第四章 世代交替理论

第五章世代交替理论本章继续使用最优化的思想和方法来讨论经济增长问题，对索洛模型进行进一步修正。

同建立拉姆齐-卡斯-库普曼模型的做法一样，我们仍然在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动。

所不同的是，本章将放弃无限生命假设，转而假定经济中不断有新家庭出现，表现为世代交替，这正是本章标题的含义所在。

在这种经济中，消费(与储蓄)由世代交替的家庭决定，是家庭的无限期决策(infinite horizon decision)。

家庭持有资本和提供劳动，然后进行消费与储蓄。

企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去生产家庭消费的商品。

从无限生命到世代交替，经济增长理论向现实接近一步。

我们将以戴蒙德模型为典范，建立经济增长的世代交替理论。

第一节戴蒙德经济经济的世代交替是一种复杂现象，如果不对其加以简明化处理，就难以揭示现象的本质内容。

本节作为研究世代交替经济问题的第一步，先来对这种复杂的经济现象作出最简明化的描述。

实际经济经过本节这种简明化的处理和加工以后，就成为著名的戴蒙德经济，它是戴蒙德(P. A. Diamond)于1965年提出的。

下面从对消费者、生产者及市场的基本情况的说明开始，来对待蒙德经济给出描述，然后对消费者的效用最大化行为加以分析。

一、消费者、企业及市场的基本情况戴蒙德经济区别于拉姆齐-卡斯-库普曼经济的关键地方，是戴蒙德放弃了个人生命无限之假定。

在戴蒙德经济中，任何个人的生命都是有限的，社会上不断有新人的诞生和老人的去世。

两个模型的相同之处是都在完全经济的前提下讨论经济增长问题，所以市场的基本情况是完全竞争，消费者实现终生效用最大化，生产者实现利润最大化，整个经济实现供需平衡，因而市场在任何时刻都是结清的。

(一) 人口与劳动人的一生要经历三个阶段：少年、青壮年和老年。

少年时期是一个人成长身体、学习知识和技能，准备成为经济人的时期，但目前还不能算作经济人。

青壮年时期是一个人承担起社会责任，向社会提供劳动和资本获得收入，并从事消费和储蓄的时期，消费支出包括用于自身和培养子女等方面的支出。

进入老年时期后，就从工作岗位退休下来，唯一的事情是用资本利息和青壮年期积存的储蓄进行消费。

如果临去世前他(她)的财富还没有花费完，就作为遗产留给子女。

子女得到的这笔遗产将成为子女的初始资本。

如果我们把人的生命期看成100年的话，就可以这样来划分少年、青壮年和老年。

20岁前为少年，过了20岁后到60岁前为青壮年，过了60岁以后直到100岁为老年。

一个人年龄不过20岁，就不算作经济人，因为他(她)既无资本，又无向社会提供劳动的能力，他(她)正处于成长和学习阶段，靠父母抚养。

所以，经济人的生命只有两个时期：青壮年时期(前40年)和老年时期(后40年)。

既然经济人的生命只有两个时期，为了说起来方便起见，干脆假定人的生命只有两个时期：青壮年和老年。

这就是说，我们所谈的“人”，都指经济人。

另外，青壮年时期和老年时期的时间长短一样，都为40年。

这样，我们就可以以40年为一期来划分时间段，无限的时间就可用 ,3,2,1,0=t 来表示。

0=t 表示初始时期，即刚开始的那40年。

在无限的时间中，一个人只能存在短暂的两期。

如果他(她)是在时期t 进入经济的，那么时期t 就是他(她)的青壮年时期，时期1+t 就是他(她)的老年时期，而从时期2+t 开始他(她)就不在人世了。

用t L 表示时期t 经济中的青壮年人数，即时期t 经济的劳动人口数。

假定人口的增长率(出生率)为常数n ，则时期1+t 的青壮年人数为t t L n L )1(1+=+),2,1,0( =t 。

由于一个人只能存活两期，时期t 的老年人数就等于时期1-t (前一时期)的青壮年人数)1(1n L L t t +=-，从而时期t 的经济总人口t TL 为：t t t t t L nn L n L L TL ++=+=+=--12)2(11 通过简单递归可知：0)1(L n L t t +=，010)1)(2()1(L n n TL n TL t t t -++=+=),2,1,0( =t 。

由于我们是在完全竞争的情况下讨论世代交替问题，我们可以使用相同人假定，它包括以下三层含义：(a) 每一个时期t ，经济中任何两个人都具有相同的偏好关系，即具有相同的效用函数；(b) 每一个时期t ，任何两个青壮年都相同，即拥有相同的财富，并提供相同的劳动和资本。

(c) 每一个时期t ，任何两个老年都相同，即他们在青壮年时期积蓄下来的财富相同，拥有的资本利息也相同。

使用这个假定，是为了分析上的方便。

假如我们能够找出个人代表(即消费者代表)，那么就可用个人代表来分析问题，从而可不使用“相同人假定”。

有了相同人假定后，我们就可把一个人一生所提供的劳动视为一个劳动量。

在时期t ，经济中共有劳动人口t L 个，全体消费者向社会提供的劳动量就为t L 。

(二) 消费者基本情况在相同人假定下，用t C ,1表示时期t 经济中一个青壮年人的消费，t C ,2表示时期t 经济中一个老年人的消费，t U 表示时期t 的一个青壮年的(终生)效用函数。

一个人终生获得的效用多少，取决于他(她)的终生消费，即取决于他(她)的青壮年时期的消费和老年时期的消费。

考虑时期t 的一个青壮年，他(她)的消费包括两部分：时期t 的消费t C ,1(即青壮年消费)和时期1+t 的消费1,2+t C (即老年消费)。

于是，他(她)的效用t U 由t C ,1和1,2+t C 决定：),(1,2,1+=t t t t C C U U同上一章一样，我们仍然假定瞬时效用函数)(∙u 具有不变的相对风险规避倾向之形式：⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-时当时当1,ln 1,1)(1ϑϑϑϑC C C u (对任何0>C )这种效用函数形式是经济平衡增长所需要的，其中ϑ为大于零的常数。

再假定：把任何一个时期的瞬时效用向前一时期贴现时，贴现率都为一个始终不变的常数ρ，而且1->ρ。

于是，时期t 的任何一个青壮年的终生效用(的现值)t U 便为：ϑρϑϑϑ-++-==-+-+1111),(11,21,11,2,1t t t t t t C C C C U U (5.1.1) 既然生命有限，我们就不再需要假定g n )1(ϑρ-+>去保证终生效用收敛，其中g 为知识增长率。

但是，效用贴现率ρ的正负具有特殊涵义。

0>ρ表示，老年期的一单位效用不值青壮年期的一单位效用，因而个人会给青壮年期的消费以更大的权重。

相反，0<ρ则表示，青壮年期的一单位效用不值老年期的一单位效用，因而个人会给老年期的消费以更大的权重。

如果我们以青壮年期效用的权重为标准，即把青壮年期效用的权重视为1的话，那么终生效用表达式(5.1.1)第二项的系数)1(1ρ+就表示老年期效用的权重。

于是，条件1->ρ是说老年期效用的权重为正。

显然，这个条件是符合实际事实的。

(三) 生产者基本情况我们再来看企业方面的基本情况。

既然市场是完全竞争的，市场上就有大量的企业，这些企业完全相同，即具有相同的生产函数),(AL K F Y =和相同的成本函数，使用同样的要素，生产完全相同的产品。

从长期考虑，完全竞争告诉我们，企业获得的利润为零，而且企业处于规模报酬不变的状态(参见《高级微观经济学》，武康平编著，清华大学出版社，2000.12)。

基于这一事实，我们可直接假定企业的生产函数具有规模报酬不变性质。

进一步，如果认为企业的生产具有齐次性，即生产函数是齐次函数(事实上，人们也是这样做的)，那么规模报酬不变性质等价于生产函数的一阶齐次性。

作了这个说明以后，我们可同前两章一样，假定诸企业的生产函数),(AL K F Y =是一阶齐次函数。

完全竞争还告诉我们，各个时期内每个企业都实现了利润最大化。

既然诸企业完全相同，企业实现利润最大化的方式也就完全相同：投入使用的要素数量相同，生产的产品数量也相同。

如果用N 表示企业个数，K 、L 和Y 分别为单个企业的利润最大化资本投入量、劳动投入量和产品产量，那么社会的总产出为NY ，社会的资本总投入为NK ，劳动总投入为NL ，总产出和总投入之间的关系也就为),(),(NL NK F L K NF NY ==。

这说明，单个企业的生产函数),(AL K F Y =实际上也是社会的总生产函数，表达了社会总产品和社会总投入之间的关系。

鉴于这个事实，今后在考虑生产方面的情况时，就可把生产函数),(AL K F Y =中出现的Y 看成总产出，K 看成投入的资本总额，L 看成投入的劳动总额。

设)(k f y =是生产函数),(AL K F Y =的有效人均生产函数，并假定满足伊纳达条件：⎪⎩⎪⎨⎧='∞='<''>'=∞→→0)(lim ,)(lim :0)(,0)(,0)0(:0k f k f k f k f f k k 件条达纳伊边际收益递减 再设知识A 的增长率为g ，即),2,1,0()1(1 =+=+t A g A t t ，并假定g 是一个外生变量，不随时间的变化而变化。

同上一章一样，本章继续假定资本的折旧率为零，既不考虑折旧。

市场的完全竞争性保证了企业按照要素的边际生产率向要素支付报酬。

因此，资本的实际利率r 就是资本的边际报酬：)(k f r '=；劳动者的效率工资率w 就是单位有效劳动的报酬：)()(k f k k f w '-=；劳动者的(效率)工资则为w A W =，这也就是一个劳动者的劳动收入。

在初始时期0=t ，每一位老年人都持有相同数量的资本，所有老年人持有的这些资本的总和0K ，构成了经济的初始资本。

假定每个人在老年时期都要将他(她)的储蓄花完。

于是任何时期内，青壮年都不拥有资本，他们只是向企业提供劳动以获得收入，并把收入在当期消费与储蓄之间加以分配。

设在时期t ，经济中的诸企业总共雇用了t K 个单位的资本和t L 个单位的劳动，生产出t Y 个单位的总产品。

则),(t t t t L A K F Y =，)(t t k f y =，)(t t k f r '=，t t t t t t t k r y k f k k f w -='-=)()(，每个青壮年的劳动收入为t t t w A W =。

既然完全竞争，经济中的总供给就等于总需求，因而经济处于充分就业状态，劳动需求也就等于劳动供给。

这样，生产t Y 个单位的总产品所雇用的劳动数量t L 就等于全社会的劳动人口数，即等于时期t 的青壮年总人数。

在任何时期t ，每个青壮年要把他(她)本时期的劳动收入在消费与储蓄之间进行分配，并把本时期的储蓄带到下一时期1+t 去消费。