1.3 弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图 每课一练(湘教版九年级下)
九年级数学下册第3章圆3.4弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图3.4.1弧长和扇形的面积教学课件湘教版
【探究】
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的
计算公式为S扇形=
n πR 2
36.0
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长表
示扇形的面积吗？ S扇形= 12lR
l n R
180
第十二页，编辑于星期六：七点 一分。
【例题】
例2.扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求 A B 的长(结 果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).
扇形面积= π.
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇 形的圆心角为 150o .
3.已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是
A. 3π B.4π C.5π D.6π
（B ）
第十四页，编辑于星期六：七点 一分。
4.如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时
出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿
ADA1.A1EA2.
路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结
A2FA3.A3GB
ACB
论正确的是（ ）
C
A.甲先到B点
B.乙先到B点
C.甲乙同时到B点
答案:C
D.无法确定
DE F G A A1 A2 A3 B
第十五页，编辑于星期六：七点 一分。
1.（常德·中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇
A. 2 π B.
C.2 π
D.2π2 2 1 π
2
4
O
AC
O1
B O2
第十页，编辑于星期六：七点 一分。
【想一想】
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另
1.9 弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图 课件(湘教版九年级下)
已知一个半径为r的圆,如何求它的一段圆弧的长度呢? 我知道圆周长c=2r,其中 r是圆的半径,求圆弧长 我还不会.
1.由于在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,因此:1° 的圆心角所对弧长为
1 2 πr 360
2.从第1小题的结论可以得出:n°的圆心角所对的弧长l为
O
·
1°
l
1 2 πr 360 n _______ .
277 π 3.2 277 3.14 3.2 解： l (cm) 180 180
A
O ·
B
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
3.4
弧长和扇形的面积,圆锥的侧
说一说
在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等吗?
相等
这是根据圆的什么对称性得出的结论?
根据圆的旋转对称性
探究
如图,这是茶叶罐的密封盖上的一个图案. 这个图案的上部和下部都是圆弧你能想办法求出上部圆弧的长度吗?
40°的圆心角所对的弧长20.9cm
如图，对于茶叶罐的密封盖上的这个图案． 作出上部圆弧的圆心； 量出上部圆弧的半径； 量出上部圆弧所对的圆心角的度数； 求出上部圆弧的弧长．
练习
如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线．内轮廓线由 一段圆弧和一条弦AB组成，圆心为O，半径为3.2cm， 圆心角∠AOB＝83°，求内轮廓线的圆弧长度．
n°
R
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为：
n nπr l 2 πr 360 180
在求弧长的公式中，关键是根据圆的什么对称性？
已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角所对的弧长 （精确到0.1cm）
解：
湘教版九年级数学下册 弧长与扇形的面积
《弧长与扇形的面积》教案1教学目标【知识与技能】理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.【过程与方法】经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力.【情感态度】调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点弧长公式及其运用.教学难点运用弧长公式解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？【教学说明】学生根据AB 是120°是13周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______.【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出.问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____.问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______.【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为·2360180n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量.三、典例精析，掌握新知例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803n R l cm πππ⨯⨯===≈.答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm .【教学说明】此题是直接导用公式.例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长.【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可.解:连接CD .因为∠B =15°，∠BCA =90°，所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°.又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°.所以∠DCA =180°-2∠A =30°.所以AD 的长=306180π⨯=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角.例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？解：由题可知∠A ′CB ′=60°.∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm .∴AA ′的长=12010201803ππ⨯= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.2、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，若该比赛场地的周界是34m ，求它的半径OA 长（精确到0.1m ）.四、运用新知，深化理解1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( ) A .6cm B .12cmC .D cm2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿着1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线ACB 爬行，则下列结论正确的是( )A .甲先到B 点 B .乙先到B 点C .甲乙同时到达D .无法确定3.如果一条弧长等于l ，它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加( )A .1nB .180R πC .180l R πD .13604.(山东泰安中考)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则BC 的长为()A .πB .2πC .3πD .5π第4题图 第5题图5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚(如图)，那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______.【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导过程后，在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.43π五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾本小节的知识点.2.通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】1.n °的圆心角所对的弧长180n R l π=.2.学生大胆尝试公式的变化运用. 课后作业1.教材P81页第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.《弧长与扇形面积》教案2教学目标知识与技能1.掌握扇形的定义.2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算.过程与方法经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.情感态度经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益. 教学重点扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.教学难点用公式求组合图形的面积来解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇子用了多少纸吗？要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.二、思考探究，获取新知1.扇形的定义圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形；2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：(1)该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.(2)设圆的半径为R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答【教学说明】(1)360°(2)2360Rπ22360Rπ23360Rπ2360n Rπ因此，在半径为R的圆中，圆心角为nl 为扇形的弧长. 例1如图，⊙O 的半径为1.5cm ，圆心角∠AOB =58°，求扇形OAB 的面积(精确到 0.1c m 2).解：∵r =1.5cm ，n =58，∴22258 1.558 3.14 1.5 1.1360360()S cm π⨯⨯⨯⨯==≈ 例2已知半径为2的扇形，其弧长为43π，则这个扇形的面积为多少？ 【分析】已知扇形弧长为l ，所在圆的半径为R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形=12lR 求解.解: S 扇形=12lR =1442233ππ⨯⨯=. 【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.3.组合图形的面积计算.例3如图，把两个扇形OAB 与扇形OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠AOB =∠COD ，连接AC .(1)求证:△AOC ≌△BOD ；(2)若OA =3cm ，OC =2cm ，AB 的长为32π，CD 的长为π，求阴影部分的面积.【教学说明】利用“边角边”证明△AOC ≌△BOD ，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.(1)证明:∵∠AOB =∠COD ，∴∠BOD =∠AOC .又∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOC ≌△BOD .(2)延长CD ，交OB 于点F ，设AO 交CD 于点E .∵S △AOC =S △BOD ，S 扇形EOC =S 扇形DOF ， ∴S 图形AEC =S 图形BFD .∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD 1315322224πππ=⨯⨯-⨯⨯=.例4、如课本图，是一条圆弧形弯道，已知OA =20m ，OC =12m ，弧CD 的长度为9πm ，求圆弧弯道的面积.【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.练习题：1、如课本图，在圆O 中，∠AOB =120°，弦AB 的长为才cm ，求扇形OAB 的面积. 2、如课本图，分别以△ABC 的顶点A ，B ，C 为圆心，以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积.三、运用新知，深化理解1.(甘肃兰州中考)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A .πB .1C .2D .23π2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a (a ≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )A .a 2-πB .(4-π)a 2C .πD .4-π3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 的三等分点.如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.4.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是______(保留π).5.如图，⊙O 的半径为R ，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，BC 为半径作弧CED ，求图中阴影部分的面积.【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.【答案】1.C 2. D 3.3π 43π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S △BCD -S 扇形BCED =22221122R R R R ππ+-= 四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.教师强调：①扇形的概念.②圆心角为n°的扇形面积S扇=213602n RlRπ= (l为扇形的弧长).③组合图形的面积.课后作业1.教材P81第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
九年级数学-弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习-提高
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.一个直角三角形绕它的一边所在直线旋转一周所得到的几何体一定是( )．A．圆锥 B．圆柱 C．圆锥或圆柱 D．以上都不对2.小明要制作一个圆锥形模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径为( )．A．15cm B．12cm C．10cm D．9cm3．如图所示，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm，图中阴影部分的面积为( )．A ．32B ．233π- C ．23 D ．43第3题图第4题图第5题图4．如图所示，Rt△ABC中，∠BAC是直角，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为( )．A．1 B．2 C．14π+ D．24π-5．如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC 于点F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( )．A．49π- B．849π- C．489π- D．889π-6．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )．A．30cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．120cm2二、填空题7. 如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，3AB=，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED 剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．第6题第7题8．圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比为．9．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积AB CDE为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2等于________． 10．如图所示，有一圆心角为120°、半径长为6 cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是 ．A BO第10题图 第11题图 第12题图11．矩形ABCD 的边AB ＝8，AD ＝6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右做无滑动地翻滚，当它翻滚到类似于开始的位置A 1B 1C 1D 1时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是________． 12．现有总长为8 m 的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图12)，当这个扇形的半径为 m时，可以使这个扇形花坛的面积最大？最大面积是 m 2.三、解答题13. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P 从A 点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，求小虫爬行的最短距离是多少?14．现有一张边长为20cm 的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗?说明你的做法并计算圆锥的表面积(结果精确到0.1cm ，2＝1.414)．15．如图所示，有一直径是1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC ． 求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少?(结果用根号表示)16. （1）如图（1），⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是0.5cm ，则图中三个阴影部分面积之和为；（2）若在（1）的条件下，增加一个圆变成图（2）．设这四个圆的半径都是r，则这四个圆中阴影部分面积的和为；并说明理由．（3）若在（2）中再增加一个圆变成图（3）．设这五个圆的半径都是r，则这五个圆中阴影部分的面积和为．并说明理由．（4）若在题（1）的条件下，有n个这样的半径都是r的圆（如图（4）），那么这n个圆中阴影部分的面积的和又为多少呢？请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】绕直角边所在直线旋转一周所得到的几何体与绕斜边的不同． 2．【答案】B ； 【解析】∵24092180r ππ⨯=，∴ r ＝6cm ，2r ＝12cm ．3．【答案】B ；【解析】如图，因为AD ∥BC ，∠ADC ＝120°，所以∠BCD ＝60°，因为AC 平分∠BCD ，所以∠BCA ＝∠DAC ＝∠DCA ＝30°，所以∠BAC ＝90°，BC 为圆的直径，所以AD ＝DC ＝AB ．设BC 的中点为O ，连接OA 、OD ，由题意可知点A 、D 三等分半圆， 则∠AOD ＝60°，且OA ＝OD ＝AB ＝AD ＝CD ，BC ＝2AD ，所以AB+AD+CD+BC ＝10，所以半径为2，则233AOD S S S π∆=-=-扇形扇．第3题答案图 第5题答案图4.【答案】A ；【解析】连接AD ，12ABC S S ∆=阴影． 5．【答案】B ；【解析】如图，连接AD ，因为BC 为⊙A 切线、D 为切点，所以AD ⊥BC ．又由∠BAC ＝2∠EPF ＝2×40°＝80°，∴ 280283609EAFS ππ⨯==扇形．∴ 1884299ABC EAF S S S BC AD ππ∆=-=⨯⨯-=-阴影阴影． 6．【答案】C ；【解析】在Rt △COB 中，由CO 2+BO 2＝BC 2，得BC ＝10cm ，所以21261060(cm )2S ππ=⨯⨯⨯=侧．二、填空题7．【答案】13；【解析】在Rt △ABE 中， 2212(3)12BE AE =-==∴∠BAE=30°， ∴∠DAE=60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：=π，∴圆锥的底面半径为π÷2π=．8．【答案】2:1；【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， ∵ 圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴ 此半圆的周长(即侧面展开扇形的弧长)为180180l π． 又∵ 此半圆的周长等于2πr ， ∴1802180l r ππ=，2l r ππ=，2l r =，即21l r =． 即圆锥的母线长与底面半径比为2:1．9．【答案】2:3；【解析】如图所示，当以AC 为轴旋转时，21S r S π=+侧，AB 为底面圆半径，BC 为母线长10，则S 1＝36π+60π＝96π．当以AB 为轴旋转时，AC 为底面圆半径，BC 为母线长，80S rl ππ==侧， 所以2S S S =+侧底6480144πππ=+=，所以S 1:S 2＝96π:144π＝2:3．10．【答案】42cm ； 【解析】扇弧长12064cm 180ππ⨯=，而扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面圆半径为r ，∴ 4π＝2πr ，∴ r ＝2cm ． 如图所示，AC ＝2cm ，OA ＝6cm ，Rt △OAC 中，OC ＝2242OA AC -=cm ．11．【答案】12π；【解析】分析题意，考虑A 所经过的路线可分为三段孤长，如图所示，第一段是以B 为圆心，AB 长为半径，圆心角∠ABE ＝90°的弧长； 第二段是以F 为圆心，EF 长为半径，圆心角∠EFM ＝90°的弧长；第三段是以N 为圆心，NA 1长为半径，圆心角∠A 1NM ＝90°的孤长．EF ＝10，NA 1＝6．则顶点A 所经过的路线长＝145312AE EM MA ππππ++=++=．12.【答案】2 ； 4 .【解析】设扇形的半径为r ，∠AOB 的度数为n ，扇形花坛面积为S ，则扇形花坛周长为2r +π2n·2πr =8, ① S =π2n πr 2. ② 由①得：rrr r n πππ-=-=42282. ③ 将③代入②得：S =rr π-4·πr 2=4r －r 2=－(r －2)2+4.故当r =2时，S 最大=4,即当扇形半径为2 m 时，花坛面积最大，其最大面积为4 m 2.三、解答题13.【答案与解析】将圆锥的侧面展开如图所示，取SA '的中点C ，连接AC ．则AC 是小虫爬行的最短路线．∵ 421180n ππ⨯⨯=，∴ 90n =°，即90ASA '∠=°．∵ SA ＝4，SC ＝2，∴ 224225AC =+=． ∴ 小虫爬行的最短距离为25．14. 【答案与解析】用一张正方形纸片制成一个有底圆锥，方法有多种，但使其表面积尽可能大的只有一种，确定了扇形、圆、正方形三者之间的关系之后；就可通过计算求出扇形及圆的半径，并制成符合条件的圆锥． 具体做法：(1)通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示． (2)通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线． (3)剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．其表面积的计算过程是：如上图所示，设扇形的半径为Rcm ，⊙O 的半径为r cm ，M 、N 均为切点， 连接OM 、ON ．则有OM ⊥BC ，ON ⊥DC ． ∵ OM ＝ON ＝r ．∴ 四边形OMCN 为正方形．∴ OC ＝2r ．∵ AC ＝AG+GO+OC ，AC ＝2AB ＝202cm ，∴ 2202R r r ++=． ① ∵ EF 的弧长等于⊙O 的周长， ∴1224R r ππ⨯=，即R ＝4r ． ② 由①②得2024.4152r =+≈，∴ 2214S S S R r ππ=+=+侧表底． 222255 3.14 4.41cm 305.3cm r π==⨯⨯≈． 故所做圆锥的表面积约为305.3cm 2．15. 【答案与解析】（1）连接BC ．∵ ∠BAC ＝90°，∴ BC 是⊙O 的直径，∴ BC ＝1m ． ∵ AB ＝AC ，∴ 22AB AC ==m ． ∴ OABCS SS =-阴扇形222221121m m m 2428πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）设圆锥底面圆的半径为r ，∴29022180r ππ=．∴2m 8r =．16. 【答案与解析】（1）∵∠A+∠B+∠C=180°∴，图中的三个扇形面积之和为；（2）由（1）得出：这四个圆中阴影部分面积的和为：=πr2；（3）同理可得：这五个圆中阴影部分的面积和为：=πr2；（4）n个圆中阴影部分的面积的和：=πr2．。
九年级数学下册第24章圆24.7弧长与扇形面积(第2课时圆锥的侧面展开图)练习(新版)沪科版
第2课时 圆锥的侧面展开图一、课前预习 (5分钟训练)1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm ，高为________ cm ，侧面积为________ cm2. 2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm 2，锥角为_________，高为________ cm.3.已知Rt△ABC 的两直角边AC=5 cm ，BC=12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________ cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm ，面积为_________ cm 2.4.如图，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m 2B.6π m 2C.12 m 2D.12π m 22.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. 33a C.3a D.23a 3.用一张半径为9 cm 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.4.如图，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式).5.一个圆锥的高为33 cm ，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果保留π).2.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)第2题图第5题图3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶125.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )A.1 425π cm2B.1 650π cm2C.2 100π cm2D.2 625π cm27.如图所示，在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；2=1.414，3=1.732，5=2.236，以上数据供参考)。
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(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)求由弦 CD，BD 与弧 BC 所围成阴影部分的面 积．(结果保留π) 解：(1)连接 OC 交 DB 于 E，∵∠CDB＝30°，
×
π 3＝ 3 －
3 4
(2)S 阴影＝132600π×12－12×12
13．(14 分)如图，在⊙O 中，直径 AB＝2，CA 切 ⊙O 于点 A，BC 交⊙O 于点 D，若∠C＝45°，则
(1)BD 的长是多少？ (2)求阴影部分的面积．
解：(1)BD＝ 2 (2)阴影部分的面积为 1
【综合运用】
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 8．如图，正方形 ABCD 中，分别以 B，D 为圆心， 以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分 图案)，则树叶形图案的面积是( C ) A.12π a2 B．a2－12πa C.12πa2－a2 D．a2－14πa2
9．如图，AB 是⊙O 的切线，切点为 A，OA＝1， ∠AOB＝60°，则图中阴影部分的面积是( C )
九年级数学下册（湘教版）
第2章 圆
2.6 弧长与扇形面积
第 2 课时 扇形的面积
1．圆的__弧__和经过这条__弧__的端点的
__两条半径__所围成的图形叫做扇形． 2．半径为 r 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积
nπr2 S＝__ 360 __．
3．半径为 r，弧长为 l 的扇形面积 S＝__12lr__．
A. 3－16π B. 3－13π C. 23－16π D. 23－13π
九年级数学下册第3章圆3.4弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图3.4.1弧长和扇形的面积课件湘教版20
【总结提升】求与弧长相关的计算的两个步骤
知识点 2 扇形的面积公式及应用 【例2】如图，点A，B，C在半径为2的 ⊙O上，∠BAC=30°，求阴影部分弓形 的面积. 【思路点拨】连结OB，OC，得△OBC为 等边三角形，根据阴影部分的面积=扇 形的面积-等边三角形的面积去计算.
【解析】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10， ∴扇形的半径为5，∴阴影部分的面积= 9052 25．
360 4
答案：2 5
4
4.已知扇形的半径为3，扇形的面积为3π,则该扇形的圆心角
为_______，弧长为________.
【解析】把r=3,S=3π代入S n 中r 2 得,
360 3 n 9 , n 120,
2
2
∴r=5.
2.如图，正方形OABC的边长为2，OA为⊙O
的半径，则扇形OAC的面积为( )
A. B. 2
C. 3 D.2 2
【解析】选B.∵四边形OABC为正方形，边长为2， ∴OA=OC=2，∠AOC=90 °S，扇形OAC9036022 .
3.(2013·凉山州中考)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A， ⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部 分)的面积之和为______.
其中 CD,DE,EF的圆心依次是A,B,C，如果 AB＝1，那么曲线CDEF的长是_____.
【解析】 CD 的 长 是 12012,
180 3
DE的 长 是 ： 12024,EF的 长 是 ： 12032,
180 3
180
则 曲 线 CDEF的 长 是 ： 2424. 33
答案：4π
5.如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB= 2 2 ， ∠A=45°，把△ABC绕点B顺时针旋转60°
【新】2019-2020学年度九年级数学下册 第二章 2-6 弧长与扇形面积练习 (新版)湘教版
教学资料参考范本【新】2019-2020学年度九年级数学下册第二章 2-6 弧长与扇形面积练习（新版）湘教版撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第1课时弧长基础题知识点弧长公式(l＝)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)A. B．π C.D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A．300°B．240°C．120°D．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C)A．6 B．9 C．18 D．364．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)A.πB.πC．2πD.π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(B)A. B. C.πD．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A旋转到点A′，则的长为米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为 2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则的长l＝π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分的长．(结果保留π)解：连接OC，OD，则OC⊥AC，BD⊥OD.又∵AC与BD的夹角为30°，∴∠COD＝150°.∴的长为＝25π(cm)．易错点忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B)A. B. C. D.4π312．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)。
湘教版数学九下《弧长和扇形的面积、圆锥的侧面展开图》同步测试
九年级数学下册3.4弧长和扇形的面积、圆锥的侧面展开图课时训练湘教版 【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题。
1. 已知两圆的半径分别为3和7，且这两个圆有公共点，则这两个圆的圆心距d 为（ ）A. 4B. 10C. 4或10D. 410≤≤d2. 若⊙O 与⊙O'相切，它们的半径分别为5cm 和3cm ，则圆心距OO'为（ ） A. 8cm B. 2cm C. 8cm 或2cm D. 以上都不对3. 如图，A 是半径为1的⊙O 外的一点，OA ＝2，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连AC ，则阴影部分的面积为（ ）A. 29πB. π6C. π638+D. π438-4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从点A 出发，绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ）A. 63B. 332C. 33D. 35. 在半径为3的⊙O 中，弦AB ＝3，则AB ⌒的长为（ ）A. π2B.πC. 32πD. 2π6. 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）A. 2：1B. 21π：C.21：D.31：7. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB AC ==2，⊙A 与BC 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.12-πB.13-πC.14-πD.15-π8. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积为（ ） A. 15πB. 12πC. 30πD. 24π二. 填空题。
9. ⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过O 2点，若∠AO B o190=，则∠AO B 2的度数是___________。
10. 已知两圆的半径比是5：3，当两圆外切时，圆心距为4，当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是___________。
九年级数学下册第二章2.6弧长与扇形面积练习湘教版
2．6 弧长与扇形面积第1课时 弧长基础题知识点 弧长公式(l ＝n πr180)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2B ．πC.π6D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A ．300°B ．240°C ．120°D ．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C) A ．6B ．9C ．18D ．364．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为(D) A.23πB.43πC ．2πD.83π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为(B) A.π3B.3π3C.23πD ．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A ′，则AA ′︵的长为2π3米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则AB ︵的长l 2π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分CMD ︵的长．(结果保留π)解：连接OC ，OD ，则OC ⊥AC ，BD ⊥OD. 又∵AC 与BD 的夹角为30°， ∴∠COD ＝150°.∴CMD ︵的长为150π×30180＝25π(cm)．易错点 忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为(B)A.π3B.2π3C.7π6D.4π312．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)A ．5π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm13．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)A ．2 018πB ．3 024πC ．3 025.5πD ．3 028.5π14．如图，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝2 3 cm. (1)求⊙O 的半径r ；(2)求劣弧AB ︵的长．(结果保留π)解：(1)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝ 3 cm.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠A ＝30°. ∴在Rt △AOC 中， r ＝OA ＝ACcos30°＝2 cm.(2)劣弧AB ︵的长为120×π×2180＝4π3 cm.15．图1，2，…，m 分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和．(用n 表示) 解：(n －2)π. 综合题16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C 处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O ，过点O 的木杆CD 长为260 cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA ，OB 关于CD 对称，AB ︵的长为30π cm.当木杆CD 向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D 到直线l 的距离DF 是多少厘米？中小学教案、试题、试卷精品资料解：∵AB ︵的长为30π cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm ， 根据弧长公式l ＝n πr 180，得30π＝n π×90180，解得n ＝60°.即∠AOB ＝60°，从而∠BOE ＝∠COA ＝30°. ∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝60 3 cm. ∴DE ＝(170＋603)cm. ∴DF ＝(90＋85 3 )cm.第2课时 扇形的面积基础题知识点1 扇形的面积1．已知扇形的半径为6 cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B) A ．36π cm 2B ．12π cm 2C ．9π cm 2D ．6π cm 22．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为(B) A ．48 cm B ．24 cm C ．12 cmD ．6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D) A ．3B ．4C ．5D ．64．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为23π．(结果保留π)5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm ，则此扇形的半径是24cm ，面积是240πcm 2.(结果保留π)6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是5π4．7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积8．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是(A) A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.2π3－ 3D.2π3－329．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是(D) A ．4π－4B ．2π－4C ．4πD ．2π10．(2018·重庆A 卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO. (1)AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝120°； (2)若OA ＝3，求阴影部分的面积．解：连接OP ，则∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △OAP 中，OA ＝3，∴AP ＝3 3. ∴S △OPA ＝12×3×33＝932.∴S 阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.中档题12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A) A.π2m 2B.32π m 2C ．π m 2D ．2π m 213．如图，CD 是半圆O 的直径，弦AB ∥CD ，且CD ＝6，∠ADB ＝30°，则阴影部分的面积是(B) A ．πB.32πC ．3πD ．6π14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标(－2，0)，△ABO 是直角三角形，∠AOB ＝60°.现将Rt △ABO 绕原点O 按顺时针方向旋转到Rt △A ′B ′O 的位置，则此时边OB 扫过的面积为14π．15．(2017·郴州)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD ；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB ， ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC.∵AD ⊥BC ， ∴AD ∥OB. ∴∠DAB ＝∠OBA. ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠DAB ＝∠OAB. ∴AB 平分∠OAD.(2)∵点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴扇形OAB 的面积为120π×32360＝3π.16．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连接OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA ＝OB ＝6，AB ＝6 3. (1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC ，则OC ⊥AB.∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×63＝3 3.在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝3， ∴⊙O 的半径为3.(2)∵OC ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∠COD ＝60°.∴S 扇形OCD ＝60π×32360＝32π.∴S 阴影＝S Rt △OBC －S 扇形OCD ＝12OC ·CB －32π＝932－3π2.综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＋∠AOD ＝∠BOD ＋∠AOD. ∴∠AOC ＝∠BOD. ∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS)． ∴AC ＝BD. (2)根据题意，得S 阴影＝90π·OA 2360－90π·OC 2360＝90π（OA 2－OC 2）360，∴34π＝90π（22－OC 2）360，解得OC ＝1. ∴OC ＝1cm.。
湘教版九年级下册数学同步练习3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图
湘教版九年级下册数学同步练习
3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图
1.下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）
A． B． C． D．
2.一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥3.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）
A． B．
C． D．
4.下列平面图形，不能沿虚线折叠成立体图形的是（）
A．B．
C．D．
5.能把表面依次展开成如图所示的图形的是（）
A．球体、圆柱、棱柱 B．球体、圆锥、棱柱
C．圆柱、圆锥、棱锥 D．圆柱、球体、棱锥
6.如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（）
A．40×40×70 B．70×70×80 C．80×80×80 D．40×70×80
7.下图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为______．
8.对图中的几何体，请你试着画出它的表面展开图及三视图.。