运筹学-4(单纯性表)

0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
θi
(min)
12/2-6 16/0-∞ 15/5-3
X5为输出量 为输出量
钶 0 0 3
XB x3 x4 x2 σj
Cj b 12 16 15/5
(max)
课外作业
题1： ：maxZ = 2x1 + x2 题2： maxz = 2x ：
5x2 ≤ 15 6x + 2x ≤ 24 2 1 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
1
+ 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12 4x ≤ 16 1 s.t 5x2 ≤ 15 x1、x2 ≥ 0
x1 ﹣ 2x2 + 4x1 = ８ ﹣ x３ = 16 ﹣ x4 = 12﹣４x2 12﹣
x５ 令 x３= x５ =0 则可以得到: 则可以得到: x１=４， x２=２, x５=４,; =１４ １４. 此时 Z =１４.
我们得到了最优解。 我们得到了最优解。
基可行解说明
令非基变量x ⑴基（p3, p4, p5） ，令非基变量 1, x2=0，则基变 ， １６, 量x3=８, x4=１６ x5=1２, 可行解 ８ １６ 1 ），令非基变量 令非基变量x ⑵基（p2, p3, p4），令非基变量 1=0, x5=0基变量 基变量 x2=３, x3=２, x4=１６ １６. ３ ２ １６ 非可行解 ⑶基（p1, p2, p4），令非基变量 3=0, x5=0基变量 ），令非基变量x 基变量 令非基变量 x1=２, x2=３, x4=８. ２ ３ ８ 非可行解 ），令非基变量 令非基变量x ⑷基（ p1, p2, p5），令非基变量 3, x4=0，则基变 ， 量x1=４, x２=２, x5=４, ４ ２ ４ 可行解
Cj 钶 XB 0 0 3 x3 x4 b 2
(8-2·3)
2 x1 1 4 0
3 x2 0 0 1(4/4)
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0
0 x5 -0.5 0 1/4
θi (min)
(1-2·0) (2-2·1) (1-2·0) (0-2·0) (0-2·1/4)
②
16
x2 3(12/4) σj (max)
(max)
max z = 2 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 4 x + x = 16 1 4 s.t 5 x2 + x5 = 15
2 x1 2 4 0 2 3 x2 2 0 5 3
X2为输入量 为输入量
Cj 钶 XB 0 0 3 x3 x4 x2 b 2 16 3
2 x1 1 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -0.5 0 1/4 -0.75
θi (min)
2/1=2 16/4=4
3/0=∞
σj (max)
Cj 钶 XB 2 0 3 x1 x4 x2 b 2 8 3
①
根据检验数： 所以可得： 根据检验数：σj= cj- ∑ ci a’ij．所以可得： －（０ ）＝２ σ１＝２－（０×１＋０×４＋３ ×０ ）＝２； 类推σ２＝0，σ３＝０，σ４＝０，σ５＝-０.75, 类推σ 因此σ 选择x 作为输入变量． 因此σ1大，选择 1作为输入变量． 计算θ b’ a’ 计算θ = min { b i / a ik a’ik >0 } 可以在 （2、4、∞）之中选择小的那个值。可以确定 3作 ）之中选择小的那个值。可以确定x 为输出变量． 为输出变量． 这样，在第一列(钶列)用2代替0, 1这一行不 这样，在第一列( 代替0,x 0, 同时把x 这一列其他项数字为零， 变。同时把 1 这一列其他项数字为零，即第二行各 值减去4 这新的一行各值。得到： 值减去4 × x２这新的一行各值。得到：
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 -4 0 -2
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -0.5 2 1/4 0.25
θi (min)
无 8/2=4 3×4=12 ×
σj (max)
仍然根据检验数： 仍然根据检验数：σj= cj- ∑ cia’ij．可 －（2 ）＝0 得：σ１＝２－（2×１＋０×０＋３×０）＝0； 类推σ 类推σ２＝0、σ３＝-2、σ４＝０,σ５＝０.25, 因此σ5大，选择x5作为输入变量。 因此σ 选择 作为输入变量。 计算θ b’ a’ }可以在 计算θ = min { b i / a ik a’ik >0 }可以在 12）之中选择小的那个值。可以确定x （4、4、12）之中选择小的那个值。可以确定 3作 为输出变量． 为输出变量． 这样，在第一列用0代替0， x5 这一行各值除 这样，在第一列用0代替0 同时把x 这一列其他项数字为零， 以2。同时把 5 这一列其他项数字为零，即第二行 0.5× 新行各值; 各值减去 -0.5×x２新行各值; 同样用上述方法得到第三行各值.得到: 同样用上述方法得到第三行各值.得到:
基变量X ⑶ 现我们选 X１代 X３，基变量X１、X２、X４：
x1 ﹣ 2x2 4x1 + x4 = 16 4x2 = 12﹣ x5 12﹣
得到: 此时Z =１３ １３. 得到: x１=２， x２=３, x4=８,; 此时Z =１３.
基变量是X ⑷ 现在我们选 X５代X４，基变量是X１、X２、X５：
Cj 钶 0 0 0 XB x3 x4 x5 b 8 16 12
2 x1 1 4 0 2
3 x2 2 0 4 3
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
θi (min)
8/2=4 16/0= ∞ 12/4=3
σj (max)
因为检验数： 所以可得： 因为检验数：σj = cj - ∑ ci a’ij．所以可得： σ１＝２－（０×１＋０×４＋0 ×０ ）＝２；故 １ ）＝２ －（０ 类推σ 类推 ２＝３，σ３＝０，σ４＝０，σ５＝０．因 作为输入变量． 此σ２大，选择 X２作为输入变量． 计算 θ＝min〔 b’i / a’ik, a’ik >0 〕可以在 min〔 a a 之中选择小的那个值。 （４，∞，3）之中选择小的那个值。可以确定 X5 作为输出变量． 作为输出变量． 这样，在第一列用3代替0 这样，在第一列用3代替0， X２这一行各个除 同时把X 这一列其他项数字为零， 以4。同时把 ２这一列其他项数字为零，即第一行 各值减去2 这新的一行各值。得到： 各值减去2 × X２这新的一行各值。得到：
0 1
(11/4·0)
-2
（-4/2） 4/2）
0.5
（1/2） 1/2）
1
（2/2） 2/2）
0/2） 0/2） /2） （8/2） （0/2） （0/2）
1/2
(0-1/4·-2)
-1/8
(01/4·1/2)
0
(1/41/4·1)
③
σ (max)
j
0
0
-1.5
-0.125
0
因为根据σ 因为根据σj判别准则 ： σj ≤0 时, 达到最优解. 达到最优解.
例题
max Z=2x1+3x2 ≤８ x1+2x2+ ≤８ 4x1 ≤16 4x2+ ≤12 maxZ= 2x1+3x2+ x3 +x4 +x5 x３ x1+2x2+ x３ =８ → 4x1+ x4 =16 x5 =12 4x2+
为基变量： ⑴ 选X3、 X4、 X5为基变量： 、 、 为基变量 =８ x３ + 0x4+ 0x5 =８﹣ x1 ﹣ 2x2
Cj
钶 XB
2 x1 1
3 x2 0
0 x3 0
0 x4 0.25
0 x5 0
(-0.5+ 0.5·1)
θi
(min)
b 4
2 x1
(2+0.5· (1+0.5· (0+0.5· (1+0.5·-2) (0+0.5·0 4) 0) 0) .5)
② ①
0 x5 3 x2
4 2
(31/4·4)
0 0
(01/4·0)
请分别使用单纯性表解上述两个题目， 请分别使用单纯性表解上述两个题目，得到最 优值。 优值。
max z = 2 x1 + 3 x 2 2 x 1 + 2 x 2 ≤ 12 4 x ≤ 16 1 s .t 5 x 2 ≤ 15 x 1、 x 2 ≥ 0
Cj 钶 0 0 0 XB x3 x4 x5 σj b 12 16 15
运筹学基
第四章 单纯性表
你们手中教材p023第2章 主要内容——你们手中教材 第 章 ★ 单纯性法一般原理 ★ 表格单纯性法 ★ 借助人工变量求初始的基可行解——(非 非
重点) 重点 非重点) ★ 单纯性表与线性规划的讨论——(非重点 非重点 非重点) ★ 改进单纯性表——(非重点 非重点
x３ + 0x4 + 0x5 = ８ ﹣ 0x３ + 0x３ + 令 x1 x3 x4 + 0x5 0x4 + 4x2 = x５ = 0 =２, x4 = x1 ﹣ 2x2 = 16 ﹣ 4x1 = 12 ﹣ x5 则可以得到: 则可以得到: 此时Z =９ 16, x２=３; 此时Z =９. = ８﹣ x３ 令 x３= x５ = 0 则可以
单纯性法的基本思路；根据问题的标准，从 可行域中的某个基可行解(一个顶点)开始，转 换到另一个基可行解(顶点)，当目标函数达到 最大值时，问题就得到了最优解。具体单纯性法 解法步骤如下： 建立基本可行解 计算变量的检验数 判断是否最优 若不是最优解，换基 计算新的基本可行解 迭代计算直到求得最优解或可判断无最优解为 止。