2014年卓越大学联盟自主招生数学试题评析
2014卓越大学自主招生数学真题答案
2
（15 分）
法二：令 h( x) x ax a ，其图像的对称轴为 x
a . 2
1 当 0
a 1 ，即 0 a 2 时，存在 x1 , x2 (0,1) ，且 x1 x2 ，使 h( x1 ) h( x2 ) ， 2
三、解答题 9.【解析】 ： （1） f ( x)
2 sin(2 x ) 2 cos(2 x ) cos 2sin(2 x ) cos . 4 因为 x [0, ] ，所以 2 x [0, ] ， 2 x [ , ] . 4 2 4 4 4 又 [ , ] ，所以 [ , ] .因此 f ( x) 的最大值为 2 cos . （7 分） 4 2 2 4 4 （2）若 f ( x) 2sin(2 x ) cos 3 ，则 cos 1 且 sin(2 x ) 1 ， 4 4
余弦值为
2 7 4 7 3 7 ，在 OME 中再次运用余弦定理，求得 ME ，故而 AM . 7 7 7
4.【解析】选 D. 由已知 可得 a
2sin 2 x ， 由 于 1 sin x 1 ， 求 a 右 边 关 系 式 的 取 值 范 围 即 可 。 令 sin x 2
2014 年卓越联盟自主选拔录取
文科数学参考答案
1.【解析】选 A. 法一：直接分 x 0, x 0 两种情况讨论，分别解出答案，在合并即可得到答案 A; 法二：将 x 2 看成 x ，这样就得到一个关于 x 的不等式，解之即可得到 A 答案。
2
2.【解析】选 A. 法一：已知 f x f x 1 和 f x 是 R 上的奇函数，令 x ， 得 f f = f ，所以 f f 。 4 4 4 4 4 同理 f f 。由于函数在 0, 上为增函数， 5 5 2 所以有 f f f ，即 a b c . 3 4 5 法二，结合奇函数函数图像及周期性（此函数周期为 2） ，也可直观的得出答案。
2014年华约自主招生数学试题及参考解答
2014年“华约”自主招生数学试题1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合函数，即()()(())fg x f g x =（1）证明-111()()()()fg x g f x --=．（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．5、从椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的动点M 作圆222b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。
6、已知数列{}n a 满足nn n qa np a +=+1，01=a 。
（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。
7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，21e nx x n n x n ⎛⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又12345444546474ax x x x x ++++=++++是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，574611-=，574710-=．[解法2]2 【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,011113C ⨯,1010124C ⨯.()()2313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．则()()()2432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．由单调性可知，当11302430p =+-时，q p -取到最大值． 【解法2】4、解析：5、解析：7 答案：原不等式等价于： 21e nxx n x n n ⎛⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；若2x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．若2x n ≤，则右边222221e 1111nnnxn x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若0x ≥，则e 1xx ≥+；（2）若1x ≥-，1α≥，则()11x x αα+≥+．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜． 除上述两个结论外， （3）若0x ≥，则()ln 11xx x x ≥+≥+；（或()2ln 12x x x x-≤+≤）．（4）若0x ≥，则 3sin tan 6x x x x x-<<<；（5）若0x ≥，则 2cos 12x x ≥-．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。
2014自主招生部分题目收集与比较
第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。
A.1070 B.2014 C.2100 D.4200.解：43106222100C C A =（种）。
（这里有平均分组问题）。
在今年寒假讲义ppt 第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：2006全国2卷12题：5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有：（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：分两种情况：2、2、1；3、1、1。
2231335352332222150C C C C A A A A +=第5题： ,x y 均为负实数，且1x y +=-，那么1xy xy+有_______。
A. 最大值174 B 最小值174 C 最小值174- D 最大值174- 解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤211117,()224ab xy ab xy ab≥+=-+≥ 或直接取12x y ==-，得1174xy xy +=，又13,.44x y =-=-，得31626517163484+=>，故选A2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数证明：反证法：假设0tan3Q ∈，因为0,,tan 61x yx y Q Q xy+∈=∈- 所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。
例：（2009年北京大学）是否存在实数x 使得tan 3x +与cot 3x +为有理数解：假设存在实数0x 使得0tan 3x +与0cot 3x +为有理数，由0tan 3x +为有理数，可知存在既约分数qp ，使得0tan 3q x p +=由0cot 3x +为有理数，可知存在既约分数nm，使得0cot 3n x m+=削去得(3)q p -(3)1n m-=，即3()2pn mq qn mp +=+所以3()pn mq +是有理数，则20pn mq qn mp +=+=解得222q p =，从而q 必为偶数，可设2q k =，于是222p k =即p 为偶数，这与q p为既约分数矛盾，所以假设不能成立，讲完这个例题后，还进行了变式训练：证明2是无理数，特别强调有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
2014卓越联盟预测试卷8
2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= .7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4;10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ解:因A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B;①当A=∅时,2a+1>3a-5⇔a<6;②当A ≠∅时,A ⊆B ⇔2a+1≣3, 3a-5≢22,且3a-5≣2a+1⇔6≢a ≢9.故选(C).2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 解:因sin2θ+cos2θ=a ⇒1+sin θ=a 2⇒θsin 1+=|a|⇒/甲;θsin 1+=a ⇒|sin2θ+cos2θ|=a ⇒/乙.故选(D).3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个解:设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则|a |=3,|a -b |=7,|c -b |=11,|c |=9⇒a 2=9,a 2-2ab +b 2=49,c 2-2bc +b 2=121,c 2=81⇒b 2-2ab = 40,b 2-2bc =40⇒ab =bc ,BD AC ⋅=b (c -a )=bc -ab =0,选(A).4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43解:设事件A 为“取到的数能被6整除”,事件B 为“取到的数能被4整除”.由333<62000<334,知P(A)=2000333.而6与4的最小公倍数为12,166<122000<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=2000166.因此所求概率为P(A)-P(AB)=1000167.故选(C). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____. 解:在BC 上取点D,使得AD=BD=x ⇒CD=4-x,在△ACD 中,(4-x)2=9+x 2-6xcos(A −B)⇒x=2⇒cosC=43⇒sinC=47⇒ △ABC 的面积=273. 6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= . 解:令x 2+x=50⇒x=22011+-⇒x 2-3x+2=(x 2+x)-4x+2=50-2(-1+201)+2=54-2201,40(x 2+5x)-68=40[(x 2+x)+4x]- 68=40(48+2201)-68⇒2f(50)-f(54-2201)=40(48+2201)-68⇒f(54-2201)=2f(50)-40(48+2201)+68; 令x 2-3x+2=50⇒x=22013-⇒x 2+x=4x+48=54-2201,40(x 2+5x)-68=40(60-4201)-68⇒2f(54-2201)- 2f(50)=40(60-4201)-68⇒4f(50)-80(48+2201)+136-2f(50)=40(60-4201)-68⇒f(50)=2012. 7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.解:记球半径为R,圆锥的半径为r,圆锥的高=h ⇒r 2=h(2R-h)⇒圆锥的体积=31πr 2h=31πh 2(2R-h)⇒比为8:27.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.解:{1,3,5,9,15,25,41,67}不满足条件⇒k ≣9.如果存在{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9}(a i <a i+1)不满足条件⇒a 3≣a 1+a 2≣5⇒a 4≣a 2+a 3≣9⇒a 5≣a 3+a 4≣15⇒a 6≣a 4+a 5≣25⇒a 7≣a 5+a 6≣41⇒a 8≣a 6+a 7≣67⇒a 9≣a 3+a 8≣109,矛盾,故k=9.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4; 解:由f(x)=ax 2+(b+1)x+c ⇒c=f(x)-ax 2-(b+1)x,所以,f(f(x))=x ⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+c-x=0⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+ f(x)-ax 2-(b+1)x-x=0⇔a[f 2(x)-x 2]+(b+2)[f(x)-x]=0⇔[f(x)-x][af(x)+ax+b+2]=0⇔(ax 2+bx+c)[a 2x 2+a(b+2)x+ac+b +2]=0⇔ax 2+bx+c=0,或a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0,其判别式=a 2(b+2)2-4a 2(ac+b+2)=a 2(b 2-4ac-4);若方程ax 2+bx+c=0与a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0有公共根x 0,则ax 02+bx 0+c=0,a 2x 02+a(b+2)x 0+ac+b+2=0⇒a(ax 02+bx 0)+2ax 0 +ac+b+2=0⇒x 0=-a b 22+⇒a(-a b 22+)2+b(-ab 22+)+c=0⇒b 2-4ac=4,矛盾. 10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值. 解:设A(a,a 2),B(b,b 2),C(c,c 2),k AB =a+b=k,由AB ⊥BC ⇒k BC =c+b=-k1;由|AB|=|BC|⇒(a-b)2+(a 2-b 2)2=(c-b)2+(c 2-b 2)2⇒ (a-b)2[1+(a+b)2]=(c-b)2[1+(c+b)2]⇒(a-b)2(1+k 2)=(c-b)2(1+21k)(不妨设a>b>c ⇒k>0)⇒21k +(a-b)=211k +(b-c)(a=k-b,c=-k1-b)⇒21k +(k-2b)=211k +(2b+k 1)⇒b=)1(213+-k k k ⇒a=)1(21223+++k k k k ⇒a-b=)1(12++k k k 正方形ABCD 的面积=|AB|2=(a-b)2+(a 2-b 2)2=(a-b)2[1+(a+b)2]=(a-b)2(1+k 2)=2222)1()1(++k k k (1+k 2)≣222)1(4+k k k ×21(k+1)2=2. 当且仅当k=1时,等号成立.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立. 解:(Ⅰ)由S 1=1,且2S n =a n a n+1⇒a 1=1,a 2=2,a n ≠0,2S n+1=a n+1a n+2⇒2a n+1=2S n+1-2S n =a n+1a n+2-a n a n+1⇒a n+2-a n =2;①当n 为奇数时,设n=2k-1(k ∈N +),则a 2k+1-a 2k-1=2⇒a 2k-1=1+2(k-1)=2k-1;②当n 为偶数时,设n=2k(k ∈N +),则a 2k+2-a 2k =2⇒a 2k =2+2(k-1)= 2k.综上,a n =n;(Ⅱ)当n ≣2时,b n =∑-=---nk k k n k a C 1111)1(=∑-=---n k k n k k C 1111)1(=1111)1(--=-⋅∑-k n n k k C k n n =k nn k k C n ⋅∑-=-11)1(=-n 1∑-=n k k n k C 1)1(=-n 1(∑-=n k k n k C 0)1(-1)= -n 1[(1-1)n-1]=n 1,且b 1=1适合该式,所以b n =n 1(n ≣1);由x>ln(1+x)⇒n 1>ln(1+n1)⇒b n >ln(n+1)-lnn ⇒b 1+b 2+…+b n > ln(n+1)>M ⇒n>e M-1,令m=[e M]即有b 1+b 2+…+b m >M.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).解:因2012=4×503,所以2012|(m ×232n+26n)⇔4|(m ×232n+26n),且503|(m ×232n+26n)⇔m ×232n+26n≡0(mod4),且m ×232n+26n≡0(mod503)⇔m ×232n≡0(mod4),且m(503+26)n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且m ×26n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)≡0(mod503)⇔m=4k,且m+1=503t(k,t ∈N +)⇔4k+1=503t ⇔ k=41503-t ,验算知t 的最小值为3⇒最小的正整数m=503×3-1=1508.。
返璞归真函数为本——2014年华约自主招生数学试题评析
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（ｉｉ）当ｐ≠１时，ｐａ。－－ｐ２＋劲３＋．．・＋（ｎ一１加“②， 由①一②得％＿ｐ％邓印２印３＋．．・印ｎ ｌ（ｎ一１加“，
所以％＝ 显然成立；
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２０］４年６月
当戈２＜ｎ时，由基本不等式ｅ。≥ｌ＋ｘ（ｘ∈Ｒ）和贝努利不
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ｎ／
０；当１≤戈≤ｎ日寸，ｇ’０戈）≥０．
２）解答此题则难度不是太大，若全部用中学数学的高考 知识来证明本题需要有较高的技巧． 从以上对试题的解答与评析中可以看出，２０１４年的 华约自主招生试题平实温和、清新自然．尽管难度不是 很大，但内涵丰富、绵里藏针，要做出准确规范完整的解 答需要考生具有熟练的推理运算、扎实的解题功底和较 高的数学素养，因此，试题具有较好的区分度．全套试卷 贴近中学教学实际，理性回归高考，以函数为本，对函数 这一数学之魂的有关知识和思想作了重点检测和考查 （除第１题和第５题外其余各题都涉及函数知识和思想）， 而这正是后继高等数学学习的必备和基石，故试题又具 有较高的信度和效度，有效地达到了高校对优秀学生的
ｐ取得最大值． 分析：根据五局三胜制的比赛规则，甲赢得比赛共 有三种情形．分类讨论得出甲赢得比赛的概率为ｑ，再利 用导数求出ｑ—ｐ的最大值． 解：若比赛三局甲赢得比赛，则甲需三局全胜，其概 率为ｐ３； 若比赛四局甲赢得比赛，则前面三局中甲两胜一 负，第四局甲胜，其概率为ｃ如３（１－ｐ）； 若比赛五局甲赢得比赛，则前面四局中甲两胜两负， 第五局甲胜，其概率为ｃ缅３（１－ｐ）ｊ 因此甲赢得比赛的概率为ｑ邓３＋ｃ矛３（１－ｐ）＋ｃ扣３（１一
2014年北约自主招生数学试题评析
所以底面半径为 1 ， 底面面积为 π， 故圆锥的 表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练 组 合 基 础 题 型，部 分 均 匀 的 分 组 题2 10 个人分成 3 组， 一组 4 人， 两组 问题 每组各 3 人， 求共有几种分法？ 解： 部分均匀的分组问题： 分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生 数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校 试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力 ）、 2014 年综合大学自主 测试（ 俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试 （ 俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取 （ 俗称 “卓越 ” ） 三大高校联盟自主招生考试 落下帷幕． 从 2002 年以来， 自招走过了十几 年的风雨， 三大联盟试题整体难度趋于稳定 ， “三分之一高考， 维持着 三分之一边缘， 三分 之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持 都是 6 道选择加上 4 道解答． 选择题（ 1 一致， ～ 6 题） 偏常规， 难度不高， 大致相当于高考 中等或稍难一点的题目难度． 只是在个别题 目上考查学生是否有开放的数学思想， 比如 关于反三角函数的认知 （ 第 6 题 ） ． 其他的选 比如空间几何体 择题也基本属于高考难度， 的表面积问题（ 第一题 ） ， 排列组合中的分组 分配问题（ 第二题 ） ． 解答题 （ 7 ～ 10 题 ） 保持 了一定难度． 问题往往来源于一些很基本的 数学常识 （ 比如 tan3° 是无理数 ） ， 要求学生 ， 给出证明 实际上是对学生分析问题解决问 题能力的考查， 不强调复杂的计算， 但是要给 ， 出合理证明 则要求学生有一定的数学素养． 考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题， 难度很低， π 的扇形面积为 6 π， 求 3 有利于稳定考生情绪 题1 圆心角为 张 彬 277500
北约自主招生考数学试卷分析
10.(2013年5题)
S n1 4a n 2 设数列 a 满足 a1 1, 前 n 项和为 S n ， 求 a 2013 .
n
点评：数列综合题，是高等数学极限与级数理论 的基础。
11.(2013年6题)
模长为１的复数 x, y, z 满足 x y z 0 , 求
xy yz zx x yz .
2013 复数 数论 2014 三角函数 数论
三角函数 不等式 数列 不等式
从上面可以看出来，“北约”近两年的自主招 生的考点的大方向是不变的。基本上就是三角函 数、不等式、数列、排列组合、几何等几大模块。 而且2014年的北约考试基本上可以看做是2013年 的北约考试的“平行削弱版”，甚至可能相较于 某些省份的高考题并没有难太多。
2.(2014年第2题)
10个人分成3组，一组4人，另外两组各3人， 求共有几种分法。
点评：排列组合基础题型，分组问题，比去年难度小。
3.(2013年第2题)
在6×6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一 行、 每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？ 点评：排列组合近两年都考，它是数理统计的必备 知识。
i 1 n
, 求证：
n i 12 xi 源自 2 1 .
n
点评：不等式是高考也是自主招生考试的重 点，对学生逻辑推理的能力要求高。
6.(2012年第9题，最后一题)
求证：对于任意的正整数n , (1 2 ) n 必可表示 成 s s 1 的形式,其中 s N . 点评：本题运算量不大，但有较高的思维要求。
7.(2011年第7题，最后一题)
求： f ( x) | x 1 | | 2 x 1 | | 2011 x 1 | 的最小值. 点评：含绝对值的函数或不等式历来是高考、 竞赛和自主招生考式的重点内容。
2014年卓越自主招生数学试题及解答
2014年卓越自主招生数学试题1.(选择)32||210x x -+<,求x 范围.2.(选择)已知2211(,)2()1ln(1),)2x x x f x x x +⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈[+∞⎪⎩,又2()44,g x x x a =--∃使得()()0f a g b +=,求b 的范围.3.三棱锥P ABC -中,底面ABC ∆是等腰三角形,90ACB ∠= ,又PA ⊥平面ABC ,60,P B C A ∠--=∠,求sin AB APC ∠-.【解】sin sin AB PAC BAC ∠-=∠=【评析】目前得到的题目可能有误,请同学们及时反馈正确题目.4.(填空)12,n n 是两个夹角为θ的单位矢量.以12,n n 为基底的坐标系中1222(,),(,)A x y B x y ,求||AB .5.(填空)已知(0,),(0,4),(0,1)x a y a a ∈∈-∈,且1x y +>的概率为316,求a .6.(填空)已知{1,2,3,4,5,6,7,8},A B A B ==Φ ,又||,||A A B B ∉∉,求总分配数.7.(解答题)已知双曲线22221x y a b-=的两条渐近线斜率之积为3-.(1)若,A B 在双曲线上,且过点(0,5),1,AB D a k AD DB λ==,求λ;(2)A 关于x 轴的对称点为,AB M l 与x 轴交于,MB P l 与x 轴交于Q ,求证:2||||OP OQ a ⋅=.8.(解答题)已知()cos sin )cos ,f x x x x x R αααα++∈ (1)已知[,],[0,]422x πππα∈∈,求()f x 最大值;(2)若()3,f x =求,x α的值.9.设()f x 在x R ∈上可导,且对任意的0x R ∈有000()()4(0)f x x f x x x <+-<>(1)证明:000()()()(0)f x x f x f x x x+-'<>;(2)若|()|1f x ≤,则|()|4f x '≤.卓越参考答案1.【解】由3232||210||2||10(||1)(|||0x x x x x x x -+<⇔-+<⇔-<所以由数轴标根法得||(x ∈-∞ ,又因为||0x >,所以(1)x ∈- . 2.【解】当1(,)2x ∈-∞-时,易得21()(1)1(1,0)f x x =+-∈-;又当1[,)2x ∈-+∞时,易知()ln 1[ln 2,)f x x =+∈-+∞;所以()(1,)f x ∈-+∞,所以只要()(,1)g b ∈-∞就存在a ;即2(2)8(,1)b --∈-∞,解得(1,5)b ∈-.4.【解】以1n 方向为x 轴建立直角坐标系,于是,A B 的直角坐标为111222(cos ,sin ),(cos ,sin )x y y x y y θθθθ++,则222121212||(cos cos )(sin sin )AB x x y y y y θθθθ=-+-+-2212121212()()2()()cos x x y y x x y y θ=-+-+--,于是||AB 5.【解】由题知所有事件的空间为{(,)|0,04,01}x y x a y a a Ω=<<<<-<<,其对应区域为矩形,面积为()(4)S a a Ω=-,而事件{(,)|1}A x y x y =∈Ω+>,其对应区域面积为1()(11)2S A a a =+-,所以由古典概型知1(11)3216(4)a a a a +-=-,即(54)0a a -=,解得45a =. 6.【解】由已知得||,||||A B B A ∈∈,分类讨论所有情况: ①若||0,||8A B ==,则8A ∈,矛盾;②若||1,||7A B ==,则7,1A B ∈∈,且{1,2,3,4,5,6,8}B =,共一种;③若|| 2.||6A B ==,则2,6B A ∈∈,则这样的构成共有(以A 为标准,B 随机确定)166C =种; ④若||3,||5A B ==,则5,3A B ∈∈,同理这样的构成有2615C =种;⑤若||||4A B ==,则4A B ∈ ,矛盾.故综上可之,共有2(1615)44N =++=种.7.【解】(1)由题知223b a-=-,即b ,所以双曲线方程为22233x y a -=,又直线:5AB y x a =+代入双曲线方程得225140x ax a --=,得17,x a =或22x a =-;又因(,5)(,5)A A B B AD DB x a y x y a λλ=⇔--=- ,所以27A A B B x x x x λλ-=⇔=-=或72.(2)若(2,3),(7,12)B a a A a a -,则(7,12)M a a -,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =-++,得(,0)5a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;若(7,12),(2,3)B a a A a a -,则(2,3)M a a --,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =+-,得(,0)a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;8.【解】(1)易知()))cos f x x x ααα+++,2sin(2)cos 4x παα=+-+,由于[0,],2[,]44444x πππππαααα-∈+-∈-+,其中3[,]424πππα+∈, 所以当242x ππα+-=,即382x πα=-时,max ()2cos f x α=+,又max ()2cos f x α=+在[,]42ππα∈上递减,所以max ()2cos 2f x α=+≤当4πα=时取到最大值.综上可知当,44x ππα==时,max ()2f x =(2)由()2sin(2)cos 4f x x παα=+-+,且2sin(2)2,cos 14x παα+-≤≤,现在已知()3f x =,则等价于sin(2)1,4cos 1x παα⎧+-=⎪⎨⎪=⎩,解得2,,(),8k k Z x m k m Z αππππ=+∈⎧⎪⎨=--∈⎪⎩. 9.【解】(1)由题知()f x '单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在00(,)x x x ε∈+,使得0000()()()()f x x f x f x x x ε+-'=+-,于是00000()()()()()f x x f x f x f x x x ε+-''<=+-(2)若存在()4()f u u R '>∈,则在[,)u +∞上()4f x '>,于是有|()()||()()|4(),(,),f x f u f x u x u u x x u εε'-=->-∈∈+∞ 取1x u =+,则|(1)()|4f u f u +->.但是由于|()|1f x <,所以|(1)()|2f u f u +-<,矛盾. 同理在()4f u '<-时也可得矛盾. 结论成立.。
2014华约自主招生数学解答
以存在 N 0 ，使得对 n N 0 ，
我们设最大项为 bk ， 那么 n 1 t n 有最大项，
n 1 t n
t 1
t tn
bk B (其中 B 是一个常数). t 1
2
b2 b , 0 , F 0, a cos sin
，所以 EOF
的面积 S
b3 b3 b3 ，所以 EOF 的面积的最小值为 . a a sin 2 a
n 6. 设数列 an 满足： an 1 np qan ， a1 0 .
n
x x 证明：记 f x x n 1 e n . n
2
n
那么 f ' x 2 x n 1
x x x e n 1 n n
n 1
n
n 1
x n1 e x x 2 1 e x ，我们证明对 n
情形(3)： b c a d ，同(1)亦有 4b 39 ，矛盾. 情形(4)： b c d a ，同(1)亦有 4b 38 ，矛盾. 综上所述， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的值为 x1 x2 11, x3 10, x4 12, x5 13 及其轮换. 2. 一场比赛在甲乙之间进行，采取五局三胜制，已知甲赢一局的概率为 p ( p 赢得比赛的概率是 q ，求 q p 的最大值，及取最大值的 p 值. 解：设比赛了 局. 当甲用 3 局取胜，则 q 3 p ； 当甲用 4 局取胜，则 q 4 C3 p 1 p ；
2014年自主招生北约联盟数学真题解析
【总结】从以上可以看出，北约的数学题目更多是从思维角度的考查，上述两个题目，其实 从自然语言入手， 如果你可以用很简单的语言解释清楚， 我们需要做到的是把这些语言转化 . 成数学表达，逻辑的阐述明白
三、 备考建议
1. 以基础为主，对于基础概念要重在从直观去理解，对于数论和组合数学问题不要花费太 多时间. 2. 复习要以历届真题为核心，多从思考的层面去刷题. 3. 辅导书要以联盟内部的题型为主,多思考，不要太依赖解析. 4. 避免抱佛脚的情况发生，其实对于数学思维或者技巧的训练，应该边学边练，最晚也要 从高二下学期开始.
则 4 f x 3 f x g x f x g x 0 ，则 4 f x 最多有二等实根， 同理若对于 x R ， 3 f x g x 0 ， f x g x 0 ，也会矛盾。 故二次函数 3 f x g x ， f x g x 具有不同的开口方向. 则若 3 f x g x 0 ， f x g x 0 两个方程具有相同的重根，设其为 x0 则 3 f x g x ， f x g x 对称轴为 x x0 ，
k1 21 k 2 11
其中 k1 , k2 1, 2,3,..., 30 ，且 k1 k2 30 ，
7 16 7 k1d , k2 d ，则 2 3 2
显然不可能. 【评论】本题题号已经靠后，有两个问题，一.理解题目集合的意思，二.等差数列的条件怎 么应用，如果运用的好的话，北约考试的胜利就在眼前了.
3 是无理数，矛盾，故 tan3 是无理数，证毕. 3 【评论】 属于中档题，对于基本的三角公式以及有理数的基本性质有所把握的同学做这道 题问题会比较小。其实在早些年，外省市高考题中，出现过 cos 是有理数，证明 cos n 是
2014届全国自主招生模考卓越数学答案2
卓越模拟题2 答案二、计算题9、 证明：（1）在[0,]2π上，22cos sin tan '()0cos x x x x x f x x x x--==<，所以()f x 是减函数；…………（8分） （2）因为{}n a 是递减的，………………………………………………（2分）根据（1），1()n n n na b f a a +==是递增的。
……………………………（5分） 10、 解：由题意：2346,24,504,a a a ===…，下证：…………………………（2分）当2n ≥时，14,n n a a +≥…………………………（3分）即证：4n a n ≥+…………………………（3分）事实上，2624a ==+；假设4k a k ≥+，则21()41(1)4k k k k k k k a a ka a k a a a k +=-=-≥>+≥++，所以1()4n n n n a a n a a +=-≥（2n ≥）…………………………（3分）所以12111n a a a +++L 11113624504=++++L 1111(+)362496<++++L 11112513639914=+⋅=+=-。
…………………………（4分） 11、 证明：如下图，过E 作//FG AB ，交AD ，BC 于F 、G 。
设ADE θ∠=，并不妨AE = 1，则DE =，DF θ=，AF ==4分）即CG θ=，BG =2分）设ECG EAF α∠=∠=，则tan α= ，………………………（3分） tan EG CG α==2分）于是sin 2tan tan 2cos 2EG EBG BG θθθ∠===。
………………………（2分） 所以22EBG EDF θ∠==∠。
………………………（2分）12. 解：（1）因为12PB AB =，所以1(,)(,)2d P BCE d A BCE =面面。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
2014届全国自主招生模考卓越数学1答题卡
三、计算题 (每题15分,共60分)
9. 解：
本题得分 评卷人
卓越数学1答题卡.indd 2
第1页 共4页
2013-12-28 18:39:54ห้องสมุดไป่ตู้
2014年卓越联盟自主招生 数学模拟试题(一)答题卡
10.解：
本题得分 评卷人
卓越数学1答题卡.indd 3
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2014年卓越联盟自主招生 数学模拟试题(一)答题卡
2014年卓越联盟自主招生 数学模拟试题(一)答题卡
姓名_____________ 准考证号_________________________ 考点名称_____________________考场号______ 座号_____
总分
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、才场号、座号填写清楚， 并认真核对准考证号、考试科目、考场号和座号。
11. 解：
2014年卓越联盟自主招生 数学模拟试题(一)答题卡 本题得分 评卷人
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12. 解：
2014年卓越联盟自主招生 数学模拟试题(一)答题卡 本题得分 评卷人
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2013-12-28 18:39:54
1. [A] [B] [C] [D]
2. [A] [B] [C] [D]
4. [A] [B] [C] [D]
5. [A] [B] [C] [D]
7. [A] [B] [C] [D]
8. [A] [B] [C] [D]
3. [A] [B] [C] [D] 6. [A] [B] [C] [D]