.1 数学归纳法》
所以等式对所有正整数都成立
第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源， 不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！
变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2+4+6+ +2n=n（n+1），n N，
（1）当n=1时，左边=2=右边，等式成立，
如下：
（2）假设当n=k(k 1, k N )时， 2+4+6++2k=k（k+1）成立，
变式1、甲同学猜想2+4+6+ +2n=n2 +n+1，并用数学归纳法证明如下， 请问该同学的结论正确吗？ 证明：假设当n=k, k N 时，2+4+6++2k=k2 +k+1成立
那么当n=k+1时，2+4+6+ +2k+2(k+1) =k k 1 2k 2 (k+1) (k 1) 1，即n=k+1时等式成立
步骤2：归纳假设要用到，解题目标要明确
结论：结论写明莫忘掉
核心： 递推思想
2、思想: 类比思想 递推思想： 命题从第一个值开始从前往后自 动递推，实现有限到无限的飞跃
五、作业布置
教材第50页习题4.1 1-5
谢谢！
数学归纳法
一、课题引入
• 情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色 的粉笔？
不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论 的推理方法（结论不一定正确） 完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的 推理方法（结论一定正确）
• 情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？
人教版高中数学选修4-5第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法教案1(1)
数学归纳法教学设计一、设计理念在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕数学归纳法的原理和实质这一中心问题。
在这个过程中，通过层层提问的方法引导学生思考，从简到难逐步探求数学归纳法的实质，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。
二、教材分析本课是数学归纳法的第一节课。
前面学生已经通过数列一章内容和归纳推理的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的不完全归纳法。
不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。
但是，由得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
三、学情分析学生已经学习了求数列通项，归纳推理等知识，认识到不完全归纳法的到底猜想有待证明。
而且学生经过高中3个多学期的数学思维训练，在课堂上具有一定的学习能力和探索意识。
但由于文科学生的基础薄弱，可以预见在探索过程中对数学归纳法的递推原理会存在疑难。
四、教学手段多媒体教学和板书相结合。
这符合教学论中的直观性原则和可接受性原则；激发了学习数学的兴趣，同时又节约了时间，让学生更多的进行思考和练习，符合新课程的要求。
五、教学目标：1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法授课类型：新授课六．教学过程主干层次为：创设情景（提出问题）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;课堂小结（反馈与提高）。
人教A版选修4-5 4.1 数学归纳法 学案
一 数学归纳法 第12课时 数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n ＝n 0时命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．知识点一 用数学归纳法证明恒等式1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：观察分母知，首项为n ，末项为n 2，公差为1，共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14.答案：D2．(2019·江西师大附中模拟)用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·k ＋12－1k ＋12＝k ＋1k ·k ＋22k ·k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据①和②知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立． 知识点二 用数学归纳法证明整除问题3．(2019·湖南邵东一中月考)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)2能被9整除，那么当n ＝k ＋1时，则(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k 3＋3k 2×3＋3k ×32＋33)＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(9k 2＋27k ＋27)．故只需展开(k ＋3)3即可，故选A.答案：A4．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”时，在第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设应将5k ＋1－2k ＋1变形为________．解析：假设n ＝k 时，应有5k －2k 能被3整除，当n ＝k ＋1时，应变形为5k＋1－2k ＋1＝5(5k －2k )＋3·2k . 答案：5(5k －2k )＋3·2k知识点三 用数学归纳法证明几何问题5．(2019·福清东张中学期中)平面内原有k 条直线，他们的交点个数记为。
2019高二数学人教A版选修4-5学案4.1数学归纳法导学案含解析
4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n ＝n 0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n ＝n 0时，命题成立，n ＝n 0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)就有了依据，在n ＝n 0成立时，n 0＋1成立，n 0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n ＝k ＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n ＝n 0(n 0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋时)，命题成立，利用假设证明n ＝k ＋1时命题也成立． 由①和②知，对一切n ≥n 0的正整数命题成立． 3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n ＝n 0是基础，找准n 0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始． (3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正． 用数学归纳法证明： 1－2＋4－8＋…＋(－1)n －1·2n －1＝(－1)n －1·2n 3＋13. 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝23＋13＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k －12k －1＝(－1)k －1·2k 3＋13. 则当n ＝k ＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k ·2k＝1－－k ＋11－－＝13－－k ＋13＝13－(－1)k ＋1·2k ＋13 ＝(－1)k ·2k ＋13＋13. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)与(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明：n ∈N ＋时， 11×3＋13×5＋…＋1n －n ＋＝n2n ＋1.【例2】 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：x n ＋2＋(x ＋1)2n＋1能被x 2＋x ＋1整除．【变式训练2】 求证：二项式x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．【例3】 平面上有n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n 条直线把平面分割成f (n )＝n 2＋n ＋22块区域．【变式训练3】 已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n ＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n ＝k ＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n ＝k ＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k 2k＝(－1)k －1·2k 3＋13＋(－1)k ·2k ＝－(－1)k·2k 3＋(－1)k ·2k ＋13＝⎝⎛⎭⎫－13＋1(－1)k ·2k ＋13 ＝(－1)k·2k ＋13＋13.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，∴等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1k －k ＋＝k 2k ＋1. 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋1k －k ＋＋1k ＋k ＋＝k 2k ＋1＋1k ＋k ＋＝2k 2＋3k ＋1k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋k ＋＝k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)，(2)可知对一切n ∈N ＋等式成立．【例2】【证明】 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2] ＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立． (2)假设n ＝k 时，结论成立，即 x k ＋2＋(x ＋1)2k＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时， x (k＋1)＋2＋(x ＋1)2(k＋1)＋1＝x ·x k ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)(x ＋1)2k ＋1.由假设知，x k ＋2＋(x ＋1)2k＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k＋1)＋2＋(x ＋1)2(k＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )， ∴命题成立．(2)假设n ＝k 时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－y 2(k＋1)＝x 2·x 2k －y 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋x 2y 2k －y 2·y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)． ∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除， ∴x 2(x 2k ＋y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除． 即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 命题成立．【例3】【证明】 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分割成2块． 而f (1)＝12＋1＋22＝2，命题成立．(2)假设n ＝k 时，k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域，那么当n ＝k ＋1时，设k ＋1条直线为l 1，l 2，l 3…l k ，l k ＋1，不妨取出l 1，余下的k 条直线l 2，l 3…，l k ，l k ＋1将平面分割成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域， 直线l 1被这k 条直线分割成k ＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k ＋1块区域，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k 2＋3k ＋42＝k ＋2＋k ＋＋22，这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．【变式训练3】证明 (1)当n ＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋2. 所以当n ＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为(k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，命题对n∈N＋都成立．。
高中数学人教A版选修4-5 4-1 数学归纳法 教案 精品
4.1 数学归纳法教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？得出结论：证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 的两个步骤：（1）证明当1n =时，命题成立；（2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
高中数学 4.1数学归纳法学案 新人教A版选修4-5 学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 4.1数学归纳法学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1、掌握数学归纳法及其证明思路。
2、理解数学归纳法的步骤。
【重点难点】 数学归纳法的应用 【学习过程】 一、问题情景导入通过下面的式子： -1+3= -1+3-5= -1+3-5+7= -1+3-5+7-9= 猜想出-1+3-5+7++(1)(21)nn --的结果110,3,n a a +==二、自学探究：（阅读课本第46-48页，完成下面知识点的梳理）一般地，要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤： （1） （2）完成这两个步骤后，就可以判定命题对于不小于0n 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法 三、例题演练：例1、 证明：35n n +（n ∈N +）能够被6整除。
例2、 平面上有n （n ∈N +，n ≥3）个点，其中任何三点都不在同一条直线上。
过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论。
例3、 用数学归纳法证明： 1111111234(21)212n n n n n n+++=+++⨯⨯-⨯+++【课堂小结与反思】【课后作业与练习】a) 用数学归纳法证明不等式（n+1）(n+2)()n n + =213(21)(nn n - ∈N +）时，从“n=k 到n=k+1”左端需乘以的代数式为 （ ）A.2k+1B.2(2k+1)C.211k k ++ C.231k k ++b) 用数学归纳法证明时：设2()1427(31)(1)f k k k k k =⨯+⨯+++=+，求(1)f k +3、用数学归纳法证明：（3n+1）71n-能被9整除（n ∈N +）4、证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥5、已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足120,3,a a == 1n n a a +=12(2)(2),n n a a --++ n=3,4,5（1）求3a ；（2）证明：2n n a a -=+2， n=3,4,56、平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成()f n =22n n -+个部分（n ∈N +）。
数学归纳法-人教B版选修4-5不等式选讲教案
数学归纳法-人教B版选修4-5 不等式选讲教案
一、教学目标
1.掌握数学归纳法的基本思想和方法；
2.熟练应用数学归纳法证明有关命题；
3.掌握不等式证明的基本方法，进一步提高思维逻辑能力；
4.能够独立分析和解决相关数学问题。
二、教学重点
1.数学归纳法的基本思想和方法；
2.不等式证明的基本方法。
三、教学难点
1.不等式证明的综合应用；
2.运用数学归纳法证明复杂命题。
四、教学过程
第一步：引入
通过提问和引入有关数学归纳法和不等式的基本概念和性质，引导学生进入主题。
第二步：数学归纳法
1.归纳法基本思想与原理的讲解和证明；
2.经典的数学归纳法实例的分析和演示；
3.数学归纳法证明的练习。
第三步：不等式证明
1.常见不等式的性质及其证明方法；
2.常用的不等式证明中的常见应用技巧；
3.不等式证明的练习。
第四步：综合应用
综合运用数学归纳法和不等式证明方法，解决相关具体问题。
第五步：巩固练习
课后布置相关巩固练习，巩固学生掌握的知识和技能。
五、教学反思
本节课主要介绍了数学归纳法和不等式证明方法，并通过实例演示和练习加深了同学们对这两个重要数学概念和方法的理解和掌握。
在教学过程中，我着重加强了知识点之间的联系和融合，进一步提高了学生的思维逻辑能力和综合运用能力，有助于提高学生的数学成绩和数学素养。
总之，通过此次教学，我感觉到我在理论和实践方面都有了很大的提高和进步，也更加确认了自己教育教学的道路和方向。
人教A版数学高二选修4-5第四讲一数学归纳法学案
一数学归纳法对应学生用书P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n 取第一值n 0(例如可取n 0＝1)时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： ①证明当n 取第一个值n 0(如取n 0＝1或2等)时命题正确；②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确． 由此可以断定，对于任意不小于n 0的正整数n ，命题都正确．对应学生用书P39利用数学归纳法证明恒等式[例1] 证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n. [思路点拨] 注意到这是与正整数n 有关的命题，可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴当n ＝2时，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…(1－1k 2)＝k ＋12k当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N ＋等式成立．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n ，均有 1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛1n ＋2＋1n ＋4＋…＋⎭⎫12n 成立时，(1)第一步检验的初始值n 0是什么？(2)第二步归纳假设n ＝2k 时(k ∈N ＋)等式成立，需证明n 为何值时，方具有递推性； (3)若第二步归纳假设n ＝k (k 为正偶数)时等式成立，需证明n 为何值时，等式成立． 解：(1)n 0为2.此时左边为1－12，右边为2×14＝12.(2)假设n ＝2k (k ∈N ＋)时，等式成立，就需证明n ＝2k ＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设n ＝k (k 为正偶数)时，等式成立，就需证明n ＝k ＋2(即k 的下一个正偶数)时，命题也成立．2．求证：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立， 即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＝2k k ＋1.则当n ＝k ＋1时，1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝2k k ＋1＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝2k k ＋1＋2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对任何x ∈N ＋等式都成立．用数学归纳法证明整除问题[例2] 求证：x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．[思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x ＋y )有困难，故可考虑用数学归纳法证明．[证明] (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )能被x ＋y 整除． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2 ＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2y 2k ＋x 2y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除， ∴x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除． 即n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k＋2能被x ＋y 整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n 命题均成立．利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n ＋1)7n －1(n ∈N ＋)能被9整除． 证明：①当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．②假设n ＝k 时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，当n ＝k ＋1时， [(3k ＋3)＋1]·7k ＋1－1＝[3k ＋1＋3]·7·7k －1＝ 7·(3k ＋1)·7k －1＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由归纳假设(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为 18k ·7k ＋27·7k 也能被9整除，所以[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除，即n ＝k ＋1时命题成立．则①②可知对所有正整数n 命题成立．4．用数学归纳法证明：1－(3＋x )n (n ∈N ＋)能被x ＋2整除．证明：(1)n ＝1时，1－(3＋x )＝－(x ＋2)，能被x ＋2整除，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，1－(3＋x )n 能被x ＋2整除，则可设1－(3＋x )k ＝(x ＋2)f (x )(f (x )为k －1次多项式)，当n ＝k ＋1时，1－(3＋x )k ＋1＝1－(3＋x )(3＋x )k ＝1－(3＋x )[1－(x ＋2)f (x )] ＝1－(3＋x )＋(x ＋2)(3＋x )f (x ) ＝－(x ＋2)＋(x ＋2)(3＋x )f (x ) ＝(x ＋2)[－1＋(3＋x )f (x )]，能被x ＋2整除，即当n ＝k ＋1时命题成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N ＋，1－(3＋x )n 能被x ＋2整除.用数学归纳法证明几何问题[例3] 平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分割成12(n 2＋n ＋2)个区域．[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与k ＋1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到n ＝k ＋1时的证明．[证明] (1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又12×(12＋1＋2)＝2，∴n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立，即k 条满足题意的直线把平面分割成了12(k 2＋k ＋2)个区域．那么当n ＝k ＋1时，k ＋1条直线中的k 条直线把平面分成了12(k 2＋k ＋2)个区域，第k ＋1条直线被这k 条直线分成k ＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k ＋1个区域，所以k ＋1条直线把平面分成了12(k 2＋k ＋2)＋k ＋1＝12[(k ＋1)2＋(k ＋1)＋2]个区域．∴n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，对一切的n ∈N ＋，此命题均成立．用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n ＝k 到n ＝k ＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k 的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k ＋1个中分出1个来，剩下的k 个利用假设．5．求证：凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －3)2(n ∈N ＋，n ≥3)．证明：(1)当n ＝3时，即f (3)＝0时，三角形没有对角线，命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时命题成立，即凸k 边形对角线条数f (k )＝k (k －3)2.将凸k 边形A 1A 2…A k 在其外面增加一个新顶点A k ＋1，得到凸k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，A k ＋1依次与A 2，A 3，…，A k －1相连得到对角线k －2条，原凸k 边形的边A 1A k 变成了凸k ＋1边形的一条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数为：f (k )＋k －2＋1＝k (k －3)2＋k －1＝(k ＋1)(k －2)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－3]2＝f (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，结论正确．根据(1)(2)可知，命题对任何n ∈N ＋，n ≥3都成立．6．求证：平面内有n (n ≥2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n 2条线段(或射线)．证明：(1)当n ＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立，即k 条满足条件的直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)．那么n ＝k ＋1时，取出其中一条直线为l ，其余k 条直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)直线l 把这k 条直线又一分为二，多出k 条线段(或射线)；l 又被这k 条直线分成k ＋1部分，所以这k ＋1条直线彼此互相分割成k 2＋k ＋k ＋1＝(k ＋1)2条线段(或射线)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，命题成立．对应学生用书P411．数学归纳法证明中，在验证了n ＝1时命题正确，假定n ＝k 时命题正确，此时k 的取值范围是( )A ．k ∈NB ．k >1，k ∈N ＋C ．k ≥1，k ∈N ＋D ．k >2，k ∈N ＋解析：数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法，所以k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以k 大于等于1.答案：C2．某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立，(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．答案：B3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解析：因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案：D4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，a ，b 的值可以等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3解析：令n ＝1,2得到关于a ，b 的方程组，解得即可． 答案：D5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n 个式子应为________．答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)26．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．解析：n ＝1时，左端应为1×4＝4. 答案：47．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 答案：π8．设a ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：a n ＋2＋(a ＋1)2n ＋1能被a 2＋a ＋1整除．证明：(1)当n ＝1时，a 3＋(a ＋1)3＝[a ＋(a ＋1)][a 2－a (a ＋1)＋(a ＋1)2]＝(2a ＋1)(a 2＋a ＋1)． 结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1能被a 2＋a ＋1整除，那么n ＝k ＋1时，有a (k＋1)＋2＋(a ＋1)2(k＋1)＋1＝a ·a k ＋2＋(a ＋1)2(a ＋1)2k ＋1＝a [a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k ＋1－a (a ＋1)2k ＋1 ＝a [a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k ＋1.因为a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1，a 2＋a ＋1均能被a 2＋a ＋1整除，又a ∈N ＋，故a (k＋1)＋2＋(a ＋1)2(k＋1)＋1能被a 2＋a ＋1整除，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，原结论成立．9．有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )＝n 2－n ＋2个部分．(n ∈N ＋)证明：(1)当n ＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f (1)＝1－1＋2＝2，所以n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时命题成立．即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分．则n ＝k ＋1时，在k ＋1个圆中任取一个圆O ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆O 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个点将圆O 分成2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2. ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，命题成立．10．用数学归纳法证明n ∈N ＋时，(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2n －1x －1)＝2cos 2n x ＋12cos x ＋1.证明：(1)当n ＝1时，左边＝2cos x －1， 右边＝2cos 2x ＋12cos x ＋1＝4cos 2 x －12cos x ＋1＝2cos x －1，即左边＝右边，∴命题成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2k －1x －1)＝2cos 2k x ＋12cos x ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2k －1x －1)·(2cos 2kx －1)＝2cos 2k x ＋12cos x ＋1·(2cos 2k x －1)＝4(cos 2k x )2－12cos x ＋1＝4×1＋cos 2×2k x 2－12cos x ＋1＝2×cos 2k ＋1x ＋12cos x ＋1.∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋时命题成立．。
4.1《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)
数学归纳法教课目的1．认识归纳法的意义，培育学生察看、归纳、发现的能力．2．认识数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思想和归纳能力进一步获取提升．教课要点与难点要点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的剖析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教课过程设计（一）引入师：从今日开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应当从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下边几个问题，并由此思虑什么是归纳法，归纳法有什么特色．问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，仍是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片预先准备好）生：把它倒出来看一看就能够了．师：方法是正确的，但操作上缺少次序性．次序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，，第十二个白球，由此获取：这一袋球都是白球．a2，a3，a4。
的值，再推断通项a n的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能谈谈什么是归纳法，归纳法有什么特色吗？生：归纳法是由一些特别案例推出一般结论的推理方法．特色是由特别→一般（板书）．师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．比如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确立等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，此后的学习还会看到归纳法的运用．在生活和生产本质中，归纳法也有宽泛应用．比如气象工作者、水文工作者依照累积的历史资料作气象展望，水文预告，用的就是归纳法．还应当指出，问题 1 和问题 2 运用的归纳法仍是有区其他．问题1中，一共12个球，全看了，由此而获取了却论．这种把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完整归纳法．关于问题 2，因为自然数有无数个，用完整归纳法去推出结论就不可以能，它是由前 4 项表现的规律，进行推断，得出结论的，这种归纳法称为不完整归纳法．（三）归纳法的认识（板书）归纳法分完整归纳法和不完整归纳法（板书）．师：用不完整归纳法既然要推断，推断是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题 3．问题 3：关于随意自然数 n，比较 7n-3与 6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）（给学生必定的计算、思虑时间）生：经过计算，我的结论是：对随意n∈N+，7n-3 ＜6（7n+9）．师：你计算了几个数获取的结论？生：4个．师：你算了 n=1，n=2，n=3， n=4 这 4 个数，而获取的结论，是吧？生：对．师：有没有不一样建议？生：我验了 n=8，这时有 7n-3＞6（7n+9），而不是 7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧！师：那你的结论是什么呢？（动员大家思虑，纠正）生：我的结论是：当 n=1，2， 3， 4， 5 时， 7n-3＜6（7n+9）；当 n=6，7， 8，时， 7n-3＞6（7n+9）．师：由以上的研究过程，我们应当总结什么经验呢？第一要认真地据有正确的资料，不可以随意算几个数，就作推断．请把你们计算结果填入下表内：师：依照数据作推断，决不是乱猜．要注意对数据作出慎重地剖析．由上表可看到，当 n 依 1， 2， 3， 4，改动时，相应的7n-3的值此后一个是前一个的7倍的速度在增添，而 6（7n+9）相应值的增添速度还不到 2 倍．完整有原由确认，师：对问题 3 推断有误的同学完整不用过于自责，接受教训就能够了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过错误．资料 1（预先准备好，由学生阅读）费马（Fermat）是17 世纪法国有名的数学家，他是分析几何的发明者之一，是对微积分的创办作出贡献最多的人之一，是概率论的首创者之一，他对数论也有很多贡献．可是，费马曾以为，当 n∈N 时， 22n+1 必定都是质数，这是他对 n=0，1，2，3，4 作了考证后获取的．18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然 225 +1=4 294 967 297=6 700师：有的同学说，费马为何不再多算一个数呢？今日我们是没法回答的．可是要告诉同学们，失误的要点不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：资料 2f（n）=n2+n+41，当 n∈ N时， f （n）能否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47， f （ 3） =53， f （ 4） =61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97， f （ 8） =113，f （9）=131，f （10） =151， f （ 39）=1 601 ．可是 f （40）=1 681=412是合数师：算了 39 个数不算少了吧，但还不可以！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还犯错，我们有错就能够谅解，也不是说归纳法不可以，不去学了，而是要找出运用归纳法犯错的原由，并研究出对策来．师：归纳法为何会犯错呢？生：完整归纳法不会犯错．师：对！但运用不完整归纳法是不可以防止的，它为何会犯错呢？生：因为用不完整归纳法时，一般结论的得出带有猜想的成份．师：完整赞同．那么怎么办呢？生：应当予以证明．师：大家赞同吧？关于生活、生产中的本质问题，得出的结论的正确性，应接受实践的查验，因为实践是查验真谛的独一标准．关于数学识题，应追求数学证明．（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请联合以上问题 1 思虑．生：问题 1 共 12 个球，都看了，它的正确性不用证了然．师：也能够换个角度看， 12 个球，一一验看了，这一一验看就能够看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它表现了分类议论的思想．师：假如这里不是 12 个球，而是无数个球，我们用不完整归纳法获取，这袋球全部是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这种问题的证明确不是一个简单的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．联合问题 1 来说，他第一确立第一次取出来的是白球．而后再结构一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次取出来的是白球” ，结论是“下一次取出来的也是白球”．这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的究竟能否是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．大家看，能否证了然上述两条，就使问题获取解决了呢？生：是．第一次取出的是白球已确认，频频运用上述结构的命题，可得第二次、第三次、第四次、取出的都是白球．师：对．它使一个本来没法作出一一考证的命题，用一个推一个的递推思想获取了证明．生活上，表现这种递推思想的例子也是许多的，你能举出例子来吗？生：一排排放很近的自行车，只需碰倒一辆，就会倒下一排．生：再比如多米诺骨牌游戏．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要获得成功，一定靠两条：（1）骨牌的摆列，保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完整归纳法推断所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题 2 推断而得的命题，应当证明什么呢？生：先证 n=1 时，公式建立（第一步）；再证明：若对某个自然数（ n=k）公式建立，则对下一个自然数（ n=k+1）公式也建立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．（应追问各步计算推理的依照）师：再证明第二步．先明确要证明什么？师：于是由上述两步，命题获取了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求．师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤．生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1 时，命题建立；（2）设 n=k 时命题建立，则当n=k+1 时，命题也建立．师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题建立．比如，关于问题3 推断得的命题：当n=6，7，8，时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n=6 时，不等式建立．（如有时间还可议论此不等关系证明的第二步，若无时间可部署学生课下思考）（六）小结师：把本节课内容归纳一下：（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．（2）归纳法是一种由特别到一般的推理方法．分完整归纳法和不完整归纳法二种．（3）因为不完整归纳法中推断所得结论可能不正确，因此一定作出证明，证明可用数学归纳法进行．（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤一定是二步．数学归纳法在数学中有宽泛的应用，将从下节课开始学习．（七）课外作业（1）阅读课本 P112～ P115 的内容．（2）书面作业 P115 练习： 1， 3．讲堂教课方案说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 相关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教课要点应当是方法的应用．可是我们以为不可以把教课过程看作方法的灌注，技术的演练．对方法作简单的灌注，学生必然疑虑重重．为何一定是二步呢？于是教师频频举例，说明二步缺一不可以．你怎么知道n=k 时命题建立呢？教师又不得不作出解说，可学生仍未完整接受．学完了数学归纳法的学生又常常有应当用时但想不起来的问题，等等．为此，我们假想增强数学归纳法产生过程的教课，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的剖析、认识中间，把数学归纳法的产生与不完整归纳法的完美联合起来．这样不单使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下优秀的基础，并且能够增强归纳思想的教课，这不单是对中学数学中以演绎思想为主的教课的重要增补，也是指引学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完整归纳法的认识，再到不完整归纳法靠谱性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要地点，必然对理解数学归纳法的本质带来指导意义，也是在教课过程中努力发掘、浸透隐含于教课内容中的数学思想的一种试试．2．在教课方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同议论、探究的方法．目的是在于增强学生对教课过程的参加程度．为了使这种参加有必定的智能度，教师应做好发动、组织、指引和点拨．学生的思想参加常常是从问题开始的，赶快提出适合的问题，并提出思想要求，让学生赶快投入到思想活动中来，是十分重要的．这就要讨教师把每节课的课题作出有条有理的分解，并选择适合的问题，把课题的研究内容落于问题中，在渐渐睁开中，指引学生用已学的知识、方法予以解决，并获取新的发展．本节课的教课方案也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意此中第二步，证明 n=k+1 命题建即刻一定用到 n=k 时命题建立这个条件．即 n=k+1 时等式也建立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1 时命题究竟建立不建立，而是 n=k 时命题建立作为条件可否保证 n=k+1 时命题建立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系能否建立．证明的主要部分应改为以上理解不单是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指了然正确的思想方向．。
高二数学人教A版选修4-5教案4.1数学归纳法 Word版含解析
数学归纳法一、教学目标．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．四、教学难点．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．五、教学过程（一）导入新课数学归纳法证明中，在验证了＝时命题正确，假定＝时命题正确，此时的取值范围是()．∈．＞，∈＋．≥，∈＋＞，∈＋【解析】数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法，所以是正整数，又第一步是递推的基础，所以大于等于.【答案】（二）讲授新课教材整理数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：()证明当时命题成立；()假设当时命题成立，证明时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．（三）重难点精讲题型一、用数学归纳法证明等式例用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.【精彩点拨】要证等式的左边共项，右边共项，()与(＋)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“＝”到“＝＋”时要注意项的合并．【自主解答】①当＝时，左边＝－＝＝＝右边，所以等式成立．②假设＝(≥，∈＋)时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当＝＋时，左边＝－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝右边，所以，＝＋时等式成立．由①②知，等式对任意∈＋成立．规律总结：．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关．由＝到＝＋时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．。
2.3.1数学归纳法 学案(北师大版选修4-5)
§3数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法1．数学归纳法数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时，该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k＋1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数n≥n0都成立．2．数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．(2)假设当n＝k时(k∈N，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以判定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．1．数学归纳法中，n取第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数．2．如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时， 左边计算的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【思路探究】 只需把n ＝1代入，观察式子左边规律即得答案．【自主解答】 实际是由1(即a 0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n ＋1，因此n ＝1时，左边的最后一项应为a 2，因此左边计算的结果应为1＋a ＋a 2. 【答案】 C验证n 取第一个值n 0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出n ＝n 0时的命题．若f (k )＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，则f (k ＋1)＝f (k )＋__________.【解析】 f (k ＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，∴f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1－12(k ＋1). 【答案】12k ＋1－12k ＋2用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)． 【思路探究】 要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2)＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，所以，n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N ＋，等式成立．用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(其中n ∈N ＋)． 【证明】 (1)当n ＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即12×4＋14×6＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立 . 则n ＝k ＋1时， 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋ 12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2) ＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， 即n ＝k ＋1时等式成立．由设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意正整数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【思路探究】 先求f (1)，f (2)，f (3)→归纳猜想f (n )→用数学归纳法证明． 【自主解答】 (1)由于对任意正整数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)． 取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2.取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . ①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，这就是说当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．1．切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法；2．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【解】 (1)a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2. (2)证明 当n ＝1时，猜想显然成立． ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，猜想成立．②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N ＋)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①②可知，对任意n ≥2，n ∈N ＋，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，5×2n －2， n ≥2.1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4【解析】 当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3. 【答案】 C2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 边数最少的凸n 边形是三角形． 【答案】 C3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A ．2k －2B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1 【解析】 等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”中， 当n ＝k 时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)，当n ＝k ＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)，∴从k 到k ＋1左边需增加的代数式为2k ＋1. 【答案】 D。
人教版高中选修4-5一数学归纳法课程设计
人教版高中选修4-5一数学归纳法课程设计一、教学目标本课程设计旨在帮助学生掌握数学归纳法的基本原理和应用方法，能够熟练运用数学归纳法证明数学命题，培养学生的逻辑思维和数学思维能力，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
具体教学目标包括：1.理解数学归纳法的基本思想和证明步骤；2.掌握数学归纳法的常见应用方法；3.运用数学归纳法证明一些简单的数学命题；4.能够分析和解决采用数学归纳法证明的复杂问题。
二、教学重点与难点本课程设计的教学重点是数学归纳法的基本思想和证明步骤，以及数学归纳法常见的应用方法。
其中，数学归纳法的基本思想和证明步骤是本课程设计的核心内容，需要学生掌握。
同时，数学归纳法的常见应用方法也是本课程设计的重点之一，需要学生进行深入理解和练习。
本课程设计的教学难点在于，数学归纳法的证明过程需要学生严密的逻辑思考和推理能力。
同时，数学归纳法常常应用于解决具有某种规律性质的问题，这要求学生能够对问题进行归纳和分析，进而运用数学归纳法进行证明。
三、教学方式与方法本课程设计采用“激发兴趣、理论与实践相结合”的教学方式和“示例讲解、互动探究、综合练习”等教学方法。
具体包括以下几个方面：1.利用生动的例子和实际问题激发学生对数学归纳法的兴趣和热情；2.通过示例讲解和课堂互动，引导学生理解数学归纳法的基本思想和证明步骤，并培养学生的逻辑思维和数学思维能力；3.引导学生分析和解决具有某种规律性质的问题，运用数学归纳法进行证明；4.进行综合练习和评价，加强学生的应用能力和评估效果。
四、教学内容本课程设计的教学内容按照如下顺序进行：1. 数学归纳法的基本思想和证明步骤1.数学归纳法的概念和定义；2.数学归纳法的证明步骤；3.一些常见的数学归纳法定理。
2. 数学归纳法的具体应用1.初等数学命题的证明；2.实数的数学归纳法；3.递归数列的数学归纳法；4.二项式定理和斐波那契数列的应用。
3. 数学归纳法思维能力的培养1.课堂案例分析和讨论，引导学生理解数学归纳法的应用场景；2.编制具有某种规律性质的问题，引导学生归纳和分析问题，并通过数学归纳法进行证明；3.综合练习和评价，加强学生应用能力和评估效果。
高二年级第二学期数学数学归纳法学案选修4-5
学案15数学归纳法数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n ＝k 时命题成立)，推出n ＝k ＋1时，命题成立．用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋， 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n n ＋1＝n n ＋1. 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝11·2＝12，右边＝12，所以等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1k k ＋1＝k k ＋1， 当n ＝k ＋1时， 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1k k ＋1＋1k ＋1k ＋2＝k k ＋1＋1k ＋1k ＋2＝k 2＋2k ＋1k ＋1k ＋2＝k ＋1k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的自然数n ，等式都成立.如果c 为常数，用数学归纳法证明f (n )<c 一类不等式时，从k 到k ＋1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用limn →∞g (n )＝c ，且g (n )<c ，把命题结论强化，即把c 换成g (n )．由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明．证明不等式122＋132＋…＋1n2<1(n ≥2，n ∈N *)．①【证明】 可先证明122＋132＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2)②对②运用数学归纳法证明： (1)当n ＝2时，②显然成立；(2)设n ＝k 时，不等式②成立，即122＋132＋…＋1k 2<1－1k.当n ＝k ＋1时， 122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<1－1k ＋1k ＋12<1－1k ＋1k k ＋1＝1－1k ＋(1k －1k ＋1)＝1－1k ＋1.故当n ＝k ＋1时，不等式②成立．根据(1)和(2)知，对n ∈N *且n ≥2，不等式②成立，故不等式①成立.探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋1b n)(其中a＞0，且a ≠1)．S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．【解】 (1)设数列{b n }的公差为d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，10b 1＋1010－12d ＝145，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝3，故b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2知，S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a (1＋13n －2) ＝log a [(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)]．又13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与13log a b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)与33n ＋1的大小．取n ＝1有(1＋1)＞33·1＋1； 取n ＝2有(1＋1)(1＋14)＞33·2＋1；由此推测(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1.①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1；当0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1.下面用数学归纳法证明①式成立： a ．当n ＝1时，已验证①式成立．b ．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时①式成立， 即(1＋1)(1＋14)…(1＋13k －2)＞33k ＋1.那么，当n ＝k ＋1时，(1＋1)(1＋14) (1)13k －2)(1＋13k ＋1－2)＞33k ＋1(1＋13k ＋1) ＝33k ＋13k ＋1(3k ＋2)． ∵[33k ＋13k ＋1(3k ＋2)]3－[33k ＋4]3＝3k ＋23－3k ＋43k ＋123k ＋12＝9k ＋43k ＋12＞0.∴33k ＋13k ＋1(3k ＋2)＞33k ＋4 ＝33k ＋1＋1.因而(1＋1)(1＋14)…(1＋13k －2)(1＋13k ＋1)＞33k ＋4＝33k ＋1＋1.∴当n ＝k ＋1时①式成立．由a 、b 知①式对任意正整数n 都成立． 由此证得：当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1；当0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.【解】 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即 a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1) ＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时， 结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明：n ＝1时，1a 1＋b 1＝16<512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1) ＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512. 综上，原不等式成立．。
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4.1数学归纳法原理
【学习目标】
1. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题
2. 进一步熟练使用数学归纳法证解决基本问题的步骤、并进一步培养相关的基本技能
【自主学习】
1. 进一步理解数学归纳法原理：验证P ()0n 成立确立了递推的起点；使用归纳假
设P ()()*0,k k n k N ≥∈成立，通过推理证明P ()1k +也成立，建立了递推的依据.这两步的完成实现了无限的推理：()()()00012P n P n P n →+→+→
2. 数学归纳法解决数学问题的使用范围和各种数学问题的类型务必要心中有
数，请你自我总结
3.彻底的弄清n=k 时的项、弄清n=k 时的项与n=k+1时的项的区别是保证实施建立递推依据的关键。
特别是用P ()k 表示P ()1k +是能够使用归纳假设的立足点，这一点请你认真体会！
【自主检测】
1. 下列四个判断，正确的是（ ）
A.式子()2*1n k k k n N ++++∈当n=1时恒为1
B.式子()21*1n k k k n N -+++
+∈当n=1时恒为1+k C.式子()*111112321n N n +++
+∈+当n=1时恒为11123++ D.式子()()*111112331f n n N n n n n =++++
∈++++，则()()1111323334f k f k k k k +=+++++++ 2. 用数学归纳法证明()2
21*111,1n n a a a a a n N a
++-++++=≠∈-，在验证n=1成立时，左边计算所得项是＿＿＿＿ 3.某个命题与正整数有关，若n=k ()*k N ∈时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时该命题不成立，那么一定可推得n=＿＿＿＿时命题也不成立
【典型例题】
例1. 用数学归纳法证明：()*111111111234212122n N n n n n n -+-+
+-=+++∈-++
例2. 求证：()()()()()2121*
111n n a a a a n N -+++++∈ ()()()*11112.112331
f n n N n n n n =
++++≥∈++++
例3. 已知正数数列{}n a 中，前n 项和112n n n S a a ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
（1） 求1234,,,a a a a （2）推测{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明
例4. 平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成()2122
n n ++个区域
【课堂检测】
1.如果命题P ()n 对n=k 成立，那么它对n=k 成立，又若P ()n 对n=2成立，则P ()n 对所有 ( )
A. 正整数n 成立
B. 正偶数n 成立
C. 正奇数n 成立
D. 大于1的正整数n 成立2.记凸k 边形的内角和为f （k ），则凸k+1边形的内角和为f （k+1）= f （k ）+
3. 用数学归纳法证明()()()()1221321n n n n n n +++=∙∙∙-，从k 到k+1左端 需增乘的代数式为
4.已知()()()2739n f n n n N +=+∙+∈，是否存在自然数m ，使对一切正整数n ，都有()m f n .如果存在，求出最大的m 值并证明你的结论；若不存在，说明理由.
【总结提升】
1.数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小的正整数0n 时结论成立；
再证明假设当n=k ()0k n ≥时结论正确，根据这个假设，去推证n=k 1+时结论正确.这就把无限的递推用这两步给表示出来了。
2. 数学归纳法的两步缺一不可，缺乏验证递推失去起点，缺乏论证递推的依据正确，递推就无法进行.
3.数学归纳法的主要解决与正整数有关的数学问题的解决，应用十分广泛.可以证明恒等式、不等式、整除问题、几何中与正整数有关的问题，还可以解决数学中的一些猜想.。