任意角与弧度制导学案
北师大版4.1.3 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
【导学释疑】
1.已知sin = ,cos = ,若 是第二象限角，求实数a的值. .
2.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
3.设 为第三象限角，试判断 的符号. ＜0.
4.角 终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角 终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
A.-3B.3或
C.- D.-3或-
答案C
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
4、掌握三角函数在各个象限的符号
5.会做出某角的三角函数线
三、教学过程
【温故知新】
一、选择题
1.已知cos ·tan ＜0,那么角 是（）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
2.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是（）
A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>
答案D
3.与610°角终边相同的角表示为
A.k·360°+230°(k∈Z)B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案B
4.已知（ ）sin2 ＜1,则 所在象限为
A.第一或第二象限B.第二或第四象限
C.第二或第三象限D.第一或第三象限
求sin ·cos +sin ·cos +tan ·tan 的值.-1.
【检测反馈】
5.已知点P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边在第几象限（）
任意角与弧度制导学案
第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？ ______________________________________________________二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。
这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。
3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______.4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
任意角和弧度制及任意角的三角函数 导学案2012(1)
课题任意角和弧度制及任意角的三角函数学校日照实验高中编者王泳洁【复习导航】1.目标定位：考查三角函数的定义及应用.考查三角函数值符号的确定.2.考题预测：从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．预测将以选择题或填空题的形式考查三角函数的定义以及终边相同的角的有关知识.【要点梳理】1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为________、________、________.②按终边位置不同分为__________和__________．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成________________．(3)弧度制①1弧度的角：____________________________________________叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为______，负角的弧度数为______，零角的弧度数为____，|α|＝____，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小______，仅与____________有关．④弧度与角度的换算：360°＝________弧度；180°＝______弧度．⑤弧长公式：________，扇形面积公式：S扇形＝________＝__________.2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角α的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的__________．由三角函数的定义知，点P 的坐标为__________，即____________，其中cos α＝________，sin α＝________，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝________.我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的________、__________、__________.三角函 数线(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ) (Ⅳ)有向线段______为正弦线；有向线段______为余 弦线；有向线段______为正切线小注：1.三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 【基础自测】1．(教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案 C 2．若α＝k ·180°＋60°(k ∈Z )，则α在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 解析 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋240°＝m ·360°＋240°，故α为第三象限角； 当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋60°，故α为第一象限角． 答案 A3．若sin αtan α＜0，则α是( )A ．第一或第三象限角B ．第二或第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第三或第四象限角 解析 由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角，故α是第三象限角；或由sin α＞0知α是第一、二象限或y 轴非负半轴上的角，由tan α＜0知α是第二、四象限角，此时α为第二象限角，所以α是第二或第三象限角．答案 C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55 B.255 C ．－ 255 D ． 55解析 由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.答案 A 5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.答案 －8 【典例精析】题型一 角的集合表示及象限角的判定 例1 已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ， 那么两集合的关系是什么？【分析】从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代入求出所求解. 【解】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°≤0°， 得－765°≤k ×360°≤－45°，解得－765360≤k ≤－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊂≠N .【反思】 1.第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k ·360°＋α，k ∈Z . 2.第(2)小题也可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论．变式练习1. (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．题型二 三角函数的定义例2. 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【分析】根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ.【解】由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.【反思】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 变式练习2. 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 题型三 三角函数线及应用例3. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【分析】 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．【解】(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．变式练习3. 设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．题型四 三角函数值的符号及判定例4 如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．【分析】由点P 所在象限，判断sin θ，cos θ分别的符号，进而确定角θ所在的象限. 【解】 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，由sin θ＞0知θ是第一、二象限或y 轴非负半轴上的角, 由cos θ＜0知θ是第二、三象限或x 轴非正半轴上的角, 所以θ为第二象限角．【反思】熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键．变式练习4 已知sin α＜0，tan α＞0.试判断tan α2sin α2cos α2的符号．题型五 弧度制的应用例5 已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【分析】(1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.【反思】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．变式练习5. 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【课堂小结】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任意一点，如有可能则取终边与单位圆的交点， |OP |＝r 一定是定值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：sin α上正下负，cos α右正左负，tan α奇正偶负.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.【巩固深化】一、选择题1．在直角坐标平面内，对于始边为x 轴正半轴的角，下列命题中正确的是( )A ．第一象限中的角一定是锐角B ．终边相同的角必相等C ．相等的角终边一定相同D ．不相等的角终边一定不同 2．sin 2cos 3tan 5的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在3．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40 π cm 2B ．80 π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 25．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4二、填空题6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________． 8．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 三、解答题9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ， 求圆心角的弧度数和弦长AB .10．(1)设90°＜a ＜180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.拓展提高 角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【参考答案】要点梳理1．(1)①正角 负角 零角 ②象限角 轴线角 (2)α＋k ·360° (k ∈Z )(3)①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 lr ③无关 角的大小④2π π ⑤l ＝|α|r12lr 12|α|r 2 2．(1)y r x r yx自变量 函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线 正弦线 正切线 MP OM AT 基础自测1. 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 答案 C2．解析 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋240°＝m ·360°＋240°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋60°，故α为第一象限角． 答案 A3．解析 由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角，故α是第三象限角；或由sin α＞0知α是第一、二象限或y 轴非负半轴上的角，由tan α＜0知α是第二、四象限角，此时α为第二象限角，所以α是第二或第三象限角． 答案 C4．解析 由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55. 答案 A5．解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8. 答案 －8变式练习1. 解 (1)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π (k ∈Z )⇒－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π (k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )． ∴角－α的终边在第二象限；由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π (k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．(2) ∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(3)∵θ＝6π7＋2k π (k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3＜2π,－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.变式练习2.解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t ) (t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝22(3)t t +-（4）＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式练习3. 解：∵θ是第二象限角，∴π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜θ2＜π2＋k π，k ∈Z ， ∴θ2是第一或第三象限的角． (如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当θ2是第一象限角时，sin θ2＝AB ，cos θ2＝OA ，tan θ2＝CT ，从而得，cos θ2＜sin θ2＜tan θ2；②当θ2是第三象限角时，sin θ2＝EF ，cos θ2＝OE ，tan θ2＝CT ，得sin θ2＜cos θ2＜tan θ2.综上所得，当θ2在第一象限时，cos θ2＜sin θ2＜tan θ2；当θ2在第三象限时，sin θ2＜cos θ2＜tan θ2. 变式练习4 解 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z}．即得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．变式练习5. 解 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40，S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．【巩固深化】一、选择题1．解析：第一象限角是满足2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z 的角，当k ≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2k π＋α，k ∈Z ；当k ≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同． 答案 C2．解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 5＜0， ∴sin 2cos 3tan 5＞0. 答案 B3．解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角． 答案 B4．解析 72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80 π(cm 2)．答案 B5．解析：由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m ＜0，解得m ＝－4.答案 C二、填空题6．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案 (－1，3)7．解析：∵tan α＝cos 23πsin 23π＝－1232＝－33，且sin 23π＞0，cos 23π＜0，∴α在第四象限，由tan α＝－33，得α的最小正值为116π.答案 116π8．解析：设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R . ∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3.答案 3 三、解答题9．解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度,∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm)．10．解 (1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x，又∴tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.拓展提高 解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。
任意角和弧度制(第1课时)
第四课时：任意角和弧度制（第1课时）编写人：潘有金审核人：张广泉审批：苏自先学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面直角坐标系中讨论角；2.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3.了解角的概念推广的现实意义，学会用数学的观点分析、解决实际问题。
预习案一、教材助读认真阅读课本P 1 -P 5 ,完成下列问题1.在初中，我们已学习过角的有关知识。
请同学们回忆：角的定义：角的表示：角的范围：2.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的几何图形。
我们规定：按逆时针方向旋转所成的角叫做_________;按顺时针方向旋转所成的角叫做_________;如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了_________。
3.在直角坐标系内讨论角，必须使角的顶点与________________重合，角的始边与______________________重合.4. 在直角坐标系内，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是_________；如果角的终边在坐标轴上，我们就说这个角_________。
5. 在直角坐标系内，相等的两个角终边一定相同；反过来，终边相同的两个角不一定相等。
6. 在直角坐标系内，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=______________________二、预习自测（牛刀小试）1.下列命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角2.已知集合A={第一象限的角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面正确的是（）A.A=B=CB.A BC.A∩C=BD.以上都不对3.已知角的顶点与坐标原点重合，终边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角：（1）420°；（2）-75°；（3）-510°在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第四课时：任意角和弧度制（第1课时）导学案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题问题1.体操中，有“转体720°”、“转体1080°”，这些动作名称的含义是什么？问题2.被动轮随主动轮旋转而旋转，OA绕O旋转形成的角与O/B/绕O/旋转形成的角有什么区别？如何准确地描述这些现象？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸条交给老师探究一任意角的概念（利用几何画板展示任意角形成的过程）⎧⎪⎨⎪⎩正角按逆时针方向旋转形成的角任意角零角未作任何旋转负角按顺时针方向旋转形成的角探究二如何在直角坐标系内讨论角？今后，我们一般地都是在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题的方便，规定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合探究三象限角的定义探究四终边相同的两个角之间的关系问题1.给定一个角，它的终边是不是唯一的？问题2.对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？问题3.在直角坐标系中，如果角α与β的终边相同，那么α与β有什么关系？探究五终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制导学案(2)
1.1 任意角和弧度制导学案2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。
【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合；2、用集合来表示终边相同的角.25体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？任务二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角OA OB分别是角α的终边、始边.的顶点，射线,2．角的分类：按____________方向旋转形成的角叫做；按方向旋转形成的角叫做__________ ；如果____________________________，我们称它形成了一个零角；综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。
说明：零角的始边和终边重合.例1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º990º3．象限角和轴线角在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-ooo都是第一象限角；300,60-oo是第四象限角. （2）轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 例如：90,180,270ooo等等.说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.问题：上述四个角分别是第几象限角，那些终边在坐标轴上，其中哪些角的终边相同.例2.在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）650º （2）-150º （3）-990º15¹【探索——终边相同角的表示】阅读课本第4页上端内容，将课文补充完整，并回答下面的问题： 1、在直角坐标系中标出210°，-150°，570o 角的终边，你有什么发现？它们之间有何数量关系？2、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 _________________________________。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、概念解释任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。
在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。
在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。
本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。
二、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。
弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。
三、弧度制与度度量的转换1. 弧度制转度度量：角度(度) = 弧度数× (180°/π)2. 度度量转弧度制：弧度数 = 角度(度) × (π/180°)四、弧度制的优点1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。
2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得计算过程更加简洁。
3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角度和长度的单位得到了统一。
五、任意角的弧度表示在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。
六、弧度制在三角函数中的应用在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。
以下是几个常用三角函数值对应的弧度制表示：1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.52. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.7073. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3七、弧度制的练习与应用1. 练习一：求解以下各角的弧度制表示：a) 45°b) 60°c) 90°2. 练习二：根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）：a) sin(π/4)b) cos(π/3)c) tan(π/6)3. 应用一：计算角度为45°的正弦值解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.7074. 应用二：计算角度为60°的余弦值解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5八、总结通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度量方式。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案导言：任意角是初中数学中一个重要的概念，它是我们研究三角函数的基础。
为了更好地理解任意角，我们需要引入弧度制这一概念。
本教案将从任意角的定义开始，逐步介绍弧度制的概念以及如何进行角度与弧度的转换，帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、任意角的定义在平面直角坐标系中，通过原点O以及一条射线OA，可以确定一个角，这个角叫做任意角。
其中，射线OA称为角的始边，射线OB （OB ≠ OA）称为角的终边，O点叫做角的顶点。
二、弧度制的概念角度制是我们最常用的一种角度单位，但在一些高级数学和物理问题中，常常使用弧度制来度量角的大小。
弧度制定义如下：当半径为r 的圆的圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的度数为1弧度，记作1 rad。
三、角度与弧度的转换1. 角度转弧度：已知角的度数α，可以使用如下公式将其转化为弧度：弧度数 = 角度数× π/1802. 弧度转角度：已知角的弧度数β，可以使用如下公式将其转化为角度：角度数 = 弧度数× 180/π四、任意角的性质1. 一个任意角可绘制无数个与之终边相同的角。
2. 一个任意角的终边在平面直角坐标系中的位置决定了该角在坐标系中的唯一性。
3. 弧度制中的任意角大小范围为0≤θ<2π，其中2π的意义相当于360°。
五、任意角的相关公式在三角函数的研究中，任意角的概念是非常重要的。
以下是一些与任意角相关的基本公式。
1. sin任意角和cos任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：sinθ = y/rcosθ = x/r其中，r为OP的长度。
2. tan任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：tanθ = y/x注：当x=0时，tanθ不存在。
3. 值域：在上述公式中，可以发现sinθ、cosθ、tanθ的值与终边上的坐标有关，因此它们的值域都在[-1,1]之间。
新人教版高中数学 1-1《任意角和弧度制》导学案必修四-2019最新整理
新人教版高中数学 1-1《任意角和弧度制》导学案必修四-2019最新整理【学习目标】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3. 初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点是角的顶点，射线分别是角的终边、始边.O OA OBαO,OA OBα说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．αα∠α2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则x（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：都是第一象限角；是第四象限角.30,390,330--300,60（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：等等.90,180,270说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”.因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.x x x。
学案1任意角和弧度制
∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,
∴ s in(cos) <0,∴ s in(cos) 的符号是负号.
cos (s in2)
cos (s in2)
【评析】 (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是 关键.
(2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可 先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判断 角所在象限.
【分析】 (1)由点P所在的象限,知道sinθ·cosθ,2cosθ 的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.
(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把 cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在u 的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.
= π 弧度.
（5）弧长公式:
S扇形=
1 lr 2
=
l |a|r
1 a r2 2
.
,扇形的面积公式:
考点1 象限角、三角函数值符号的判断
(1)如果点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限，试判断角θ 所在的象限； (2)若θ是第二象限角,则 sin(cos)的符号是什么?
cos(sin2)
做1弧度的角.
（2）规定:正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数
l
是一个 负数 ,零角的弧度数是 0 .|α|= r (l是以角α 作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径).
（3）用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
பைடு நூலகம்
比值lr与所取的r的大小无关 ,仅与角的大小 有关.
（4）弧度与角度的换算:360°= 2π弧度; 180°
最新人教版高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案
高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案【学习目标】1、 通过课前预习，学生掌握角度和弧度的概念，熟悉弧度与角度的互化，熟悉弧长和扇形的面积公式；2、 通过课堂探究，熟练掌握运用任意角三角函数的定义进行化简和求值。
【重、难点】三角函数的定义及应用是考察的重难点。
1．－870°的终边在第几象限 ( )A ．一B ．二C ．三D ．四【知识点链接】 第一象限角的集合可以表示为{α| },第二象限角的集合可以表示为{α| },第三象限角的集合可以表示为{α| },第四象限角的集合可以表示为{α| }.2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4【知识点链接】若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|＝ }(或{β|β＝ })．3．若sin α<0且tan α>0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点链接】四个象限的符号可用口诀来表示：4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【知识点链接】(1)角度与弧度的换算：①1°＝ rad ；②1 rad ＝ .(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝r α，则扇形的面积为S ＝ .＝ .5.=34cos π . 【知识点链接】sin(α＋k ²2π)＝ cos(α＋k ²2π)＝ tan(α＋k ²2π)＝【知识脉络】角的概念→角度与弧度的转化→扇形半径和面积公式【考点一】角的集合的表示[例1] (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．变式：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β3的终边相同的角为________．小结：(1)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.【考点二】三角函数的定义[例2]已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( ) A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4变式：角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0，则sin θ的值是 ( ) A.22 B ．－ 22 C.22或－22D ．1变式：已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝ ( ) A. 3 B ．± 3 C.33 D ．±33小结：定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标；(2)已知角α的终边所在的直线方程；分别思考如何来求解？【考点三】 扇形的弧长、面积公式及其应用[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？变式：已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )A.23B.32C.23πD.32π变式：圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2.记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．1.若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．2kπ＋β(k∈Z)B ．2kπ－β(k∈Z)C ．kπ＋β(k∈Z)D ．kπ－β(k∈Z)2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．83.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]4. 在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．5. 若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.【课外延申】已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．。
第1课时 任意角的概念与弧度制导学案
第1课时任意角的概念与弧度制导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1课时 任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标（1）了解任意角的概念。
并会写象限角和终边相同的角的集合。
（2）熟练掌握角度与弧度的互化。
（3）熟记弧长和扇形面积的公式。
2、新知导读1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．如何确定四个象限角？5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．6．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．特殊角的角度与弧度的互化。
30º= 弧度45º= 弧度60º= 弧度90º= 弧度7．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .8、阅读练习册P60的名师支招3、范例点睛例1.（象限角问题） 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α的终边所在位置.例2. （弧长与扇形面积）已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ．(1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．4、达标检测1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。
2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________3、练习册P62对应演练。
5、[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________。
任意角与弧度制导学案
1．角的概念
角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类
按__________方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？
例2在 到 的围，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1） （2） （3） （4）
例3已知 角的终边相同，判断 是第几象限角。
例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5写出角的终边在下图中阴影区域角的集合（包括边界）
（1）（2）（3）
第一章三角函数
1.1.1任意角
【学习目标】
1．了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念
2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示
【学习重点、难点】
用集合与符号语言正确表示终边相同的角
【自主学习】
一、复习引入
问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？
______________________________________________________
（4）第四象限角的集合：_______________________________________
轴线角的集合
（1）终边在 轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（2）终边在 轴负半轴的角的集合：_______________________________________
高三数学《任意角、弧度制及任意角的三角函数》导学案
数学（高三上）导学案角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－45，则m的值为()A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.答案{－675°，－315°}答案 (1)C(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋5π6（k ∈Z ）. 答案 (1)B (2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋5π6（k ∈Z ） 考点二 弧度制及其应用典例迁移【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3×10－12×102×32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10)， 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 【训练2】 (一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( ) A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32 B.－12 C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、讨论交流 点拨提升1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合四、作业布置基础知识：课时作业本（基础巩固题组）拓展提升: 课时作业本（能力提升题组）教学反思。
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第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________ 所学的角的围是什么？______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？ ______________________________________________________二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。
这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。
3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______.4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________（2）第二象限角的集合：_______________________________________（3）第三象限角的集合：_______________________________________（4）第四象限角的集合：_______________________________________轴线角的集合（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
000000---30,150,60,390,390,120【典型例题】例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？例2 在00到0360的围，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1）0650 （2）0150- （3）0240- （4）'015990-例3 已知0240与α角的终边相同，判断2α是第几象限角。
例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5 写出角的终边在下图中阴影区域角的集合（包括边界）（1） （2） （3）【拓展延伸】已知角α是第二象限角，试判断2α为第几象限角？【巩固练习】1、设060-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为___________________.2、把下列各角化成),3600(3600Z k k ∈<≤⋅+αα的形式，并指出它们是第几象限的角。
（1）01200 （2）055- （3）01563 （4）01590-3、终边在y 轴上的角的集合_______________________________;终边在直线x y =上的角的集合______________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.4、 终边在030角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.5、 若角α的终边与045角的终边关于原点对称，则___________=α；若角α，β的终边关于直线0=+y x 对称，且060-=α，则____________=β.6、集合},3690|{00Z k k A ∈-⋅==αα，}180180|{00<<-=ββB ，则._________=⋂B A7、若2α是第一象限角，则α的终边在_______________________________【课后训练】1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________.2、若013590<<<αβ，则βα-的围是_________，βα+的围是________.3、（1）与'30350-终边相同的最小正角是________;（2）与0715终边相同的最大负角是_______________; （3）与01000终边相同且绝对值最小的角是__________;（4）与01778-终边相同且绝对值最小的角是___________. 4、与015-终边相同的在003601080-<≤-β之间的角β为_______________________.5、已知角βα,的终边相同，则βα-的终边在___________________________.6、若β是第四象限角，则β-0180是第_____象限角；β+0180是第____象限角。
7、若集合},9018030180|{0Z k k k A ∈+⋅<<+⋅=αα， 集合},4536045360|{0Z k k k B ∈+⋅<<-⋅=ββ， 则._____________=B A8、已知集合}{锐角=M ，}90{0的角小于=N ，}{第一象限的角=P ，下列说法：（1）N P ⊆，（2）M P N =⋂，（3）P M ⊆，（4）P N M ⊆⋃)(其中正确的是____________.9、角α小于0180而大于0180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。
10、已知α与060角的终边相同，分别判断2α，α2是第几象限角。
【课堂小结】1.1.2 弧度制【学习目标】3．理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数4．掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5．了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的01的角是如何定义的？二、建构数学1．弧度制角还可以用__________为单位进行度量，___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。
2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。
这里，α的正负由____________________________________决定。
3．角度制与弧度制相互换算360°＝_________rad 180°＝_________rad1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。
5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：|α______________ （l为弧长，r为半径）角α的弧度数的绝对值|弧长公式：____________________________扇形面积公式：____________________________例1．把下列各角从弧度化为度。
（1）53π （2）12π （3）65π- （4）2 （5）5.3例2．把下列各角从度化为弧度。
（1）0750- （2）01440- （3）0'6730 （4）0252 （5）'15110例3．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。
（2）已知扇形周长为cm 4，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。
例4．已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。
【巩固练习】1、特殊角的度数与弧度数的对应。
2、若角3=α，则角α的终边在第____象限；若6-=α，则角α的终边在第___象限。
3、将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式，并指出第几象限角。
（1）319πα=（2）0315-=α （3）322πα= （4）223πα=4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。
5、用弧度制表示下列角终边的集合。
（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线x y 3=上的角6、若一圆弧长等于其所在圆的接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。