2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学(文)试卷

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1．复数43a iz i =＋＋为纯虚数，则实数a 的值为A ．34B ．－34C ．43D ．－432．已知集合{}2230A x x x =-->，则集合Z ∩C R A 中元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．2 3．命题“,10x x R e x ∀∈-+≥”的否定是A ．,ln 10x R x x ∀∈++<B ．,10x x R e x ∃∈-+≥C ．,10x x R e x ∀∈-+>D ．,10x x R e x ∃∈-+<4．如右图，是一程序框图，若输出结果为511，则其中的“?”框内应填入 A ．11k > B ．10k > C ．9k ≤ D ．10k ≤5．tan(480)-︒的值为A ．B ．－CD 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为A ．y ＝1xB ．y ＝2x xe e －－ C ．y ＝sinx D ．y ＝lgx7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=．角B 的值为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π8．已知,,x y z R ∈，若1,,,,4x y z --成等比数列，则xyz 的值为A ．－4B ．±4C ．－8D ．±8 9．在△ABC 中，｜AB ｜＝3，｜AC ｜＝2，2AD u u u r －DB uu u r －AC uuu r＝0，则直线AD 通过△ABC 的: A ．垂心 B ．外心 C ．重心 D ．内心 10．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示，则该几何体的体积为A ．2 B．3 CD．311．已知圆22213x y a ＋＝与双曲线2221(0,0)x a b a b>>2y －＝的右支交于A ，B 两点，且直线AB 过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 A． BC ．2D ． 312．已知函数0,(),0.x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩+2，ln 若函数()y f x k =-的零点恰有四个，则实数k 的取值范围为A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．实数x ，y 满足条件40,220,00,x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩＋－－y ＋，则x －y 的最小值为_________.14．已知数列{n a }的通项公式为n a ＝32,n n n n ,⎧⎨⎩－11－为偶数，为奇数.则其前10项和为____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：2x ＝2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34．则抛物线C 的方程为___________16．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，所有侧棱长相等且等于2a ，若其外接球的半径为R ，则aR等于____________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()()2sin()(0,f x x πϕϕπ=+∈的一条对称轴为16x =．（Ⅰ）求ϕ的值，并求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若函数()f x 与x 轴在原点右侧的交点横坐标从左到右组成一个数列{n a }，求数列{11n n a a ＋}的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，E ，F ，D 分别是AA 1，AC ，BB 1的中点，且CD ⊥C 1D ． （Ⅰ）求证：CD ∥平面BEF ；（Ⅱ）求证：平面BEF ⊥平面A 1C 1D ．19．（本小题满分12分） 为了构建和谐社会建立幸福指标体系，某地区决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．（Ⅰ）求研究小组的总人数；（Ⅱ）若从研究小组的公务员和教师中随机选3人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自教师的概率．20．（本小题满分12分）过点C （0的椭圆2221x a b 2y ＋＝（0a b >>）的离心率为12，椭圆与x 轴交于(),0A a 和(),0B a -两点，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅰ）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP uu u r ·OQ uuu r为定值．21．（本小题满分12分）函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D ，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[a ，b]内是单调函数；（2）()f x 在[a ，b]上的值域为[ka ，kb]，则称区间[a ，b]为()y f x =的“和谐k 区间”．（Ⅰ）试判断函数2()g x x =，()ln h x x =是否存在“和谐2区间”，若存在，找出一个符合条件的区间；若不存在，说明理由．（Ⅱ）若函数()x f x e =存在“和谐k 区间”，求正整数k 的最小值；请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做。

则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于点E 、D ．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为6，求OA 的长．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2sin θ＝cos a θ（a ＞0），过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2,,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＝－4＋ （t为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若｜PA ｜·｜PB ｜＝｜AB ｜2，求a 的值．24．（本小题满分10分）已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >． （Ⅰ）当a ＝3时，求不等式()46f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}2x x ≤-，求a 的值．2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试文科数学试题参考答案及评分标准（13） 1- （14）256 （15） y x 22= （16三、解答题17. 解：（Ⅰ）因为()2sin()((0,))f x x πϕϕπ=+∈的一条对称轴为16x =，所以sin()1((0,))6πϕϕπ+=±∈.,((0,))3πϕϕπ=∈.……………………………………………………………………4分所以()2sin()3f x x ππ=+.22,232k x k k ππππππ-++∈Z ≤≤.即5122,66k x k k -+∈Z ≤≤.所以函数()f x 的单调增区间为51[2,2],66k k k Z -+∈.……………………………6分（Ⅱ）（Ⅱ）sin()03x ππ+=,得3x n πππ+=即1()3x n n ∙=-∈N .……………………………………………8分 所以13133n n a n -=-=. ………………………………………………………………10分119113()(31)(31)3132n n a a n n n n +==⨯--+-+, 111111113()3()25583132232n S n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=--++,964n n S n =+.…………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）连结AD , 交BE 于点M , 连结FM . ∵,E D 分别为棱的中点, ∴四边形ABDE 为平行四边形， ∴点M 为BE 的中点， 而点F 为AC 的中点， ∴FM ∥CD .∵CD ⊄面BEF , FM ⊂面BEF , ∴CD ∥面BEF . ……………………6分（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，90ACB ∠= .∴11AC⊥面1BC ，而CD ⊂面1BC . ∴11AC CD ⊥ . 又∵1CD C D ⊥.C 1ABCD A 1 B 1FEM∴CD ⊥面11ACD .由（1）知FM ∥CD ，∴FM ⊥面11AC D. 而FM⊂面BEF ， ∴平面BEF ⊥面11AC D.………………………………………12分 19．解析：（Ⅰ）依题意6416328n m==.解得4,2m n ==,研究小组的总人数为42814++=（人）.………………………………………………4分（Ⅱ）设研究小组中为教师12,aa ，公务员为1234,,,b b b b ，从中随机选3人，不同的选取结果有：121a a b ,122a a b ,123a a b ,124a a b ;112113114123124134,,,,,,a b b a b b a b b a b b a b b a b b212213214223224234,,,,,,a b b a b b a b b a b b a b b a b b 234134124123,,,b b b b b b b b b b b b 共20种. ………7分其中恰好有1人来自教师的结果有：112113114123124134,,,,,,a b b a b b a b b a b b a b b a b b 212213214223224234,,,,,,a b b a b b a b b a b b a b b a b b 共12种. …………………………10分 所以恰好有1人来自教师的概率为123205P==. ……………………………………12分20.解：（Ⅰ）由已知得b =12ca =，得2a =所以，椭圆22143x y +=. …………3分 椭圆的右焦点为(1,0)F ，此时直线l的方程为y =+由223412.yx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得1280,.5x x ==所以12816.55CD x =-==…………………………………………6分（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在. 设直线l的方程为02y kx k k =≠≠且………………………………………7分代入椭圆的方程，化简得2234)0k x ++=（，解得1220,.34x x k -==+或代入直线l的方程，得21224).34k y k-==+或y所以，D的坐标为2(,34k -+224)).34k k -+……………………………………………9分 又直线AC的方程为12x+=，因(2,0)B -，2202BD y k x -==+ 所以直线BD的方程为22).y x =+联立解得2x y k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩即4(Q k +…………………………………………10分 而P的坐标为(P k -所以(OP OQ k ⋅=-(40 4.k ⋅+=+=所以OP OQ ⋅为定值. …………………………………………………………………12分21. 解：（Ⅰ）函数2()g x x =存在“和谐2区间”，如区间[0,2]；函数()ln h x x =不存在“和谐2区间”.下用反证法证明：…………………………………………………………………2分若函数()ln h x x =存在“和谐2区间” [,]a b ，由于()ln h x x =在区间(0,)+∞上单调递增，所以()2,()2,h a a h b b ==所以,a b 为方程()2h x x =的两个不等根，令()()2ln 2x h x x x x ϕ=-=-，则112()2x x x x ϕ-'=-=，由()0x ϕ'>，得1(0,)2x ∈，由()0x ϕ'<得1(,)2x ∈+∞，所以()x ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减，所以11()()ln 1022x ϕϕ=-<≤，即()2h x x <恒成立，故函数()ln h x x =不存在“和谐2区间”. …………………………………………6分（Ⅱ）由于函数()xf x e =为R 上的增函数，若()f x 在[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则必有(),(),f a ka f b kb ==所以,a b 为方程()f x kx =的两个不等根，………………………8分令()()()x v x f x kx e kx k *=-=-∈N ，则()x v x e k '=-，由()0xv x e k '=->知ln x k >，由()0x v x e k '=-<知0ln x k <<，所以函数()v x 在区间(,ln )k -∞单调递减，在区间(ln ,)k +∞上单调递增，所以()(ln )v x v k ≥.…10分由于()v x 在R 上有两个零点，所以ln (ln )ln (1ln )0k v k e k k k k =-=-<，所以k e >，又k 为正整数，所以k 的最小值为3. ………………………………………………………12分 22.解：（Ⅰ）如图，连接OC ，∵OA OB = ，CA CB =，∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线. ……………4分 （Ⅱ）∵ ED 是直径， ∴90ECD∠= ，Rt BCD ∆中，∵1tan 2CED∠=, ∴1.2CD EC =∵AB 是⊙O 的切线 ，∴BCD E ∠=∠， 又 ∵,CBD EBC ∠=∠ ∴CBD∆∽EBC ∆.∴BD BC =CD EC =12. 设BCx =,2BD x =， 又2BC BD BE =⋅，∴ 2(2)x =x ·(12)x +. 解得：120,4xx ==, ∵0BD x => , ∴4BD = .∴4610OA OB BD OD ==+=+=. ………………………………………10分23．解：（Ⅰ） 由2sin cos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>.∴曲线C 的直角坐标方程为2(0)y ax a =>.…………………………………………………2分 直线l 的普通方程为2y x =-. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2(0)y ax a =>中，得28)4(8)0t a t a +++=. 设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ,则有12128),4(8).t t a t t a +=+⋅=+…………………………………………………6分BC∵2PA PB AB ⋅=，∴21212()t t t t -=⋅ 即21212()5t t t t +=⋅.………………………………8分∴2)]20(8),a a +=+解之得：2a =或8a =- (舍去),∴a 的值为2.…………10分 24．解：（Ⅰ）当3a =时，()46f x x +≥可化为236x x --+≥，236x x --+≥或236x x --≤. 由此可得3x ≥或3x -≤.故不等式()46f x x +≥的解集为{33}x x x -≥或≤.…………………………………5分 （Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于,2250.a x x a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤或,2(2)50.a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+⎩≤ 解之得,2.7a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤或,2.3a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤ 因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……10分 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于525x x a x --≤≤,即为不等式组52,25.x x a x a x -⎧⎨--⎩≤≤,解得,3.7a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……10分。