冗余度柔性机器人动力规划研究_胥宏

冗余度柔性机器人动力规划研究胥　宏1,张绪平2,余跃庆2(11成都电子机械高等专科学校机械工程系,四川成都　610031)(21北京工业大学机电学院,北京　100022)摘要:提出了机器人动力规划新策略———基于关节最优初始位形的多目标规划方法。

在保证机器人实现预定运动轨迹的前提下,调节机器人的关节初始位形,尽可能地降低机器人的关节驱动力矩和末端的弹性变形的运动误差。

通过一空间4R机器人的仿真实例验证了这一方法的有效性。

关键词:弹性变形;冗余度机器人;驱动力矩;关节初始位形中图分类号:TH24212 文献标识码:A 文章编号:1007-9483(2002)05-0027-03Optimization of the Joint Torque in A Flexible R edundant ManipulatorXU Hong1,ZHAN G Xu-ping2,YU Yue-qing2(11Chengdu Electromechaninal College,Sichuan Chengdu,610031,China)(21Beijing University of Technology,Beijing,100022,China)Abstract:It discussed the method to optimize the joint torque of flexible redundant manipulators.This optimal objective was the combination of joint torque with endpoint error.The numerical simulation of a4R spatial manipulator showed that the method was effective.K ey w ords:Elastic Deformation;Redundant Manipulator;Driven Torque;Initial Joint Configuration 与刚性机器人相比,柔性机器人具有驱动器小,能耗低,操作速度高,造价低,结构紧凑,载荷质量比大等优点。

目前,利用机器人的冗余度,规划机器人的关节运动规律,优化关节驱动力矩的研究引起了广大学者的兴趣,并取得了一定的成果[1～4]。

文献[5]考虑了杆的柔性并对平面机器人的关节驱动力矩进行了规划,但是规划出机器人的运动规律非常复杂,没有规律性,在实际运动过程中不易控制和实施。

利用机器人的冗余度优化空间柔性机器人的驱动力矩还是空白领域,因此在这方面作些探讨是有必要的。

下面通过一空间4R机器人的仿真算例来验证这一方法。

1　柔性机器人关节驱动力矩文献[6]利用柔性机器人的动力学方程[7],建立了柔性机器人关节驱动力矩的通用数学模型:{τ}=([J D]{¨θ}+[J]{¨q})+{F q}+{Fθ}+{F u}(1)式中:[J D]为n×n惯性矩阵;{Fθ}为包括刚柔耦合力、科氏惯性力及重力等的n×1阶列阵;{¨q}为n×1阶名义角加速度列阵;{¨θ}为n×1阶柔性关节实际角加速度列阵; {τ}为n×1阶关节驱动力矩列阵;{F q}为n×1前(i-1)个关节引起的第i关节转子的牵连惯性力和科氏惯性力; {F u}为杆的柔性对关节柔性动力学方程的n×1影响力列阵。

由式(1)可知:在机器人的结构参数已经确定的条件下,柔性机器人的关节驱动力矩{τ}是由机器人的关节运动规律q, q,¨q及杆和关节的弹性变形决定的,而杆和关节的弹性变形又是由机器人的关节运动q, q,¨q决定的,因此{τ}最终取决于q, q,¨q。

2　冗余度机器人运动分析211　冗余度机器人运动学方程我们常常要求机器人末端能够实现已知的运动规律,即x=φ(q)(2)利用式(2)对时间求一次导数、二次导数可得x=J(q) q(3)¨x=J(q)¨q+J(q) q(4)式中x, x,¨x∈R m分别为机器人末端的位移、速度、加速度;q, q,¨q∈R n分别为关节转角、速度、加速度;J(q)为m×n的雅可比矩阵。

由已知的x, x,¨x求q、 q、¨q,这就是机器人逆运动学问题。

式(2)、(3)、(4)都是m个方程求n个未知数的方程组,对于冗余度机器人,m<n,显然q, q,¨q的解是不确定的,有无穷个解,利用雅可比矩阵J的伪逆可求得关节速度、加速度通解。

形式如下:q=J+ x+(I-J+J) (5)¨q=J+(¨x- Jθ)+(I-J+J) (6)其中(I-J+J) ・,(I-J+J)・・是雅可比矩阵J的零空间矢量,并且是正交于J+ x,J+(¨x- J ・)的齐次解。

在满足一定约束的情况下,选择合适的q,・,・・,这就是冗余度分解,不同的冗余度分解方法对机器人的运动和动力性能将产生不同的影响。

收稿日期:2002-05-29作者简介:胥　宏(1970-),男,四川盐亭人,成都电子机械高等专科学校讲师,主要研究方向为机构学、机械设计。

72・设计与研究・ 胥　宏　张绪平　余跃庆　冗余度柔性机器人动力规划研究212　最优关节初始位形由冗余度机器人的运动学分析可知,对于冗余度机器人,在其运动初始时刻,相对于其末端的初始位置x 0,由冗余度机器人位移方程x =φ(q ),m <n 可知,其关节初始位形q 0是不确定的,有无穷多个解。

选择不同的机器人关节初始位形q 0,按照最小范数解¨q =J +(¨x - J q )规划出的机器人运动规律q , q ,¨q 也将不同,因此我们可以选择最佳的机器人关节初始位形来改善机器人的运动学和动力学性能。

由求解柔性机器人关节驱动力矩的动力学方程(1)可知,在机器人的结构参数已经确定的情况下,其关节驱动力矩最终是由机器人的关节运动q , q ,¨q 决定的。

这样,我们可在机器人名义运动实现预定轨迹条件下,利用机器人的冗余度,优化其关节初始位形q 0,以降低柔性机器人的关节驱动力矩。

3　非线性规划数学模型311　单目标策略机器人的关节驱动力矩是机器人动力学性能的一个重要指标,设计时总希望机器人关节驱动力矩尽可能小。

基于以上分析,就可以得到以降低柔性机器人关节驱动力矩为目标的非线性规划数学模型:min f (q 0)=(∑n1j =1(∑ni =1ωi|τi|)j )/n 1s 1t x 0=φ(q 0)(7)式中q 0=(q 1,…,q n )T 为机器人的关节初始位形,是要规划的优化变量;τi 为第i 关节驱动力矩;n 1为机器人运动过程离散时间点的个数;n 为关节数;ωi 为关节驱动力矩加权系数;ωi 可以根据实际需要灵活选择。

312　多目标策略如果仅以机器人的关节驱动力矩为优化目标,优化机器人的关节初始位形,以此规划机器人的关节运动,结果机器人的关节驱动力矩确实从整体上有大幅度的下降,但是机器人末端由于弹性变形引起的运动误差却有可能增加,将会影响机器人的精确运动。

因此可以根据实际要求,以机器人的某一个或多个运动学、动力学性能指标为优化目标,优化机器人的关节运动,以改善机器人的运动学和动力学性能。

鉴于这些情况,可以选择多个性能指标作为目标进行优化,即:以最小关节驱动力矩为基础,利用关节力矩和机器人末端的弹性变形运动误差的加权线性组合来构造一个多目标函数,优化机器人的关节初始位形,规划机器人的关节运动,使得机器人的关节驱动力矩得到优化的同时,机器人末端的弹性变形运动误差也有所下降。

这样就可以建立多目标函数优化的数学模型:min f (q 0)=β1((∑n1j =1(∑ni =1ωi|τi|)j )/n 1)+β2((∑n1j =1δj)/n 1)s 1t x 0=φ(q 0)(8)式中:q 0=(q 1,…,q n )T 为机器人的关节初始位形,是要规划的优化变量;τi 为第i 关节驱动力矩;δj 为第j 时刻点机器人末端由于各杆和关节的弹性变形引起的运动误差;β1,β2,ωi 为加权系数;n 1为机器人运动过程离散时间点的个数;n 为关节数。

同时,可以根据实际要求,选择更多的机器人运动学和动力学指标,利用各个性能指标加权组合成多目标函数进行优化,从而更合理有效地改善机器人的运动学和动力学性能。

而且式(8)中的加权系数都是可以根据实际情况进行灵活选择的,如令β2=0,就是以最小力矩为优化目标的优化方法;β1=0,就是以机器人末端的运动误差最小为优化目标的优化策略。

显然,这是一个非线性约束优化问题。

文中采用的是优化软件包OPB -1中的一种改进的约束变尺度法程序CVM01[8],这个程序使用非常方便,只需对其输入、输出接口以及关于计算优化目标函数值、约束条件的子程序稍作改动即可。

在上面的计算过程中,算法收敛精度Acc 取为010001,差分步长因子T 取为01005。

4　仿真实例与结论现在对一空间四杆机器人进行计算和分析。

机器人的结构简图如图1所示,此机器人的参数如下:各杆材料均为钢,长为200mm ,杆的横截面为正方形,边长为7mm ,弹性模量为200MPa ,剪切模量为80MPa ,各关节处的集中质量均为20g ,各杆材料密度为780010kg/m 3,末端载荷质量为50g 。

现在仅考虑4根杆的柔性,而不计及关节柔性。

当仅要求机器人末端满足x ,y ,z 方向规定位置时,4R 机器人显然是冗余的,冗余度为1。

机器人在1s 内末端完成自起点到终点间的直线运动,图1　空间四杆机器人结构简图具体运动规律如下:x =a 0+a 1t +a 2t 2+a 3t 3(9)y =b 0+b 1t +b 2t 2+b 3t3(10)z =c 0+c 1t +c 2t 2+c 3t 3(11)式中a i ,b i ,c i (i =0,…,3)为待定参数,由初始和终值时刻的条件决定。

文中假设机器人在运动开始和终值时刻的速度为0,行程为011m 。

选择机器人的原始初始位形为q 0=(210,210,210,210)T ,按照式(8)的形式进行优化,得到了优化的机器人关节初始位形q 0p =(2135,2148,2105,1148)T ,由此规划了机器人的关节运动如图2～图5所示(限于篇幅,这里仅列出了机器人第四关节的转角)。

正是由于机器人的关节运动发生了变化,使得机器人的关节力矩和机器人的弹性变形产生变化。