实验 空间曲面及其在坐标面上的投影1
高等数学：第十四讲 空间曲线在坐标面上的投影
z
方程(2)中缺z坐标,表示母线平行z的柱面,即为
曲线关于xoy 的投影柱面,
该柱面与xoy面交线为 空间曲线在xoy 面上的投影曲线,
o
H(x, y) 0 z 0
y x
2.投影柱面的方程的求法
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
将曲线方程组消去变量x后得 yoz 面上的投影曲线：
R( y, z) 0
x
0
将曲线方程组消去变量y后得 xoz面上的投影曲线：
T( x, z) 0
y
0
3.举例
例1. 设一个立体 , 由上半球面 z = 4 - x2 - y2 和 锥面z 3( x2 y2 )所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
解 上半圆锥面z 3( x2 y2 )
曲线C关于xoy面的投影柱面。
曲线C在坐标面
上的投影柱面
0
y
同样可以定义曲线C 关于yoz面、
xoz面的投影柱面和投影曲线。
x
C
曲线C在坐标面 上的投影曲线
2.投影柱面的方程的求法
设空间曲线C的一般方程为 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0
(1)
由方程组(1)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (2)
空间曲线 在坐标面上的投影
1.空间曲线在平面上投影的概念
你见过手影游戏吧
在空间解析几何中的投影是怎样定义的呢？
已知空间曲线C和平面 ，从C上各点向平面 作垂线，
垂足所构成的曲线C1称为曲线C在平
面 上的投影曲线。
现在我们研究的是空间曲线C在坐标面上的投影曲线。
J曲线在坐标面上的投影和空间区域简图
y 1
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xy 面上的投影为
x2 y2 1,
圆周,
z 0.
x2 y2 1,
z 0.
圆.
空间立体或曲面在坐标面上的投影:
空 间 立 体
曲 面
4 空间区域简图
由二次曲面和平面所围成的区域，作出它的 简图。
z
y=0
.
x=0
0
a
y
z=0
a
x
18. 作图练习二
作出曲面 x2 y2 a2，x2 z2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形？
学画草图
z
a
.
0
a
x
a
y
作图练习三
作出曲面z x y 和 x y z 所围立体图形
z 1
0
z
1 2
（2）因为曲线在平面 z 1 上，
2
所以在 xz 面上的投影为线段.
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
例 3 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
F1 ( x, F2 (x,
y, y,
z) z)
0 0
空间曲线在 xy 面上的投影曲线:
H (x, y) 0 (投影柱面)
z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yz 面上的投影曲线: xz 面上的投影曲线:
空间曲面曲线方程
双叶双曲面 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
x2 a2
y2 b2
的图形（如图） 的图形（如图） 的图形（如图）
（返回）
三、空间曲线及其在坐标上的投影 1. 空间曲线其方程： 任何一条空间曲线都可以 成是两个曲面的交线 。 设
垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程
解：M1M2 1,0, 2，设所求平面的法向量为 n
因 M1M2 在所求平面上，故 n M1M2
面垂直于平面 X+Y+Z=0， 所以
，又所求平
i jk
n 1,1,11,0, 2 1 1 1 2,1,1
1 0 2
所求平面方程为
2(x 1) ( y 1) (z 1) 0, 即 2x y z 0
z
F(x,y,z)=0
y 0 x
例1） 求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹 解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 M1M M2M 将其写为坐标形式有
(x 2)2 ( y 1)2 z2 (x 1)2 ( y 3)2 (z 6)2
两边平方并整理得
解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为：
x2 a2
y2 z2 b2
1
绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面
x2 z2 y2 1
a2
b2
例5．求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面 方程
解：在z=ky中，把 y 换成 x2 y2 得到所求方程为
z k x2 y2 即 z2 k2(x2 y2)
空间曲线及其在坐标面上的投影复习过程
xoy 面和 xoz面上的投影 .
练习题答案
一、1.
y2
10 9
z；
x 0
2. 3 y2 z2 16,3x2 2z2 16；
3.
x2
4z2
2x
3
0；
y 0
4. 两直线的交点,两平面的交线；
5. 椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 x2 y2 1与 49
z 0
x
0
y
0
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x 2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
思考题解答
2 y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xoy面上的投影为
x2 y2 1
.
z 0
z
S1
S2
C
o
y
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0 z 0来自类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
中北大学高等数学MATLAB验证性实验6-空间曲面及其在坐标面上的投影MATLAB实验报告格式
实验课程：____________________ 专业：_____制药工程_______ 班级：_____14040242________ 学号：_____14040242xx______ 姓名：_______xxxxxx________中北大学理学院目录实验六空间曲面及其在坐标面上的投影 (3)【实验类型】 (3)【实验学时】 (3)【实验目的】 (3)【实验内容】 (3)【实验方法与步骤】 (3)一、实验的基本理论与方法 (3)二、实验使用的MA TLAB函数 (4)【实验练习】 (4)实验六 空间曲面及其在坐标面上的投影【实验类型】验证性【实验学时】2学时【实验目的】掌握用MATLAB 绘制空间曲面及其在坐标面上的投影的方法；【实验内容】1．熟悉MATLAB 绘制三维图形的基本命令和方法；2．通过MATLAB 演示常见的空间曲面、空间曲线；【实验方法与步骤】一、实验的基本理论与方法1．描绘空间图形的截痕法（略）。
2．空间曲线在坐标面上的投影：设曲线L 的方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得(,)0H x y =，则曲线L 在XOY 平面上的投影曲线为⎩⎨⎧==00),(z y x H 。
二、实验使用的MATLAB 函数1．已知二元函数),(y x f z =，绘制其三维曲面图的MATLAB 命令调用格式为：[x,y]=meshgrid(v1,v2)； 生成网格数据z=….；如z=x.*y 计算二元函数的z 矩阵mesh(x,y,z) 或surf(x,y,z) mesh()绘制网格图，surf()绘制表面图 其中，v1,v2为x 轴和y 轴的分隔方式。
2．已知空间曲面的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t s z z t s y y t s x x ),(d t c b s a <<<<，绘制其图形的命令格式为：ezsurf('x(s,t)','y(s,t)','z(s,t)',[a,b,c,d])【实验练习】练习 1 画出曲面)(222y x z +-= )20(≤≤z 的图形及其在三个坐标面上的投影。
曲面立体及其表面上点和线的投影
水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不 可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、
（a）已知条件
后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可
见。
作图步骤（参见图4-8（b））：
（1）过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分
于一点，则该点为m；由m′点和m点，即可求出m′′
点，m′′点为可见点。
（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投
曲面立体及其轴测投影
4．圆环面上点的投影
圆环表面上的点，可使用纬圆法绘制。例如， 已知环面上K点的正面投影k′，求该点的水平投影的 作图方法如图4-13所示。
第 17 页
图4-13 求环面上点的投影
土木工程制图
（b）作图方法 图4-9 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
曲面立体及其轴测投影
第 13 页
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出。 圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能 求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为素线 法和纬圆法两种。
【例4-3】已知圆锥面上点A的正面 投影a′，如图4-10（a）所示，求其另 外两面投影。
形，同时也是圆锥面的投影。 ➢ V面和W面投影：均为等腰三角形，且三
角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面 投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥 面最左素线SA和最右素线SB的投影（素线 也是转向轮廓线）；W面投影中，三角形 的左、右两边分别是圆锥面最前素线SC和 最后素线SD的投影。
（a）立体图
（b）投影图
圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。 ➢ V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线
分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。 ➢ W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线 分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。
空间曲线在坐标面上的投影
解 半球面和锥面的交线为
」 J Z = 4 _ x 2 _ y 2 ,
C: < ___________
3 =」3( x x + y 2),
消去Z得投影柱面Xx + y2= 1,
则交线C在xoy面上的投影为 J X2 + y2 = 1, [z = 0. 所求立体在xoy面上的投影为
如图,
板书
(1)消戋得投影］
x x + 5 y1 + 4 xy 一 x =0
z=0
V
②消有得麒｛Xyz'一 一- 4x = 0
(3)消去x得投影
J y 2 + z 2 + 2 y - z = 0 [x =0
板书
二、空间立体或曲面在坐标面上的投影
例3设_个立体,由上半球面七=^14- x2 - y2和锥面七=^13(x2 + y2)
板书 x 2 + y 2 -1.
三、小结
空间曲线在坐标面上的投影.
| H (x, y) = 0 (R( y, z) = 0 (T (x, z) = 0
[z = 0 [ x = 0 [ y = 0
X 2 + y 2 = 4,
在xoy面上的投影为
z=0
、
1
(2 )因为曲线在平面Z =:上，所以在XO面上的投影为线段. 2
z =1 V4
| 2, Ix柘项；
板书
例2求抛物面y2 + z2 = X与平面X + 2y - z = 0的截线在三个坐
标面上的投影曲线方程.
解截线方程为
\ y2+Z2=X 、X + 2 y 一 z =0
工程制图实训指导书
福建林业职业技术学院建筑工程制图与识图实训指导书实训班级: 室内设计1213，1214，1215班指导老师: 陈燕制定时间: 2012年9月实训一点的投影一、实训目标：掌握点的投影以及不同空间位置点线的投影规律，能够运用点的投影规律画出空间点的投影，通过练习具有能够用投影图想象空间点位置的能力。
二、材料及用具：绘图板、三角尺、丁字尺、圆规、分规、铅笔、擦图片、橡皮擦、A4绘图纸、胶带子。
三、方法与步骤：已知A（25、30、18）、B（30、25、25），要求绘制A、B两点的三视图及直观图并分析两点的空间位置关系。
1、空间两点的相对位置是指两点的上下、左右、前后位置关系。
这种位置关系可以通过两点的同面投影的相对位置或两点的坐标值的大小来判断，即：x 坐标值大的点在左；y 坐标值大的点在前；z 坐标值大的点在上。
2、根据已知条件分别在坐标轴上量取A、B两点的x、y、z值，将三面投影图依据点的投影规律（长对正、宽相等、高平齐）绘制成三视图。
3、在三面投影体系直观图中绘制点A、B的空间位置图。
四、实训要求：1、图纸：A4号图幅。
2、图名：点的投影。
3、作图准确，图线粗细分明，尺寸标注无误，字体端正整洁。
实训二直线的投影一、实训目标：掌握直线的投影以及不同空间位置直线的投影规律，能够运用直线的投影规律画出空间直线的投影，通过练习具有能够用投影图想象空间直线位置的能力。
二、材料及用具：绘图板、三角尺、丁字尺、圆规、分规、铅笔、擦图片、橡皮擦、A4绘图纸、胶带子。
三、方法与步骤：根据直线的两面投影，绘制第三面的投影，并分析两直线的空间关系。
已知两直线AB 、CD 的正面投影，水平投影都相交，但由于直线AB 是侧平线，故两直线投影的交点未必是两直线交点的投影。
对此通常有二种解题方法。
一是求出两直线的侧面投影后进行判断，二是利用点分线段成定比的方法判断。
作出两直线AB、CD的侧面投影图，虽然AB、CD相交，但两直线的三对同面投影的交点不符合点的投影特性，故直线AB和CD不相交。
空间曲面投影到xoy面的方法
空间曲面投影到xoy面的方法【最新版4篇】目录（篇1）1.空间曲面投影到 xoy 面的概述2.空间曲面的表示方法3.xoy 面的表示方法4.投影方法及步骤5.投影后的结果分析6.应用实例正文（篇1）【1.空间曲面投影到 xoy 面的概述】空间曲面投影到 xoy 面，即将一个三维空间曲面沿着 z 轴方向投影到 xoy 平面上。
这种投影方法广泛应用于计算机图形学、地理信息系统、机械制造等领域，有助于将复杂的三维空间问题简化为二维平面问题，便于分析和处理。
【2.空间曲面的表示方法】空间曲面可以通过参数方程或普通方程来表示。
参数方程表示法用一组参数（u, v）来表示空间曲面上的点 P(x, y, z)，通常形式为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)普通方程表示法则是通过三个方程来表示空间曲面，例如：Ax + By + Cz + D = 0【3.xoy 面的表示方法】xoy 面是三维空间中的一个平面，用两个坐标轴（x, y）表示。
通常情况下，xoy 面的方程形式为：z = 0【4.投影方法及步骤】将空间曲面投影到 xoy 面的方法可以分为以下几个步骤：1.将空间曲面的参数方程中的 z 值设为 0，得到投影后的参数方程；2.将投影后的参数方程中的参数（u, v）消去，得到投影后的普通方程；3.根据投影后的普通方程，得到投影后的 xoy 平面方程。
【5.投影后的结果分析】投影后的 xoy 平面方程可以用于分析空间曲面与 xoy 平面的交线或交点，以及交线的形状等。
此外，投影后的 xoy 平面方程还可以用于计算空间曲面在 xoy 平面上的投影面积、投影体积等。
目录（篇2）1.空间曲面投影到 xoy 面的概念2.空间曲面的表示方法3.投影方法及其原理4.投影过程的步骤5.应用实例正文（篇2）【1.空间曲面投影到 xoy 面的概念】空间曲面投影到 xoy 面，是指将三维空间中的一个曲面通过投影的方式映射到 xoy 平面上。
空间几何的投影和平行投影的应用
空间几何的投影和平行投影的应用空间几何的投影和平行投影是数学中重要的概念，对于工程学、建筑学等领域有重要的应用，本文将从概念、原理和应用三个方面进行论述。
一、概念
空间中的投影是指将空间中的一个点或一条线，沿着某个方向，投影到一个平面上的过程。
投影过程中施加的力量就是代表着这个方向的向量。
平行投影则是一种特殊的投影，沿着平行于某个方向的直线进行投影。
二、原理
对于一个三维物体，我们可以根据需要选择不同的方向进行投影，从而获得在不同方向上的投影图。
在投影的过程中，需要根据点到投影平面的距离以及投影方向的大小来计算最终的投影点坐标。
而在平行投影中，则只需选择合适的方向即可，投影点坐标的计算与投影方向无关。
三、应用
在工程学中，投影与平行投影的应用非常广泛。
比如说，在机械制图中，需要对三维物体进行投影分析，求出各个面的大小、轮廓以及相互之间的位置关系；在建筑学中，平行投影也常用于画建筑图纸中的立面图和平面图，帮助设计师更好地理解空间结构和设计风格。
总之，空间几何的投影和平行投影虽然看似简单，但其背后的原理和应用却十分广泛和深刻。
希望本文能够为读者加深对该领域的理解和认识。
空间曲线及其在坐标面上的投影
空间曲线及其在坐标面上的投影
1.空间曲线的一般式方程 前面我们曾经把空间直线看作是两平面的交 线，类似地，也可以把空间曲线看作是两张曲面 的交线。 设曲面 1的方程是 F1 ( x , y , z ) 0 ，曲面 2 的方 程是 F2 ( x , y , z ) 0 ，则其交线 C 上的点必定同 时满足 1 ， 2 的方程。不在 C 上的点一定不能 同时满足这两个方程。
上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于 Z轴的柱面。又 因为C上的点的坐标满足方程组 1 ,当然也满足方 F ( x , y , z ) 0 2 程 F ( x , y ) 0 ，所以C上的点都在此柱面上。方程 F ( x , y ) 0 就是曲线C 关于 xO y 面的投影柱面方程。它与 xO y 面的交线
空间图形的界定（略）
F1 ( x , y , z ) 0 因此，联立方程组 F2 ( x , y , z ) 0
程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线
设空间曲线C 的方程为
即为空间曲线C 的方
F1 ( x , y , z ) 0 ,过曲线C 上的每一点作 F ( x , y , z ) 0 2
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
几种常见的曲面及其方程(1)
0
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
Hale Waihona Puke z Cyx C
T
( x, y
z) 0
0
又如, 上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
二者交线在
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y 2 1, z 0.
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
x
2
y2
R2
圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面. C
M
o
M1 x
抛物柱面,
x y 0 经过z 轴的平面.
以上的柱面母线都 平行于Z轴
lz
o x
z o
2) y1 b 时, 截痕为 相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为 双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
z C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y 2 y1
曲面立体的投影
线上，如图4-13(b)所示。因圆柱水平投影具有积聚性，
所以这三点的水平投影一定都在圆上，根据其位置判断
可见性即可，再根据三等关系即可求出侧面投影。
Page 22
单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
Page 23
作图步骤如下：点a′为可见点，根据点a′的位置分析，其侧面投影 位于前轮廓线素线上，可过点a′作水平线交前轮廓素线于一点(即a″点)， 根据三等关系可求出水平投影a。同理，c′点位于右轮廓素线上，根据 水平投影的积聚性，从c′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为c点， 根据三等关系可求出点c″的位置，其侧面投影为不可见点，需要用小 括号括起来。b′点位于后左平面上，根据水平投影的积聚性，从b′点向 圆柱水平投影作垂线交于一点即为b点，再根据三等关系可求出点b″的 位置。
单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
1.素线法 圆锥面由许多素线组成，圆锥面上任一点必在经过该点的素线 上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。 2.纬圆法 由回转面的形成可知，母线上任一点的运动轨迹为圆，且该圆 垂直于旋转轴线，这样的圆称为纬圆。圆锥体上任一点一定在与其 等高的纬圆上，因此可借助该点的纬圆求出该点的投影。
曲面立体的投影
2.投影分析 （1）俯视图。俯视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大水平面①的投影。球被分为上、下两部分，上部分可见， 下部分不可见。 （2）主视图。主视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大正平面②的投影。球被分为前、后两部分，前部分可见， 后部分不可见。 （3）左视图。左视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大侧平面③的投影。球被分为左、右两部分，左部分可见， 右部分不可见。
Page 29
8-曲面投影(补充)
这是计算重 积分，曲面 积分等的 必备知识
曲 面
ห้องสมุดไป่ตู้
例如,
上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x 2 y 2 1, z 0 .
C
x
o
1
y
例如, 设有两个曲面方程分别为
z 2 x2 3 y 2 以及 z 4 2 x2 y 2 .
求此两曲面的交线在xoy面上的投影曲线方程， 以及两曲面所围立体在xoy面上的投影区域。
解： 两曲面交线方程为
交线
在xoy面上的投影曲线
两曲面所围立体在 xoy 面上的投影区域为:
二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围圆域 .
x y 1, z 0 .
2
2
空间曲线、投影的数学描述及相关问题计算、求解思路与方法
空间曲线、投影的数学描述及相关问题计算、求解思路与方法1．空间曲线的一般方程空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为该方程组也称为空间曲线Γ的一般方程．【注1】空间曲线的一般方程不唯一。
可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程（其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。
这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。
【注2】空间曲线的一般方程通过方程组变换，或者直接引入相关参数，可以将其转换为参数方程；同样，参数方程也可以通过两两消去参数，获得空间曲线的一般方程描述。
【注3】由于空间曲线的参数方程只包含有一个参数，其描述形式简单，所以解决与空间曲线的相关问题一般都将空间曲线用参数方程来描述。
2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程设Γ是一条空间曲线，π是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。
过曲线Γ上的每一点，都有平面π的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。
空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。
设空间曲线Γ的一般方程为则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z、x、y变量得到。
假设方程组消去变量z、x、y后得到的方程分别描述为则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx 的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为3．空间曲线的参数方程一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。
曲线Γ上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。
3．一般空间曲线在指定平面上的投影曲线求解思路设空间曲线Γ的一般方程为投影面π的方程为则空间曲线Γ在平面π的投影柱面方程可以通过构建一般曲面方程的方式得到，其步骤如下：(1) 在投影柱面上任取一点M(x,y,z)；(2) 由于投影柱面是由垂直于投影面，并经过空间曲线的直线构成，所以我们设经过点M的，方向向量取为平面法向量(A,B,C)的直线方程为由于该直线必定与曲线Γ相交，所以存在t0，使得满足曲线Γ的方程，即有(3) 利用上述方程组消去参数t0，并化简，假设得到的方程为R(x,y,z)=0，则该方程就为曲线Γ关于平面π的投影柱面方程；而Γ在平面π上的投影曲线方程则可以用投影柱面方程与投影面方程构成的方程组来描述，即4．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程设空间曲线Γ的参数方程为则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程分别为x,y、y,z、z,x两个变量所对应的参数表达式描述的空间曲面；而投影曲线则只要令曲线Γ的参数方程的z,x,y分量分别为零即可。
曲线曲面投影方法
短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线， 确定长、短轴的方向与大小
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
在球面外先作底角 为α 的外切圆锥，再过 点A作该圆锥的切平面， 则此平面即为所求
§２
圆的投影
圆是最简单的平面曲线
根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）：
2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面
2.1 圆所在平面为投影面平行面
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
3.2 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。 曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线 当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
1）过点Ａ（ａ，ａ′） 作轴线垂直于H面的圆锥 面，使圆锥底角为α ；
2）求直线AB与圆锥底 圆所在平面交点M（ｍ， ｍ′） ； 3) 过点M作圆锥底圆 的切线MD（ｍｄ，ｍ ′ｄ′），则平面BAD 即为所求 . 同理，平面BAE为另一所求平面，本题共有两解。