三角函数学生
专题08三角函数的图像(学生版)
第八讲三角函数的图像【命题分析】三角函数的图像是三角函数的重要表示形式之一，完美体现了数与形的结合，具有直观形象、规律明显的特点.通过对全国近几年高考题的分析可以看出，对三角函数的图像的考查始终是考试的热点，在试题中常以两种形式出现:一是三角函数的图像与性质问题，主要是对正弦、余弦函数的图像和函数的图像进行研究，围绕周期、三角函数的取值、单调性、奇偶性、最值展开，以填空题、选择题的形式为主，考查学生的数形结合思想与运算能力.二是三角函数图像的变换问题，主要针对三角函数图像的平移、伸缩、对称、翻折等变换进行研究，考查化归与转化思想，主观题、客观题都有涉及.下面笔者以近几年的高考题为主，对三角函数图像从图像性质与图像变换两个方面进行分析，研究高三复习教学的策略.【核心题型解读】1三角函数的图像与性质问题三角函数的图像与性质问题主要是研究函数的图像，一般先从周期、最高点和最低点入手，常以“五点法”中的第一个零点作为切入口，解答的关键是抓住特殊量和特殊点.例1函数的部分图像如图所示，则( )A．B．C．D．例2设函数，则下列结论错误的是( ).A.f(x)的一个周期为B.y=f(x)的图像关于直线对称C.f(x+x)的一个零点为D.f(x)在区间内单调递减例3如果函数的图像关于直线对称，求实数a的值.例4已知函数的部分图像如图所示，则y=取得最小值时x的集合为( )A．B．C．D．例5已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I)求和φ的值；(Ⅱ)当时，求函数y=f(x)的最大值和最小值.2三角函数的图像变换三角函数的图像变换主要包括平移、伸缩、对称、翻折等变换.作三角函数平移变换时，平移的长度是指单个变量x的变化量.当两个函数的名称不同时，要先把函数名称统一，再把变换成来确定平移的单位，根据的符号来确定平移的方向.例6已知曲线，则下面结论正确的是( ).A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 例7函数的最大值是 .例8设函数，其中.已知.(I )求；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移个单位，得到函数y =g (x )的图像，求g (x )在上的最小值.【最新模拟汇编】1．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6πC ．3π-D ．3π 2．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期是π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 3．函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移23π个长度单位 D ．向左平移23π个长度单位 4．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）的图象关于4x π=对称，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点(),0π对称B ．偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．奇函数且它的图象关于点(),0π对称5．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则m 的最小值为（ ）A ．2324πB ．1112πC ．12πD ．24π 6．如图所示是()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,的图象的一段，它的一个解析式是（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈9．已知函数()sin()f x x ω=在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 为偶函数C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈D ．函数()g x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈ 11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．π4π11π4π,,43123k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．13π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π11π2π,2π,412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．13π3π5π3π,,124124k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 12．函数sin()(0,||,)2y A x x ωϕωϕπ=+><∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为A ．4sin()84y x ππ=-- B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=+D ．4sin()84y x ππ=-+13．已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x L ，满足1204n x x x π≤<<<≤L ，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=L ，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．614．已知函数()sin 3f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ） A ．3πB ．πC ．23π D ．43π 15．已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分函数图像如图所示，点(3,,06A B π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 图像的一条对称轴方程为（）A ．12x π=-B ．3x π=-C ．18x π=D ．24x π=16．下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点； ④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到3sin 2y x =的图象； ⑤函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A ．①②⑤B ．①④C ．③⑤D ．②④17．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为23π B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移12π个单位长度得到C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝12π对称D ．函数f (x )在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增18．如图是函数sin(),0,0,02y A x x R A πωφωφ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移3π个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 C ．向左平移6π个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 19．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3D ．3220．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[6,)+∞C ．5(,2][,)2-∞-+∞UD ．15(,][6,)2-∞-+∞U21．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______.22．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中0>ω，2ϕπ<<π），则估计中午12时的温度近似为_______C ︒；（精确到1C ︒）23．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图，点A ，B 的坐标分别是(0,3)，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1f =__．24．下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）25．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．26．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.27．已知函数的图象与y 轴的交点为， 它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和则=28．函数12()log cos 34x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为____________. 29．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为；30．将函数()3cos(2)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） ①最大值为3，图象关于直线3x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π；④图象关于点(,0)4π对称；⑤在(0,)3π上单调递减 31．已知函数()3232f x sinxcos x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ()1求512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； ()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．32．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1_专题08 三角函数的图像与性质(学生版)_166
专题08 三角函数的图像与性质一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理考点一正弦、余弦、正切函数的图象与性质π⎧⎫考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念3.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法三、重难点题型突破重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．例1、（1）函数tan2xy =的定义域为_____． （2）函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．|12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C ．|,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【变式训练1-1】求下列函数的定义域.（1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.例2、函数2sin6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（ ）A ．12B ．6C ．12πD ．6π【变式训练2-1】函数()24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值 1、三角函数单调性的求法(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图象利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．例3、（1）函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域________．（2）函数42cos 133⎛⎫=+-⎪⎝⎭x y π，当x =_________时有最小值，最小值是___________. 【变式训练3-1】、函数)42cos(π-=x y 的单调递减区间为___________．【变式训练3-2】、已知函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<最小正周期为π，图象过点4π⎛⎝. （1）求函数()f x 解析式 （2）求函数()f x 的单调递增区间.重难点题型突破3 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．2.函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数∈φ＝k π(k ∈Z )； 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数∈φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数∈φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数∈φ＝k π(k ∈Z )． 例4、（1）函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．Π D ．2π （2）已知函数f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)，φ∈(0，π)．(1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.【变式训练4-1】若点,26P π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()()sin 0,2f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2π，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3πϕ=D ．()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【变式训练4-2】函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．512x π=C ．23x π=D ．23x π=-【变式训练4-3】设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减重难点题型突破4 三角函数的图像及其应用例5．（多选题）函数()cos()f x x =+ωϕ0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．ωπ=B ．3πϕ= C ．34x =是函数的一条对称轴 D ．1(,0)4+k 是函数的对称轴心【变式5-1】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【变式训练5-2】如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭π⎛⎫=-⎪⎝⎭D．()3sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C．()3sin23f x x【变式训练5-3】已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()y f x =区间[]0,π内的值域．例6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin )102(π-x B ．y ＝sin )52(π-xC ．y ＝sin )1021(π-x D ．y ＝sin )2021(π-x【变式训练6-1】、（多选题）若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-四、课堂定时训练（30分钟）1．函数图像的一条对称轴方程为（ ） A ． B ． C ． D ．2．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A.是的一个周期B.C.的值域为RD.的图象关于点对称4．函数的定义域是（ ） 3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3x π=-3x π=6x π=6x π=-1tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. B.C. D.5．下列函数中，最小正周期为的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______． 7．函数的最小正周期为_____；单调递增区间为_______． 8．函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______.9．已知函数. (1)求函数的最大值以及相应的x 的取值集合；(2)若直线是函数的图像的对称轴，求实数m 的值.{|2,}2x x k k Z ππ≠+∈{|4,}2x x k k Z ππ≠+∈{|,}28k x x k Z ππ≠+∈{|,}8x x k k Z ππ≠+∈πsin y x =sin y x =tan 2x y =cos 4y x =()x πf x cos 23⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x ()f x ()sin 2x 4f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 0y b a x a =+<1-5-()tan 3y a b x =+()2cos 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x x m =()f x。
人教版高中数学必修四第2讲：任意角的三角函数(学生版)
人教版高中数学 任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：=r ____________________1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2.有向线段：____________________________规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====_________________， cos 1x x x OM r α====_______________，tan y MP AT AT x OM OA α====_______________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(学生版)
三角函数的图像与性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．2、理解并掌握余弦函数、正切函数一、三角函数的图像：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质:sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域值域最值周期性奇偶性单调性对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴函数 性质类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数x y 2cos 1-=的图象练习：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=611,6)6cos(πππx x y ，类型二、三角函数的性质：例2. 求下列函数的周期 （1）x y 21sin = （2）)63sin(2π-=x y练习：求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x例:4. 比较下列各组数的大小。
【3-代数】4.三角函数【学生版】
三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。
有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。
本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
（注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333απαπααααααπαπαααααπαπαααα-+=--=-+=-=-+=-=三角形的一些简单的恒等式1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2sin2sin 2sin 41cos cos cos 2cos2cos 2cos 4sin sin sin 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot1cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A CB AC B A CB AC B A AC C B B A CB AC B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A233sin sin sin 23cos cos cos 1cot cot cot tan tan tan sin sin sin cos cos cos 1812cos 2cos 2cos 812sin 2sin 2sin≤++≤++<++>++++<+++≤≤C B A C B A CB AC B A C B A C B A C B A C B A例题精讲一．三倍角公式 【例1】【题目来源】【题目】设x 为锐角，并且满足31cos 3cos =x x ，求x x sin 3sin 的值。
2024年高考真题汇总三角函数(学生版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．2024年高考真题汇总一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。
三角函数新定义问题(学生版)
三角函数新定义问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义“伴随函数”得出函数f (x )的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数f (x )=a sin x+b cos x 一般借助辅助角公式进行变形，即f (x )=a sin x +b cos x =a 2+b 2sin (x +φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=ba 2+b2．题型一新定义距离问题1人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，则其曼哈顿距离为d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，余弦相似度为cos A ,B =x 1x 21+y21×x 2x 22+y22+y 1x 21+y21×y 2x 22+y22，余弦距离为1-cos A ,B ．已知0<α<β<π2，M 13cos α,13sin α 、N 8cos β,8sin β 、P 13cos α+β ,13sin α+β 、Q 5cos2β,5sin2β ，若cos M ,P =35，cos M ,N =1213，则d M ,Q =．【跟踪训练】2人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量OA ,OB夹角的余弦值，记作cos A ,B ，余弦距离为1-cos A ,B .已知P sin α,cos α ，Q sin β,cos β ，R sin α,-cos α ，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan α⋅tan β=()A.7B.17C.4D.14题型二新定义函数3已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如 1.2=1，-1.2=-2，1 =1．对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f m=f m，则称函数f(x)是Ω函数．(1)判断函数f x =x2-13x，g x =sinπx是否是Ω函数；(只需写出结论)(2)已知f x =x+ax，请写出a的一个值，使得f x 为Ω函数，并给出证明；(3)设函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f(x)不是Ω函数，求T的最小值．【跟踪训练】4定义函数f x =cos sin x为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：f x+π=cos sin x+π=cos-sin x=cos sin x=f x .可得：π也为函数f x =cos sin x的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究f x =cos sin x的单调性：函数f x =cos sin x在0,π2是严格减函数，在π2,π上严格增函数，再结合f x+π=f x ，可以确定：f x =cos sin x的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数f x =sin cos x为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：(1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.1人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则曼哈顿距离为：d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，余弦相似度为：cos A ,B =x 1x 21+y21×x 2x 22+y22+y 1x 21+y 21×y 2x 22+y22，余弦距离为1-cos A ,B .若A -1,2 ，B 35,45，则A ，B 之间的余弦距离为()A.1-55B.1+55C.1-55D.1-552已知y =f (x )是定义在[a ,b ]上的函数，如果存在常数M >0，对区间[a ,b ]上任意划分：a =x 0<x 1<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b ，和式ni =1|f (x i )-f (x i -1)|≤M 恒成立，则称y =f (x )为[a ,b ]上的“绝对差有界函数”，注：ni =1a i =a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n ，若f (x )=sin x +cos x ，g (x )=x cos π2x-1≤x <00x =0，则关于函数y =f (x )、y=g (x )在[-1,0]上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是()A.y =f (x )与y =g (x )都是B.y =f (x )是而y =g (x )不是C.y =f (x )不是而y =g (x )是D.y =f (x )与y =g (x )都不是3在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh (x )=e x -e -x 2，双曲余弦函数：cosh (x )=e x +e -x2，则cosh (2)-2cosh 2(1)=，无穷数列a n ，a 1=a (a >1)，a n +1=2a 2n -1，若a 2021=54，则a 的值为．4平面直角坐标系中，将函数y =f x ，x ∈D 上满足x ∈N *，y ∈N *的点P x ，y ，称为函数的“正格点”．若函数f x =sin mx ，x ∈R ，m ∈1，2 与函数g x =lg x 的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为个．5对于函数y =f x ，x ∈R ，如果存在一组正常数t 1，t 2，⋯，t k ，(其中k 为正整数)，满足0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t k 使得当x 取任意实数时，有f x +f x +t 1 +f x +t 2 +⋅⋅⋅+f x +t k =0，则称函数y =f x 具有“性质P k ”.(1)求证：函数h x =cos x 同时具有“性质P 1”和“性质P 2”；(2)设函数g x =a +b cos2x +c cos5x +d cos8x ，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在m ∈R ，使得g m =4a ，证明：存在n ∈R ，使得g n <0.6设O 为坐标原点，定义非零向量OM=a ,b 的“相伴函数”为f x =a sin x +b cos x x ∈R ，向量OM=a ,b 称为函数f x =a sin x +b cos x 的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .(1)设函数h x =2sin π3-x-cos π6+x ，求证：h x ∈S ；(2)记OM=0,2 的“相伴函数”为f x ，若函数g x =f x +23sin x -1，x ∈0,2π 与直线y =k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点M a ,b 满足a 2-4ab +3b 2<0，向量OM 的“相伴函数”f x 在x =x 0处取得最大值.当点M 运动时，求tan2x 0的取值范围.7对于函数y=f x ，x∈R，如果存在一组常数t1，t2，⋯，t k(其中k为正整数，且0=t1<t2<⋯<t k)使得当x取任意值时，有f x+t1=0则称函数y=f x 为“k级周天函数”.+f x+t2+⋯+f x+t k(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①f1x =sin x；②f2x =x+2；(2)求证：当ω=3n+2n∈Z是“3级周天函数”；时，g x =cosωx(3)设函数h x =a+b cos2x+c cos5x+d cos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在m∈R，使得h m=4a，证明：存在n∈R，使得h n <0.8已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如 1.2=-2，1 =1．对于函数=1，-1.2f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f m，则称函数f(x)是Ω函数．=f mx，g x =sinπx是否是Ω函数；(只需写出结论)(1)判断函数f x =x2-13(2)已知f x =x+ax，请写出a的一个值，使得f x 为Ω函数，并给出证明；(3)设函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f(x)不是Ω函数，求T的最小值．9悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y =c 2e x c +e xc，其中c 为参数.当c =1时，该方程就是双曲余弦函数cosh x =e x +e -x 2，类似的我们有双曲正弦函数sinh x =e x -e -x2.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y =cosh 2x +sinh x 的最小值；①cosh x 2-sinh x 2=1；②sinh 2x =2sinh x cosh x ；③cosh 2x =cosh x 2+sinh x 2.(2)求证：∀x ∈-π,π4，cosh cos x >sinh sin x .10定义函数f (x )=a sin x +b cos x 的“积向量”为m =a ,b ，向量m=a ,b 的“积函数”为f (x )=a sin x +b cos x ．(1)若向量m =a ,b 的“积函数”f x 满足f π7 f 9π14=tan 10π21，求b a 的值；(2)已知m =n =2，设OP =λm +μn(λ>0,μ>0)，且OP 的“积函数”为g x ，其最大值为t ，求t -2 λ+μ 的最小值，并判断此时m ，n的关系．。
第一章 三角函数复习题(一)-学生版
知识点部分：1．任意角的三角函数的定义定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．2．三角函数值的符号记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．4．三角函数的周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R x≠2kπ+（k∈Z）值域[﹣1，1] [﹣1，1] R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k ∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin ＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤练习题部分：1．（2020春•新余期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）＝（）A．B．1 C．D．2．（2020春•驻马店期末）有以下变换方式：①先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；②先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④先将每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度．其中能将函数的图象变为函数y＝2sinx的图象的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③3．（2020春•未央区校级期末）若函数f（x）＝sinx+cosx﹣2sinxcosx+1﹣a在上有零点，则实数a的取值范围（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，] D．[，]4．（2020春•驻马店期末）已知扇形AOB的圆心角为α，周长为4．那么当其面积取得最大值时，α的值是．5．（2020•江苏）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是．6．（2019秋•新华区校级期末）若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；7．（2020春•沈阳期末）已知角α终边上一点坐标（1，﹣3），f（α）＝．（1）求f（α）的值．（2）求f（）的值．（3）求sin（）cos（）的值．8．（2020春•潍坊月考）已知cos（+θ）＝，求+的值9．（2020春•吉林期末）已知．（1）求2+sinαcosα﹣cos2α的值；（2）求的值．10．（2019秋•遂宁期末）已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．（1）求m、cosα、tanα的值；（2）若，求的值．11．（2019秋•上高县校级期末）已知函数．（1）化简f（x）并求的值．（2）设函数g（x）＝1﹣2f（x）且，求函数g（x）的单调区间和值域．12．（2016秋•东安区校级月考）设函数f（x）＝tan（）（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．（2）求不等式﹣1≤f（x）≤的解集．13．（2020春•驻马店期末）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．14．（2020•宁波模拟）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的振幅、最小正周期和初相位；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当时，求g（x）的取值范围．15．（2016秋•福建月考）已知定义在R上的函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足：最大值为2，其图象相邻两个最低点之间距离为π，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若向量＝（f（x﹣），1），＝（，﹣2cosx），，设函数，求函数g（x）的值域．。
二轮专题复习第1讲三角函数公式图像与性质(学生版)
2023年高考数学二轮复习三角函数专题第1讲 三角函数公式，图像与性质1． 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝ . (2)商数关系：tan α＝ .2．诱导公式：第①大组： )(2R k k ∈+απ, α-, απ-, απ+, απ-2 记忆口诀： ；第②大组：απ±2， απ±23 记忆口诀： 2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝ β――→令α＝βsin 2α＝ .cos(α±β)＝ ――→令α＝βcos 2α＝ ＝ ＝tan(α±β)＝ ――→令α＝βtan 2α＝ .3．公式的逆向变换及有关变形：（1）sin αcos α＝（2）降幂公式：sin 2α＝ ，cos 2α＝ ；（3）1±sin 2α＝ ；sin α±cos α＝4．辅助角公式：asin α＋bcos α＝ ，（其中cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ .φ的终边所在象限由a 、b 的符号来确定）5．在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧如：①α＝(α＋β)－β ②2α＝(α＋β)＋(α－β)③α＝12[(α＋β)＋(α－β)] ④α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. 二．三角函数定义 1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．2.三角函数在各象限内的正值口诀是： ．三．三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝ ，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝ ，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ， ，k ∈Z ；y ＝cos x ， ，k ∈Z ；y ＝tan x ， ，k ∈Z .(3) 单调区间：y ＝sin x 的增区间： (k ∈Z )，减区间： (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间： (k ∈Z )，减区间： (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间： (k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为 ，为 函数；y ＝cos x 的最小正周期为 ，为 函数；y ＝tan x 的最小正周期为 ，为 函数．四．y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关概念＝sin x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x图象上所有的点向 (φ>0)或向 (φ<0)平行移动 个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍(横坐标不变)．3.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ ，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2. 4. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)性质：（1）单调性：增区间由 ，k ∈Z 得；减区间由 ，k ∈Z（2）最值：最大值为 ，当且仅当 k ∈Z 取最大值； 最小值为 ，当且仅当 k ∈Z 取最大值。
高一第11讲 三角函数概念(学生版)
四．典例剖析：
题型一终边相同的角与象限角
π 例 1 判断真假：(1)将表的分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( ) 3 (2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (3)已知 A＝{小于 90°的角}， B＝{第一象限角}， 则 A∩B＝{α|0°<α<90°}． ( (4)终边与坐标轴重合的角 α 的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．( )
)
例2
在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
． 课堂小结： 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的 角化归到 0°～360°范围内，然后利用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
（B）2
（C）
1 2
（D） 2
5. (2008 年高考题四川理)设 0≤a＜2 .若 sin a＞ 3 cosα，则 α 的取值范围是
4 3 , ) （C） ( , ) ) （D） ( , 3 3 3 3 2 3 3 cos ( , ) 5 ，且 2 ，则 tanα＝__________. 6.(2011 年高考题重庆文)若
课堂小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． 1 1 2 2.记住下列公式：①l＝αR；②S＝ lR；③S＝ αR .其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， 2 2 α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．
-4-/8
高一数学上第 11 讲
课堂练习 2：(1)已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 120°，则扇形的弧长为________，面 积为________． 2 (2)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．
专题2 第2讲 三角函数的图象与性质(学生版)
第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。
三角函数的图像与性质(学生版)
一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
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时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值． 分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
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题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
3
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变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
2
3
（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波 动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月 份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪 几个月能盈利？
2
2
图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图
(完整版)任意角的三角函数及诱导公式(学生版)
任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1 •任意角 (1) 角的分类：① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角. _________ (2) 终边相同的角：终边与角相同的角可写成k 3600(k Z).(3) 弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，| |丄，1是— r以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径.③ 用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制.比值 -与所取的r 的大小无关，仅与角的大r小有关.④ 弧度与角度的换算： 3600 2弧度；1800 弧度. 1 1 2⑤ 弧长公式：丨| | r ，扇形面积公式： S 扇形lr | | r 2. 2 22 .任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3 .三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P ，过P作PM 垂直于x 轴于M •由三角函数的定义知，点P 的坐标为cos ,sin ,即P cos ,sin ,其中cos OM , sin MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点 A(1,0),单位圆在A 点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT .我们把有向线设P x,y 为角终边上异于原点一点，则角的正弦、余弦、正切分别是:sin特别地，当x 2 y 21时，siny,cos x , P cos ,sin三角函数线段OM 、MP 、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线4•同角三角函数的基本关系式对于角“(k Z) ”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” •“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”.【课前小练】1.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4, y)是角终边上一点，且sin 2、5---- ，贝U y52.若sin 4,tan 0，则cos ( ) 52(1) 平方关系：sin(2) 商数关系：tan2^-2cos 1 sinsin 丄sin tan cos2 2 21 cos ,cos 1 sinsincos ,cos .tanA 3B . 34 D .4A.-C . 一5 1 )55553.已知sin(——那么cos()2 521 1 2A.B. —c.—D.—5555【例题解析】考点一任意角的三角函数值例i 已知角 的终边过点P 1,3，求这个角的三个三角函数值。
高考二轮复习三角函数(学生版)
高考二轮专题复习————三角函数（一）1、 已知()sin 2sin 2cos 2166f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求函数f （x ）的最小正周 (2)求函数f （x ）的单调递减区间；（3）该函数的图象可由y=sinx （x R ∈）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？2、已知函数2()sin (sin 2cos )cos f x x x x x =+-（1）求f （x ）的最小正周期和最大值；（2）求f （x ）的单调区间。
（3）在直角坐标系中画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象。
3、已知函数()sin()sin()cos (66f x x x x a x R ππ=++-++∈，a 为常数） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若函数f （x ）在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之a 的值。
4、已知函数2()2cos sin 3sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）将函数f （x ）的图象按向量(),0a m =平移，使平移后函数为偶函数，求m 的最小正值。
5、已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x R =-+∈，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值并求出相应的x 值。
6、已知函数21()cos ,()1sin 2122f x x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）设x=0x 是函数()y f x =图像的一条对称轴，求0()g x 的值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间。
7.已知函数2()12sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求：（1） 函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间。
中考生常用三角函数公式
中考生常用三角函数公式1、同角三角函数的差不多关系倒数关系: tan cot＝1 sin csc＝1 cos sec＝1商的关系：sin/cos＝tan＝sec/csc cos/sin＝cot＝csc/sec平方关系：sin^2()＋cos^2()＝1 1＋tan^2()＝sec^2() 1＋cot^2()＝csc^2()平常针对不同条件的常用的两个公式sin +cos =1tan *cot =1一个专门公式（sina+sin）*（sina+sin）=sin（a+）*sin（a-）2、锐角三角函数公式正弦：sin =的对边/ 的斜边余弦：cos =的邻边/的斜边正切：tan =的对边/的邻边余切：cot =的邻边/的对边3、二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）4、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)5、n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+/n）……sin（a+（n-1）/n）。
其中R=2^（n-1）6、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cos A)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/s in(a)=sin(a)/(1+cos(a))7、和差化积sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)8、两角和公式cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin9、积化和差sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2 coscos = [cos(+)+cos(-)]/2 sincos = [sin(+) +sin(-)]/2 cossin = [sin(+)-sin(-)]/210、双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2 k＋）= sin cos（2k＋）= cos tan（2k＋）= tan cot（2k＋）= cot 公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin （＋）= -sin cos（＋）= -cos tan（＋）= tan cot（＋）= cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三能够得到与的三角函数值之间的关系：s in（）= sin cos（）= -cos tan（）= -tan cot（）= -cot公式五：利用公式-和公式三能够得到2与的三角函数值之间的关系：s in（2）= -sin cos（2）= cos tan（2）= -tan cot（2）= -cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= cos cos（/ 2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）=sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan (以上kZ) Asin(t+)+ Bsin(t+) = {(A +B +2ABcos(-)} sin{ t + arcsin[ (Asin+Bsin) / {A^2 +B^2; +2ABcos(-)} } 表示根号,包括{……}中的内容11、诱导公式sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin si n(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin() = sin cos() = -cos sin() = -sin cos() = -cos tanA= sinA/cosA tan（/2＋）＝－cot tan（/2－）＝cot tan（－）＝－tan tan（＋）＝tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号12、万能公式sin=2tan(/2)/[1+(tan(/2))] cos=[1-(tan(/2))]/[1+(tan(/2))] tan=2tan(/2)/[1-(t an(/2))]13、其它公式(1) (sin)+(cos)=1(2)1+(tan)=(sec)(3)1+(cot)=(csc)(4)关于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (5)cotA cotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)c ot(C/2)(7)(cosA）+(cosB）+(cosC）=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）+（sinB）+（sinC）=2+2cosAcosBcosC家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
第三章三角函数学情与教材分析
第三章三角函数学情与教材分析
第三章的三角函数是高中数学中的重要内容之一。
本文将对学
生学情以及教材进行分析。
1. 学生学情分析
根据对学生学情的观察和调查，我们可以得出以下结论：
- 许多学生对三角函数的概念和性质还存在一定的困惑，特别
是在涉及角度和弧度的转化、三角函数的图像和周期等方面。
- 学生普遍在解三角函数方程和应用相关知识进行实际问题求
解时存在困难。
- 一部分学生对于三角函数的应用场景理解欠缺，缺乏实际的
应用实例和背景知识。
2. 教材分析
针对学生的学情特点，应对教材进行一定的分析和优化，以提
高学生的研究效果和兴趣：
- 引入生活中的实际问题，结合三角函数的应用场景进行教学，以增加学生对概念的理解和兴趣的培养。
- 对于三角函数概念的讲解，可采用多样化的教学方法，如图
形展示、实例演示等，帮助学生更好地理解和掌握。
- 加强练环节，提供大量的练题，包括应用题和思考题，以培
养学生的解题能力和思维能力。
- 利用现代技术手段，如计算机软件和互动教学平台，提供多
样化的研究资源和研究工具，帮助学生更好地研究和巩固所学知识。
总结：
通过对学生学情和教材的分析，我们可以更好地调整教学策略，提高学生的学习效果和成绩水平。
在三角函数教学中，引入生活中
的实际问题，多样化的教学方法以及加强练习和利用现代技术手段
等措施都是有效的教学策略。
如何帮助小学生掌握简单的三角函数
如何帮助小学生掌握简单的三角函数三角函数是数学中的重要概念之一，对于小学生来说，掌握简单的三角函数可以培养他们的空间想象力和创造力，为以后学习更高级的数学知识打下基础。
然而，由于小学生的学习能力和认知水平有限，掌握三角函数并不容易。
本文将介绍一些方法来帮助小学生更好地理解和掌握简单的三角函数。
一、以生活中的实例引入三角函数的概念为了让小学生能够更好地理解三角函数的概念，我们可以通过生活中的实例来引入。
例如，我们可以让学生观察日常生活中的直角形物体，并引导他们发现直角、斜边和两条直角边之间的关系。
通过向学生展示直角三角形的图片和实际物体，帮助他们认识到三角函数是对角度大小与三角形各边长度之间的关系的描述。
二、引导学生利用三角函数解决实际问题小学生对于抽象的数学概念难以理解，但他们对于解决实际问题的兴趣通常较高。
因此，我们可以引导学生运用三角函数解决一些简单的实际问题。
例如，让学生从日常生活中找出一些角度变化的场景，如摆钟的摆动、手表上指针的位置等，让他们思考如何利用三角函数来描述这些角度变化。
通过实际问题的解决过程，学生能够更好地理解三角函数的概念和应用。
三、使用视觉化工具帮助学生理解三角函数的图形表示为了帮助小学生更好地理解三角函数的图形表示，我们可以使用视觉化工具来辅助教学。
例如，可以使用平面坐标系绘制各种角度下三角函数的图像，让学生通过观察图像来理解三角函数的变化规律。
同时，还可以利用数学软件或者在线教育平台提供的交互式练习，让学生自主探索三角函数的图形表示，培养他们的发现和动手能力。
四、增加游戏化元素，激发学生的兴趣在教学过程中，增加一些游戏化的元素可以帮助学生更加主动积极地参与学习。
例如，可以设计一些三角函数的小游戏，让学生通过游戏的方式巩固所学的知识。
比如，设计一个三角函数的拼图游戏，学生需要根据给定的角度和边长组合拼出正确的三角形形状。
这样的游戏既能够锻炼学生的逻辑思维能力，又能够提高他们对三角函数的理解和记忆。
小学数学中的三角函数简介
小学数学中的三角函数简介三角函数是数学中重要的概念，它们在小学数学中起着重要的作用。
本文将为大家简要介绍小学数学中的三角函数。
三角函数是描述角度与三角形边长之间关系的函数。
在小学数学中，我们主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数这三种常见的三角函数。
一、正弦函数（sin）正弦函数是指在直角三角形中，对于一个锐角θ，其对边的长度除以斜边的长度所得到的比值。
换句话说，正弦函数描述了一个角的对边相对于斜边的长度关系。
二、余弦函数（cos）余弦函数是指在直角三角形中，对于一个锐角θ，其邻边的长度除以斜边的长度所得到的比值。
简单来说，余弦函数描述了一个角的邻边相对于斜边的长度关系。
三、正切函数（tan）正切函数是指在直角三角形中，对于一个锐角θ，其对边的长度除以邻边的长度所得到的比值。
也可以理解为正切函数描述了一个角的对边相对于邻边的长度关系。
在小学数学中，我们常常通过建立直角三角形来引入三角函数的概念，并利用三角函数求解一些简单的几何问题。
下面我们来看一个具体的例子：假设有一个直角三角形，其直角边的长度为3，斜边的长度为5，我们想要求解这个三角形中一个锐角的正弦值。
根据正弦函数的定义，我们知道正弦值等于对边长除以斜边长。
所以，对于这个三角形，正弦值等于3除以5，即sinθ=3/5。
通过以上的例子，我们可以看出，利用三角函数的定义，我们可以方便地求解三角形中各个角的值。
需要提醒的是，尽管三角函数在小学数学中已经出现，但在小学阶段并不需要深入研究它们的性质和应用。
小学生可以简单地了解三角函数的定义和基本用法，培养对三角概念的基本理解，为进一步学习高等数学打下基础。
总结：本文简要介绍了小学数学中的三角函数。
我们了解了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和应用，并通过一个实例展示了如何求解三角形中角的值。
尽管在小学阶段不需要深入研究三角函数，但对于学习数学和几何有着重要的作用。
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圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名 学校 年级及科目教师课 题 三角函数授课时间教学目标1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).教学内容【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.(6)构造辅助角(以特殊角为主):22sin cos sin()(tan )ba b a b aαααϕϕ+=++=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈, 求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题. ⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）. 练习1: （年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( ) A. 22B.33C. 2D. 3考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.例2.(年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则( )A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数练习 2.(年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2013年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===- （1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .练习3.（天津市十二区县重点中学年高三联考二理）（本小题满分13分） 已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==， ()f x m n =⋅． （I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例 4. (年高考安徽卷文科16) 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.练习4. （年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【易错专区】1. (年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为( ) （A ）0 (B)33(C) 1 (D) 3 2. (年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=( )（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）233.(年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( ) （A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 4.(年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2A=2a 则ba=（ ） (A) 23 (B) 22 (C)3 (D)25.(年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)796.(年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ） （A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69-7. (年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ）A 54-B 53- C 32 D 438. (年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9. (年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB AD AB BD BC BD ===，则sin C的值为（ ）。