圆锥曲线单元练习

圆锥曲线姓名 班级 命题： 马昕一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1.（10四川）抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（）A.1B. 2C. 4D. 82.（08宁夏）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）3.（09天津）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 2±= B. x y 2±= C. x y 22±= D.x y 21±=4.（08浙江）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（）A.3B.5C.3D.55.（11辽宁）已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．34B ．1C ．54D ．746.（12江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若||||||1211B F F F AF 、、成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A.14B.C.12 D.7．（09山东）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ） A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =8.（12新课标）设21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x E ：的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21 B.32 C.43 D.549．（08天津）设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 10. (07全国Ⅱ)设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D 11.（08陕西）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A B ．C D ．312. (10全国Ⅱ)已知椭圆C ：22x a+22by =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则=k （）A.1B.2 C.3 D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.（05上海）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是___ __ __.14.（09宁夏）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线x y =与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 .15.（11山东）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．16.（09辽宁）以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知以原点O 为中心的双曲线C 经过)522()20(，、，-B A 两点.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程； （Ⅱ）求双曲线C 的渐近线方程和准线方程.18．（本题满分12分）椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，离心率21=e，焦点F 1、F 2在x 轴上，A F 1的延长线交椭圆E 于B. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求△ABF 219．（本题满分12分，11江西19）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（Ⅰ）求该抛物线的方程； （Ⅱ）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．20. (本题满分12分，09安徽文18) 已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为33，以原点为圆心、椭圆半短轴为半径的圆与直线2+=x y 相切.（Ⅰ）求a 与b ； （Ⅱ）设该椭圆的左、右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 于点P. 求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并说明曲线类型.21．（本题满分12分，08湖北文20）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点为)0,2(1-F ,)7,3()0,2(2P F ，点在双曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0，2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程.22. (本题满分12分，07年海南、宁夏理19)在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量+ 与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.高一数学素质测试题——圆锥曲线（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13.12080x 22=+y . 14．x y 42=． 15. 134x 22=-y ． 16． 9 ． 三、解答题17. 解：（Ⅰ）解法一：根据题意知，双曲线的顶点在y 轴上，2=a ，设双曲线C 的标准方程为14222=-bx y ，则 1)2(4)52(222=--b，.12=∴b ∴双曲线C 的标准方程为.1422=-x y 解法二：设双曲线C 的方程为)0(122<=+mn ny mx，则⎩⎨⎧=+=120414n m n ，.41,1=-=∴n m ∴双曲线C 的方程为1422=+-y x ，即.1422=-x y （Ⅱ）由0422=-x y 得x y 2±=， ∴双曲线C 的渐近线方程为x y 2±=.5,1,222=+===b a c b a ，∴双曲线C 的准线方程为.5542±=±=c a y .18.解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，根据题意得,2111942222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a b b a 解之得.12,1622==b a所以椭圆E 的方程为1121622=+y x . （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，)0,2(1-F ，)02(2，F ，x AF ⊥2轴.所以直线AB 的斜率为43，其方程为)2(43+=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=484323422y x y x 得0271272=--y y . 已知31=y ，由71221=+y y 得792-=y ，.7607302||212=⨯=-⋅=∴∆y y c S ABF 解法二：由（Ⅰ）知，)0,2(1-F ，)02(2，F ，x AF ⊥2轴.所以直线AB 的斜率为43，其方程为)2(43+=x y ，即0643=+-y x . 设直线AB 的倾斜角为α，则.2516tan 11cos ,43tan 22=+==ααα 椭圆E 的通径622==a b H ，离心率21=e ， .75025164116cos 1||22=⨯-=-=∴αe HAB点)02(2，F 到直线AB 的距离512)4(3|606|22=-++-=d ，.76051275021||212=⨯⨯=⋅=∴∆d AB S ABF 19. 解：（Ⅰ）直线AB 的方程是)2(22p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 2)2(222得05422=+-p px x ，所以4521p x x =+. 由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，4=∴p .抛物线方程为：x y 82=.解法二：设直线AB 的倾斜角为α，则22tan =α，从而98tan 1tan sin 222=+=ααα..49892sin 22=∴=⋅==p p p AB ，α所以抛物线方程为：x y 82=.（Ⅱ）由4=p ，05422=+-p px x 化简得0452=+-x x ，所以,4,121==x x 24,2221=-=y y ，从而A(1,22-)，B(4,24).设)24,4()22,1()(33λ+-==y x ，)2422,41(λλ+-+=，又3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ）， 整理得14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或.20. 解：（Ⅰ）圆心)0,0(O 到直线02=+-y x 的距离.22|200|=+-=d根据题意，.2===d r b又离心率33122=-=a b e ，解之得.3=a.23==∴b a ，（Ⅱ）椭圆方程为12322=+y x ，1F 的坐标为)01(，-，直线1l 的方程为1=x . 连结1MF ，因为线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点为M ，所以||||1MP MF =.所以点M 的轨迹是以1F 为焦点，以直线1=x 为准线的抛物线，其方程为.042）（≠-=x x y21.解：(Ⅰ)22)7(1)7(5||||2222212=+-+=-=PF PF a ，.2,22222=-==∴a c b a∴双曲线C 的方程为.12222=-y x (Ⅱ)设直线l 的方程为2+=kx y ，由⎩⎨⎧=-+=2222y x kx y 得064)1(22=++-kx x k …………………………① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,∴⎩⎨⎧<<-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222k k k k k ，＞ ).3,1()11()13( ，，---∈∴k ………………………………………②设)()(2211y x F y x E ，，，，则由①式得,16,14221221-=--=+k x x k k x x 于是 |1|32214)(1||222212212k k k x x x x kEF --+=-++=∙∙而原点O 到直线l 的距离212kd +=,∴S △OEF=.|1|322|1|32211221||21222222k k k k k k EF d --=--++=∙∙∙∙若S △OEF ＝22，即,0222|1|3222422=--⇔=--k k k k 解得2±=k ,满足②. 故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为22+=x y 和.22+-=x y22. 解：（Ⅰ）直线l 的方程为.2+=kx y 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0. 解之得：k ＜22-或k ＞22.∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （Ⅱ）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ， ).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(00y x =由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线. 1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200ab x y k -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k， .22=∴k 由（Ⅰ）可知22=k时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .。