青岛版(五四)数学九年级下《二次函数》知识点复习

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二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质:(上加下减)3. ()2y a x h =-的性质:(左加右减)4. ()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧;当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。

九年级二次函数知识点

九年级二次函数知识点

九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数:y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a≠0。

一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。

标准形式:y = ax^2 + bx + c,常用于确定二次函数的参数和特征。

顶点形式:y = a(x - h)^2 + k,其中(h,k)为函数的顶点坐标。

描点法:通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向:- 当a>0时,二次函数开口向上;- 当a<0时,二次函数开口向下。

2. 对称轴:对称轴是二次函数图像的镜像轴,其方程为x = -b/(2a)。

3. 零点:零点是指使二次函数取值为0的x的值,即方程ax^2 + bx + c = 0的解。

4. 最值:- 当a>0时,二次函数有最小值,最小值为函数的顶点值;- 当a<0时,二次函数有最大值,最大值为函数的顶点值。

三、二次函数的性质1. 函数增减性:- 当a>0时,二次函数在对称轴两侧递增;- 当a<0时,二次函数在对称轴两侧递减。

2. 函数的最值:- 当a>0时,函数的最小值为顶点值;- 当a<0时,函数的最大值为顶点值。

3. 零点与因式分解:二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得,形式为(x - x1)(x - x2) = 0。

4. 判别式:判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。

- 当Δ > 0时,有两个不相等的实根,函数图像与x轴相交于两点;- 当Δ = 0时,有两个相等的实根,函数图像与x轴相切于一个点;- 当Δ < 0时,无实根,函数图像与x轴无交点。

四、二次函数的应用1. 抛物线运动:二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹,如抛体自由落体运动的轨迹等。

2. 最值问题:对于一些实际问题,二次函数可以用来求解最值问题,例如求解最大面积、最小花费等。

青岛版九年级下册5.4二次函数的图象和性质

青岛版九年级下册5.4二次函数的图象和性质

《二次函数y= a (x-h)2的图象和性质》(教学设计)一、教学目标1.通过画二次函数y= a (x-h)2 图象体会抛物线的对称性。

2.结合图象观察探索y= a (x-h)2 性质,对比总结与y= ax2 的关系,体会数形结合及转化思想。

3.能利用图象和性质解决有关问题二、教学重点:观察探索二次函数y= a (x-h)2 图象和性质,三、教学难点:利用二次函数y= a (x-h)2图象观察总结性质并运用四、本章的关键:关键在于数形结合思想的建立,理解所学过的二次函数y= a x2的图象及性质五、教学方法:分组合作、启发引导、自主探究、学生展示六、课时安排:一课时七、教学过程环节一【导入新课】师:同学们,我们刚刚学习完了二次函数y= a x2的图象及性质,它是怎样平移得到二次函数y= a x2 + k 的?(学生答)通过沿y轴上下平移而得。

今天我们将学习y= a (x-h)2的图象和性质,猜想会与y= a x2有怎样关系?【板书】《二次函数y= a (x-h)2的图象和性质》师:同学们,下面我们来共同回顾本章所学y= a x 2的图象和性质,学生在黑板上画出草图,师引导学生填写图表并进行点拨1. 注意是研究图象的开口方向,对称轴,顶点坐标2. 对比二次函数y= a x 2 + k 观察顶点的变化。

环节二【课内探究】师:请同学们根据完成的课前延伸的内容,第二题:用描点法.在同一直角坐标系中分别画出221x y -=,21(1)2y x =--和2)1(21+-=x y 的图象.。

两人一组合作,对比完成的图象异同点并有什么疑惑?生反映图象不对称,为什么出现这样情况?师:根据巡视和小组的反映,我选取了几个图象照在白板上,请同学们看看,大家学二次函数y= a x 2时,图象性质左右是对成的,反过来再看你们列表中的数据是关于是对称的,因而图象画出是对称的,大家看怎样修正呢?生说在某个数左、右两边把图象补成对称的,师:结合纠正完善后的图象,类比二次函数y= a x 2学习完成课内探究(一)、(二)题,完成的小组可以展示在黑板和白板上,时间十五分钟。

青岛版(新)数学九年级下册 5.4二次函数的图象和性质

青岛版(新)数学九年级下册 5.4二次函数的图象和性质

青岛版(新)数学九年级下册 5.4 二次函数的图象和性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax2+bx+c(a eq0)的函数,其中a、b、c是实数且a不等于零。

二次函数的图象是一个平面曲线,称为抛物线。

抛物线可以开口向上、向下或者是一个平行于 x 轴的线段。

2. 二次函数的图象2.1 平移二次函数的图象可以通过平移来得到不同的位置。

对于二次函数y=ax2+bx+c,平移的规律如下:•左右平移:将y=ax2+bx+c中的x替换为x−ℎ,其中ℎ代表水平方向上的平移量。

正数表示向右平移,负数表示向左平移。

•上下平移:将y=ax2+bx+c中的y替换为y−k,其中k代表垂直方向上的平移量。

正数表示向上平移,负数表示向下平移。

2.2 变形除了平移之外,二次函数的图象还可以通过拉伸、压缩、翻转等操作来得到不同的形状。

•拉伸、压缩:将y=ax2+bx+c中的a替换为ka,其中k是一个正数。

k>1时,函数图象被纵向拉伸;0<k<1时,函数图象被纵向压缩。

•翻转:将y=ax2+bx+c中的a替换为−a,图象将会关于 x 轴翻转。

3. 二次函数的性质3.1 零点二次函数的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标。

对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,可以使用求根公式来计算其零点。

求根公式为:$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$其中b2−4ac称为判别式。

当判别式大于零时,二次函数有两个不相等的实数根;当判别式等于零时,二次函数有两个相等的实数根;当判别式小于零时,二次函数没有实数根。

3.2 顶点二次函数的顶点是函数图象的最高点或者最低点。

对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,其顶点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$,纵坐标为 $y = -\\frac{b^2}{4a} + c$。

3.3 对称轴二次函数的对称轴是函数图象的对称轴,它与抛物线的顶点有关。

青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》教学设计1

青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》教学设计1

青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》教学设计1一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是青岛版数学九年级下册第五章第四节的内容。

这部分内容主要介绍了二次函数的图象和性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。

本节课的内容是学生学习二次函数的重点和难点,通过本节课的学习,使学生能够熟练掌握二次函数的图象和性质,并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识,对二次函数有了初步的认识。

但学生在理解二次函数的图象和性质方面还存在一定的困难,特别是对于开口方向、对称轴等概念的理解。

因此,在教学过程中,需要引导学生通过观察、操作、思考等方式,深入理解二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.知识与技能目标:使学生能够掌握二次函数的图象和性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。

2.过程与方法目标:通过观察、操作、思考等方式,培养学生的观察能力、动手能力、思维能力。

3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自信心,使学生感受到数学的美。

四. 教学重难点1.教学重点:二次函数的图象和性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。

2.教学难点:开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等概念的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法:通过创设情境,引导学生观察、操作、思考,激发学生的学习兴趣。

2.互动教学法:教师与学生、学生与学生之间的互动,促进学生的主动学习。

3.实践教学法:通过动手操作,使学生深入理解二次函数的图象和性质。

六. 教学准备1.教师准备:备好PPT,准备相关教学素材。

2.学生准备:预习课本内容,了解二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识。

七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过PPT展示一些实际问题,引导学生运用二次函数的知识解决问题,从而引出本节课的内容。

2.呈现(10分钟)教师通过PPT呈现二次函数的图象和性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等,同时进行讲解。

九年级二次函数数学知识点

九年级二次函数数学知识点

九年级二次函数数学知识点数学是一门既有深度又有广度的学科,而在九年级的数学课程中,学生将接触到二次函数这一重要的数学概念。

二次函数是一种非常常见的函数类型,在实际生活中也有着广泛的应用。

在本文中,我将为大家详细介绍九年级二次函数的相关知识点。

1. 二次函数的定义和表示方式二次函数是指形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数。

其中,a、b、c 是常数。

在二次函数中,x的最高次数为2,且常数a不等于0。

函数的图象通常是一条平滑的弧线,开口方向由系数a的正负决定。

2. 二次函数的图像特征通过二次函数的图像特征,我们可以更好地了解和分析该函数的性质。

首先,二次函数的图像通常为一条弧线,可能是一个开口向上的抛物线,也可能是一个开口向下的抛物线。

其次,当二次函数开口向上时,我们称之为正二次函数;当开口向下时,我们称之为负二次函数。

3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像上有一个特殊的点,称为顶点,记作(h,k)。

其中,h表示顶点的横坐标,k表示顶点的纵坐标。

通过顶点,我们可以确定二次函数的开口方向和最值。

对称轴是二次函数图像的一条线,通过顶点并垂直于x轴。

对称轴将图像分成两半,每一半关于对称轴对称。

4. 二次函数的零点和因式分解二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。

我们可以通过求解二次方程来求得零点。

而对于一般的二次函数,我们可以使用配方法、因式分解或求根公式等方法来求解零点。

其中,因式分解是一种常用的方法,将二次函数表示成两个一次函数的乘积,并使其中一个一次函数为零,可以很容易地得到零点。

5. 二次函数的解析式和图象转化当我们了解了二次函数的特性后,就可以通过一些操作来改变二次函数的图象。

例如,可以通过改变常数a来调整开口的大小和方向;通过改变常数c来改变图象的纵向平移;通过改变h和k 来实现图象的横向平移和纵向平移;通过改变b来实现图象的对称轴平移。

6. 二次函数的最值由于二次函数的图象是一个抛物线,它必然有一个最值。

初三数学二次函数知识点复习总结

初三数学二次函数知识点复习总结

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质:上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。

4.()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,.五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a =-时,y 有最小值244ac b a -.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k=-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k=---;2. 关于y 轴对称2y a x b xc =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k=-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y a x b xc =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k=-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+.5. 关于点()m n ,对称()2y a x h k=-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:二次函数图像参考:十一、函数的应用2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。

五四制初中数学《二次函数》知识点

五四制初中数学《二次函数》知识点

五四制初中数学《二次函数》知识点二次函数是初中数学中十分重要的一个知识点,它是一种包含平方项的函数形式。

本文将详细介绍二次函数的性质、图像与选点以及求解问题的方法。

一、二次函数的定义与性质:1.二次函数的定义二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

其中,a称为二次函数的二次项系数,b称为一次项系数,c称为常数项。

2.二次函数的性质:a)当a>0时,二次函数的图像开口向上,称为“上凸”;b)当a<0时,二次函数的图像开口向下,称为“下凸”;c)当a≠0时,二次函数的图像关于y轴对称;d)当二次函数的对称轴为直线x=-b/2a;e)当二次函数的二次项系数a的绝对值越大,图像开口越窄。

二、二次函数的图像与选点:1.绘制二次函数的图像:绘制二次函数的图像通常需要选取合适的点来画出图像的形状。

其中,可以选取顶点、交点和坐标轴上的点等。

2.顶点:二次函数的顶点是图像的最高点或最低点,可以通过以下公式计算:顶点的x坐标为-b/2a,将该x值代入函数中得到y坐标。

3.交点:二次函数的图像通常与坐标轴及其他直线交于一些点,可以通过以下方法计算:令f(x)=0,求出方程的解,得到与x轴的交点;令x=0,求出f(x)的值,得到与y轴的交点;已知函数表达式和直线方程,联立求解,得到交点的坐标。

三、二次函数的求解问题方法:1.求二次函数的零点:二次函数的零点即为函数与x轴的交点,可以通过以下方法求解:因为f(x) = ax^2 + bx + c = 0,可以利用配方法、因式分解法或求根公式(a≠0)来求解。

具体方法可以根据题目的要求和二次函数的形式灵活运用。

2.求二次函数的最值:二次函数的最值即为函数的最高点或最低点,可以通过以下方法求解:由于二次函数的对称轴为x=-b/2a,当x=-b/2a时,可得到对应的y的值。

当a>0时,最小值为对称轴上的点;当a<0时,最大值为对称轴上的点。

九年级二次函数知识点梳理

九年级二次函数知识点梳理

九年级二次函数知识点梳理二次函数是高中数学中一个重要的概念,它是一种形如$y=ax^2+bx+c$的函数,其中$a$,$b$,$c$是实数且$a\neq0$。

本文将对九年级关于二次函数的知识点进行梳理和总结。

一、二次函数的图像特点1. 开口方向:二次函数的开口方向由系数$a$的正负决定。

当$a>0$时,图像开口向上;当$a<0$时,图像开口向下。

2. 对称轴:二次函数的对称轴是垂直于$x$轴的一条直线,经过图像的顶点。

对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

3. 顶点:二次函数的顶点是图像的最高点(当$a>0$时)或最低点(当$a<0$时)。

顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$,纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

4. 判别式:二次函数的判别式为$\Delta=b^2-4ac$,它可以用来判断二次函数的图像与$x$轴的关系:当$\Delta>0$时,图像与$x$轴有两个交点;当$\Delta=0$时,图像与$x$轴有一个交点(图像与$x$轴相切);当$\Delta<0$时,图像与$x$轴没有交点。

二、二次函数与一次函数的关系1. 平移:二次函数$y=ax^2+bx+c$与一次函数$y=kx+d$的图像可以进行平移。

当平移的向量为$(h,k)$时,二次函数的函数式变为$y=a(x-h)^2+b(x-h)+c$。

其中$(h,k)$为平移的向量。

2. 缩放:二次函数的图像可以进行缩放。

若将函数的自变量和因变量同时缩放$k$倍,则二次函数的函数式变为$y=a(kx)^2+b(kx)+c$。

其中$k$为缩放的倍数。

三、二次函数的性质1. 零点:二次函数零点是函数图像与$x$轴的交点。

计算零点可以通过求解二次方程$ax^2+bx+c=0$来实现。

当判别式$\Delta>0$时,二次方程有两个不相等的实根;当$\Delta=0$时,二次方程有两个相等的实根;当$\Delta<0$时,二次方程没有实根。

青岛版九年级数学下册二次函数的应用知识点

青岛版九年级数学下册二次函数的应用知识点

青岛版九年级数学下册二次函数的应用知识点
本文的主要内容是二次函数的应用知识点,包括二次函数的应用的解题步骤及常见的二次函数的应用方向,希望对大家新学期学习有帮助。

知识点
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中,有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题,它们都有可能用到二次函数关系,用到二次函数的最值。

那么解决这类问题的一般步骤是:
第一步:设自变量;
第二步:建立函数解析式;
第三步:确定自变量取值范围;
第四步:根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。

课后练习
二次函数的应用知识点的全部内容就是这些,不知道大家是否已经都掌握了呢?预祝大家可以更好的学习,取得优异的成绩。

九年级二次函数基本知识点

九年级二次函数基本知识点

九年级二次函数基本知识点二次函数是数学中的一种重要函数,它在许多实际问题的建模与计算中发挥着重要的作用。

在九年级的数学学习中,我们将接触到二次函数的一些基本知识点,掌握它的性质与图像特征。

在本文中,我将详细介绍二次函数的定义、性质以及与实际问题之间的联系。

一、二次函数的定义与一般形式二次函数是指一个关于自变量的函数,其形式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c为实数且a≠0。

在这个定义中,二次函数关于自变量x的最高次项是x的平方,因此称之为二次函数。

二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c为实数。

其中,a决定了二次函数图像的开口方向,正负号分别对应开口向上和开口向下的情况。

当a>0时,图像开口向上;当a<0时,图像开口向下。

二、二次函数的顶点与轴对称二次函数图像的顶点是图像的最高点或最低点,通过计算可以得到它的坐标。

考虑到二次函数的特性,我们可以利用一条轴对称线将图像分为左右对称的两部分。

对于二次函数y=ax²+bx+c,它的顶点坐标可以通过公式(-b/(2a), f(-b/(2a)))来求得。

其中(-b/(2a))表示轴对称线的x坐标,f(-b/(2a))表示将该x坐标带入函数中计算出来的y值。

三、二次函数的图像特征二次函数的图像是一个抛物线,通过掌握二次函数的顶点与轴对称等特征,我们能够更好地理解与分析图像。

具体而言,当二次函数的a>0时,图像开口向上,顶点是最低点;当a<0时,图像开口向下,顶点是最高点。

另外,二次函数的图像一般不是直线,而是曲线。

通过观察图像的形状,我们可以判断二次函数的开口方向、顶点位置等,从而更好地解决实际问题。

四、二次函数与实际问题之间的联系二次函数在实际问题的建模中具有广泛应用。

它能够描述某些量与另一个量之间的关系,帮助我们预测与分析实际情况。

以下是几个二次函数与实际问题相关的例子:1. 物体自由落体:当一个物体自由落体时,它的下落距离与时间之间存在二次函数关系。

九年级二次函数知识点总结讲解

九年级二次函数知识点总结讲解

九年级二次函数知识点总结讲解在九年级数学课程中,学生将接触到二次函数的知识。

二次函数是一种非常重要的函数形式,它在数学、物理、经济等各个领域具有广泛的应用。

本文将对九年级二次函数的相关知识点进行总结和讲解。

一、二次函数的定义和表示方法二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数形式。

一般来说,二次函数的表示形式可以写为f(x) = ax² + bx + c,其中a、b、c为实数,a不为0。

其中,a称为二次项系数,b称为一次项系数,c称为常数项。

二、二次函数的图像特征对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说,它的图像是抛物线。

具体来说,当a>0时,抛物线开口朝上;当a<0时,抛物线开口朝下;当a=0时,抛物线退化为直线。

除了开口方向外,二次函数的图像还包含以下几个特征:顶点、对称轴和判别式。

1. 顶点:二次函数的图像在抛物线上的最高点或最低点称为顶点。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得,纵坐标可以代入公式计算得出。

2. 对称轴:二次函数的图像是关于一条直线对称的,这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可以通过公式x = -b / (2a)得出。

3. 判别式:判别式是一个用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和性质的重要指标。

判别式的数值可以通过公式Δ = b² -4ac计算得出。

当Δ>0时,二次函数与x轴有两个交点;当Δ=0时,二次函数与x轴有一个交点;当Δ<0时,二次函数与x轴无交点。

三、二次函数的性质和应用除了图像特征外,二次函数还具有一些重要的性质和应用。

1. 单调性:当二次函数的二次项系数a>0时,函数是上凸的,也就是说随着自变量的增大,函数值也会增大;当a<0时,函数是下凸的,随着自变量的增大,函数值会减小。

2. 极值:对于上凸的二次函数来说,函数的最小值就是顶点的纵坐标;对于下凸的二次函数来说,函数的最大值就是顶点的纵坐标。

青岛版九年级数学下二次函数的图像与一元二次方程知识点

青岛版九年级数学下二次函数的图像与一元二次方程知识点

青岛版九年级数学下二次函数的图像与一元二次方程知识点知识点特别地,二次函数(以下称函数)y=ax+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax,y=a(x-h),y=a(x-h) +k,y=ax+bx+c(各式中,ane;0)的图象形状相同,只是位置不同当hgt;0时,y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到,当hlt;0时,则向左平行移动|h|个单位得到.当hgt;0,kgt;0时,将抛物线y=ax向右平行移动h 个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h) +k 的图象;当hgt;0,klt;0时,将抛物线y=ax向右平行移动h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;当hlt;0,kgt;0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;当hlt;0,klt;0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;因此,研究抛物线 y=ax+bx+c(ane;0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax+bx+c(ane;0)的图象:当agt;0时,开口向上,当alt;0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b]/4a).3.抛物线y=ax+bx+c(ane;0),若agt;0,当x le; -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ge; -b/2a时,y随x 的增大而增大.若alt;0,当x le; -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ge; -b/2a时,y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点:(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);(2)当△=b -4acgt;0,图象与x轴交于两点A(x#8321;,0)和B(x#8322;,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0(ane;0)的两根.这两点间的距离AB=|x#8322;-x#8321;|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△lt;0.图象与x轴没有交点.当agt;0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有ygt;0;当alt;0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有ylt;0.5.抛物线y=ax+bx+c的最值:如果agt;0(alt;0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b)/4a.顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax+bx+c(ane;0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)+k(ane;0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x#8321;)(x-x#8322;)(ane;0).课后练习二次函数的图像与一元二次方程知识点的全部内容就是这些,不知道大家是否已经都掌握了呢?预祝大家可以更好的学习,取得优异的成绩。

九年级数学二次函数所有知识点.doc

九年级数学二次函数所有知识点.doc

九年级数学二次函数所有知识点
二次函数的定义,如何确定二次函数的关系式,如何根据题意确定自变量的取值范围。

二次函数的图像是抛物线,开口方向,对称性,最大最小值,y随x变化的情况,抛物线和x轴的交点情况。

二次函数对称轴和顶点坐标的公式,如何推导出来的?
二次函数的系数a、b、c,各自决定抛物线图像的哪些内容?二次函数图像的平移的性质和特征有哪些内容?
第8条,二次函数的主要性质,包括那些内容?
如何画二次函数图像?画二次函数图像的方法和步骤?
二次函数的顶点式有哪些主要内容?如何通过配方法,把二次函数的一般式转化成顶点式?如何通过顶点式,根据图像确定二次函数的最大值或者最小值。

二次函数和一元二次方程的关系,二次函数与x轴的交点的情况可以根据对应的一元二次方程的根的判别式来判定。

二次函数抛物线和x轴交点间距离的公式,怎么推导,怎么运用?。

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《二次函数》知识点复习考点一:二次函数的定义及用待定系数法求二次函数的解析式1、一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.2、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:一般式:y=ax2+bx+c (a≠0),通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0),通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为().对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(),二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点.对应考点练习:1、如图,直线3=xy交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B3+两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0)则抛物线的解析式为2、竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=a t2+b t,其图象如图所示.若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是第()A.3s B.3.5s C.4.2s D.6.5s3、某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A.50m B.100m C.160m D.200m4、如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.考点二:二次函数的图像和性质1、抛物线y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与a ,b ,c 的作用:a 的正负决定了 ,当a>0时,开口 ,在对称轴x=-2b a 的左侧(当x <-2ba时),y 随x 的增大而减小;在对称轴x=-2b a 的右侧(当x >-2ba时),y 随x 的增大而增大,此时y 有最小值为y=244ac b a-,顶点( )为最低点;当a<0时,开口 ,在对称轴x=-2b a 的左侧(当x <-2ba时),y 随x 的增大而增大,在对称轴x=-2b a 的右侧(当x >-2ba时),y 随x 的增大而增大,此时y 有最大值为y=244ac b a-,顶点( )为最高点.2、│a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,图像两边越靠近y 轴, │a │越小,开口越大,•图像两边越靠近x 轴;3、a ,b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2ba<0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b•异号时,对称轴x=-2ba>0,即对称轴在y 轴右侧;c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y•轴交于负半轴 考点对应练习:1、已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图.若12y y <,则自变量x 的取值范围是( ).A 322x -<< B.322x x ><-或C. 322x -<<D. 322x x <->或2.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )A .有最小值0,有最大值3。

B .有最小值-1,有最大值0C .有最小值-1,有最大值3 。

D .有最小值-1,无最大值3、抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:从上表可知,下列说法中正确的是 .(填写序号)①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0); ②函数2y ax bx c =++的最大值为6;③抛物线的对称轴是12x =; ④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大.4、下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( )A .y = (x − 2)2 + 1B .y = (x + 2)2 + 1C .y = (x − 2)2 − 3D .y = (x + 2)2 − 35、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①0<abc ②当1x =时,函数有最大值。

③当13x x =-=或时,函数y 的值都等于0. ④024<++c b a 其中正确结论的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 考点三:二次函数图像的平移二次函数图像间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数图像间的平移。

•在平移之前先将函数解析式化为顶点式。

(上加下减,左加右减)。

1、抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、将抛物线y=x 2-2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_____x… -2 -1 0 1 2 … y…4664…考点四:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与a、b、c、b2-4ac等的符号之间的关系1、函数图象y=ax2+(a-3)x+1与x轴只有一个交点则a的值为()A、0,1B、0,9C、1,9D、0,1,92、已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1•x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()4.如下图1为抛物线2y ax bx c=++的图象,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是()A、1ac<a b-=-C、b<a D、0a b+=-B、15、二次函数y=x2-2x-3的图象如上图2所示。

当y<0时,自变量x的取值范围是()A.-1<x<3 B.x<-1 C.x>3 D.x<-3或x>36、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如上图3所示,则下列结论中正确的是( )A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>07、如图所示的二次函数2=++的图象中,刘星同学观察y ax bx c得出了下面四条信息:(1)240->;(2)c>1;(3)2a-b acb<0;(4)a+b+c<0。

你认为其中错误的有( )..A.2个B.3个C.4个D.1个8、已知函数1)3(2+2y的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()kx+-=xA.4<kB.4≤kC.4<k且3≠kD.4≤k且3≠k变式训练:已知抛物线1(2+2)3ky与x轴有交点,则k的取值范围是()x=x+-A.4<kB.4≤kC.4<k且3≠kD.4≤k且3≠k考点五:二次函数的应用(表达式的应用)1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?2.如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度12米时,球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o,O、A两点相距83米.(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式;(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A 点.3.(2013•泰安)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出.(1)设这批旅游纪念品的总获利为y元,写出y与x的函数关系式?(2)如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?考点六:函数综合练习1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.2. 某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:x(万元) 1 2 2.5 3 5yA(万元) 0.4 0.8 1 1.2 2信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元.(1)求出yB与x的函数关系式.(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式.(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?3.(2014年湖南)如图,直线33=-+与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线2y x=-+(2)y a x k 经过点A、B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使ABQ∆是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标.(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以,,,A C M N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.初中数学试卷金戈铁制卷。

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