2020中考数学考点总动员专题35 应用题(解析版)
中考数学考点总动员系列专题：36解直角三角形(含解析)
考点三十六：解直角三角形 聚焦考点☆温习理解一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b正弦：sinA ＝∠A的对边斜边＝a c余弦：cos A ＝∠A的邻边斜边＝b c余切：tanA ＝∠A的对边∠A的邻边＝a b二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA ＝cos B ＝，cos A ＝sinB ＝，tanA ＝；(4)sin 2A ＋cos 2A ＝1四、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角名师点睛☆典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】（2017年甘肃省兰州市西固区桃园中学中考数学模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC 于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误.故选C.考点：锐角三角函数的定义．【点睛】掌握锐角三角函数的算法，正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边，正切（tan）等于对边比邻边.【举一反三】1. （2017哈尔滨第8题）在中，，，，则的值为( )。
专题二 一次函数与二元一次方程组问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题二一次函数与二元一次方程组问题【知识点总结】一、二元一次方程与一次函数的关系若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．二、用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：1、先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；2、建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；3、写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.三、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：1、写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；2、把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；3、解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．【针对训练】1、在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为；（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），故答案为（2，4）；（2）设点A坐标为（x，y），由题意可得：，∴，∴点A坐标为（2，1）；（3）∴点A（x，0），∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），∴AB＝|mx|，∴AB＝OA，∴|x|＝|mx|，∴m＝±1；（4）∴点A（x，y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，∴，∴x＝0，∴点A在y轴上，故答案为：y轴上．2、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图∴：在∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：∴ADC∴∴CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图∴，可得到结论；∴ADC∴∴CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图∴，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图∴，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若∴DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：∴∴ACB＝90°，∴∴ACD＝∴BCE＝90°，又∴∴ADC＝90°，∴∴ACD+∴DAC＝90°，∴∴BCE＝∴DAC，且∴ADC＝∴BEC＝90°，∴∴ADC∴∴CEB；（2）如图，过点O作ON∴OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME∴x轴NF∴x轴，由（1）可得：∴NFO∴∴OEM，∴，∴点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∴tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∴设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∴CDP＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，∴∴ADC+∴CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∴∴BAP＝∴B＝∴H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴H＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∴CPD＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴EHP＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∴∴DPC＝90°，∴∴DPN+∴CPH＝90°，且∴CPH+∴PCH＝90°，∴∴PCH＝∴DPN，且∴N＝∴CHP＝90°，∴∴CPH∴∴PDH，∴，∴∴x＝∴点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，∴DPC为直角三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC∴x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∴x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）∴AC∴x轴，点A（5，0），∴点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，∴OM＝6﹣2t，∴OM∴AN，MN∴x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM＝AN，∴6﹣2t＝3t，解得，t＝，∴当MN∴x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF∴x轴，交OB于E，交AC于F，∴EF∴x轴，BM∴AN，∴AOE＝90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF＝OA＝5，EO＝F A，∴BM∴AN，∴∴BDM∴∴ADN，∴＝＝，∴EF＝5，∴DE＝2，DF＝3，∴BM∴AN，∴∴BDE∴∴ADF，∴＝＝，∴＝，∴OB＝6，∴EO＝F A＝，∴CF＝AC﹣F A＝，∴CD＝＝．4、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∴CGF＝∴ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：∴点D坐标（2，4）（2）∴直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B（0，8），点A（4，0），∴直线y＝x+3交y轴于点C，∴点C（0，3），∴AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，∴点E（4，5）∴点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，∴BC＝AE＝AC＝BE，∴四边形ACBE是菱形；（3）∴BC＝AC，∴∴ABC＝∴CAB，∴∴CGF＝∴ABC，∴AGF＝∴ABC+∴BFG＝∴AGC+∴CGF∴∴AGC＝∴BFG，且FG＝CG，∴ABC＝∴CAB，∴∴ACG∴∴BGF（AAS）∴BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，∴a＝±，∴点G在线段AB上∴a＝，∴点G（，8﹣2）5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S∴ACE＝S∴ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，求点F的坐标．解：（1）∴直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，∴令y＝0，则3x﹣6＝0，∴x＝2，∴D（2，0）；（2）如图1，∴直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，∴令y＝0．∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），∴AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，∴C（4，6），∴S∴ACD＝AD•|y C|＝×4×6＝12，∴S∴ACE＝S∴ACD，∴S∴ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，∴B（0，2），设点E（0，m），∴BE＝|m﹣2|，∴S∴ACE＝BE•|x C﹣x A|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，∴m＝﹣2或m＝6，∴点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，∴当点F在直线l1上方时，∴以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，∴∴、当∴APF'∴∴APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），∴OB＝OA＝OD，∴∴ABO＝∴DBO＝45°，∴∴ABD＝90°，∴DB∴l1，∴∴APF'∴∴APD，∴PF'＝PD，AF'＝AD，∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，∴点D，F'关于直线l1对称，∴DF'∴l1，∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，∴F'（﹣2，4），∴、当∴P AF∴∴APD时，∴PF＝AD，∴APF＝∴P AD，∴PF∴AD，∴点D（2，0），A（﹣2，6），∴点D向左平移4个单位，∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），∴F（﹣3，3），∴当点F在直线l1下方时，∴∴P AF''∴∴APD，由∴∴知，∴P AF∴∴APD，∴∴P AF∴∴P AF''，∴AF＝AF''，PF＝PF''，∴点F与点F'关于直线l1对称，∴FF''∴l1，∴DF'∴l1，∴FF'∴DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），∴F''（1，﹣1），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S∴AOP：S∴AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求∴APC的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，∴点A（2，0），点B（﹣4，3），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE∴x轴于E，过P作PD∴x轴于D，∴PD∴BE，∴S∴AOP：S∴AOB＝2：3，∴＝，∴点B（﹣4，3），∴BE＝3，∴PD∴BE，∴∴APD∴∴ABE，∴＝＝，∴PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP∴AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，∴APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…∴，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…∴，联立∴∴并解得：x＝，y＝，故点C（，）．7、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是．（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使∴DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，OP所在的直线是y轴；当点P在C点时，∴∴AOC＝∴BOC＝45°，∴A′点的位置关系是点B，OP所在的直线表达式是y＝x．故答案为：A，y轴；B，y＝x．（2）连接OD，∴正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，∴＝＝．由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∴OA′D＝90°．∴A′D＝1．设点P（x，2），P A′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．解得x＝．所以P（，2），∴OP所在直线的表达式是y＝3x．（3）存在．若∴DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小．∴点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1），∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，，解得，∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+．当y＝0时，x＝．∴点Q（，0）．8、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别与x轴交于A（6，0），∴b＝6，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，∴B（0，6），∴OB＝6，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）设BC的解析式是y＝kx+b，∴解得，直线BC的解析式是：y＝3x+6；（2）存在．理由如下：如图1中，∵S△BDF＝S△BDE，∴只需DF＝DE，即D为EF中点，∵点E为直线AB与EF的交点，∴∴点E（，）∵点F为直线BC与EF的交点，∴∴点F（，）∵D为EF中点，∴+，∴a＝0舍去，a＝（3）K点的位置不发生变化．理由如下：如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，∴AC＝QC＝6+m，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝6，∴K（0，﹣6）．9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠PAE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝4，∴2m﹣8＝4，∴m＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ 的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，∵AB＝AC，∴AC＝5，∴C（2，0），设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B与点C代入，得，∴，∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，∵Q点横坐标是t，∴MQ＝t，∵MQ∥OC，∴，∴，∴BQ＝t，∵AP＝BQ，∴AP＝t，∵AB＝5，∴PB＝5﹣t，在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，∵AB×CF＝AC×OB，∴CF＝OB＝4，∵EQ∥CF∴∴EQ＝2t，∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；（3）如图3，∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，∴AH＝AB＝5，AE＝EH，∴OH＝BH﹣OB＝1，∵EH2＝EO2+OH2，∴AE2＝（4﹣AE）2+1，∴AE＝＝EH，∴OE＝，∴点E（﹣，0）∵EH＝FH＝，∴OF＝∴点F（0，）∴直线EF解析式为y＝x+，直线BE的解析式为：y＝3x+4，∴﹣2x+4＝x+，∴x＝，∴点G（，）∴BG＝＝，∵BG＝AP，∴AP＝1，设点P（a，a+4）∴1＝∴a＝﹣，∴点P（﹣，），∴直线PG的解析式为：y＝x+，∴3x+4＝x+，∴x＝﹣1，∴点T（﹣1，1）∴BT＝＝11、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．。
2020年九年级中考数学大点兵压轴解答题【教师版】
中考数学大点兵解答题【教师版】1.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0，，2），B 1），C 1）．（1）如图1．过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO ＝30°．若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；（2）如图1，将直线AM 向下平移得到直线y ＝kx ＋b ，当b 满足什么条件时，直线y ＝kx ＋b 上总存在等边△ABC 的中心关联点？（3）如图2，Q 为直线y ＝－1上一动点，⊙Q 的半径为12，当点Q 从点（－4，－1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒，是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值； 如果不存在，请说明理由．【答案】 解 （1）由∠AMO ＝30°．可得AM ＝2OA ＝4，OM ＝ 如图3．过点O 作OH ⊥AM 于点H ． 易求OH ＝12OM 即AM 与外接圆相交，与内切圆相离，记AM 与外 接圆的另一个交点为G ．连结OG ，则△OAG 为等边三角形，图2图4图5所以AC ＝OG ＝12AM ， 即G 为AM 的中点，所以点G 1）．显然AG 上的点都是△ABC 的中心关联点， 所以0≤M（2）直线AM 向下平移的过程中，只要与△ABC 的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线 y ＝kx ＋b 上就存在等边△ABC 的中心关联点． 如图4，直线IJ ∥AM ，且与△ABC 的外接圆相切 于点K ，此时为直线y ＝kx ＋b 的临界状态． 连鲒OK ，则OK ＝2． 所以OJ ＝cos30OK ︒， b ≤2． （3）存在．符合题意的t 的值为4或4． 如图5，当点Q 移动到Q 1．Q 2住置时．即⊙Q 内切 圆环时，⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点． 连结OQ 1，OQ 2， 则OQ 1＝OQ 2＝32． 令直线y ＝－1与y 轴的交点为L ，则OL ＝1．所以Q 1L ＝Q 2=所以14t =-，24t =2.如图，抛物线2)(4)y x x +-与x 轴交于点A ，B （点A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线于点D ． P 是抛物线上一点，问：是否存在点P ， 使以P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABD 相似（△PAB 与△ABD 不重合）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：存在．因为点A （－2，0），B （4，0），C （0，，过点D （2，DE ⊥AB 于点E ，由勾股定理得AD BD ==①如图，当△1P AB ∽△ABD 时，1PB AB AB BD=，所以1PB = 过点1P 作11PM ⊥AB 于点1M ，所以111PM DE PB BD =，解得11PM =．∵11BM BEPB BD =，∴112BM =，∴点1P 的坐标为（－8，， 因为此时点1P 不在抛物线上，所以此种情况不存在．②当△2P AB ∽△BDA 时，2P B ABAB AD=，所以2P B =2P 作22P M ⊥AB 于点2M ， 所以222P M DE P B AD =，解得22P M =．因为22BM AEP B AD=，所以28BM =， 所以点2P 的坐标为（－4，，将x ＝－4代入抛物线的表达式得y =，所以点2P 在抛物线上．x③由抛物线的对称性可知：点2P 与点3P 关于直线x ＝1对称，所以3P 的坐标为（6，．④当点4P 位于点C 处时，两个三角形全等，所以点4P 的坐标为（0，-．综上所得，点P 的坐标为（－4，，（6，0，-）时，以P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABD 相似．3. 已知：在RT △ACB 和RT △AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝900，若P 是BF 的中点，连结PC 、PE （1）如图1，若点E 、F 分别落在边AB 、AC 上，请直接写出此时PC 与PE 的数量关系． （2）如图2，把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转，当点E 落在边CA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】解（1）易得PC ＝PE ＝12BF ，即PC 与PE 相等．（2）结论成立．理由如下：如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而∠CED＝900，所以PE＝12CD＝PC（3）结论仍成立，理由如下：如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC所以AE EF EF AC BC FD==而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD，如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900，所以PE＝12CD＝PC4.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2＋2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）．若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB＝90°，结合图像，求a的取值范围．【答案】抛物线y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋3）（x－1）＝a（x＋1）2－4a，所以点A（－3，0），点B（1，0），从而AB＝4，抛物线对称轴为x＝－1．以AB为直径作圆．①如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为（－1，－2）．将其代入抛物线表达式，得a＝12．②如图，当点N在抛物线上（不与顶点重合）时，－4a＜－2，则a＞12．综上可得，满足题意的a的取值范围为a≥12．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，14），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．（1）若P是抛物线上的一个动点（如图1），求证：点P到点R的距离与点P到直线y＝－1的距离恒相等；（2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y ＝－1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图2）．求证：PF⊥QF．【答案】（1）题意可得抛物线表达式为()2114y x =--． 设点P 的坐标为（x ，()2114x --），则PM ＝()21114x --+． 由两点间距离公式得PR 2＝（x －1）2＋()()222211111144x x ⎡⎤⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）因为QN ＝QR ，PR ＝PM ，所以PQ ＝PR ＋QR ＝PM ＋QN ．根据题意可得EF 为梯形PMNQ 的中位线，即EF ＝12（QV ＋PM ）＝12PQ ．所以EF ＝EQ ＝EP ，即点F 在以PQ 为直径的圆上，所以PF ⊥QF ．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行．直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于点P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数k y x=（k＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交干点F ． （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标：若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）k ＝2 （2）存在．点E 的坐标为（38，2）或（83，2） 【提示】（2）易得点E （3k，2），F （1，k ）．①如图1，当k ＜2时，只能有△MEF ≌△PEF ．过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，易证△BME ∽△HFM ，用k 表示相关线段的长度，从而得到BM ＝12，再解Rt△BME ，得k ＝34，所以点E 的坐标为（38，2）；②如图2，当k ＞2时，只能有△MEF ≌△PFE ． 过点F 作FQ ⊥y 轴于点Q ，同①可得点E 的坐标为（83，2）7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．图1图2【答案】（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE 7.5 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．8.边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，D 是OA 边的中点，连结CD ，点E 在第一象限，且DE ⊥DC ，DE ＝DC ，以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）M 为直线上一动点，N 为抛物线上一动点，问：是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图1，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ． 易证△ODC ≌△GED （AAS ），所以112GE OD OA ===． 所以点E 的坐标为（3，1）．而直线AB 为抛物线的对称轴，直线AB 的表达式为x ＝2， 所以可设抛物线的表达式为y ＝a （x －2）2＋k ，将C ，E 两点的坐标代入表达式，得42,1,a k a k ì+=ïïíï+=ïî解得1,32.3a k ìïï=ïïïíïï=ïïïî所以抛物线的表达式为()221214223333y x x x =-+=-+ （2）存在．由题意可设点M 的坐标为（2，m ），N 的坐标为214,233n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：①当DE 为平行四边形的边时， （i ）如图2，若DE ∥MN ，MD ∥NE ，由平移的性质可得22131402133n m n n -=-⎧⎪⎨-=-+-⎪⎩解得 1.4.m n =⎧⎨=⎩此时点M 的坐标为（2，1），N 的坐标为（4，2）． （ii ）如图3，若DE ∥MN ，ME ∥N D ．由平移的性质可得212 3.1420 1.33n n n m -=-⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩解得 3.0.m n =⎧⎨=⎩此时点M 的坐标为（2，3），N 的坐标为（0，2）． ②当DE 为平行四边形的对角线时，如图4．由平行四边形对角线互相平分性质可得2132.1401 2.33n m n n +=+⎧⎪⎨+=+-+⎪⎩ 解得1.32.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩此时点M 的坐标为12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 的坐标为22,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭9.如图，一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝kx（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），分别交x 轴．y 轴于点E ，F ．若点A 的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ．使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由，【答案】将点A （4，2）代入反比例函数表达式，得k ＝8， 所以反比例函数为y ＝8x， 联立方程纽组8210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ ， 解得1142x y =⎧⎨=⎩，2218x y =⎧⎨=⎩ 所以点B 的坐标为（1，8）．由题意可得点E ．F 的坐标分剐为（5，0），（0，10）， 以AB 为直角迎的直角三角形有两种情况：如图1，当∠PAB ＝90°时，连结OA ，则OA而AE，OE ＝5，所以OA 2＋AE 2＝OE 2， 即OA ⊥A B ．所以A ，O ，P 三点共线． 由O 、A 两点的坐标可得直线AP 的表达式为y ＝12x ． 联立方程组812y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得1142x y =⎧⎨=⎩，2242x y =-⎧⎨=-⎩所以点P 的坐标为（－4，－2）．②如图2，当∠PBA ＝90°时，记BP 与y 轴的交点为G ． 易证△FBC ∽△FOE ，所以FB FOFG FE=， 而FO ＝10．FEFB可求得FG ＝52，所以点G 的坐标为（0，152）．由B ，G 两点的坐标可得直线BP 的表达式为y ＝12x ＋152，联立方程组115228y x y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，＝， 解得1118x y ⎧⎨⎩＝，＝；221612x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝－.所以点P 的坐标为（－16，－12）； 综上可得，满足条件的点P 坐标为（－4，－2）或（－16，－12）．（1）求直线AC 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点P ，直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ，使得△DMC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图2【答案】（1）设直线AC的解析式y＝kx＋b，综上所述，符合条件的点P 的坐标为（0，11.某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．（1）如图1，在矩形ABCD 中，EF ⊥CH ，EF 分别交AB ，CD 于点F ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ．H 求证：EF GH ＝ADAB（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若EFGH＝1115，则BN AM＝ ． （3）如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝ CD －5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．【答案】（1）如图4．过点A 作AP ∥EF ．交CD 于点P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于点Q ． 因为四边形ABCD 是矩形． 所以AB ∥DC ，AD ∥B C ．所以四边形AEFP ，四边形BHGQ 都是平行四边形， 所以AP ＝EF ，GH ＝BQ ． 又因为CH ⊥EF ． 所以AP ⊥BQ ．所以∠QAT ＋∠AQT ＝90°．图3图2图1NMB ANM C GHHGC因为四边形ABCD 是矩形， 所以∠DAB ＝∠D ＝90°， 所以∠DAP ＋∠DPA ＝90°， 所以∠AQT ＝∠DP A ． 所以△PDA ∽△QA B ． 所以AP BQ ＝ADAB， 所以EF GH ＝AD AB．（2）因为EF ⊥GH ，AM ⊥BN ． 所以由（1）中的结论可得EF GH ＝AD AB ，BN AM ＝ADAB． 所以BN AM ＝EF GH ＝1115． （3）如图5．过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 且平行于BC 的直线于点P ，交BC 的延长线于点S ．则四边形ABSR 是平行四边形． 因为∠ABC ＝90°，所以四边形ABSR 是矩形．所以∠R ＝∠S ＝90°，RS ＝AB ＝10，AR ＝BS ．PT QHG FEBD CA因为AM ⊥DN ．所以由（1）中的结论可得DN AM ＝ARAB． 设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ．RD ＝10－y ， 所以在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25．在Rt △ARD 中．（5＋x ）2＋（10－y ）2＝100． 联立方程组2222225(5x)(10y)10x y ⎧+=⎨++-=⎩， 得50x y =-⎧⎨=⎩（舍），或34x y =⎧⎨=⎩．所以AR ＝5＋x ＝8， 所以DN AM ＝AR AB ＝810＝45．12.已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b和a 的三角函数表示）．②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式．NMS R DC BA图1 图2 图3【答案】（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．则S 1S 2＝12MG AD12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B ＝32． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴AM ADBD BN，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12．（2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．则S 1S 2＝12MG AD12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ，NFC ME BDAF NME BD ACFN DABEM CH G ABE MC FNHG CADBE M N F所以AM ADBD BN=，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝14a ²b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．则S 1S 2＝12MG AD12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以AM ADBD BN=，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝14a ²b ²sin²a ； 13.如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与BC 相交于点F ． ⑴求证：PA ＝PE ；⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD ＝10，CD ＝8，求AP ：PE 的值； ⑶如图3，在⑵的条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时，AP ：PE 的值是否发生变化？【答案】⑴如图4，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，由已知条件可得∠APE ＝90°，所以∠APM ＝∠EPN ，所以△APM ≌HGCM EBA DN F图3ADBEPFC ADBPCE 图2ADPBE C 图1△EPN ． 故AP ＝PE ．⑵如图5，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ∥AD ，PN ∥C D ． 所以△BPM ∽△BDA ，△BNP ∽△BC D ．可得PM BP PN AD BD CD ==，所以54PM AD PN CD ==．易证△APM ∽△EPN ，所以54AP PM PE PN ==．⑶AP ：PF 的值不变．[如图，理由同⑵]14.如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°.（1） 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.（2） 如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ．∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF ＝BE ＋FD .（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知AB ＝AD ＝80m ，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC ，CD 上分别有景点图4A DPBE CN M图5A DBPCE N M图6ADBEP FC M NE ，F ，且AE ⊥AD ．DF ＝401）m ．现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF 的长．＝1.41＝1.73）【答案】（1）由“正方形内含半角模型”可得EF ＝BE ＋FD ． （2）∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：如图4，延长CD 至点G ，使得DG ＝BE ．连结AG. 易证△ABE ≌△ADG （SAS ）. 所以AE ＝AG ，即EF ＝BE ＋DF ＝DG ＋DF ＝GF . 从而证得△AEF ≌△AGF （ SSS ）．所以∠EAF ＝∠GAF ＝12∠EAG ＝12∠BAD .（3）如图5，将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG ．连结AF ． 由题意可得∠BAE ＝60°所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形.图1FABE图2D 图3B图4图5CBE过点A 作 AH ⊥DG 于点H ．则DH ＝12AD ＝40m ，AH AD ＝ m.而DF ＝401）m. 所以∠EAF ＝∠GAF ＝45°. 可得△EAF ≌△GAF （SAS ）．所以EF ＝GF ＝80m+40l ）m ≈109. 2m.15.如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，将△ADE 绕A 点顺时旋转一定角度，连结BD ，CE ，得到图2，然后将BD ，CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，连结AM ，AN ，MN ，得到图3． （1）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系;①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，丙证明你的猜想： （2）若AB ＝k · AC （K ＞1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系；∠MAN 与∠BAC 的数量关系．【答案】（1）①BD ＝CE ．②AM ＝AN ，∠MAN ＝∠BA C ． 证明如下：由“等腰三角形共顶点”可得△CAE ≌△BAD （SAS ） 所以CE ＝BD ，∠ACN ＝∠ABM 所以BM ＝CN从而△ABM ≌△ACN （SAS ） 所以AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN 即∠MAN ＝∠BA C ．（2）AM ＝k AN ，∠MAN ＝∠BA C ． 证明如下： 由“相似三角形共顶点”可得△CAE ∽△BAD ， 所以k AC ABCE BD ==，∠ACN ＝∠ABM 所以k ACABCN BM == 从而△ABM ∽△ACN所以AM ＝k AN ，∠BAM ＝∠CAN 即∠MAN ＝∠BA C ．16.如图1，在等边△ABC 中，AC ＝7，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝90°，∠BPC ＝120°，求△APC 的面积；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为点E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝k ·AB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）图2EDCBA图1PCBA【答案】（1）△APC 的面积为（2）BD【提示】（1）如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°至△CBQ ，连结PQ ．易证△PQC 为含30°的直角三角形．令BP ＝m ，则PQ ＝m ，从而AP ＝CQ，PC ＝2m ，然后解Rt △APC 即可． （2）如图，连结AC ，显然AC ＝AB ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转∠BAC 的度数至△ACQ ，连接DQ ，则△ABC ∽△ADQ ，从而DQ ＝k ·BC ＝4k ．作AF ⊥DQ 于点F ，则∠DAF ＝∠BAE ＝∠ADC ，所以AF ∥CD ，即∠CDQ ＝90°．在Rt △CDQ 中，由勾股定理可得BD ＝CQ17.在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为点E ，连接BE 、DE ，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）如图1，若∠PAB ＝20°，求∠ADF 的度数；（2）如图2，若45°＜∠PAB ＜90°，用等式表示AE 、FE 、FD 之间的数量关系，并证明；QPCBAQFEDCBA【答案】（1）如图3，连接AE，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB．Θ四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°，AB＝AD∴∠EDA＝130° ∴∠ADF＝25°（2）如图4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EF＝BF，AE＝AB＝AD∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90° ∴BF2＋FD2＝BD2∴EF2＋FD2＝2AB2218.已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连结EF．（1）求证：AB＝DB＋AF；（2）若点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系?请说三明理由；（3）若点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）如图1，过点E作EG∥AC交BC干表G，则△EBG为等边三角形．易证△EBD≌△EGC，所以DB＝CG＝AE．由旋转的性质可得AF＝BE，所以AB＝BE＋AE＝AF＋D B．（2）AB＝DB－AF．理由如下：如图2，过点E作EG∥AC，交CD于点G，则△EBG为等边三角形．易证△EGD ≌△EBC ，所以DG ＝BC ＝A B ． 由旋转的性质可得AF ＝BE ＝BG ． 所以AB ＝DG ＝DB －AF ．（3）AB ＝AF －D B ．理由如下：如图3，过点E 作EG ∥AC ，交BC 的延长线于点G ，则△EBG 为等边三角形． 易证△EBD ≌△EGC ， 所以DB ＝CG ＝AE ． 由旋转的性质可得AF ＝BE ， 所以AB ＝BE －AE ＝AF －D B ．19.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3 x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短图2CE 图3【答案】∵t ＝vGMv v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG ∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′ ∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形 则GG ′＝G ′B ＝GB 又∵M ′G ′＝MG∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG ∵点A 、M ′为定点∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小 ∴点G 的坐标为（0，32）20.（1）如图1，等边△ABC 中，AB ＝2，E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上作出点P ，使BP ＋EP 的值最小，并求BP ＋PE 的最小值．（2）如图2，已知⊙O 的直径CD 为2，»AC 的度数为60°，点B 是»AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，并求BP ＋AP 的最小值．（3）如图3，点P 是四边形ABCD 内一点，BP ＝m ，∠ABC ＝α，分别在边AB ，BC 上作出点M ，N ，使△PMN 的周长最小，并求出这个最小值（用含m ，α的代数式表示）．图1 图2 图3【答案】（1B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ）；（2B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于一点，这点就是所求的点P ）；（3）分别作点P 关于边AB ，BC 的对称点E ，F ，连结EF ，分别与边AB ，BC 交于点M ，N ，线段EF 的长度即为△PMN 的周长的最小值． 如图，连结BE ，BF ，∠EBF ＝2∠ABC ＝2α，BE ＝BF ＝BP ＝m ． 过点B 作BH ⊥EF 于点H ， 所以∠EBH ＝12∠EBF ＝α，EH ＝FH ． 在Rt △BEH 中，sin α＝EHBE， 所以EH ＝BE ·sin α＝m ·sin α， 所以EF ＝2m ·sin α，即PM ＋PN ＋MN ＝EF ＝2m ·sin α．CDCCBH NMFE P ACDBPC DABCDE。
2020武汉中考专辑考点04 整式与分式考点总动员(解析版)
专题04 整式与分式考点总动员专题04 整式与分式考点总动员 (1)【考纲要求】 (2)一、聚焦考点 (2)知识点1 整式的加减运算 (2)知识点2 整式的乘除运算 (2)知识点3 分式有意义的条件 (3)知识点4 分式的化简 (3)二、名师点睛 (4)题型1 整式加减运算 (4)题型2 整式的乘除 (5)一、整式的乘除 (5)二、多项式乘多项式 (7)题型3 分式有意义的条件 (9)题型4 分式的化简与计算 (10)三、能力提升 (12)【考纲要求】要求1.整式、分式的概念要求2.整式的加、减、乘法运算要求3.提公因式法、公因式法因式分解要求4.利用分式的性质进行化简、计算一、聚焦考点知识点1 整式的加减运算①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）②将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项③同类项合并的计算方法：系数对应相加减，字母及指数不变④去括号法则: 括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变括号前是“﹣”，去括号后，括号内的符号全部要变号。
括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数⑤整式的加减运算步骤：将同类项找出，并置与一起；然后合并同类项。
知识点2 整式的乘除运算①同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：，（m，n为正整数）②幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：，其中m，n为正整数③积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：，其中m为正整数④同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：；注：（a≠0）⑤多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
⑦平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差，即：（a+b）（a-b）=⑧完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积，即：=±2ab+知识点3 分式有意义的条件①A、B表示两个整式，且分母B中含有字母，叫作分式②分式有意义的条件：分母不为0 ，即B≠0③分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B≠0④分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0⑤分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0知识点4 分式的化简①分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。
2020年中考考点总动员15 太阳与太阳系(解析版)
考点15 太阳与太阳系考点一：太阳结构与太阳活动1、太阳概况：离地球最近的恒星，发光发热的气体星球。
①太阳的直径约为140万千米；②质量为地球的33万倍；③体积为地球的130万倍；④表面温度约6000摄氏度；中心温度达1500万摄氏度；⑤它与地球的平均距离约为1.5亿千米。
2、太阳为地球表层和人类活动提供了最重要的能量，太阳与地球的生物息息相关。
3、太阳活动①太阳黑子：太阳表面温度较低而较暗的气体斑块。
太阳黑子活动周期为 11 年。
太阳黑子最多的那一年，成为太阳活动峰年，黑子数极少的那一年称为太阳活动谷年。
1755年为第1周，2009年为第24周。
太阳黑子的多少和大小作为太阳活动强弱的标志。
②耀斑：色球层上突然增亮的斑块。
爆发时会释放巨大的能量。
4、太阳活动的影响：①耀斑增强时，会影响地球上的无线电短波通讯；②太阳黑子、耀斑活动增强时，要防晒避免紫外线过强照射损伤皮肤。
考点二：太阳与恒星的成长1、红巨星：表面温度比太阳低，但体积比太阳大，亮度比太阳高。
2、超新星：亮光相当于十亿颗太阳3、白矮星、中子星、黑洞：体积小、亮度低，但质量大、密度极高。
4、决定恒星寿命的因素只有一个——质量。
质量愈大，寿命愈短5、、太阳的光和热是靠太阳内部的氢发生热核反应而产的。
星际气体原恒星主序星太阳—→红巨星—→白矮星—→暗矮星主序星中子星中子星大恒星—→超红巨星—→超新星—黑洞考点三：日食1、日食与月食不是每个月都会发生的原因：月球绕地球的公转轨道平面与地球绕太阳的公转轨道有一个5°左右的夹角。
2.原理、当月球运行到地球和太阳之间，且三者正好或接近排成一条直线时，月球挡住了太阳光形成月影（光的直线传播），从地球上月影所在区域看太阳部分或全部被月球遮挡3、日地月位置、月亮位于太阳、地球的中间4、类型、日全食、日环食、日偏食（黑5、发生时间、农历初一（白天）考点四：太阳系一、太阳结构与太阳活动1.下列关于太阳和月球的叙述中正确的是（）A. 太阳黑子多时，太阳活动强度小B. 我们肉眼所看到的太阳是它的色球层C. 月球表面没有空气，但有液态水D. 月球的质量和体积都比太阳小很多【答案】D【解析】【分析】（1）太阳黑子的多少和大小，往往作为太阳活动强弱的标志。
精品解析：海南省2020年中考数学试题(解析版)
海南省2020年初中学业水平考试数学(考试时间100分钟，满分120分)一、选择题(本大题满分36分，每小题3分)在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B 铅笔涂黑．1. 实数3的相反数是（ ）A. 3-B. 13C. 3D. 3±【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义判断即可．【详解】3的相反数是﹣3．故选A ．【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识．2. 从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约772000000千瓦时．数据772000000可用科学记数法表示为（ ）A. 677210⨯B. 777.210⨯C. 87.7210⨯D. 97.7210⨯ 【答案】C【解析】【分析】根据科学计数法的表示形式为10n a ⨯，1a ≤＜10，n 为整数，确认n 值，即可做出判断．【详解】根据科学计数法的表示形式为10n a ⨯，1a ≤＜10，n 为整数，确定n 值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．则772000000=87.7210⨯．故选：C ．【点睛】本题主要考查科学计数法的表示形式，掌握科学计数法的表示形式是解答本题的关键．3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．【详解】解：从上面看有2行，上面一行是横放2个正方形，右下角一个正方形．故选：B ．【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．4. 不等式21x -<的解集是（ ）A. 3x <B. 1x <-C. 3x >D. 2x >【答案】A【解析】【分析】直接运用不等式的性质解答即可．【详解】解：21x -<x ＜1+2x ＜3．故答案为A ．【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式的性质，灵活运用不等式的性质是解答本题的关键．5. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为:5,3,6,8,6．这组数据的众数、中位数分别为（ ）A. 8,8B. 6,8C. 8,6D. 6,6 【答案】D【解析】【分析】根据中位数和众数的定义解答即可．【详解】解：这组数据中6出现的次数最多，则众数为6；将这组数据从小到大排列为3、5、6、6、8，第三个数据为6，则中位数为6．故选：D ．【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，掌握中位数和众数的确定方法是解答本题的关键．6. 如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）A. 50︒B. 60︒C. 70︒D. 80︒【答案】C【解析】 【分析】先根据//AB CD 得到70CDE ABE ∠=∠=︒，再运用三角形内角和定理求出AEB ∠的度数即可．【详解】∵//AB CD ，∴CDE ABE ∠=∠，∵70ABE ∠=︒，∴70CDE ∠=︒∵180ECD CDE DEC ∠+∠+∠=︒，且40ACD ∠=︒，∴180180704070DEC ECD CDE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．7. 如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A. 1cmB. 2cm 3cm D. 3cm【答案】B【解析】 【分析】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：∵ 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴=2=2AB AC cm ，又∠CAB =90°-∠ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ，∴'∆BAB 为等边三角形，∴'==2BB AB ．故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．8. 分式方程312x =-的解是（ ） A. 1x =-B. 1x =C. 5x =D. 2x = 【答案】C【解析】【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可． 【详解】解：312x =- 3=x-2x=5经检验x=5是分式方程的解所以该分式方程的解为x=5．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．9. 下列各点中，在反比例函数8y x =图象上的是 A. （－1，8）B. （－2，4）C. （1，7）D. （2，4） 【答案】D【解析】【分析】由于反比例函数y=k x中，k=xy ，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案． 【详解】解：A 、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； B 、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；C 、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；D 、2×4=8，∴该点函数图象上，故本选项正确． 故选D ．【点睛】考核知识点：反比例函数定义.10. 如图，已知AB 是O 的直径，CD 是弦，若36,BCD ∠=则ABD ∠等于（ ）A. 54B. 56C. 64D. 66【答案】A【解析】 【分析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据AB 是O 的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：∵CD 是弦，若36,BCD ∠=∴∠DAB=∠BCD=36°∵AB 是O 的直径∴∠ADB=90°∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．11. 如图，在ABCD 中，10,15,AB AD BAD ==∠的平分线交BC 于点,E 交DC 的延长线于点,F BG AE ⊥于点G ，若8BG =，则CEF △的周长为（ ）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】A【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE 是等腰三角形、求得BE 、EC ，再结合BG ⊥AE ，运用勾股定理求得AG ，进一步求得AE 和△ABE 的周长，然后再说明△ABE ∽△FCE 且相似比为10251BE EC ==，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：∵ABCD∴AD ∥BC ，AB//DF∴∠DAE=∠BEA∵∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5∵BG ⊥AE∴AG=EG=12AE∵在Rt △ABG 中，AB=10,BG=8 ∴22221086AG ABBG =-=-=∴AE=2AG=12∴△ABE 的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32∵AB ∥DF∴△ABE ∽△FCE 且相似比为10251BE EC == ∴3221ABE CEF CEF C C C ∆∆∆== ,解得CEF C ∆=16． 故答案为A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解答本题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，6,10,AB BC ==点E F 、在AD 边上，BF 和CE 交于点,G 若12EF AD =，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 25B. 30C. 35D. 40【答案】C【解析】 【分析】过G 作GN ⊥BC 于N ，交EF 于Q ，同样也垂直于DA ，利用相似三角形的性质可求出NG ，GQ ，以及EF 的长，再利用三角形的面积公式可求出△BCG 和△EFG 的面积，用矩形ABCD 的面积减去△BCG 的面积减去△EFG 的面积，即可求阴影部分面积．【详解】解：过作GN ⊥BC 于N ，交EF 于Q ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD//BC ，AD=BC ，∴△EFG ∽△CBG ，∵12EF AD =， ∴EF ：BC=1：2，∴GN ：GQ=BC ：EF=2：1，又∵NQ=CD=6，∴GN=4，GQ=2，∴S △BCG =12×10×4=20， ∴S △EFG =12×5×2=5， ∵S 矩形BCDA =6×10=60， ∴S 阴影=60-20-5=35．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．二、填空题(本大题满分16分，每小题4分，其中第16小题每空2分)13. 因式分解：x 2﹣2x=_______．【答案】x （x ﹣2）【解析】【详解】原式提取x 即可得到结果．原式=x （x ﹣2），考点：因式分解-提公因式法14. 正六边形的每一个外角是___________度【答案】60°．【解析】【详解】试题分析：∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°， ∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°， 故答案为60．点睛：本题考查的是多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．15. 如图，在ABC 中，9,4BC AC ==，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N 、作直线MN ，交BC 边于点D ，连接AD ，则ACD △的周长为________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得MN 为AB 的垂直平分线，所以AD =BD ，进一步可以求出ACD 的周长.【详解】∵在ABC 中，分别以A 、B 为圆心，大于1AB 2的长为半径画弧，两弧交于M ，N ，作直线MN ，交BC 边于D ，连接AD ；∴MN 为AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∴ACD 的周长为：AD +DC +AC =BC +AC =13；故答案为13.【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.16. 海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有_____________个菱形， 第n 个图中有____________个菱形(用含n 的代数式表示)．【答案】 (1). 41 (2). 2221n n -+【解析】【分析】根据第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，据此规律求解即可.【详解】解：∵第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，第n 个图形有2×n ×(n-1)+1=2221n n -+个菱形.故答案为：41，2221n n -+.【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题(本大题满分68分)17. 计算：（1）()2020182161--⨯-+-；（2）()()()221a a a a +--+．【答案】（1）1；（2）4a --【解析】【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先根据平方差公式、单项式与多项式的乘法计算，再去括号合并同类项即可．【详解】解:（1）原式18412=⨯-+ 441=-+1=；（2）原式()()224a a a =--+ 224a a a =---4a =--．【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？【答案】4天；2天【解析】【分析】设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，根据“前后共用6天完成，总共加工22吨” 这两个关键信息建立方程组即可求解．【详解】解:设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，则6,3522.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得4,2.x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意．答:改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，找出等量关系，正确列出方程组是解决本题的关键． 19. 新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长t (单位：小时)的情况，在全市范围内随机抽取了n 名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_ (填写“全面调查”或“抽样调查”)，n =_ ． （2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“34t ≤<”范围的概率是 ； （3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“45t ≤<”范围的初中生有_ 名．【答案】（1）抽样调查；500 （2）310；（3）1200 【解析】【分析】（1）先根据全面调查和抽样调查的定义进行判断，再根据1≤t<2时，在频数分布直方图和扇形统计图中的数据，计算即可求解．（2）由（1）知总人数，根据频数分布直方图，求出34t ≤<时的人数，计算即可求解．（3）由（1）知总人数，求出45t ≤<时的人数所占比例，计算即可求解．【详解】（1）根据＂在全市范围内随机抽取了n 名初中生进行调查＂可知，采取的调查方式是抽样调查． 由频数分布直方图可知：当1≤t<2，有100名；由扇形统计图可知，当1≤t<2，人数占总人数的20%，则总人数=10020%500÷=名．即n=500．（2）由（1）可知，n=500从频数分布直方图中，可得：当34t ≤<时，人数=500-50-100-160-40=150名．∴恰好在34t ≤<的范围的概率=150531000p ． （3）由（1）可知，n=500．从频数分布直方图中，可得：当45t ≤<时，有40人，占总人数40500=%8． ∴该市每日线上学习时长在“45t ≤<”范围的初中生有018%0=500120．【点睛】本题主要考查频数分布直方图和扇形统计图的应用，熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图中数值的意义是解题的关键．20. 为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P 处测得点A 的俯角为30,继续飞行1500米到达点Q 处，测得点B 的俯角为45︒．（1）填空：A ∠=__________度，B ∠=_________度；（2）求隧道AB 的长度(结果精确到1米)．(23 1.732≈≈)【答案】（1）30，45；（2）2729米【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）过点P 作PM AB ⊥于点,M 过点Q 作QN AB ⊥于点N .在Rt APM 中求出AM 的值，在Rt QNB 中求出NB 的值，进而可求隧道AB 的长度.【详解】解:（1）由题意知PQ//AB ，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案为：30，45；（2）过点P 作PM AB ⊥于点,M 过点Q 作QN AB ⊥于点N .则450PM QN ==米，1500MN PQ ==米， 在Rt APM 中，PM tanA AM =，4503303PM PM AM tanA tan ∴====︒. 在Rt QNB 中，QN tanB NB=， 450450451QN QN NB tanB tan ∴====︒， AB AM MN NB ∴=++450315004502729=++≈(米).答:隧道AB 的长度约为2729米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．21. 四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，连结DE ，点F 是射线BC 上一动点(不与点B 重合)，连结AF ，交DE 于点G ．（1）如图1，当点F 是BC 边的中点时，求证：ABF DAE ∆∆≌；（2）如图2，当点F 与点C 重合时，求AG 的长；（3）在点F 运动的过程中，当线段BF 为何值时，AG AE =？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）223；（3）83BF = 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD ，再由E 、F 分别是AB 、BC 的中点即可证明ABF DAE ∆∆≌；(2)证明∆∆AGE CGD ，然后再根据对应边成比例即可求出AG ； (3)先证明DM=MG ，然后在Rt △ADM 中由勾股定理求出DM ，进而求出CM ，再证明ABFMCF ，根据对应边成比例即可求出BF ． 【详解】解：(1)证明:四边形ABCD 是正方形，90,B DAE AB AD BC ∴∠=∠=︒==，点E F 、分别是AB BC 、的中点，11,22AE AB BF BC ∴==， AE BF ∴=，ABF DAE ∴≌.(2)在正方形ABCD 中，//,90,2AB CD ADC AD CD ∠=︒==，22222222AC AD CD ∴+=+=//AB CD ， ∴AGECGD ， AG AE CG AG ∴=， 1222AG =-，223AG ∴=． 故答案为：223． (3)当83BF =时，AG AE =.理由如下: 由(2)知，当点F 与C 重合(即2BF =)时，2213AG =<， ∴点F 应在BC的延长线上(即2BF >)， 如图所示，设AF 交CD 于点M ，若使1==AG AE ，则有12∠=∠，//,AB CD14∴∠=∠， 又23∠=∠，34∴∠=∠，DM MG ∴=， 在Rt ADM △中，222AM DM AD -=，即()22212DM DM +-=， 32DM ∴=， 31222CM CD DM ∴=-=-=， //AB CD ，ABF MCF ∴，BF AB CF MC ∴=，即2122BFBF=-，∴83BF=，∴当83BF=时，AG AE=．故答案为：83BF=．【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形．22. 抛物线2y x bx c=++经过点()30A-,和点()2,0B，与y轴交于点C.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD x⊥轴于点D，作PE y⊥轴于点E，当2PD PE=时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得ACP OCB∠=∠？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）26y x x=+-；（2）①2或3332；②存在；()2,4--或()8,50-【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①设()0PE t t =>，则2PD t =，排除当点P 在x 轴上，然后分两种情况求解：.i 如图1，当点P 在第三象限时；.ii 如图2，当点P 在第二象限时；②存在，过点A 作AH AC ⊥于点A ，交直线CP 于点H ，由CAH COB 可得2163AH OB AC OC ===．过点H 作HM x ⊥轴于点M ，由HMAAOC ，求出MH 、MA 的值，然后分点P 在第三象限和点P 在第二象限求解即可．【详解】解:（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点()()3,02,0A B -、， 930420b c b c -+=⎧∴⎨++=⎩， 解得16b c =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线的函数表达式为26y x x =+-；()2①设()0PE t t =>，则2PD t =． 因为点P 是抛物线上的动点且位于y 轴左侧，当点P 在x 轴上时，点P 与A 重合，不合题意，故舍去，因此分为以下两种情况讨论:．.i 如图1，当点P 在第三象限时，点P 坐标为(2),t t --，则262t t t --=-，即260t t +-=，解得1223t t ==-,(舍去)，2PE ∴=；.ii 如图2，当点P 在第二象限时，点P 坐标为(),2t t -，则262t t t --=，即2360t t --=， 解得12333333t t +-==(舍去) ， 333PE =∴+， 综上所述，PE 的长为2或3332； ②存在点P ，使得ACP OCB ∠=∠，理由如下:当0x =时，6y =-，6()0C ∴-，，6OC ∴=，在Rt AOC △中，22223635AC OA OC =+=+= ．过点A 作AH AC ⊥于点A ，交直线CP 于点H ，则CAH COB ∠=∠，又ACP OCB ∠=∠，∴CAH COB ，2163AH OB AC OC ∴===． 过点H 作HM x ⊥轴于点M ，则HMA AOC ∠=∠，90,90MAH OAC OAC OCA ∠+∠=︒∠+∠=︒，MAH OCA ∴∠=∠，HMAAOC ∴， MH MA AH OA OC AC ∴==， 即1363MH MA ==， 1,2MH MA ∴==，.i 如图3，当点P 在第三象限时，点H 的坐标为(5,1)--，由()5,1H --和(06)C -，得， 直线CP 的解析式为6y x =--．于是有266x x x +-=--，即220x x +=，解得122,0x x =-=(舍去)，∴点P 的坐标为(2,4)--；.ii 如图4，当点P 在第二象限时，点H 的坐标为()1,1-，由()1,1H -和6(0)C -，得，直线CP 的解析式为76y x =--，于是有2676x x x +-=--，即280x x +=，解得128,0x x =-=(舍去)，∴点P 的坐标为()8,50-，综上所述，点P 的坐标为()2,4--或()8,50-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题．。
决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——一次函数的应用及综合问题(含答案)
一次函数的应用及综合问题【考点1】一次函数图象与性质【例1】（2020•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解析】A、由图可知：直线y1，a＞0，b＞0．∴直线y 2经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2经过一、四、三象限，故B 错误；C 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2经过二、三、四象限，故D 错误． 故选：A ．点睛：本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【例2】（2020•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．3D ．4【分析】利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a ，10）代入解析式即可； 【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=k +b 7=2k +b ∴{k =3b =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3； 故选：C ．点睛：本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【考点2】一次函数选填压轴题【例3】（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm ，底面的长是30cm ，宽是20cm ，容器内的水深为xcm ．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A 的三条棱的长分别10cm ，10cm ，ycm （y ≤15），当铁块的顶部高出水面2cm 时，x ，y 满足的关系式是 ．【分析】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．【解析】①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，则铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80ycm3，∴80y＝30×20×（8﹣x），∴y=120−15x2，∵y≤15，∴x≥6，即：y=120−15x2（6≤x＜8），②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，同①的方法得，y=6x+105（0＜x≤656），故答案为：y=6x+105（0＜x≤656）或y=120−15x2（6≤x＜8）点睛：此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．【例4】（2018•温州）如图，直线y=−√33x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB 上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4√3，0），利用三角函数得到∠OBA＝60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD＝∠COE＝60°，所以∠EOF＝30°，则EF=12OE＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解析】延长DE交OA于F，如图，当x＝0时，y=−√33x+4＝4，则B（0，4），当y＝0时，−√33x+4＝0，解得x＝4√3，则A（4√3，0），在Rt△AOB中，tan∠OBA=4√34=√3，∴∠OBA＝60°，∵C是OB的中点，∴OC＝CB＝2，∵四边形OEDC是菱形，∴CD＝BC＝DE＝CE＝2，CD∥OE，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF=12OE＝1，△OAE的面积=12×4√3×1＝2√3．故答案为2√3．点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了菱形的性质．【考点3】一次函数与实际生活图象综合问题【例5】（2020•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x＝18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．【解析】（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【例6】（2020•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）把y ＝1500代入（1）的结论即可；（3）设小聪坐上了第n 班车，30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．【解析】（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0），把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20k +b 2700=38k +b ，解得{k =150b =−3000，∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）； （2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30， 30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟； （3）设小聪坐上了第n 班车，则 30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5， ∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分）， 步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分）， 20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键． 【考点4】一次函数应用—最优化问题【例7】（2018•湖州）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A ，B 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A ，B 两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A ，B 两个果园的路程如表所示：路程（千米）甲仓库乙仓库 A 果园 15 25 B 果园2020设甲仓库运往A 果园x 吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表．运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110﹣x2×15x2×25（110﹣x）B果园80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x）2×20×（x﹣10）（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【分析】（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80﹣x）吨，乙仓库运往A果园（110﹣x）吨，乙仓库运往B果园（x﹣10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格；（2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x＝80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．【解析】（1）填表如下：运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110﹣x2×15x2×25（110﹣x）B果园80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x）2×20×（x﹣10）故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；（2）y＝2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），即y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+8300，∵﹣20＜0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝﹣20×80+8300＝6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．点睛：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．【考点5】一次函数与几何综合问题【例8】（2020•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当nm=17tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由nm=17tan∠EOF和n=−12m+4，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2√5，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5√5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式，根据s和t都不是负数，确定t的取值；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH=ABBQ3=BHBQ=65=25√5，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN=14，列方程为2t﹣2=14(7−32t)，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．【解析】（1）令y＝0，则−12x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC=√82+42=4√5，又∵E为BC中点，∴OE=12BC＝2√5；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM=12OB＝4，OE=12BC＝2√5∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE ∴△CDN∽△MEN，∴CNMN =CDEM=1，∴CN＝MN＝1，∴EN=2+42=√17，∵S△ONE=12EN•OF=12ON•EM，∴OF=3×4√17=1217√17，由勾股定理得：EF=√OE2−OF2=(2√5)2−(121717)2=1417√17，∴tan∠EOF=EFOF=14√171712√1717=76，∴nm =17×76=16，∵n=−12m+4，∴m＝6，n＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动， ∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ， ∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合， ∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5， ∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{t =2s =2√5和{t =4s =5√5代入得{2k +b =2√54k +b =5√5，解得：{k =32√5b =−√5， ∴s =3√52t −√5， ∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0，∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52t −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52t −√5（23≤t ≤4）；②（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ， 作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ，Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12， ∴BQ 3=2+122=6√5，∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =AB BQ 3=BH BQ =126√5=25√5， ∴BH ＝14﹣3t ， ∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165； （ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5， ∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5， ∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2，∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2， ∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14， ∴2t ﹣2=14(7−32t)，t =3019，（iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行， 综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019．点睛：此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．【考点6】一次函数与动点问题、存在性问题【例9】（2018•衢州）如图，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为（6，8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12，0）．（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t ．①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA ＝∠B ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ．利用平行线分线段成比例定理，计算即可，再根据对称性求出P ′；②分两种情形分别求解即可解决问题：如图2中，当OP ＝OB ＝10时，作PQ ∥OB 交CD 于Q ．如图3中，当OQ ＝OB 时，设Q （m ，−12m +6），构建方程求出点Q 坐标即可解决问题； 【解析】（1）设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{12k +b =06k +b =3，解得{k =−12b =6，∴直线CD 的解析式为y =−12x +6．（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ．∵DP ∥OB ， ∴PA AO =AD AB ，∴PA 6=38，∴PA =94， ∴OP ＝6−94=154， ∴P （154，0），根据对称性可知，当AP ＝AP ′时，P ′（334，0），∴满足条件的点P 坐标为（154，0）或（334，0）．②如图2中，当OP ＝OB ＝10时，作PQ ∥OB 交CD 于Q ．∵直线OB 的解析式为y =43x ， ∴直线PQ 的解析式为y =43x +403， 由{y =43x +403y =−12x +6，解得{x =−4y =8，∴Q （﹣4，8）， ∴PQ =√62+82=10， ∴PQ ＝OB ，∵PQ ∥OB ， ∴四边形OBQP 是平行四边形， ∵OB ＝OP ，∴四边形OBQP 是菱形，此时点M 与点Q 重合，满足条件，t ＝0． 如图3中，当OQ ＝OB 时，设Q （m ，−12m +6），则有m 2+（−12m +6）2＝102， 解得m =12±4√895， ∴点Q 的横坐标为12+4√895或12−4√895，设点M 的横坐标为a ， 则有：a+02=12+4√895+62或a+02=12−4√895+62，∴a =42+4√895或42−4√895， 又因为点P 从点（﹣10，0）开始运动， ∴满足条件的t 的值为92+4√895或92−4√895． 如图4中，当点Q 与C 重合时，M 点的横坐标为6，此时t ＝16，综上所述，满足条件的t 的值为0或16或92+4√895或92−4√895． 点睛：本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，所以中考压轴题．【考点7】一次函数综合问题—新定义问题【例10】（2020•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a+c 3，y =b+d3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+43=1，y=8+(−2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x=13（﹣1+7）＝2，y=13（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．【解析】（1）x=13（﹣1+7）＝2，y=13（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），则t＝3x﹣3，则y=13（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E （t ，2t +3），则T （t ，2t ﹣1），则点D （3，0）， 由点T 是点D ，E 的融合点得：t =t+33，2t ﹣2=2t+33， 解得：t =32，即点E （32，6）； 当∠TDH ＝90°时，如图2所示，则点T （3，5），由点T 是点D ，E 的融合点得：点E （6，15）； 当∠HTD ＝90°时，如图3所示，过点T 作x 轴的平行线交过点D 与y 轴平行的直线于点M ，交过点E 与y 轴的平行线于点N ， 则∠MDT ＝∠NTE ，则tan ∠MDT ＝tan ∠NTE ，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （t+33，2t+33）则MT ＝3−t+33=6−t3，MD =2t+33， NE =2t+33−2t ﹣3=−2(2t+3)3，NT =t+33−t =3−2t3，由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−t 32t+33=2(2t+3)33−2t 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）．点睛：本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．一．选择题（共3小题）1．（2020•拱墅区校级模拟）如图，直线y ＝x +m 与y ＝nx ﹣5n （n ≠0）的交点的横坐标为3，则关于x 的不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的整数解为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】令y ＝0可求出直线y ＝nx ﹣5n 与x 轴的交点坐标，根据两函数图象与x 轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的解，找出其内的整数即可． 【解析】当y ＝0时，nx ﹣5n ＝0， 解得：x ＝5，∴直线y ＝nx ﹣5n 与x 轴的交点坐标为（5，0）．观察函数图象可知：当3＜x ＜5时，直线y ＝x +m 在直线y ＝nx ﹣5n 的上方，且两直线均在x 轴上方， ∴不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的解为3＜x ＜5， ∴不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的整数解为4． 故选：B ．2．（2020•温岭市校级一模）已知函数y 1={−x −1(x ≤−1)x +1(−1＜x ≤0)−x +1(0＜x ≤1)x −1(x ＞1)的图象为“W ”型，直线y ＝kx ﹣k +1与函数y 1的图象有三个公共点，则k 的值是（ ）A ．1或12B ．0或12C ．12D ．12或−12 【分析】如图，易知直线y ＝kx ﹣k +1，经过定点P （1，1）．①当直线y ＝kx ﹣k +1过点P 与x 轴平行时满足条件，此时k ＝0．②当直线y ＝kx ﹣k +1过点A （﹣1，0）时满足条件，此时k =12． 【解析】如图，易知直线y ＝kx ﹣k +1，经过定点P （1，1）．①当直线y ＝kx ﹣k +1过点P 与x 轴平行时满足条件，此时k ＝0． ②当直线y ＝kx ﹣k +1过点A （﹣1，0）时满足条件，此时k =12． 综上所述，满足条件的k 的值为0或12，故选：B ．3．（2020•温州三模）如图，已知直线y =−12x +b （b ＞0）交x 轴，y 轴于点M ，N ，点A ，B 是OM ，ON 上的点，以AB 为边作正方形ABCD ，CD 恰好落在MN 上，已知AB ＝2，则b 的值为（ ）A ．1+√5B ．√5C ．75√5D ．2+√55【分析】由直线的解析式可知tan ∠OMN =12，结合正方形性质可得∠OAB ＝∠OMN ＝∠NBC ，在Rt △BCN 中，BC ＝2，tan ∠NBC =12，则BN =√5；在Rt △BOA 中，BA ＝2，tan ∠OAB =12，则BO =2√55；又由b ＝ON 即可求解．【解析】∵直线y =−12x +b ， ∴tan ∠OMN =12， ∵正方形ABCD ， ∴AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠OMN ＝∠NBC ， ∵AB ＝2， ∴BC ＝AD ＝2，在Rt △BCN 中，BC ＝2，tan ∠NBC =12， ∴BN =√5，在Rt △BOA 中，BA ＝2，tan ∠OAB =12， ∴BO =2√55， ∵b ＞0， ∴b ＝ON =7√55； 故选：C ．二．填空题（共5小题）4．（2020•金华模拟）如图，一次函数y ＝﹣x ﹣2与y ＝2x +m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组{2x +m ＜−x −2−x −2＜0的解集为 ﹣2＜x ＜2 ．【分析】先将点P （n ，﹣4）代入y ＝﹣x ﹣2，求出n 的值，再找出直线y ＝2x +m 落在y ＝﹣x ﹣2的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解析】∵一次函数y ＝﹣x ﹣2的图象过点P （n ，﹣4）， ∴﹣4＝﹣n ﹣2，解得n ＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组{2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为：﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．5．（2020•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴正半轴和直线y＝x（x＞0）上的动点，以AB为边在右侧作矩形ABCD，AB＝2，BC＝1．（1）若OA=√6时，则△ABO的面积是3±√32；（2）若点A在x轴正半轴移动时，则CO的最大距离是√5+√2．【分析】（1）由于点B是直线y＝x（x＞0）上的点，设B（a，a），解直角三角形得到BE=√6±√22，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据点B在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，得到tan∠AOB＝1，作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PC，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，推出AB∥CD，四边形BHGC是矩形，得到PG⊥AB，GH＝BC＝1，根据勾股定理得到PC=√PG2+CG2=√22+12=√5，OP＝PB=√BH2+PH2=√12+12=√2，于是得到结论．【解析】（1）∵点B是直线y＝x（x＞0）上的点，∴设B（a，a），∴BE＝OE＝a，∵AB＝2，∴AE=√4−a2，∵OA=√6，∴OE+AE＝a+√4−a2=√6，∴a=√6−√22，a=√6+√22，∴BE =√6±√22，∴△ABO 的面积=12OA •BE =12×√6×√6±√22=3±√32； 故答案为：3±√32；（2）∵点B 在一次函数y ＝x （x ＞0）的图象上，∴tan ∠AOB ＝1，作△AOB 的外接圆⊙P ，连接OP 、PA 、PB 、PC ，作PG ⊥CD ，交AB 于H ，垂足为G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，四边形BHGC 是矩形，∴PG ⊥AB ，GH ＝BC ＝1，∵∠APB ＝2∠AOB ，∠BPG =12∠APB ，BH =12AB ＝1＝CG ，∴∠BPH ＝∠AOB ，∴tan ∠BPH ＝tan ∠AOB ＝1，∴BH PH =1，∴PH ＝1，∴PG ＝1+1＝2，∴PC =√PG 2+CG 2=√22+12=√5，OP ＝PB =√BH 2+PH 2=√12+12=√2，在△OPC 中，OP +PC ≥OC ，∴OC 的最大值为√5+√2，故答案为：√5+√2．6．（2020•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3过点A （5，m ）且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ．过点C 且与y ＝2x 平行的直线交y 轴于点D ．直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，当平移到经过点B 时，直线CD 与x 轴交点的横坐标是−32．【分析】先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y＝2x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，然后求出直线y＝2x+3与x轴的交点坐标．【解析】把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣4；当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，当y＝0时，2x+3＝0，解得x=−32，则直线y＝2x+3与x轴的交点坐标为（−32，0），所以当平移到经过点B时，直线CD与x轴交点的横坐标是−3 2，故答案为：−3 2．7．（2020•嘉善县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B在直线l上，将正方形沿射线OB方向无滑动地翻滚．若直线y=√33x，正方形边长为2√3则：（1）翻滚后点A第一次落在直线l上的坐标是（12，4√3）；（2）当正方形翻滚2002次点A对应点的坐标是（6009−√3，3+2003√3）．【分析】（1）观察图形即可得到翻滚后点A 第一次落在直线l 上，经过4次翻滚后点A 对应点一循环，解直角三角形即可求得点A 第一次落在直线l 上的坐标（2）先求出2002÷4的商和余数，从而解答本题．【解析】（1）由正方形和直线的斜率可知，D （−√3，3），C （−√3+3，3+√3），E （−√3+3×3，3+3√3）， 观察图形，即可得到翻滚后点A 第一次落在直线l 上，∴此时OA 1＝4×2√3=8√3，∴此时A 1的坐标是（√32×8√3，12×8√3）， 即（12，4√3）；（2）观察图形可得经过4次翻滚后点A 对应点一循环，2002÷4＝500…2，∴经过500次翻滚后点A 对应点A 2000的坐标为（500×12，500×4√3），即（6000，2000√3）， ∴正方形翻滚2002次点A 对应点的坐标是（6000+3×3−√3，2000√3+3+3√3），即（6009−√3，3+2003√3） 故答案为：（6009−√3，3+2003√3）．8．（2020•宁波模拟）当m ，n 是正实数，且满足mn ＝m +2n 时，就称点P （m ，mn ）为“新时代点”．如图，已知点A （0，10）与点M 都在直线y ＝﹣x +b 上，点B ，C 是“新时代点”，且点B 在线段AM 上．若MC ＝3，AM ＝8√2，则△MBC 的面积为 √2 ．【分析】由m +2n ＝mn 变式为m n =m ﹣2，可知P （m ，m ﹣2），所以在直线y ＝x ﹣2上，点A （0，10）在直线y ＝﹣x +b 上，求得直线AB ：y ＝﹣x +10，进而求得B （6，4），根据直线平行的性质从而证得直线AM 与直线y ＝x ﹣2垂直，然后根据勾股定理求得BC 的长，从而求得三角形的面积．【解析】∵m +2n ＝mn 且m ，n 是正实数，∴m n +2＝m ，即m n =m ﹣2，∴P （m ，m ﹣2），即“新时代点”B 在直线y ＝x ﹣2上，∵点A （0，10）在直线y ＝﹣x +b 上，∴b ＝10，∴直线AB ：y ＝﹣x +10，∵“新时代点”B 在直线AB 上，∴由{y =x −2y =−x +10解得{x =6y =4， ∴B （6，4），∵一、三象限的角平分线y ＝x 垂直于二、四象限的角平分线y ＝﹣x ，而直线y ＝x ﹣2与直线y ＝x 平行，直线y ＝﹣x +10与直线y ＝﹣x 平行，∴直线AB 与直线y ＝x ﹣2垂直，∵点B 是直线y ＝x ﹣2与直线AB 的交点，∴垂足是点B ，∵点C 是“新时代点”，∴点C 在直线y ＝x ﹣2上，∴△MBC 是直角三角形，∵B （6，4），A （0，10），∴AB ＝6√2，∵AM ＝8√2，∴BM ＝2√2， 又∵MC ＝3，∴BC ＝1，∴S △MBC =12BM •BC =√2，故答案为√2．三．解答题（共12小题）9．（2020•拱墅区校级模拟）甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙在提速前登山的速度是 15 米/分钟，乙在A 地提速时距地面的高度b 为 30 米；（2）若乙提速后，乙比甲提前了9分钟到达山顶，请求出乙提速后y 和x 之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距C 地的高度为多少米？【分析】（1）由图象可求乙的速度，即可求解；（2）用待定系数法可求解析式；（3）求出CD 解析式，乙追上了甲即此时的y 的值相等，然后求出时间再计算距C 地的高度．【解析】（1）由图形可得乙一分钟走了15米，则乙在提速前登山的速度是15米/分钟，2分钟走了30米，∴b ＝30，故答案为：15，30；（2）由图形可得：t ＝20﹣9＝11分，设AB 解析式为：y ＝kx +b ，{30=2k +b 300=11k +b解得：{k =30b =−30∴直线AB 解析式为：y ＝30x ﹣30（2≤x ≤11）；（3）∵C （0，100），D （20，300）∴线段CD 的解析式：y ＝10x +100（0≤x ≤20），由{y =30x −30y =10x +100∴{x =6.5y =165∴经过6.5分钟后，乙追上甲，此时甲距C 地的高度＝165﹣100＝65米．10．（2020•萧山区一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 30 千米；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x 的值；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x 的值．【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米；（2）先求出线段CD 对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；（3）分两种情形列出方程即可解决问题．【解析】（1）根据图象信息：货车的速度V 货=3005=60， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．故答案为：30；（2）设CD 段函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0）（2.5≤x ≤4.5）．∵C （2.5，80），D （4.5，300）在其图象上，{2.5k +b =804.5k +b =300，解得{k =110b =−195， ∴CD 段函数解析式：y ＝110x ﹣195（2.5≤x ≤4.5）；易得OA ：y ＝60x ，{y =110x −195y =60x，解得{x =3.9y =234， ∴当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）当x ＝2.5时，y 货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，由题意60x ﹣（110x ﹣195）＝20或110x ﹣195﹣60x ＝20，解得x ＝3.5或4.3小时．答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时．11．（2020•江干区二模）在图（1）中，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 从点C 出发，以√5cm /s 的速度沿射线CB 运动，当点E 与点B 重合时，运动停止．过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°，点E 在射线CA 上的对应点为点H ，连接EH ．若△EFH 与△ACD 的重叠部分面积为S （cm 2），点E 的运动时间为ts ，S 关于t 的函数图象如图（2）所示（其中0＜t ＜103，103＜t ≤m ，m ＜t ≤92时，函数解析式不同）（1）求BC 的长；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【分析】（1）由题意得：BC =√5t ，即可求解； （2）分点H 在与点A 重合（含）前；点E 在点D 之前、点H 过A 点后；E 从D 到B 三种情况，分别求解即可．【解析】（1）由题意得：BC =√5t =√5×92=9√52， 故BC 的长为：9√52；（2）设∠C ＝α，则EF =√5t sin α，FC =√5t cos α，当点H 在与点A 重合（含）前，即：0≤t ≤103，如图1，S ＝S △HFE ，且当t =103时，A 、H 重合， S =12（EF ）2=12（√5t sin α）2，当t =103时，S =509，即：509=12×（√5×103sin α）2， 解得：sin α=√55，则cos α=2√55，tan α=12， FC =√5t cos α＝2t ，EF =√5t sin α＝t ，则S =12t 2， CH ＝CA ＝CF +FH ＝3t ，而A 、H 重合时，t =103，故CA ＝10， 则AD ＝AC sin α＝2√5，CD ＝4√5， BD ＝BC ﹣CD =√52；当点E 在点D 之前、点H 过A 点后，即103＜t ＜4时，如图2，设直线HE 交AD 于点M ，CE ′=√5t =√5×103=10√53，同理DE ′=2√53，而CD ＝4√5，故点E ′运动到点E 需要的时间为：4√5−10√53√5=23秒， 则点M 从点A 运动到点D 的速度为：2√523=3√5，连接AE ， S ＝S △AEF +S △AEM =12×AF ×EF +12AM ×DE =12（10﹣2t ）t +12×3√5（t −103）（4√5−√5t ）=−172t 2+60t ﹣100， CD ＝4√5，m =√55=4； 综上，AD ＝2√5，CD ＝4√5，m ＝4；①当0＜t ≤103时，S =12t 2； ②当103＜t ≤4时，如图3，作GI ∥EF ，则△AIG ∽△ACD ，故IG ＝2AG ＝2（3t ﹣10），S ＝S △HEF ﹣S △HAI =12t 2−12（3t ﹣10）×2（3t ﹣10）=−172t 2+60t ﹣100；③当4＜t≤92时，如图4，则△AIF∽△ACD，则IF＝2（10﹣2t），S＝S△AIF=12（10﹣2t）×2（10﹣2t）＝（10﹣2t）2．综上，S={12t2(0＜t≤103)−172t2+60t−100(103＜t≤4)(10−2t)2(4＜t≤92)．12．（2020•海宁市二模）某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s（千米）与航行的时间t （小时）之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．（2）求水流的速度．（3）若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．【分析】（1）根据图象可知，船从B地返回A地，距B地的距离为27千米，用时3小时，可求出速度，用待定系数法可求出正比例函数的关系式；（2）通过图象又可知从A返回到B用时1.5小时，可求出速度，于是便知从A到B是顺水，反之逆水，根据速度差可求出水流速度；（3）先求出船到A的时间，求出橡皮艇离开C的距离，然后是追及问题，设出追及时间，列出方程可求出追及时间，进而求出相遇是距C地的距离．【解析】（1）船从B码头返回A码头时的速度27÷3＝9千米/时，。
专练03(选择题-压轴)2020中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)
2020中考考点必杀500题专练03（选择题-压轴）（30道）1．（2019·山东省中考模拟）关于二次函数21y x kx k =-+-，以下结论：①抛物线交x 轴有两个不同的交点；①不论k 取何值，抛物线总是经过一个定点；①设抛物线交x 轴于A 、B 两点，若1AB =，则4k =；①抛物线的顶点在2(1)y x =--图象上；①抛物线交y 轴于C 点，若ABC V 是等腰三角形，则k =0，1．其中正确的序号是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①【答案】D【解析】解：△=k 2-4k+4=(k-2)2≥0，当k=2时，抛物线与x 轴只有1个交点，△错误；当x=1时，y=1-k+k-1=0，即抛物线过定点（1,0），△正确；当k=4时，y=x 2-4x+3，则抛物线与x 轴的交点为：x 2-4x+3=0，解得x 1=3，x 2=1，则AB=3-1=2，故△错误； 二次函数21y x kx k =-+-的顶点为（2k ，2444k k -+-），代入2(1)y x =--进行验证： 当x=2k 时，2244(1)4k k x -+-=--=，故△正确； 当k=1时，221y x kx k x x =-+-=-，解得抛物线与x 轴的两个交点为：（0,0）、（1,0），此时ABC V 不是等腰三角形，故△错误.【点睛】深刻理解一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，二者之间具有一些本质的共同点，故二次函数很多问题往往都转化为一元二次方程的问题来解决.2．（2019·黑龙江省中考模拟）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；①9a+3b+c ＜0；①c ＞﹣1；①关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a-，其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 解：由图象开口向下，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以02b a ->，所以b>0， △abc>0，故△正确；由图象可知当x=3时，y>0，△9a+3b+c>0，故△错误；由图象可知OA<1，△OA=OC ，△OC<1，即-c<1，c>-1，故△正确：假设方程的一个根为x=1a -，把x=1a -代入方程可得10b c a a-+= ， 整理可得ac-b+1=0，两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c，由△可知-c=OA，而x=OA是方程的根，△x=-c是方程的根，即假设成立，故△正确；综上可知正确的结论有三个；故答案为C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键.特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键.3．（2019·山东省初三二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；①b2＞4ac；①a+b+2c＜0；①3a+c＜0．其中正确的是（）A．①①B．①①C．①①①D．①①①①【答案】C【解析】△抛物线开口向上，△a>0，△抛物线与y轴的交点在x轴下方，△c<0，△ab<0，所以△正确；△抛物线与x轴有2个交点，△△=b2-4ac>0，所以△正确；△x=1时，y<0，△a+b+c<0，而c<0，△a+b+2c<0，所以△正确；△抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，△b=-2a，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，△a+2a+c>0，所以△错误．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键.4．（2019·合肥市第四十八中学初三月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ①4a+2b+c＞0 ①4ac﹣b2＜8a ①13＜a＜23①b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①①B．①①①C．①①①D．①①①①【答案】D【解析】△△函数开口方向向上，△a＞0；△对称轴在y轴右侧，△ab异号，△抛物线与y轴交点在y轴负半轴，△c ＜0，△abc＞0，故△正确；△△图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，△图象与x轴的另一个交点为（3，0），△当x=2时，y＜0，△4a+2b+c＜0，故△错误；△△图象与x 轴交于点A （﹣1，0），△当x=﹣1时，y=()()211a b c -+⨯-+=0，△a ﹣b+c=0，即a=b ﹣c ，c=b ﹣a ，△对称轴为直线x=1，△2b a -=1，即b=﹣2a ，△c=b ﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，△4ac ﹣2b =4•a•（﹣3a ）﹣()22a -=216a -＜0，△8a ＞0，△4ac ﹣2b ＜8a ，故△正确；△△图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，△﹣2＜c ＜﹣1，△﹣2＜﹣3a ＜﹣1，△23＞a ＞13，故△正确；△△a ＞0，△b ﹣c ＞0，即b ＞c ，故△正确.故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键. 5．（2019·安徽省初三期末）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；①当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小；①a+b+c ＜0；①若方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，则m ＞2； ①3a+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 （1）△抛物线与x 轴有两个交点，△b 2−4ac >0，△结论△不正确．（2）抛物线的对称轴x =−1，△当x >−1时，y 随x 增大而减小，△结论△正确．（3）△抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，△抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，△当x =1时，y <0，△a +b +c <0，△结论△正确．（4）△y =ax 2+bx +c 的最大值是2，△方程ax 2+bx +c −m =0没有实数根，则m >2，△结论△正确．（5）△抛物线的对称轴x =2b a=−1， △b =2a ，△a +b +c <0，△a +2a +c <0，△3a +c <0，△结论△正确．综上，可得正确结论的序号是：△△△△,正确的结论有4个.故选C.6．（2019·山东省中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1．有下列4个结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①2c ＜3b ；①a +b ＞m （am +b ）（m 是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 解：△由图象可知：a ＜0，c ＞0，△﹣2b a＞0， △b ＞0，△abc ＜0，故△错误；△由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a+2b+c ＞0，故△正确；△当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a+3b+c ＜0，且x ＝2b a-＝1， 即a ＝2b -，代入得9（2b -）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故△正确； △当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a+b+c ，而当x ＝m 时，y ＝am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故△正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，属于简单题，熟悉函数的图像和性质是解题关键.7．（2019·山东省中考模拟）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点（2，0）下列说法：①abc<0；①-2b+c=0；①4a+2b+c<0；①若(-52，y 1)，(52，y 2)是抛物线上的两点，则y 1<y 2；①1142a b +>m(am+b)其中(m≠12)其中说法正确的是A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】 解：△由抛物线的开口可知：a ＜0，又抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，对称轴−2b a>0， △b ＞0，△abc ＜0，故△正确；△将（2，0）代入y=ax 2+bx+c （a≠0），△4a+2b+c=0，△−221b a =， △a=-b ，△-4b+2b+c=0，△-2b+c=0，故△正确；△由△可知：4a+2b+c=0，故△错误；△由于抛物线的对称轴为x=12， △（−52，y 1）与（72，y 1）关于x=12对称， 由于x ＞12时，y 随着x 的增大而减小， △72＞52， △y 1＜y 2，故△正确；△由图象可知：x=12时，y 可取得最大值，且最大值为14a+12b ， △m≠12△14a+12b+c ＞am 2+bm+c ， △14a+12b ＞m(am+b)， 故△正确；故答案为：△△△△；8．（2019·山东省中考模拟）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和()2,0-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：()2140b ac ->；()22a b =；()3点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、35,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<；()4320b c +<；()()5t at b a b +≤-（t 为任意实数）． 其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 （1）抛物线与x 轴有两个交点，所以方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根，所以b 2﹣4ac ＞0，此结论正确；（2）对称轴为x =﹣1=﹣2b a，即b =2a ，此结论正确； （3）由二次函数的对称性可得，x =54与x =﹣134的函数值相等，当x ＜﹣1时，y 随着x 的增大而增大，所以y 1＜y 3＜y 2，此结论错误； （4）由图像得，x =﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b +c ＜0，因为b =2a ，所以2b ×9﹣3b +c ＜0，即3b +2c ＜0，此结论正确； （5）要证明t (at +b )≤a ﹣b ，即要证明at 2+bt +c ≤a ﹣b +c ，即要证明抛物线在x =﹣1时取最大值，由图像可得当x =﹣1时，y 最大，此结论正确.正确结论的个数是4.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及对二次函数系数相关式子的判断.9．（2018·江苏省中考模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，下列四个结论：①4a+c ＜0；①m （am+b ）+b ＞a （m≠﹣1）；①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0没有实数根；①ak 4+bk 2＜a （k 2+1）2+b （k 2+1）（k 为常数）．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】 △因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣2b a=﹣1，可得b=2a ， 当x=﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b+c ＜0，9a ﹣6a+c ＜0，3a+c ＜0，△a ＜0，△4a+c ＜0，所以△选项结论正确；△△抛物线的对称轴是直线x=﹣1，△y=a﹣b+c的值最大，即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，△am2+bm＜a﹣b，m（am+b）+b＜a，所以此选项结论不正确；△ax2+（b﹣1）x+c=0，△=（b﹣1）2﹣4ac，△a＜0，c＞0，△ac＜0，△﹣4ac＞0，△（b﹣1）2≥0，△△＞0，△关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有实数根；△由图象得：当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，△当k为常数时，0≤k2≤k2+1，△当x=k2的值大于x=k2+1的函数值，即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），所以此选项结论不正确；所以正确结论的个数是1个，故选D．10．（2019·湖北省中考模拟）如图，AB 为半圆O 的直径，AB 2=，点C 为半圆上动点，以BC 为边向形外作正方形BCDE ，连接OD ，则OD 的最大值为( )A ．2B C 1 D ．1【答案】C【解析】 解：通过旋转观察如图，可知当DO AB ⊥时，DO 最长，设DO 与O e 交于点M ，连接CM ，BD ，OC ．理由：OBM QV ，BCD V 都是等腰直角三角形，OBM CBD 45∠∠∴==o ，OBC MBD ∠∠∴=，OB BC BM BD ==Q， OBC V ∴△MBD V ，MD ∴：OC BD =：BC =MD ∴==∴点D 的运动轨迹是以M为半径的圆，∴当D ，M ，O 共线，即DO AB ⊥时，DO 最长．11MCB MOB 904522∠∠==⨯=o o Q ， DCM BCM 45∠∠∴==o ，Q 四边形BCDE 是正方形，C ∴、M 、E 共线，DEM BEM ∠∠=，在EMD V 和EMB V 中，DE BC MED MEB ME ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MED ∴V △()MEB SAS V ，DM BM ∴====OD ∴的最大值1=+．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质等知识，解题的关键是OD 取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论，属于中考常考题型．11．（2019·广东省中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；①①PBA=①APQ；①①FPC为等腰三角形；①①APB①①EPC；其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】△如图，EC，BP交于点G；△点P是点B关于直线EC的对称点，△EC垂直平分BP，△EP=EB，△△EBP=△EPB，△点E为AB中点，△AE=EB，△AE=EP，△△PAB=△PBA，△△PAB+△PBA+△APB=180°，即△PAB+△PBA+△APE+△BPE=2（△PAB+△PBA）=180°，△△PAB+△PBA=90°，△AP△BP，△AF△EC；△AE△CF，△四边形AECF是平行四边形，故△正确；△△△APB=90°，△△APQ+△BPC=90°，由折叠得：BC=PC，△△BPC=△PBC，△四边形ABCD是正方形，△△ABC=△ABP+△PBC=90°，△△ABP=△APQ，故△正确；△△AF△EC，△△FPC=△PCE=△BCE，△△PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即△BCE=30°时，才有△FPC=△FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故△不正确；△△AF=EC，AD=BC=PC，△ADF=△EPC=90°，△Rt△EPC△△FDA（HL），△△ADF=△APB=90°，△FAD=△ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB△△FDA，△△APB△△EPC，故△不正确；其中正确结论有△△，2个，故选B．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．（2019·云南省中考模拟）如图，菱形ABCD中，①BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝12AB；①与①EGD全等的三角形共有5个；①S四边形ODGF＞S①ABF；①由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】A【解析】 △四边形ABCD 是菱形，△AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB △CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC △BD ，△△BAG ＝△EDG ，△ABO △△BCO △△CDO △△AOD ，△CD ＝DE ，△AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△DEG （AAS ），△AG ＝DG ，△OG 是△ACD 的中位线，△OG ＝12CD ＝12AB ， △△正确；△AB △CE ，AB ＝DE ，△四边形ABDE是平行四边形，△△BCD＝△BAD＝60°，△△ABD、△BCD是等边三角形，△AB＝BD＝AD，△ODC＝60°，△OD＝AG，四边形ABDE是菱形，△正确；△AD△BE，由菱形的性质得：△ABG△△BDG△△DEG，在△ABG和△DCO中，OD AGODC BAG60 AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△△ABG△△DCO（SAS），△△ABO△△BCO△△CDO△△AOD△△ABG△△BDG△△DEG，△△不正确；△OB＝OD，AG＝DG，△OG是△ABD的中位线，△OG△AB，OG＝12 AB，△△GOD△△ABD，△ABF△△OGF，△△GOD的面积＝14△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，△△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又△△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，△S四边形ODGF＝S△ABF；△不正确；正确的是△△．故选A．【点睛】本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.13．（2019·广东省中考模拟）如图，在矩形ABCD中，①ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，①BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G，有以下结论：①AE=BC①AF=CF①BF2=FG•FC①EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】△DE平分△ADC，△ADC为直角，△△ADE=12×90°=45°，△△ADE为等腰直角三角形，△AD=AE，又△四边形ABCD矩形，△AD=BC，△AE=BC△△△BFE=90°，△BEF=△AED=45°，△△BFE为等腰直角三角形，△则有EF=BF又△△AEF=△DFB+△ABF=135°，△CBF=△ABC+△ABF=135°，△△AEF=△CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，△AEF=△CBF，EF=BF，△△AEF△△CBF（SAS）△AF=CF△假设BF2=FG•FC，则△FBG△△FCB，△△FBG=△FCB=45°，△△ACF=45°，△△ACB=90°，显然不可能，故△错误，△△△BGF=180°-△CGB，△DAF=90°+△EAF=90°+（90°-△AGF）=180°-△AGF，△AGF=△BGC，△△DAF=△BGF，△△ADF=△FBG=45°，△AD DF DF BG BF EF==，△EG△CD，△EF EG EG DF CD AB==，△AD ABBG GE=，△AD=AE，△EG•AE=BG•AB，故△正确，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.14．（2019·山东省中考模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分①BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，①ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①S平行四边形ABCD=AB•AC①OE=14AD①S①APO=12，正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】△△AE平分△BAD，△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△ABC=△ADC=60°，△△DAE=△BEA，△△BAE=△BEA，△AB=BE=1，△△ABE是等边三角形，△AE=BE=1，△BC=2，△EC=1，△AE=EC，△△EAC=△ACE，△△AEB=△EAC+△ACE=60°，△△ACE=30°，△AD△BC，△△CAD=△ACE=30°，故△正确；△△BE=EC，OA=OC，△OE=12AB=12，OE△AB，△△EOC=△BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC 中，2= △四边形ABCD 是平行四边形，△△BCD=△BAD=120°，△△ACB=30°，△△ACD=90°，Rt△OCD 中，2=，，故△正确；△由△知：△BAC=90°，△S △ABCD =AB•AC ，故△正确；△由△知：OE 是△ABC 的中位线，又AB=12BC ，BC=AD ， △OE=12AB=14AD ，故△正确； △△四边形ABCD 是平行四边形，△S △AOE =S △EOC =12OE•OC=12×12×28=， △OE△AB ，△12 EP OEAP AB==，△12POEAOPSS=VV，△S△AOP=23S△AOE=238⨯=12，故△正确；本题正确的有：△△△△△，5个，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．15．（2019·广东省蛇口育才二中初三二模）正方形A BCD 中，对角线A C、BD 相交于点O，DE 平分①A DO 交AC 于点E ，把∆A DE 沿AD 翻折，得到∆A DE’，点F 是DE 的中点，连接A F、BF、E’F，若下列结论：①AD 垂直平分EE’，-1，① C∆A DE - C∆ODE-1，① S四边形AEFB=其中结论正确的个数是（） .A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】B【解析】解：如图，连接EB 、EE '，作EM ⊥AB 于M ，EE '交AD 于N ．△四边形ABCD 是正方形，△AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，AO=OB=OD=OC ，△DAC=△CAB=△DAE '=45°，根据对称性，△ADE ≅△ADE '≅ABE ，△DE=DE '，AE=AE '，△AD 垂直平分EE '，故△正确，△EN=NE '，△△NAE=△NEA=△MAE=△MEA=45°，，△AM=EM=EN=AN=1，△ED 平分△ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ，△EN=EO=1，+1，△tan△ADE=tan△ODE=OE DO -1，故△正确，，△C △ADE -C △ODE ，故△错误，△S △AEB =S △AED =12⨯1⨯（）=1+2，S △BDE = S △ADB -2 S △AEB =1+△DF=EF ，△S△EFB=2△S四边形AEFB= S△AEB+ S△EFB=2，故△错误，故选C．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，面积计算，综合性比较强，对学生能力要求较高. 16．（2019·四川省中考模拟）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN①AQ交BC于点N，作NP①BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；①MP=12BD；①BN+DQ=NQ；①AB BNBM为定值．其中一定成立的是A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①①【答案】D【解析】如图：作AU△NQ于U，连接AN，AC，△△AMN=△ABC=90°，△A，B，N，M四点共圆，△△NAM=△DBC=45°，△ANM=△ABD=45°，△△ANM=△NAM=45°，△由等角对等边知，AM=MN，故△正确．由同角的余角相等知，△HAM=△PMN，△Rt△AHM△Rt△MPN△MP=AH=12AC=12BD，故△正确，△△BAN+△QAD=△NAQ=45°，△三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN△ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，△点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故△正确．如图，作MS△AB，垂足为S，作MW△BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，△四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，△△AMS△△NMW，△AS=NW，△AB+BN=SB+BW=2BW ，△BW ：BM=1，△AB BN BM +=△正确． 故选D ．17．（2019·浙江省中考模拟）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为①G 上一动点，CF①AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）A B C ．4 D 【答案】B连接AC ，AG ，△GO△AB ，△O 为AB 的中点，即AO=BO=12AB ，△G （0，1），即OG=1，△在Rt△AOG 中，根据勾股定理得：，又CO=CG+GO=2+1=3，△在Rt△AOC 中，根据勾股定理得：，△CF△AE ，△△ACF 始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆，当E 位于点B 时，CO△AE ，此时F 与O 重合；当E 位于D 时，CA△AE ，此时F 与A 重合， △当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长¶AO ，在Rt△ACO 中，tan△ACO=AO CO = △△ACO=30°，△¶AO 度数为60°，△直径△¶AO =，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F ． 故选B ．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长¶AO 是解本题的关键．18．（2019·广东省深圳外国语学校初三一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将①BCF沿BF对折，得到①BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；①AE①BF；①sin①BQP=45；①S四边形ECFG=2S①BGE．A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】解：△E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，△CF=BE，在△ABE和△BCF中，△AB=BC，△ABE=△BCF，BE=CF，△Rt△ABE△Rt△BCF（SAS），△△BAE=△CBF，AE=BF，故△正确；又△△BAE+△BEA=90°，△△CBF+△BEA=90°，△△BGE=90°，△AE△BF，故△正确；根据题意得，FP=FC，△PFB=△BFC，△FPB=90°．△CD△AB，△△CFB=△ABF，△△ABF=△PFB，△QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，△x2=（x﹣k）2+4k2，△x=52k，△sin=△BQP=BPQB=45，故△正确；△△BGE=△BCF，△GBE=△CBF，△△BGE△△BCF，△BE=12BC，BF BC，△BE：BF=1△△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，△S四边形ECFG=4S△BGE，故△错误．故选B．点睛：本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．19．（2019·安徽省初三期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作①D，P为①D上的一个动点，连接AP、OP，则①AOP面积的最大值为（）A．4B．215C．358D．174【答案】D【解析】解：当P点移动到平行于OA且与△D相切时，△AOP面积的最大，如图，△P是△D的切线，△DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM△AC，△在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，△AC= ，△OA= 52，△△AMD=△ADC=90°，△DAM=△CAD，△△ADM△△ACD，△DM AD CD AC=，△AD=4，CD=3，AC=5，△DM= 125，△PM=PD+DM=1+ 125=175，△△AOP的最大面积= 12OA•PM=1517225⨯⨯=174，故选D．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．20．（2019·广东省初三期中）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE ＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①①ABF①①CAE；①①AHC＝120°；①①AEH①①CEA；①AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】△四边形ABCD是菱形，△AB=BC，△AB=AC，△AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形△△B=△EAC=60°，在△ABF和△CAE中，{BF AEB EAC BC AC=∠=∠=，△△ABF△△CAE（SAS）；故△正确；△△BAF=△ACE，△△AEH=△B+△BCE，△△AHC=△BAF+△AEH=△BAF+△B+△BCE=△B+△ACE+△BCE=△B+△ACB=60°+60°=120°，故△正确；△△BAF=△ACE，△AEC=△AEC，△△AEH△△CEA，故△正确；在菱形ABCD中，AD=AB，△△AEH△△CEA，△ABF△△CAE，△△AEH△△AFB，△AE AH AF AB=，△AE AH AF AD=，△AE•AD=AH•AF ，故△正确，故选D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质．21．（2019·邢台市第八中学中考模拟）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG ，DE 和FG 相交于点O ．设AB ＝a ，CG ＝b （a ＞b ）．下列结论：①①BCG①①DCE ；①BG①DE ；①CE GOGC DG=；①（a ﹣b ）2•S ①EFO ＝b 2•S ①DGO ．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】△△四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，△BC=DC ，CG=CE ，△BCD=△ECG=90°，△△BCG=△DCE ，在△BCG 和△DCE 中，{BC DCBCG DCE CG CE=∠=∠=，△△BCG△△DCE （SAS ），故△正确；△延长BG 交DE 于点H ，△△BCG△△DCE ，△△CBG=△CDE ，又△△CBG+△BGC=90°，△△CDE+△DGH=90°，△△DHG=90°，△BH△DE ；△BG△DE ．故△正确；△△四边形GCEF 是正方形，△GF△CE ， △DG GO DC CE=， △CE GO GC DG =是错误的． 故△错误；△△DC△EF ，△△GDO=△OEF ，△△GOD=△FOE ，△△OGD△△OFE ，△22()()DGO EFO S DG a b S EF b-==V V ， △（a-b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．故△正确；故选B ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．22．（2019·四川省初二期末）如图，平行四边形ABCD 中，AB①BC=3①2，①DAB=60°，E 在AB 上，且AE①EB=1①2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP①AF 于P ，DQ①CE 于Q ，则DP①DQ 等于（ ）A ．3①4B．CD【答案】B【解析】 连接DE 、DF ，过F 作FN△AB 于N ，过C 作CM△AB 于M ，△根据三角形的面积和平行四边形的面积得：DEC DFA ABCD 1S S S 2∆∆==平行四边形，即11AF DP CE DQ 22⋅=⋅． △AF×DP=CE×DQ ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC△△DAB=60°，△△CBN=△DAB=60°．△△BFN=△MCB=30°△AB ：BC=3：2，△设AB=3a ，BC=2a△AE ：EB=1：2，F 是BC 的中点，△BF=a ，BE=2a ，BN=12a ，BM=a由勾股定理得：FN=2a ，a△AF CE ====，△DP DQ ⋅=⋅．△DP :B ．【点睛】本题考查平行四边形中勾股定理的运用，关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算出AF 、CE.23．（2019·山东省初三四模及以后）如图，在Rt①ABC 中，①ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ，过点B 作BG①CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下四个结论：①AG AF AB FC =①若点D 是AB 的中点，则AB ；①当B ，C ，F ，D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；①若12DB AD =,则9ABC BDF S S =V V ,其中正确的结论序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①【答案】C【解析】 解：△△ABC =90°，△GAD =90°，△AG △BC ，△△AFG △△CFB ，△AG FG BC FB=．△BC =AB ，△AG FG AB FB =，△△正确． △△BCD +△EBC =△EBC +△ABG =90°，△△BCD =△ABG ．△AB =BC ，△GAB =△DBC =90°，△△CBD △△BAG ，△AG =BD ．△BD =12AB ，△12AG BC =，△12AF FC =，△13AF AC =．△AC AB ，△AF =3AB ，△△正确；△B ，C ，F ，D 四点共圆，△DBC =90°，△CD 为直径，△△CFD =90°．△BF △CD ，△BE =EF ，△BD =DE ，△△正确； △AG △BC ，△AG AF BC CF = ．△BC =AB ，△AG AF AB CF =．△AG =BD ，12BD AD =，△13BD AB =，△AG AF AB CF==13，△AF =14AC ，△S △ABF =14S △ABC ，△S △BDF =13S △ABF ，△S △BDF =112S △ABC ，即S △ABC =12S △BDF ，△△错误． 故答案为△△△．点睛：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解答本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．24．（2019·湖南省中考模拟）已知：如图，在等边①ABC 中取点P ，使得PA ，PB ，PC 的长分别为3，4，5，将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD ，连接BD ，下列结论：①①ABD可以由①APC绕点A顺时针旋转60°得到；①点P与点D的距离为3；①①APB＝150°；①S①APC+S①APB＝6）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】C【解析】解：连PD，如图，△线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，△AD＝AP，△DAP＝60°，又△△ABC为等边三角形，△△BAC＝60°，AB＝AC，△△DAB+△BAP＝△P AC+△BAP，△△DAP＝△P AC，△△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以△正确；△DA＝P A，△DAP＝60°，△△ADP为等边三角形，△PD＝P A＝3，所以△正确；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由△得到BD＝PC＝5，△32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，△△PBD 为直角三角形，且△BPD ＝90°，由△得△APD ＝60°，△△APB ＝△APD +△BPD ＝60°+90°＝150°，所以△正确；△△ADB △△APC ，△S △ADB ＝S △APC ，△S △APC +S △APB ＝S △ADB +S △APB ＝S △ADP +S △BPD 2133462+⨯⨯=+=所以△不正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．25．（2019·四川省中考模拟）如图，四边形ABCD 是矩形纸片，2?AB =．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．以下结论：①60ABN ∠=︒；①1AM =；①3QN =；①①BMG 是等边三角形； ①P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN PH +( ).A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①①【答案】B【解析】解：在Rt△BEN中，△BN=AB=2BE，△△ENB=30°，△△ABN=60°，故△正确，△△ABM=△NBM=△NBG=30°，△错误，△△AMB=△BMN=60°，△AD△BC，△△GBM=△AMB=60°，△△MBG=△BMG=△BGM=60°，△△BMG为等边三角形，故△正确．△BG=BM=2AM=，3△EF△BC△AD，AE=BE，△BQ=QM，MN=NG，△QN 是△BMG 的中位线，△QN=12BG=3，故△不正确． 连接PE ．△BH=BE=1，△MBH=△MBE ，△E 、H 关于BM 对称，△PE=PH ，△PH+PN=PE+PN ，△E 、P 、N 共线时，PH+PN 的值最小，最小值，故△正确，故选B ．【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、轴对称最短问题等知识，熟练掌握翻折变换得性质是解题的关键．26．（2019·山东省中考模拟）如图，已知E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，则下列结论：①①AME=90°；①①BAF=①EDB ；①MD=2AM=4EM ；①AM=23MF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】 解：在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，△ABC=△BAD=90°，△E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，12AE BF BC ∴== 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABF△△DAE （SAS ），△△BAF=△ADE ，△△BAF+△DAF=△BAD=90°，△△ADE+△DAF=△BAD=90°，△△AMD=180°-（△ADE+△DAF ）=180°-90°=90°，△△AME=180°-△AMD=180°-90°=90°，故△正确；△DE 是△ABD 的中线，△△ADE≠△EDB ，△△BAF≠△EDB ，故△错误；△△BAD=90°，AM△DE ，△△AED△△MAD△△MEA ， △2AM MD AD EM AM AE=== △AM=2EM ，MD=2AM ，△MD=2AM=4EM ，故△正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt△ABF 中，AF ===△△BAF=△MAE ，△ABC=△AME=90°，△△AME△△ABF ，AM AE AB AF∴= 即2AM a =55MF AF AM a ∴=-=-= 23AM MF ∴=，故△正确 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．27．（2019·广东省深圳实验学校初三开学考试）函数y ＝4x 和y ＝1x在第一象限内的图象如图，点P 是y ＝4x 的图象上一动点，PC ①x 轴于点C ，交y ＝1x的图象于点B ．给出如下结论：①①ODB 与①OCA 的面积相等；①PA 与PB 始终相等；①四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；①CA ＝13AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】C【解析】解：△A、B是反比函数1yx=上的点，△S△OBD=S△OAC=12，故△正确；当P的横纵坐标相等时P A=PB，故△错误；△P是4yx=的图象上一动点，△S矩形PDOC=4，△S四边形P AOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣12﹣12=3，故△正确；连接OP，212POCOACS PCS AC∆∆===4，△AC=14PC，P A=34PC，△PAAC=3，△AC=13AP；故△正确；综上所述，正确的结论有△△△．故选C．点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．28．（2019·江苏省中考模拟）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的①C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（）A．4932B．2518C．3225D．98【答案】C【解析】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，△Q是AP的中点，△OQ=12 BP，△OQ长的最大值为32，△BP长的最大值为32×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD△x轴于D，△CP=1，△BC=2，△B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，△22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣45，△B（﹣45，﹣85），△点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，△k=﹣45×（-85）=3225，故选C．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键. 29．（2019·江苏省中考模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C都在坐标轴上，点B在第二象限，矩形OABC的面积为．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合．若反比例函数y＝kx的图象恰好经过点E和DE的中点F．则OA的长为（）A．2B C．D【答案】D【解析】连接BO 与ED 交于点Q ，过点Q 作QN △x 轴，垂足为N ，如图所示， △矩形OABC 沿DE 翻折，点B 与点O 重合，△BQ ＝OQ ，BE ＝EO ．△四边形OABC 是矩形，△AB △CO ，△BCO ＝△OAB ＝90°．△△EBQ ＝△DOQ ．在△BEQ 和△ODQ 中，EBQ DOQ BQ OQBQE OQD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△BEQ △△ODQ （ASA ）．△EQ ＝DQ ．△点Q 是ED 的中点．△△QNO ＝△BCO ＝90°，△QN △BC ．△△ONQ △△OCB ． △222ONQOCB S OQ OQ S OB OQ ==V V （）（）=14△S △ONQ ＝14S △OCB ． △S 矩形OABC ＝，△S △OCB ＝S △OAB ＝3．△S △ONQ △点F 是ED 的中点， △点F 与点Q 重合．△S △ONF △点E 、F 在反比例函数y ＝k x 上，△S △OAE ＝S △ONF△S △OAB ＝，△AB ＝4AE ．△BE ＝3AE ．由轴对称的性质可得：OE ＝BE ．△OE ＝3AE ．OA =△S △OAE ＝12AO •AE ＝12AE ×AE△AE△OA ＝AE ． 故选D ．。
2020年新疆中考数学试卷(含答案和解析)
鬻需蠶蠶202。
年初中学业水平考试数学试题卷君生須知：1 •木试卷分为认總卷和冬趁卷西部分•试&4共4瓦■杂題耳共2更。
2■満分150分•才试廿间120分忡， 3 一不毎使用计算器。
一、草顼透择題（本尢題共9小"■碎小題5分■具45版请鹿务冬召申旳晏束作筌） L •下列各效中■是负数的为'2(‘・2)W2 ■“ x+2 x+3的解靈是A.0<x^2B.0<x«6 7•四张看上去无基别的卡片上分别印有正方形、正五边形.正六边形和凯.现梅印有圈形的一 面朝尸•混合均匀后从中隔机抽取蘭张，则袖到的卡片上印有的图形都绘中心对廉图形的概 率为BT2020<Fft»E^MlTJ 中*並水平步滾 * I » 井4 貞A.a'bB. Ial>l6lC. -0<A 5•下列一元二次方程中■有两个不相等实数根的是D.B ・ r 2*2x^4 = 0C.x a -r*2 = 0D. ?-2x = 0D ・rW2C ・戈>0 B.0A.-2・如图所示•该几何体的殆视图是3•下列运算正确的址 A.J WB.4•实数亠6衽数轴上的位皙如图所示小列结论中正确的是8•二次函数尸/仏+的图象如图所示，则一次函数yg"和反比例函数尸三在同一平 面直角坐标系中的图象可能是9.如图，在/MPC 中，乙"90"是M 的中点•过点。
作EC 的平行线交八C 于点E,作BC 的 垂线交BC 干点八若A8=CE,且的面积为I ■则〃C 的长为A.2衣B.5C.475二.填空逆（末大題共6小題■每小越5分，共30分）10. 如图，若 AB//CD ■乙A" 10。
,则乙 1= ______ 11. _____________________ 分解因式:a/n?-ad = - 12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况:移植的棵•数n 200 500 800 2000 12000 成活的操救皿 187446 730 1790 10836 成活的频率巴n0. 9350.8920.9130. 8950.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 _________ .（精确到0・I ）13. 如图，在上轴』轴上分别截取OA,OBM 04=0B.再分别以点仏8为圆心，以大于*1〃长 为半径画弧.两孤交于点P.若点P 的坐标为（a,2a-3）,则a 的值为.14•如图QO 的半径是2厨形BAC 的圆心角为60>■若将扇形BAC 剪下围成一个圆锥■则此 圆锥的底面圆的半径为 ____________ ,15・如图、在A ABC 中，Z.X90。
2020中考数学考点总动员专题35 应用题(原卷版)
专题35 应用题1．（2019•嘉兴一模）小红同学想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出登元硬币和伍角硬币的质量，于是，他找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录：请你帮小红同学算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？2．（2019•温州三模）某商店销售A、B、C三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年5月1日起将A饮料每瓶的价格上调20%，将B饮料每瓶的价格下调10%，C饮料价格不变，是每瓶7元．已知调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元．（1）问A、B两种饮料调价前的单价；（2）今年6月份，温州某单位花费3367元在该商店购买A、B、C三种饮料共n瓶，其中购得B饮料的瓶数是A饮料的2倍，求n的最大值．3．（2019•嘉善县模拟）在某县美化城市工程招投标中，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合作12天可完成．问：（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需工程款2万元，该工程计划用时不超过35天，在不超过计划天数的前提下，由甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独完成，那么安排甲队单独施工多少天工程款最省？最省的工程款是多少万元？4．（2019•杭州模拟）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？设合伙人为x人，羊价为y钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：54573 y xy x=+⎧⎨=+⎩乙同学：54573 y xy x=-⎧⎨=+⎩请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．5．（2019•温州二模）“一路一带”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织签署174份合作文件，共建“一路一带”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域．截止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示．（1）求投资制造业的基金约为多少亿元？（2）按照规划，中国将继续对“一路一带”基金增加投入，到2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？6．（2019•乐清市一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．7．（2019•荔湾区一模）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为200元，第二周该商店对纪念品打8折销售，结果销售量增加3件，营业额增加了40%．（1）求该商店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格．8．（2019•余姚市一模）随着科技的发展，智能产品越来越受到人们的喜爱，为了奖励员工，某公司打算采购一批智能音箱．现有A，B两款智能音箱可供选择，已知A款音箱的单价比B款音箱的单价高50元，购买5个A款音箱和4个B款音箱共需1600元．（1）分别求出A款音箱和B款音箱的单价；（2）公司打算采购A，B两款音箱共20个，且采购A，B两款音箱的总费用不超过3500元，那么A款音箱最多采购多少个？9．（2019•慈溪市模拟）践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？10．（2019•温岭市一模）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．11．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若6a ．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0 6.5<<，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．a12．（2020•温州模拟）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：售价（元/件）100110120130⋯月销量（件)200180160140⋯已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是()元；（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？13．（2019•青白江区模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米)与登山时间x（分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米)与登山时间x（分)之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？14．（2019•瑞安市三模）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元)，每日销售量y（件)每日的利润w（元)．在试销过程中，每日销售量y（件)、每日的利润w（元)与销售单价x（元)之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：（元)19202130（件)62605840（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件)，每日的利润w（元)关于销售单价x（元)之间的函数表达式．（利润=（销售单价-成本单价）⨯销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？15．（2019•温州三模）某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克(5x…且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a元后(a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．16．（2019•海宁市二模）某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．（2）求水流的速度．（3）若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．17．（2019•包头二模）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30︒．且D离地面的高度DE m=．坡底305=，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60︒，点E，A，C在同一水平线上，EA m求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）18．（2019•嘉兴一模）图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度2AD =米，两扇门的大小相同（即)AB CD =，且AB CD AD +=，现将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转67︒（如图2所示）．（1）点C 到直线AD 的距离．（2）将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向外面旋转，设旋转角为α（如图3所示），问α为多少度时，点B ，C 之间的距离最短．参考数据：(sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan29.60.57︒≈，tan19.60.36︒≈，sin 29.60.49)︒≈19．（2019•金华模拟）在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB 是订书机的托板，压柄BC 绕着点B 旋转，连接杆DE 的一端点D 固定，点E 从A 向B 处滑动，在滑动过程中，DE 的长保持不变．已知52BD cm =．（1）如图1，当45ABC ∠=︒时，B ，E 之间的距离为15cm ，求连接杆DE 的长度．（2）现将压柄BC 从图1的位置旋转到与底座AB 垂直，如图2所示．求在此过程中点E 滑动的距离．20．（2019•台州模拟）港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离(CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30︒，测得B点的俯角为20︒，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离(AB的长）．（已知3 1.73≈，tan200.36︒≈，结果精确到0.1)11。
湖南长沙市2020年中考数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后原图形重合．
A.②③B.①③C.①④D.②④
【答案】A
【解析】
分析】
圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．
【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；
② 是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由总量=vt，求出v即可．
【详解】解（1）∵vt=106，
∴v= ，
2020三十五中中考考前热身——数学答案
……2 分
……1 分 ……2 分
……3 分 ……4 分 ……5 分 ……1 分
∴ ∴直线 AB 的表达式为：y=-3x+6
……3 分
图 22（1）
同理：如图 22（2）直线 AB 的表达式为：y=x+2 ……4 分 综上：直线 AB 的表达式为 y=-3x+6 或 y=x+2 ……5 分
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∴ 2 FC ． 5 FC 5
10 ∴FC= 3 ．…6 分
F
C D
E
A
O
B
F
H
E
C D
A
O
B
24．（1）1，9，2．
……1 分
（2） 82.5，90．
……3 分
（3）千家店镇
……4 分
理由：千家店镇污染指数平均数为 80，永宁镇污染指数平均数为 81.3，所以千家店镇污
染指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是 4 天，永宁镇空气
……4 分
(3) 3.1 或是 5.1
……6 分
26．（1）对称轴：x=2
……1 分
A（1，0）或 B（3，0） （2）
①如图 1，∵AD=CD ∴AD=3
……1 分
∴C 点坐标为（4，3）
……3 分
将 C（4，3）代入 y ax2 4ax 3a
∴ 3 16a 16a 3a ∴a=1
∴抛物线的表达式为： y x2 4x 3 ……4 分
……4 分
(3)4 < r≤5
……7 分
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质量为优的天数是 1 天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6 分
2020年中考数学三轮知识点提分一遍过(34)数据的分析含答案
2020年中考数学三轮知识点提分一遍过（34）数据的分析1.[2019·徐州]某小组7名学生的中考体育分数如下:37,40,39,37,40,38,40.该组数据的众数、中位数分别为()A.40,37B.40,39C.39,40D.40,382.[2019·杭州]点点同学对数据26,36,36,46,5█,52进行统计分析.发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是()A.平均数B.中位数C.方差D.标准差3.[2019·湘潭]随着长株潭一体化进程不断推进,湘潭在交通方面越来越让人期待.将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”,是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站,往返长潭两地又将多“地铁”这一选择.为了解人们选择交通工具的意愿,随机抽取了部分市民进行调查,并根据调查结果绘制如下统计图,关于交通工具选择的人数数据,以下结论正确的是()图K34-1A.平均数是8B.众数是11C.中位数是2D.极差是104.[2019·盐城]甲、乙两人在100米短跑训练中,某5次的平均成绩相等,甲的方差是0.14,乙的方差是0.06,这5次的短跑训练成绩更稳定的是.(填“甲”或“乙”)5.[2019·张家界]为了建设“书香校园”,某校七年级的同学积极捐书,下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况:捐书(本)345710人数5710117该班学生平均每人捐书本.6.[2019·盐城阜宁县一模]我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动,某中学为了了解七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况,随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数,并将所得数据绘制成统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:(1)本次抽样调查的样本容量是,样本平均数是,众数是,极差是;(2)根据样本数据,估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.图K34-27.[2019·长春]网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间的调查.数据如下(单位:小时):32.50.61.51223.32.51.82.52.23.541.52.53.12.83.32.4整理上面的数据,得到表格如下:网上学习时间x(小时)0<x≤11<x≤22<x≤33<x≤4人数2585样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:统计量平均数中位数众数数值2.4m n根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中的中位数m的值为,众数n的值为;(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间;(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.8.[2019·常德]某公司全体职工的月工资如下:月工资18000120008000600040002500200015001200 (元)人数1(总经理)2(副总经理)34102022126该公司月工资数据的众数为2000,中位数为2250,平均数为3115,极差为16800,公司的普通员工最关注的数据是()A.中位数和众数B.平均数和众数C.平均数和中位数D.平均数和极差9.[2018·威海]为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图K34-3所示:图K34-3大赛结束后一个月,再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表:一周诗词诵背数量3首4首5首6首7首8首人数101015402520请根据调查的信息分析:(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为.(2)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数;(3)选择适当的统计量,从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.【参考答案】1.B2.B[解析]这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关,而这组数据的中位数为36+46=41,与第5个数无关.故选B.23.A[解析](7+2+13+11+7)÷5=8,即平均数是8,故A正确.出现次数最多的是7,即众数是7,故B不正确,从小到大排列,最中间的数是7,即中位数是7,故C不正确.极差为13-2=11,故D不正确.故选A.4.乙5.6[解析]该班学生平均每人捐书3×5+4×7+5×10+7×11+10×7=6(本),故答案为6.406.解:(1)504.4次5次4次[解析]根据题意知,样本容量为50,平均数为(2×5+3×6+4×13+5×16+6×10)÷50=4.4(次),众数:5次,极差:6-2=4(次).故答案为:50;4.4次;5次;4次.=624(人).(2)估计做好事不少于4次的人数有800×13+16+10507.解:(1)2.52.5[解析]将数据从小到大排列为:0.6,1,1.5,1.5,1.8,2,2,2.2,2.4,2.5,2.5,2.5,2.5,2.8,3,3.1,3.3,3.3,3.5,4,=2.5,众数为2.5.∴中位数m的值为2.5+2.52故答案为:2.5;2.5.(2)2.4×18=43.2(小时),答:估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.=130(人),(3)200×8+520答:估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人.8.A9.解:(1)4.5首.=850(人).(2)1200×40+25+20120答:大赛后一个月该学校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数大约为850人.(3)①中位数:启动之初,“一周诗词诵背数量”的中位数为4.5首;大赛后,“一周诗词诵背数量”的中位数为6首.②平均数:启动之初,易得样本中数量为4首的有45人,x=1(3×15+4×45+5×20+6×16+7×13+8×11)=5(首).120(3×10+4×10+5×15+6×40+7×25+8×20)=6(首).大赛后,x=1120综上分析,从中位数、平均数可看出,学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于启动之初.根据样本估计总体,该校大赛之后“一周诗词诵背数量”好于启动之初,说明活动效果明显.。
2020年九年级数学中考压轴专题：《一次函数实际应用》(解析版)
中考三轮压轴专题：《一次函数实际应用》1．某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中20＜a＜40），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．运动服款式甲款乙款进价（元/套）60 80售价（元/套）100 1502．某单位要将一份宣传资料进行批量印刷．在甲印刷厂，在收取100元制版费的基础上，每份收费0.5元；在乙印刷厂，在收取40元制版费的基础上，每份收费0.7元．设该单位要印刷此宣传资料x份（x为正整数）．（1）根据题意，填写下表：印刷数量（份）150 250 350 450 …甲印刷厂收费（元）175 ①275 ②…乙印刷厂收费（元）145 215 ③355 …（2）设在甲印刷厂收费y1元，在乙印刷厂收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；（3）当x≥100时，在哪家印刷厂花费少？请说明理由．3．某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费88元．（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．①求w关于x的函数关系式；②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．4．今年某水果加工公司分两次采购了一批桃子，第一次费用为25万元，第二次费用为30万元．已知第一次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格上涨了0.1万元，第二次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格下降了0.1万元，第二次采购的数量是第一次采购数量的2倍．（1）试问去年每吨桃子的平均价格是多少万元？两次采购的总数量是多少吨？（2）该公司可将桃子加工成桃脯或桃汁，每天只能加工其中一种．若单独加工成桃脯，每天可加工3吨桃子，每吨可获利0.7万元；若单独加工成桃汁，每天可加工9吨桃子，每吨可获利0.2万元为出口需要，所有采购的桃子必须在30天内加工完毕．①根据该公司的生产能力，加工桃脯的时间不能超过多少天？②在这次加工生产过程中，应将多少吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润？最大利润为多少？5．为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不少于22棵但不超过35棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．6．商丘市梁园区紧紧围绕十九大报告提出的阶段性目标任务，深化农业供给侧结构性改革，调整种植结构，深入进行了四大结构调整，分别是：水池铺乡的辣椒产业、刘口乡的杂果基地，孙福集乡的山药、莲藕产业，双八镇的草莓产业．目前，这四种产业享誉省内外．某外地客商慕名来商丘考查，他准备购入山药和草莓进行试销，经市场调查，若购进山药和草莓各2箱共花费170元，购进山药3箱和草莓4箱共花费300元．（1）求购进山药和草莓的单价；（2）若该客商购进了山药和草莓共1000箱，其中山药销售单价为60元，草莓的销售单价为70元．设购进山药x箱，获得总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②由于草莓的保鲜期较短，该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的，要使销售这批山药和草莓的利润最大，请你帮该客商设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．7．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义：；（3）求线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示（1）a＝，甲的速度是km/h；（2）求线段CF对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B地还有多远？（3）乙车出发min追上甲车？（4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距40km．9．为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w 元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？10．“垃圾分类”意识已经深入人心．我校王老师准备用2000元（全部用完）购买A，B 两类垃圾桶，已知A类桶单价20元，B类桶单价40元，设购入A类桶x个，B类桶y个．（1）求y关于x的函数表达式．（2）若购进的A类桶不少于B类桶的2倍．①求至少购进A类桶多少个？②根据临场实际购买情况，王老师在总费用不变的情况下把一部分A类桶调换成另一种C类桶，且调换后C类桶的数量不少于B类桶的数量，已知C类桶单价30元，则按这样的购买方式，B类桶最多可买个．（直接写出答案）11．为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动，自行车队从甲地出发，目的地为乙地，在自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往乙地，到达乙地后立即按原路返回甲地．自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍．如图所示的是自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地的时间x（h）的关系图象，请根据图象提供的信息，回答下列问题．（1）自行车队行驶的速度是；邮政车行驶的速度是；a＝．（2）邮政车出发多少小时与自行车队相遇？（3）当邮政车与自行车队相距15km时，此时离邮政车出发经过了多少小时？12．为了减少二氧化碳的排放量，提倡绿色出行，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付（使用的前1小时免费）和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：（1）图中表示会员卡支付的收费方式是（填①或②）．（2）在图①中当x≥1时，求y与x的函数关系式．（3）陈老师经常骑行该公司的共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．13．如图①，某商场有可上行和下行的两条自动扶梯，扶梯上行和下行的长度相等，运行速度相同且保持不变，甲、乙两人同时站上了上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以0.8米/秒的速度往上走，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯（换乘时间忽略不计）同时以0.8米/秒的速度往下走，乙到达低端后则在原点等候甲，图②中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，高扶梯底端的路程y（米）与所用时间x（秒）的部分函数图象，结合图象解答下列问题：（1）每条扶梯的长度为米（直接填空）；（2）求点B的坐标；（3）乙到达扶梯底端后，还需等待秒，甲才到达扶梯底端（直接填空）．14．小明和小津去某风景区游览，小明从明桥出发沿景区公路骑自行车去陶公亭，同一时刻小津在霞山乘电动汽车出发沿同一公路去陶公亭，车速为24m/h．他们出发后xh时，离霞山的路程为ykm，y为x的函数图象如图所示：（1）求直线OC和直线AB的函数表达式；（2）回答下列问题，并说明理由；①当小津追上小明时，他们是否已过了夏池？②当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有多少千米？15．武胜县白坪一飞龙乡村旅游度假区橙海阳光景点组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨脐橙获得（元）1200 1600 1000（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？（3）设销售利润为W（元），求W与x之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．16．“守护碧水蓝天，守护我们的家园”，某市为了改善城市环境，预算116万元购进A、B两种型号的清扫机，已知A型号清扫机的单价比B型号清扫机单价的多1.2万元，若购进2台A型号清扫机和3台B型号清扫机花费54.6万元．（1）求A型号清扫机和B型号清扫机的单价分别为多少万元；（2）该市通过考察决定先购进两种型号的清扫机共10台，且B型号的清扫机数量不能少于A型号清扫机的1.5倍，该市怎样购买才能花费最少？最少花费多少万元？17．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，其中A型净水器每台的利润为400元，B型净水器每台的利润为500元．该公司计划再一次性购进两种型号的净水器共100台，其中B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍，设购进A型净水器x台，这100台净水器的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该公司购进A型、B型净水器各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型净水器出厂价下调a（0＜a＜150）元，且限定公司最多购进A型净水器60台，若公司保持同种净水器的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台净水器销售总利润最大的进货方案．参考答案1．解：（1）根据题意得y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000；即y＝﹣30x+21000．（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，解得x≥200，∴至少要购进甲款运动服200套．又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝200时，y有最大值，y最大＝﹣30×200+21000＝15000，∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．（3）由题意得，y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x），其中200≤x≤240，化简得，y＝（a﹣30）x+21000，∵20＜a＜40，则：①当20＜a＜30时，a﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当小00时，y有最大值，则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大．②当a＝30时，a﹣30＝0，y＝21000，则服装店应购进甲款运动服的数量应满足100≤x≤120，且x为整数时，服装店获利最大．③当30＜a＜40时，a﹣30＞0，y随x的增大而增大，∵200≤x≤240，∴当x＝240时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．2．解：（1）由题意可得，当x＝250时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×250＝225（元），当x＝450时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×450＝325（元），当x＝350时，乙印刷厂的费用为：40+0.7×350＝285（元），故答案为：①225；②325；③285．（2）根据题意，得y1＝100+0.5x，y2＝40+0.7x．（3）设在甲、乙两个印刷厂收费金额的差为y元，则y＝y1﹣y2＝60﹣0.2x．当y＝0时，即60﹣0.2x＝0，得x＝300．∴当x＝300时，在甲、乙两个印刷厂花费相同．∵﹣0.2＜0，∴y随x的增大而减小．∴当100≤x＜300时，有y＞0，在乙印刷厂花费少；当x＞300时，有y＜0，在甲印刷厂花费少．3．解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，，得答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；（2）①由题意可得，w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，即w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+700；②∵所获利润不低于进货价格的45%，∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，解得，x≥33，∵x为整数，w＝﹣3x+700，∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝598，100﹣x＝66，答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．4．解：（1）设去年每吨桃子的平均价格是a万元/吨，根据题意，解得a＝0.4．经检验，a＝0.4是原方程的解．（吨），答：去年每吨桃子的平均价格是0.4万元，两次采购的总数量是150吨；（2）①设该公司加工桃脯用x天，根据题意得，解得x≤20．所以加工桃脯的时间不能超过20天；②设该公司加工桃脯用x天，获得最大利润为w万元，根据题意得w＝0.73x+0.2×（150﹣3x）＝1.5x+30，∵k＝1.5＞0，∴y随x的增大而增大，∵x≤20，∴当x＝20时，w最大值＝1.5×20+30＝60（万元），∴3×20＝60（吨）．答：应将60吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润，最大利润为60万元．5．解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，20k1＝160，解得，k1＝8，即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，当20＜x≤45时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，，解得，即当20＜x≤45时，y与x的函数关系式是y＝6.4x+32，综上可知：y与x的函数关系式为；（2）设购买B种树苗x课，则22≤x≤35，设总费用为W元，当20＜x≤35时，W＝7（45﹣x）+（6.4x+32）＝﹣0.6x+347，∵﹣6＜0，∴W随x的增大而减小，故当x＝35时，W取得最小值，此时W＝326，45﹣x＝10，答：当购买A种树苗10棵，B种树苗35棵时总费用最低，最低费用是326元．6．解：（1）设购进每箱山药的单价为x元，购进每箱草莓的单价为y元，根据题意得，解得，答：每箱山药的单价为40元，每箱草莓的单价为45元；（2）①由题意可得，y＝（60﹣40）x+（70﹣45）（1000﹣x）＝﹣5x+25000；②由题意可得，，解得：x≥750，又y＝﹣5x+25000，k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝750时，y达到最大值，即最大利润y＝﹣5×750+25000＝21250（元），此时1000﹣x＝1000﹣750＝250（箱），答：购进山药750箱，草莓250箱时所获利润最大，利润最大为21250元．7．解：（1）由题意，得甲、乙两地之间的距为900km．故答案为：900；（2）由函数图象，得图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇．故答案为：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇；（3）设线段CD的解析式为y＝kx+b，快车与慢车的速度和为：900÷4＝225（km/h），慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），快车的速度为：225﹣75＝150（km/h）．由题意，得快车走完全程的时间按为：900÷150＝6h，6时时两车之间的距离为：225×（6﹣4）＝450km．则C（6，450）．将点C（6，450）、D（12，900）代入函数关系式得，解得，∴线段CD的解析式为y＝75x（6≤x≤12）．8．解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），甲车的速度＝＝60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）乙出发时甲所走的路程为：60×＝40（km），∴线段CF对应的函数表达式为：y＝60x+40；乙刚到达货站时，甲距B地的路程为：460﹣60×（4+）＝180（km）．（3）设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x﹣50）千米/时，根据题意可知：4x+（7﹣4.5）（x﹣50）＝460，解得：x＝90．乙车追上甲车的时间为40÷（90﹣60）＝（小时），小时＝80分钟，故答案为：80；（4）易得直线OD的解析式为y＝90x（0≤x≤4），根据题意得60x+40﹣90x＝40或90（x）﹣60x＝40或60x＝9×4﹣40，解得x＝或x＝或x＝．答：甲出发小时或x＝小时或x＝小时后，甲乙两车相距40km．9．解：（1）①0≤x≤300时，设y＝kx+b（k≠0），过（0，0），（300，24000），，解得，∴y＝80x，②x＞300时，设y＝kx+b（k≠0），过（300，24000），（500，30000），，解得，∴y＝30x+15000，∴y＝；（2）w＝30x+15000+50（600﹣x），即w＝﹣20x+45000；（3）设甲种石材为am2，则乙种石材（600﹣a）m2，，∴300＜x≤400，由（2）知w＝﹣20x+45000，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，即甲400m2，乙200m2时，W min＝﹣20×400+45000＝37000．答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．10．解：（1）根据题意，得20x+40y＝2000得y＝﹣x+50．答：y关于x的函数表达式为y＝﹣x+50；（2）①∵购进的A类桶不少于B类桶的2倍，∴x≥2y，即x≥2（﹣x+50）．解得x≥50．答：至少购进A类桶50个；②设购入A类桶x个，B类桶y个，C类桶c个，根据题意，得20x+40y+30c＝2000得y＝．∵调换后C类桶的数量不少于B类桶的数量，∴c≥．解得c≥．∵A类桶不少于B类桶的2倍．∴x≥2y∴x≥2×．解得c≥．∴．＝．解得x＝∵x、y、c为正整数，所以A类至少买36个，所以B类最多买18个．11．解：（1）自行车队行驶的速度是140÷7＝20（m/h），邮政车行驶的速度是：20×3＝60（m/h），a＝1+140÷60＝．故答案为：20km/h；60km/h；．（2）设邮政车出发x小时两车相遇，分两种情况：①首次相遇，由题意得20（x+1）＝60x，解得，故邮政车出发小时两车首次相遇②邮政车在返程途中与自行车队再次相遇．根据题意得20（x+1）+60x＝140×2，解得，故邮政车出发小时后，在返程途中与自行车队再次相遇．即邮政车出发后小时或小时与自行车队相遇．（3）设离邮政车出发经过了m小时与自行车队相距15km．当时，①当自行车队在邮政车前面时，20（m+1）﹣60m＝15，解得；②当邮政车在自行车队前面时，60m﹣20（m+1）＝15，解得；当时，①邮政车从乙地返回，与自行车队未相遇，20（m+1）+60m﹣140＝140﹣15，解得；②邮政车从乙地返回，与自行车队相遇后，20（m+1）+60m﹣140＝140+15，解得．即邮政车与自行车队相距15km时，此时离邮政车出发经过了小时或小时或小时或小时．12．解：（1）图中表示会员卡支付的收费方式是②．（2）当x≥1时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝kx+b （k≠0），将（1，0），（1.5，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴当x≥1时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝4x﹣4．（3）设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，将（1.5，3）代入y＝ax，得：3＝1.5a，解得：a＝2，∴会员卡支付对应的函数关系式为y＝2x．令2x＝4x﹣4，解得：x＝2．由图象可知，当0＜x＜2时，陈老师选择手机支付比较合算；当x＝2时，陈老师选择两种支付都一样；当x＞2时，陈老师选择会员卡支付比较合算．13．解：（1）由图象可知，每条扶梯的长度为30米（直接填空）；故答案为：30（2）设扶梯上行和下行的速度为xm/s，则7.5（2x+0.8）＝30，解得x＝1.6，7.5（x+0.8）＝7.5×（1.6+0.8）＝7.5×2.4＝18．则点B的坐标是（7.5，18）．∴B（7.5，18）；（3）由题意，得30×2÷（1.6+0.8）﹣30÷1.6＝60÷2.4﹣18.75＝25﹣18.75＝6.25（s）．故乙到达扶梯底端后，还需等待6.25s，甲才到达扶梯底端．故答案为：6.2514．解：（1）小明骑车的速度为：（60﹣15）÷3.75＝12（km/h），∴直线AB的函数表达式为：y＝12x+15；直线OC的函数表达式为：y＝24x；（2）①当小津追上小明时，24x＝12x+15，解得x＝1.25（h），24×1.25＝30（km），30＜15+20，∴当小津追上小明时，他们没有到达夏池；②小津到达陶公亭所需时间为：60÷24＝2.5（h），60﹣（12×2.5+15）＝15（km）．答：当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有15千米．15．解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20﹣x﹣y），则有：6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100整理得：y＝﹣2x+20（1≤x≤9且为整数）；（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、﹣2x+20、x由题意得：，解得4≤x≤8，因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种．方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车，方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车，方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；（3）W＝6x×1200+5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000，∵k＝﹣4800＜0∴W的值随x的增大而减小，要使利润W最大，则x＝4，故选方案为：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车．W最大＝﹣4800×4+160000＝140800（元），答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为140800元．16．解：（1）设B型号清扫机的单价为x万元，则A型号清扫机的单价为（）万元，根据题意得，解得x＝11.6，（万元），答：A型号清扫机的单价为9.9万元，型号清扫机的单价为11.6万元；（2）设购进A型号清扫机a台，总花费为W元，根据题意得10﹣a≥1.5a，解得a≤4，W＝9.9a+11.6（10﹣a）＝﹣1.7a+116，∵k＝﹣1.7＜0，∴W随a的增大而减小，∴当购进A型号清扫机4台时花费最少，最少花费为：﹣1.7×4+116＝109.2（万元）．答：当购进A型号清扫机4台，B型号的清扫机6台时花费最少，最少花费为109.2万元．17．解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥，∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该公司购进A型净水器34台、B型净水器66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即公司购进34台A型净水器和66台B型净水器的销售利润最大．②a＝100时，a﹣100＝0，y＝50000，即公司购进A型净水器数量满足≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜150时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．即公司购进60台A型净水器和40台B型净水器的销售利润最大．。
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专题35 应用题1．（2019•嘉兴一模）小红同学想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出登元硬币和伍角硬币的质量，于是，他找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录：请你帮小红同学算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？【分析】设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．两个等量关系为：5枚壹元硬币质量1010+=枚伍角硬币质量；15枚壹元硬币质量20=枚伍角硬币质量10+．列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．依题意得：51010 152010x yx y+=⎧⎨=+⎩，②-①2⨯，得530x=，解得6x=，把6x=代入①，得4y=．所以原方程的解为：64xy=⎧⎨=⎩．答：一枚壹元硬币6克，一枚伍角硬币4克．2．（2019•温州三模）某商店销售A、B、C三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年5月1日起将A饮料每瓶的价格上调20%，将B饮料每瓶的价格下调10%，C饮料价格不变，是每瓶7元．已知调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元．（1）问A、B两种饮料调价前的单价；（2）今年6月份，温州某单位花费3367元在该商店购买A、B、C三种饮料共n瓶，其中购得B饮料的瓶数是A饮料的2倍，求n的最大值．【分析】（1）设A饮料调价前的单价为x元/瓶，B饮料调价前的单价为y元/瓶，根据“调价前A、B、C 三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A 饮料m 瓶，则购进B 饮料2m 瓶，购进C 饮料(3)n m -瓶，根据总价=单价⨯数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，进而可得出4810.6n m =+，由购买A 、B 两种饮料的钱数少用3367元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再由m ，n 均为正整数结合一次函数的性质即可求出n 的最大值．【解答】解：（1）设A 饮料调价前的单价为x 元/瓶，B 饮料调价前的单价为y 元/瓶，依题意，得：7182 1.250.939x y x y ++=⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得：56x y =⎧⎨=⎩． 答：A 饮料调价前的单价为5元/瓶，B 饮料调价前的单价为6元/瓶．（2）设购进A 饮料m 瓶，则购进B 饮料2m 瓶，购进C 饮料(3)n m -瓶，依题意，得：5 1.260.927(3)3367m m n m ⨯+⨯⨯+-=，4810.6n m ∴=+．Q 购买A 、B 两种饮料的钱数少用3367元，5 1.260.923367m m ∴⨯+⨯⨯<，520012m ∴<． 又m Q ，n 均为正整数，∴当200m =时，n 取得最大值，最大值为601．答：n 的最大值为601．3．（2019•嘉善县模拟）在某县美化城市工程招投标中，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合作12天可完成．问：（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需工程款2万元，该工程计划用时不超过35天，在不超过计划天数的前提下，由甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独完成，那么安排甲队单独施工多少天工程款最省？最省的工程款是多少万元？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，工作量=工作时间⨯工作效率，完成工作，工作量就是1，根据此可列方程求解．（2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天．101212130x++= 45x =，经检验45x =是原分式方程的解，答：乙队单独完成这项工程需要45天．（2）设甲队完成这项工程需y 天，总工程费用为S 万元． 由题意，得乙还需要单独施工3(45)2y -天， 345352y y +-…， 解得20y …， 所以33.52(45)2S y y =+- 1902y =+ 当20y =时，100S =最小．答：安排甲队单独施工20天工程款最省，最省的工程款是100万元．4．（2019•杭州模拟）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？设合伙人为x 人，羊价为y 钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩乙同学：54573y x y x =-⎧⎨=+⎩请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．【分析】设合伙人为x 人，羊价为y 钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设合伙人为x 人，羊价为y 钱，依题意，得：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩， ∴甲同学列的方程组正确，解该方程组，得：21150x y =⎧⎨=⎩． 答：合伙人为21人，羊价为150钱．5．（2019•温州二模）“一路一带”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织签署174份合作文件，共建“一路一带”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域．截止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示．（1）求投资制造业的基金约为多少亿元？（2）按照规划，中国将继续对“一路一带”基金增加投入，到2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？【分析】（1）由投资电力能源所在扇形的圆心角求出投资电力能源所占比例，再利用投资制造业的基金=投资总金额D ⨯所占的比例，即可求出结论；（2）设平均每季度的增长率是x ，根据2019年一季度末及三季度末的投资总额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）72100%20%360⨯=， 3000(112%15%20%32%)630⨯----=（亿元）． （2）设平均每季度的增长率是x ，依题意，得：23000(1)3000630x +=+，解得：10.110%x ==，2 2.1x =-（舍去）．答：平均每季度增长10%．6．（2019•乐清市一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．【分析】（1）根据用600元购进的餐桌数量=用160元购进的餐椅数量列方程求解可得；（2）设购进的餐桌为x 张，则餐椅为(520)x +张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张求出x 的范围，再设利润为为w 元，列出利润关于x 的函数解析式，利用一次函数性质求解可得；（3）设成套销售n 套，零售桌子y 张，零售椅子z 张，由题意得出140110207950()(4)200n y z n y n z ++=⎧⎨+++=⎩，由n 、y 、z 均为整数求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：600160110a a =-， 解得：150a =，经检验150a =符合实际且有意义；（2）设购进的餐桌为x 张，则餐椅为(520)x +张， 520200x x ++…，解得：30x …，设利润为为w 元，则：1150027070(5202)15040(520)22w x x x x x x =⨯+⨯++---+245600x =+，当30x =时，w 最大值7950=；（3）设成套销售n 套，零售桌子y 张，零售椅子z 张，由题意得：140110207950()(4)200n y z n y n z ++=⎧⎨+++=⎩， 化简得：141127955200n y z n y z ++=⎧⎨++=⎩， 49395n y ∴+=， 则3954844399n n y --==+， 又10n …，∴1139106n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，203565n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，293124n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．7．（2019•荔湾区一模）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为200元，第二周该商店对纪念品打8折销售，结果销售量增加3件，营业额增加了40%．（1）求该商店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格．【分析】（1）根据第二周的营业额=第一周的营业额(1⨯+增长率），即可求出该商店第二周的营业额；（2）根据数量=总价÷单价结合第二周比第一周多销售3件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）200(140%)280⨯+=（元)．答：该商店第二周的营业额为280元．（2）设第一周该种纪念品每件的销售价格为x 元，则第二周该种纪念品每件的销售价格为0.8x 元， 依题意，得：28020030.8x x-=， 解得：50x =，经检验，50x =是原方程的解，且符合题意．答：该种纪念品第一周每件的销售价格是50元．8．（2019•余姚市一模）随着科技的发展，智能产品越来越受到人们的喜爱，为了奖励员工，某公司打算采购一批智能音箱．现有A ，B 两款智能音箱可供选择，已知A 款音箱的单价比B 款音箱的单价高50元，购买5个A 款音箱和4个B 款音箱共需1600元．（1）分别求出A 款音箱和B 款音箱的单价；（2）公司打算采购A ，B 两款音箱共20个，且采购A ，B 两款音箱的总费用不超过3500元，那么A 款音箱最多采购多少个？【分析】（1）设A 款音箱的单价为x 元，B 款音箱的单价为y 元，根据“已知A 款音箱的单价比B 款音箱的单价高50元，购买5个A 款音箱和4个B 款音箱共需1600元”分别列出两个二元一次方程组成的方程组进行解答；（2）设A 款音箱采购a 个，根据“采购A ，B 两款音箱的总费用不超过3500元”列出不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设A 款音箱的单价为x 元，B 款音箱的单价为y 元，根据题意，得50541600x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得，200150x y =⎧⎨=⎩， 答：A 款音箱的单价为200元，B 款音箱的单价为150元；（2）设A 款音箱应采购a 个，则B 种音箱应采购(20)a -个，根据题意得，200150(20)3500a a +-…，解得，10a …，答：A 款音箱最多采购10个．9．（2019•慈溪市模拟）践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？【分析】（1）设月平均增长率为x ，根据该品牌共享自行车1月份及3月份的投放量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值，再将该正值代入1000(1)x +中即可求出结论；（2）设去影视城时的平均速度为y 米/分钟，则返回时的平均速度为y 米/分钟，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时少用5分钟，即可得出关于y 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）设月平均增长率为x ，依题意，得：2640(1)1000x +=，解得：1 2.25x =-（舍去），20.2525%x ==，1000(1)1250x ∴+=．答：4月份投放了1250辆．（2）设去影视城时的平均速度为y 米/分钟，则返回时的平均速度为y 米/分钟， 依题意，得：2000200052y y-=， 解得：200y =，经检验，200y =是所列分式方程的解，且符合题意．答：小明去影视城的平均速度为200米/分钟．10．（2019•温岭市一模）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到6.4列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x ．由题意，得210(1) 6.4x -=．解这个方程，得10.2x =，2 1.8x =（不符合题意），符合题目要求的是10.220%x ==．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）超市采购员方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：6.40.8200010240⨯⨯=（元)，方案二所需费用为：6.42000200010800⨯-=（元)．1024010800<Q ，∴超市采购员选择方案一购买更优惠．11．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a 米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若6a =．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0 6.5a <<，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【分析】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB x =，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答】解：（1）①设AB 的长是x 米，则203AD x =-，根据题意得，(203)25x x -=，解得：15x =，253x =， 当53x =时，156AD =>， 5x ∴=，5AD ∴=，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则1262[20(6)]333AB x x x =---=-，根据题意得，22262226213169()()(6)3333326y x x x x x x =-=-+=--+>， ∴当132x =时，y 有最大值为1696． 答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC x =，能围成的矩形花圃的面积为S ， 按图甲的方案，22201201100(10)33333x S x x x x -=⨯=-+=--+， ∴在10x a =<时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x a =的最大值n 时，S 的值最大，为21100(10)33S n --+； 按图乙方案，221220(20)[20()]()33424a a S x x a x x ++=---=--+， ∴当204a x +=时，S 的值最大为2(20)24a S +=，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为2(20)24n S +=； Q 222(20)11009120400[(10)]0243324n n n n +-+---+=>， ∴22(20)1100(10)2433n n +>--+， 故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．12．（2020•温州模拟）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元．（1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是( 60x - )元；（2）求月销量y 与售价x 的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W 元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据利润=售价-进价求出利润；（2）运用待定系数法求出月销量y 与售价x 的一次函数关系式即可；（3）根据月利润=每件的利润⨯月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．【解答】解：（1）销售该运动服每件的利润是：(60)x -元，故答案为：60x -；（2）设月销量y 与x 的关系式为y kx b =+，由题意得，100200110180k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得2400k b =-⎧⎨=⎩． 则2400y x =-+；（3）由题意得，(60)(2400)y x x =--+2252024000x x =-+-∴当130x =时，利润最大值为9800元，故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．13．（2019•青白江区模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y （米)与登山时间x （分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A 地时距地面的高度b 为 米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y （米)与登山时间x （分)之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度⨯时间即可算出乙在A 地时距地面的高度b 的值；（2）分02x 剟和2x …两种情况，根据高度=初始高度+速度⨯时间即可得出y 关于x 的函数关系； （3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y 关于x 的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y 关于x 的函数关系式50=，即可得出关于x 的一元一次方程，解之可求出x 值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）(300100)2010-÷=（米/分钟），151230b =÷⨯=．故答案为：10；30．（2）当02x 剟时，15y x =；当2x …时，30103(2)3030y x x =+⨯-=-．当3030300y x =-=时，11x =．∴乙登山全程中，距地面的高度y （米)与登山时间x （分)之间的函数关系式为15(02)3030(211)x x y x x ⎧=⎨-⎩剟剟． （3）甲登山全程中，距地面的高度y （米)与登山时间x （分)之间的函数关系式为10100(020)y x x =+剟． 当10100(3030)50x x +--=时，解得：4x =；当3030(10100)50x x --+=时，解得：9x =；当300(10100)50x -+=时，解得：15x =．答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．14．（2019•瑞安市三模）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x （元)，每日销售量y （件)每日的利润w （元)．在试销过程中，每日销售量y （件)、每日的利润w （元)与销售单价x （元)之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y （件)，每日的利润w （元)关于销售单价x （元)之间的函数表达式．（利润=（销售单价-成本单价）⨯销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？【分析】（1）观察表中数据，发现y 与x 之间存在一次函数关系，设y kx b =+．列方程组得到y 关于x 的函数表达式2100y x =-+，根据题意得到221361800w x x =-+-；（2）把221361800w x x =-+-配方得到22(34)512w x =--+．根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到即可．【解答】解：（1）观察表中数据，发现y 与x 之间存在一次函数关系，设y kx b =+．则62196020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩， 2100y x ∴=-+，y ∴关于x 的函数表达式2100y x =-+，(18)(18)(2100)w x y x x ∴=-=--+g （1分）221361800w x x ∴=-+-；（2）22213618002(34)512w x x x =-+-=--+Q ．∴当销售单价为34元时，∴每日能获得最大利润512元；（3）当350w =时，235021361800x x =-+-，解得25x =或43，由题意可得2532x 剟，则当32x =时，18(2100)648x -+=，∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．15．（2019•温州三模）某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x 元/千克(5x …且为正整数）． （1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a 元后(a 为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a 的值．【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a -++剟，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值．【解答】解：（1）根据题意得：342(5)24x --=，10x =，答：该日瓯柑的单价是10元/千克；（2）根据题意得：222[342(5)]2442(22121121)2(11)242w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+，由题意得：515x 剟，且x 为正整数，20-<Q ，11x ∴=时，w 有最大值是242元，5x =时，w 有最小值是22(511)242170--+=元；则w 关于x 的函数表达式为：2[342(5)]244(515w x x x x x =--=-+剟，且x 为正整数）；（3）由题意得：2340244350x x a -++剟Q 只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13当9x =或13时，2244234x x -+=，；当10x =或12时，2244240x x -+=，当11x =时，2244242x x -+= Q 补贴后不超过350元，234106340+=，242108350+=∴当106a =，或107，或108时符合题意．答：所有符合题意的a 值为：106，107，108．16．（2019•海宁市二模）某电视台摄制组乘船往返于A 码头和B 码头进行拍摄，在A 、B 两码头间设置拍摄中心C ．在往返过程中，假设船在A 、B 、C 处均不停留，船离开B 码头的距离s （千米）与航行的时间t （小时）之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）求船从B 码头返回A 码头时的速度及返回时s 关于t 的函数表达式．（2）求水流的速度．（3）若拍摄中心C 设在离A 码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B 码头处，另一组同时乘船到达A 码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C 的距离．【分析】（1）根据图象可知，船从B 地返回A 地，距B 地的距离为27千米，用时3小时，可求出速度，用待定系数法可求出正比例函数的关系式；（2）通过图象又可知从A 返回到B 用时1.5小时，可求出速度，于是便知从A 到B 是顺水，反之逆水，根据速度差可求出水流速度；（3）先求出船到A 的时间，求出橡皮艇离开C 的距离，然后是追及问题，设出追及时间，列出方程可求出追及时间，进而求出相遇是距C 地的距离．【解答】解：（1）船从B 码头返回A 码头时的速度2739÷=千米/时，设返回时s 关于t 的函数表达式为s kt =，过(3,27)9k ∴=s ∴关于t 的函数表达式为9s t = (03)t 剟答：船从B 码头返回A 码头时的速度为9千米/时，返回时s 关于t 的函数表达式为：9s t =．（2）船由B 到A 的速度为：2739÷=千米/时，由A 到B 的速度为：27(4.53)18÷-=千米/时， 根据：顺水速-逆水速=水速的2倍得：(189)2 4.5-÷=千米/时，故水流的速度为4.5千米/时；（3）当船到达A 地用时为：41293÷=时，此时橡皮艇行至距C 地44.563⨯=千米处， 设船从A 返回追橡皮艇时间为x 时，则：18 4.5126x x =++解得：43x = 此时距C 的距离为：444.5()1233⨯+=千米． 答：两摄制组相遇时离拍摄中心C 的距离为12千米． 17．（2019•包头二模）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30︒．且D 离地面的高度5DE m =．坡底30EA m =，然后在A 处测得建筑物顶端B 的仰角是60︒，点E ，A ，C 在同一水平线上，求建筑物BC 的高．（结果用含有根号的式子表示）【分析】过点D 作DH BC ⊥于点H ，则四边形DHCE 是矩形，DH EC =，DE HC =，设建筑物BC 的高度为xm ，则(5)BH x m =-，由三角函数得出3(5)DH x =-，3(5)30AC EC EA x =-=--，得出tan 60[3(5)10]x x =︒--g ，解方程即可．【解答】解：过点D 作DH BC ⊥于点H ，如图所示：则四边形DHCE 是矩形，DH EC =，5DE HC ==，设建筑物BC 的高度为xm ，则(5)BH x m =-，在Rt DHB ∆中，30BDH ∠=︒，3(5)DH x ∴=-，3(5)30AC EC EA x =-=--，在Rt ACB ∆中，60BAC ∠=︒，tan BC BAC AC ∠=， ∴33(5)30x =--解得：15303x +=， 答：建筑物BC 的高为15303m +． 18．（2019•嘉兴一模）图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度2AD =米，两扇门的大小相同（即)AB CD =，且AB CD AD +=，现将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转67︒（如图2所示）．（1）点C 到直线AD 的距离．（2）将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向外面旋转，设旋转角为α（如图3所示），问α为多少度时，点B ，C之间的距离最短．参考数据：(sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan29.60.57︒≈，tan19.60.36︒≈，sin 29.60.49)︒≈ 【分析】（1）如图2，过C 作CH AD ⊥于H ，解直角三角形即可得到结论；（2）当A 、B 、C 三点共线时，B ，C 之间的距离最短，如图3，过C 作CH AD ⊥于H ，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2，过C 作CH AD ⊥于H ，由题意得，67D ∠=︒，112CD AD ==， sin670.92CH CD ∴=︒≈g 米；答：点C 到直线AD 的距离约为0.92米；（2）当A 、B 、C 三点共线时，B ，C 之间的距离最短，如图3，过C 作CH AD ⊥于H ，由题意得，67D ∠=︒，112CD AD ==， sin670.92CH CD ∴=︒≈g 米，cos670.39DH CD =︒≈g ，20.39 1.61AH ∴=-=，在Rt ACH ∆中，0.92tan 0.571.61CH AH α==≈， 29.6α∴≈︒， 答：当α为29.6度时，点B ，C 之间的距离最短．19．（2019•金华模拟）在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB 是订书机的托板，压柄BC 绕着点B 旋转，连接杆DE 的一端点D 固定，点E 从A 向B 处滑动，在滑动过程中，DE 的长保持不变．已知52BD cm =．（1）如图1，当45ABC ∠=︒时，B ，E 之间的距离为15cm ，求连接杆DE 的长度．（2）现将压柄BC 从图1的位置旋转到与底座AB 垂直，如图2所示．求在此过程中点E 滑动的距离．【分析】（1）过点D 作DM AB ⊥，垂足为M ，在Rt BDM ∆中，通过解直角三角形可求出DM ，BM 的长度，在Rt DEM ∆中，利用勾股定理可求出DE 的长；（2）在Rt DBE ∆中，利用勾股定理可求出BE 的长，结合（1）中BE 的长即可求出点E 滑动的距离．【解答】解：（1）在图1中，过点D 作DM AB ⊥，垂足为M ．在Rt BDM ∆中，sin455DM BD =︒=g ，cos455BM BD =︒=g ，在Rt DEM ∆中，90DME ∠=︒，5DM =，10EM BE BM =-=， 2255DE DM EM ∴=+=，∴连接杆DE 的长度为55cm ．（2）在Rt DBE ∆中，90DBE ∠=︒，52BD =，55DE =，2253BE DE BD ∴=-=，∴在此过程中点E 滑动的距离为(1553)cm -．20．（2019•台州模拟）港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C 到桥塔的距离(CD 的长）约为100米，又在C 点测得A 点的仰角为30︒，测得B 点的俯角为20︒，求斜拉索顶端A 点到海平面B 点的距离(AB 的长）．（已知3 1.73≈，tan200.36︒≈，结果精确到0.1)【分析】首先在直角三角形ADC 中求得AD 的长，然后在直角三角形BDC 中求得BD 的长，两者相加即可求得AB 的长．【解答】解：在Rt ADC ∆中，Q tan30AD CD︒=，100CD =， 3tan3010057.7AD CD ∴=︒=≈g ，在Rt BDC∆中，Q tan20BD CD︒=，100CD=，tan200.3610036 BD CD∴=︒≈⨯=g57.73693.7AB∴=+=米．。