应用概率统计

0.97725 1 0.84134 0.81859
例 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1.6 1 0 1 解 P(0 X 1.6) 2 2
0.3 0.5
由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B = S
对于连续型 r.v. X
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) f ( x) P ( a X b)
0.08 0.06 0.04 0.02
f ( x )d x
P(| X | a) 2 (a) 1
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 设 X ~ N ( , ) ,则 Y
2
X

~N(0,1)
根据定理,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的 概率计算问题.
P52 例3 设测量的误差 X ~ N(0,100)， 进行100次独立测量，求误差的绝对值 超过19.6次数不少于3的概率.
19.6 19.6 解 p P(| X | 19.6) 1 [ ] 10 10
0.05
Y ~ B(100, p)
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布.
下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
一种重要的正态分布
—— 标准正态分布N (0,1)
1 e 密度函数 ( x) 2
x2 2
x
是偶函数，分布函数记为
1 ( x) 2

1 t 10 e , t 0; f (t ) 10 0, t 0.
p P(T 15)

15
1 t 10 e dt 0.2231. 10
X ~ B(10, p)
P( X k ) C p (1 p)
k 10 k 10 k
, k 0,1,,10
正态分布是应用最广 泛的一种连续型分布
各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；


正态分布的重要性
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以 由以下情形加以说明： ⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其 它许多分布所不具备的． ⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
x

e
t2 2
dt
x
其值有专门的表供查.
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
(0) 0.5 ( x) 1 ( x)
P(| X | a) 2 (a) 1
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
( x) 1 ( x)
需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0
即： P ( X a) 0, a为任一指定值 这是因为
P( X a) lim P(a x X a)
x 0
lim
x 0 a x

a
f ( x)dx 0
A
注意: 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)
a
b
F (b) F (a)
5
-10
a
-5
b
x
P( X b) P( X b) F (b)
P( X a) P( X a) 1 F (a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
a
x
由上述性质可知，对于连续型随机变量，
关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
指数分布的“无记忆性”
命题 若 X ~Ｅ(),则
P( X s t X s ) P( X t )
事实上
P( X s t , X s ) P( X s t ) P( X s t X s ) P( X s ) P( X s )
1 P( X s t ) 1 F ( s t ) e t s e P( X t ) 1 P( X s ) 1 F ( s) e
例 设随机变量 X ~ N 0， 1 ，试求： ⑴．P X 2 1 ；⑵．P 1 X 2 ．
1 解： ⑴．P X 2 2 1
附表1
0.97725 0.84134 0.13591
⑵．P1 X 2 2 1 2 1 1
0.3
0.2592
例 已知随机变量 X 的分布函数为 F ( x) A B arctan x ( x ), 求 (1) A 及 B; (2) X 的概率密度; (3) P( X 1).
2
解 (1) 由 F () 1 及 F () 0, 可得
A 2 B 1 , A B 0 2
x
记作 X ~ E ( )
x0 0, X 的分布函数为 F ( x) x 1 e , x 0
f ( x)
0 F( x)
x
1
0
x
应用场合 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
— 位置参数
— 形状参数
P( X ) F ( ) 1 F ( ) P( X ) 1 2
附表1
0.3 [1 0.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
例 3 原理 设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 ) 解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
3.1 连续型随机变量
定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
F ( x) f (t ) dt
x
x
其中F ( x )是它的分布函数
则称 f ( x )是X 的概率密度函数.
分布函数与密度函数 几何意义
f ( x) F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
即
1 A 2
B
1

1 1 F x arctan x 2
x
(2) 设 X 的密度函数为f ( x)，则
f ( x) F ( x)
1 2 1 x
2
1
x
(3) P( X 1) 1 P(1 X 1) 1 1 [ F (1) F (1)] 2
3 x
解 (1) 由于


f ( x)dx
x
0
k ke dx 1 3
3 x
所以得 k 3
(2)
F ( x)
f (t )dt
x
当 x 0 时, F ( x)
f (t )dt 0
当 x 0时, F ( x)
x
f (t )dt 3e 3t dt 1 e 3 x
3 3 3 3 2 3 1 2 0.9987 1 0.9974
一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小
应用概率统计
主讲 叶宏 山东大学数学院 教材: 《应用概率统计》 陈魁编著 辅导书:《概率论与数理统计习题精选精解》 张天德叶宏主编
第三章 连续型随机变量及其分布
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
3.2 正态分布 若X 的 d.f. 为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2 )
亦称高斯 (Gauss)分布
德莫佛最早发现了二项概率 的一个近似公式，这一公式被认 为是正态分布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
x 1 dt 其分布函数 F ( x) e 2 t x F ( x) 作变量代换 s ( t )2 ) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
f ( x) 0
f ( x) d x F () 1
f (x)

判定函数 f (x)是否 为r.vX的概率密度 函数的充要条件.
面积为1
o 在 f ( x ) 的连续点处，
x
f ( x) F ( x)
若已知连续型随机变量 X 的密度函数 f (x) ，
则 X 在任意区间G G可以是开区间, 也可以是 （ 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
PX G f x dx
G
例 设随机变量 X 的密度函数为 ke , x0 f ( x) x0 0, 求： 系数k； 分布函数F ( x)； P( X 0.1). (1) (2) (3)
0
x
于是所求分布函数为 1 e 3 x , F ( x) 0, x0 x0
(3) P( X 0.1)
0.1
f ( x)dx 3e
0
0.1
3 x
dx
1 e 0.3 0.2592
或者P( X 0.1) F (0.1) 1 e
k 100 k 100 k
P(Y k ) C p (1 p)
, k 0,1,,100
np 5
泊松近似
查附表2泊松分布表
P(Y 3) 0.87
3.3 指数分布 若 X 的d.f. 为
e , x 0 > 0 为常数 f ( x) 其他 0, 则称 X 服从 参数为 的指数分布
故又把指数分布称为“永远年轻”的分 布
( s t )
例 顾客在某银行窗口等待服务的时间T(分钟) 服从参数为1/10的指数分布，若等待时间超 过15分钟，则他就离开.设他一个月内要来银 行10次，以X表示一个月内他没有等到服务而 离开的次数，求X的分布律及至少有两次没有 等到服务的概率.