长记忆时间序列模型及应用教学案例
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2
0.1826
AIC1193.711, BIC1211.972
对残差的检验
Stat
Q(10) Q(20) Q(50) Q(100)
6.181 4
17.22 65
45.45 11
98.95 63
q=14
1.425 2
Newey-West 1.410
(1994)
1
p-Value 0.7998 0.6382 0.6562 0.5107 0.2452 0.2607
73, 5-59.
Beran, J. (1994), Statistics for LongMemory Processes. Chapman & Hall.
记忆参数d取不同值时
当 0d1/2 时对应的是二阶平稳的长记忆过 程，谱密度函数在0点奇异；
当 1/2d0时对应的过程称为反持续（antipersistent）过程，谱密度函数在0点处等于0；
当
时，对应的是短记忆ARMA过程,
谱密度d 函0 数在0点处为正数；
当
时，对应的过程非平稳，方差无
穷大d，1包/2含了单位根过程。
k~ck2d1, d0
显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律 递减（Sowell 1992; Chung 1994)
平稳解谱密度函数的性质
f () 1eiw 2d f *() [4sin2(/2)]d f *(),
, d (1/2,1/2);
所以，
f()~ G 2 d, a s 0
总结与讨论
长记忆过程的特征与模型； 长记忆的波动率模型； 长记忆与结构变化；
一些文献
Baillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in
econometrics”, Journal of Econometrics,
500
600
700
800
(b) Log Range
100
200
300
400
500
600
700
800
估计的谱密度函数
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
估计的ARMA模型
经过模型选择阶数得到
(10.9623B)(yt 4.0875)(10.7248B)at
修正的R/S统计量
1
k
k
QT
T (q) m1kaxT
(yj
j1
yT
)
min 1kT
(yj
j1
yT );
2
T
(q)
1
T
T
(yt
t1
yT )2
2 T
q
T
j(q) (yt
j1
t j1
yT )(ytj
yT)
q
0 2 j(q) j
j1
修正的R/S统计量的渐近分布
对于短期过程
T1/2QT V
p1(B)(1B)yt q(B)at, p1(z)0, for |z|1
单位根的检验
Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981);
Phillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)；
Perron-Ng (PNຫໍສະໝຸດ Baidu检验(Perron & Ng 1996)；
5. 一些应用
对宏观经济变量的实证研究
Baillie & Bollerslev (1994): 汇率 Crato & Rothman (1994), 多个宏观变量； Diebold & Rudebusch (1989): GNP; Dijk et al. (2000): 失业率 Hassler & Wolters (1995): CPI; Tsay （2000）实际利率；
因此自相关函数绝对可和，
| k |
k
平稳过程的谱函数
谱密度函数是定义在 [ , ] 上的偶函数且
满足 R k f()eikd f()co s(k)d,
k0 , 1 , 2 ,
如果自协方差函数绝对可加，
f() 2 1k R ke i k, f(0 ) 2 1k R k
k~ck2 d 1 , ask
此时自相关函数不再绝对可和，
n
lim
n
|
jn
j
|
基于谱函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
f()~ G 2 d , a s 0
基于自相关函数和基于谱函数的定义是 等价的。
短程关联和长程关联*
强相合过程（strong mixing）被称为短程 关联（short range dependency）过程 (Rosenblatt 1956);
(yt
yT)1mkinT
(yt
t1
yT)
sT
T1
T t1
(yt
1/2
yT)2
重新标度极差统计量的性质
对于短期关联过程， QT Op(T1/2)
对于长记忆过程， QT Op(TH)
其中Hd1/2称为Hurst指数
R/S 分析
在log QT 对 lo g T 的散点图上，短期记忆 过程的点应分布在斜率1/2的直线附件， 长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2.
0.0022
4. ARFIMA模型
模型的形式
分数次整合ARMA模型
(B )( 1 B )d (y t) (B )a t
或者
(1B)d(yt)ut ((B B))at
称之为I(d)过程，记为yt~A R FIM A (p,d,q)
分数次差分算子
(1B)d jBj
j0
其中
01, j
取对数之后的全距序列
-2 -2.5
-3 -3.5
-4 -4.5
-5 -5.5
-6 1997
1999
2002
2005
2007
2010
单位根检验的结果
ADF-t(10) ADF-t(20) PP-t PN-t KPSS
Range -8.5557*** -5.8614*** -30.9954*** -5.4938*** 3.9385***
(B)(yt ) (B)at (B) 11B pBp, (B) 11B qBq,
其中{ a t } 是白噪声
E(at)0, E(at2)2,
E(atas)0, for t s
ARMA模型的平稳性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1，那么ARMA模型定义 了唯一的二阶平稳解
yt ((B B))at j 0jatj
2 0.1849
AIC3743.20, BIC3761.46
ARMA(1,1)残差的Box-Ljung检验
Q(10) Q(20) Q(50)
Stat
31.4 55 4
43.5 70 1
69.4 81 8
pValu
e 0.0003
0.0017
0.0355
2. 长记忆的概念
基于自相关函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
ARMA模型的可逆性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1 ，那么ARMA模型 能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归 模型的形式
at ((B B))(yt) j 0j(ytj)
ARMA模型的自相关特征
任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数 都是呈指数递减的，即
k~ce k, a sk
长记忆时间序列模型及应用
王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任
2010年6月
主要内容
ARMA模型的回顾； 长记忆的概念； 长记忆的检验方法； ARFIMA模型； 一些应用；
1. ARMA模型的回顾
ARMA模型的形式
ARMA(p,q)模型
其中V是定义在[0,1] 上的布朗桥的全距
E(V) /21.25 Std(V) (3)/60.27
对长记忆性的判断
对于长记忆过程
T1/2QT p
因此利用该统计量可以对长记忆过程进 行单边的检验。
对数全距序列的修正的R/S分析
q=14 Newey-West (1994) Andrew(1991)
ARMA模型的谱密度函数
f
*( )
2 a
2
(ei ) (ei )
2
,
;
于是
f
*(0)
2 a
(1)
2
0
2 (1)
ARMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 最小二乘估计；
单位根过程
如果 (1) 0 ，那么 { y t } 称为单位 根过程，此时为非平稳过程。
比如如下的I(1)过程：
模拟分数次白噪声的数据
(1 B)0.3 yt at ,
at ~ i.i.d .N (0,1)
ARFIMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 非线性最小二乘估计； Baillie (1996)
对对数全距序列的估计
(1B)0.4403(yt 4.0173) (10.1646B)at
V-stat p-Value
4.2672 6.6049 3.4653
0.0000 0.0000 0.0000
对ARMA(1,1)残差的R/S分析
V-
p-
st Valu
at
e
q=14
2.47 86
0.0002
NeweyWest (1994)
2.16 61
0.0030
Andrew(1 991)
2.20 72
根据回归方法得到对Hurst指数的估计。
对对数全距序列的R/S分析
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
4
5
6
7
8
9
对应的斜率估 计为0.8987，
因此d 的估计 为0.3987
R/S分析方法的不足
R/S分析方法其实对时间序列当中的短程 记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对 于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S 方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情 形超过1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）
Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检 验 (Kwitkowski et al. 1992)；
上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 1997
1999
2002
2005
2007
2010
(d)(1d)j!(j1d)j1
j1d j
j
(jd) ~c (d)(j1)
j1d
当 d1/2 时该过程可逆。
平稳解的存在性
当 d 1/2时，该过程存在着平稳解，能够 写成
yt(1B)dut u k tk
k0
其中
k( d()k (kd)1)~ckd1
平稳解的自相关函数特征
对于平稳的情况，自相关函数满足
lnRange -7.3599*** -5.4457*** -27.875*** -5.0333*** 4.6528***
自相关函数图形
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
(a) Range
100
200
300
400
不满足强相合性的过程称为长程关联 （long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005)
长记忆过程属于这里的长程关联过程。
3. 长记忆的检验
重新标度极差统计量
重新标度极差（rescaled-range）统计量
其中
QT RT /sT
k
k
RT
max 1kT t1
0.1826
AIC1193.711, BIC1211.972
对残差的检验
Stat
Q(10) Q(20) Q(50) Q(100)
6.181 4
17.22 65
45.45 11
98.95 63
q=14
1.425 2
Newey-West 1.410
(1994)
1
p-Value 0.7998 0.6382 0.6562 0.5107 0.2452 0.2607
73, 5-59.
Beran, J. (1994), Statistics for LongMemory Processes. Chapman & Hall.
记忆参数d取不同值时
当 0d1/2 时对应的是二阶平稳的长记忆过 程，谱密度函数在0点奇异；
当 1/2d0时对应的过程称为反持续（antipersistent）过程，谱密度函数在0点处等于0；
当
时，对应的是短记忆ARMA过程,
谱密度d 函0 数在0点处为正数；
当
时，对应的过程非平稳，方差无
穷大d，1包/2含了单位根过程。
k~ck2d1, d0
显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律 递减（Sowell 1992; Chung 1994)
平稳解谱密度函数的性质
f () 1eiw 2d f *() [4sin2(/2)]d f *(),
, d (1/2,1/2);
所以，
f()~ G 2 d, a s 0
总结与讨论
长记忆过程的特征与模型； 长记忆的波动率模型； 长记忆与结构变化；
一些文献
Baillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in
econometrics”, Journal of Econometrics,
500
600
700
800
(b) Log Range
100
200
300
400
500
600
700
800
估计的谱密度函数
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
估计的ARMA模型
经过模型选择阶数得到
(10.9623B)(yt 4.0875)(10.7248B)at
修正的R/S统计量
1
k
k
QT
T (q) m1kaxT
(yj
j1
yT
)
min 1kT
(yj
j1
yT );
2
T
(q)
1
T
T
(yt
t1
yT )2
2 T
q
T
j(q) (yt
j1
t j1
yT )(ytj
yT)
q
0 2 j(q) j
j1
修正的R/S统计量的渐近分布
对于短期过程
T1/2QT V
p1(B)(1B)yt q(B)at, p1(z)0, for |z|1
单位根的检验
Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981);
Phillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)；
Perron-Ng (PNຫໍສະໝຸດ Baidu检验(Perron & Ng 1996)；
5. 一些应用
对宏观经济变量的实证研究
Baillie & Bollerslev (1994): 汇率 Crato & Rothman (1994), 多个宏观变量； Diebold & Rudebusch (1989): GNP; Dijk et al. (2000): 失业率 Hassler & Wolters (1995): CPI; Tsay （2000）实际利率；
因此自相关函数绝对可和，
| k |
k
平稳过程的谱函数
谱密度函数是定义在 [ , ] 上的偶函数且
满足 R k f()eikd f()co s(k)d,
k0 , 1 , 2 ,
如果自协方差函数绝对可加，
f() 2 1k R ke i k, f(0 ) 2 1k R k
k~ck2 d 1 , ask
此时自相关函数不再绝对可和，
n
lim
n
|
jn
j
|
基于谱函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
f()~ G 2 d , a s 0
基于自相关函数和基于谱函数的定义是 等价的。
短程关联和长程关联*
强相合过程（strong mixing）被称为短程 关联（short range dependency）过程 (Rosenblatt 1956);
(yt
yT)1mkinT
(yt
t1
yT)
sT
T1
T t1
(yt
1/2
yT)2
重新标度极差统计量的性质
对于短期关联过程， QT Op(T1/2)
对于长记忆过程， QT Op(TH)
其中Hd1/2称为Hurst指数
R/S 分析
在log QT 对 lo g T 的散点图上，短期记忆 过程的点应分布在斜率1/2的直线附件， 长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2.
0.0022
4. ARFIMA模型
模型的形式
分数次整合ARMA模型
(B )( 1 B )d (y t) (B )a t
或者
(1B)d(yt)ut ((B B))at
称之为I(d)过程，记为yt~A R FIM A (p,d,q)
分数次差分算子
(1B)d jBj
j0
其中
01, j
取对数之后的全距序列
-2 -2.5
-3 -3.5
-4 -4.5
-5 -5.5
-6 1997
1999
2002
2005
2007
2010
单位根检验的结果
ADF-t(10) ADF-t(20) PP-t PN-t KPSS
Range -8.5557*** -5.8614*** -30.9954*** -5.4938*** 3.9385***
(B)(yt ) (B)at (B) 11B pBp, (B) 11B qBq,
其中{ a t } 是白噪声
E(at)0, E(at2)2,
E(atas)0, for t s
ARMA模型的平稳性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1，那么ARMA模型定义 了唯一的二阶平稳解
yt ((B B))at j 0jatj
2 0.1849
AIC3743.20, BIC3761.46
ARMA(1,1)残差的Box-Ljung检验
Q(10) Q(20) Q(50)
Stat
31.4 55 4
43.5 70 1
69.4 81 8
pValu
e 0.0003
0.0017
0.0355
2. 长记忆的概念
基于自相关函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
ARMA模型的可逆性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1 ，那么ARMA模型 能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归 模型的形式
at ((B B))(yt) j 0j(ytj)
ARMA模型的自相关特征
任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数 都是呈指数递减的，即
k~ce k, a sk
长记忆时间序列模型及应用
王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任
2010年6月
主要内容
ARMA模型的回顾； 长记忆的概念； 长记忆的检验方法； ARFIMA模型； 一些应用；
1. ARMA模型的回顾
ARMA模型的形式
ARMA(p,q)模型
其中V是定义在[0,1] 上的布朗桥的全距
E(V) /21.25 Std(V) (3)/60.27
对长记忆性的判断
对于长记忆过程
T1/2QT p
因此利用该统计量可以对长记忆过程进 行单边的检验。
对数全距序列的修正的R/S分析
q=14 Newey-West (1994) Andrew(1991)
ARMA模型的谱密度函数
f
*( )
2 a
2
(ei ) (ei )
2
,
;
于是
f
*(0)
2 a
(1)
2
0
2 (1)
ARMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 最小二乘估计；
单位根过程
如果 (1) 0 ，那么 { y t } 称为单位 根过程，此时为非平稳过程。
比如如下的I(1)过程：
模拟分数次白噪声的数据
(1 B)0.3 yt at ,
at ~ i.i.d .N (0,1)
ARFIMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 非线性最小二乘估计； Baillie (1996)
对对数全距序列的估计
(1B)0.4403(yt 4.0173) (10.1646B)at
V-stat p-Value
4.2672 6.6049 3.4653
0.0000 0.0000 0.0000
对ARMA(1,1)残差的R/S分析
V-
p-
st Valu
at
e
q=14
2.47 86
0.0002
NeweyWest (1994)
2.16 61
0.0030
Andrew(1 991)
2.20 72
根据回归方法得到对Hurst指数的估计。
对对数全距序列的R/S分析
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
4
5
6
7
8
9
对应的斜率估 计为0.8987，
因此d 的估计 为0.3987
R/S分析方法的不足
R/S分析方法其实对时间序列当中的短程 记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对 于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S 方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情 形超过1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）
Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检 验 (Kwitkowski et al. 1992)；
上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 1997
1999
2002
2005
2007
2010
(d)(1d)j!(j1d)j1
j1d j
j
(jd) ~c (d)(j1)
j1d
当 d1/2 时该过程可逆。
平稳解的存在性
当 d 1/2时，该过程存在着平稳解，能够 写成
yt(1B)dut u k tk
k0
其中
k( d()k (kd)1)~ckd1
平稳解的自相关函数特征
对于平稳的情况，自相关函数满足
lnRange -7.3599*** -5.4457*** -27.875*** -5.0333*** 4.6528***
自相关函数图形
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
(a) Range
100
200
300
400
不满足强相合性的过程称为长程关联 （long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005)
长记忆过程属于这里的长程关联过程。
3. 长记忆的检验
重新标度极差统计量
重新标度极差（rescaled-range）统计量
其中
QT RT /sT
k
k
RT
max 1kT t1